Physik 1 für Ingenieure

Transkript

1 Physik 1 für Ingenieure Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Othmar.Marti@Physik.Uni-Ulm.de Skript: Übungsblätter und Lösungen: November 2001 Universität Ulm, Experimentelle Physik

2 Vorlesung am Ort Bundeswehrkrankenhaus Raum 129 Zeit 8:15-10:00 Wie komme ich dahin Zum BWK gehen (andere Strassenseite Albert-Einstein-Allee) Eingang Glastüre am Informationsschalter links Treppe hinuntergehen Ab dort ist Hörsaal 129 ausgeschildert Universität Ulm, Experimentelle Physik 1

3 Potentielle Energie Die an einem System verrichtete Arbeit führt zu einer Änderung des Energieinhaltes eines Systems. Diese gespeicherte Energie kann bei Bedarf abgegeben werden. Sie heisst deshalb potentielle Energie E pot = E pot,2 E pot,1 = s 2 F d s s 1 Universität Ulm, Experimentelle Physik 2

4 Wichtig! Auf die Frage nach der Definition der potentiellen Energie mit E pot = mgh zu antworten ist falsch. Diese Formel ist ein Spezielfall, eine Anwendung der Gleichung E pot = E pot,2 E pot,1 = s 2 F d s was die richtige Antwort wäre. s 1 Universität Ulm, Experimentelle Physik 3

5 Ableitung in drei Dimensionen: Gradient In drei Dimensionen kann man sich überlegen, dass die drei Kraftkomponenten entlang der x-, dder y- und der z-achse die Bewegung in Richtung der jeweiligen anderen Achsen nicht beeinflussen (orthogonale Vektoren). Wir hatten bei der Behandlung des schiefen Wurfes gesehen, dass dies so war. Also scheint es angebracht, dass die x Komponente der Kraft nur von der Ableitung der potentiellen Energie nach x abhängt. F x (x, y, z) = E pot x F y (x, y, z) = E pot y F z (x, y, z) = E pot z (1) Der Gradient zeigt immer in die Richtung der grössten Steigung! Universität Ulm, Experimentelle Physik 4

6 Ableitung in drei Dimensionen: Gradient II Die Schreibweise f(x,y,z) x meint, dass man bei der Berechnung der Ableitung die Variablen y und z konstant setzt. Dies ist die partielle Ableitung nach x Die drei Operationen aus Gleichung (1) schreibt man kompakt als Gradientenbildung F = grade pot = Epot x, E pot y, E pot z = E pot (2) = e x x + e y y + e z z heisst Nabla-Operator und ist eine Kurzschreibweise für die Bildung der drei partiellen Ableitungen. Universität Ulm, Experimentelle Physik 5

7 Gleichgewichte Ein Teilchen befindet sich in einer Ruhelage, wenn die Kraft auf das Teilchen null ist, wenn also die potentielle Energie ein Extremum hat F = de pot dx. Die Gleichgewichtslage heisst stabile Gleichgewichtslage, wenn die potentielle Energie ein Minimum hat (wie bei der Feder). Ein Minimum liegt vor, wenn die zweite Ableitung d2 E pot dx 2 > 0 ist. Allgemeiner: Ein Minimum liegt vor, wenn die erste nicht verschwindende Ordnung der Ableitungen gerade ist und ihr Wert grösser null ist. Eine Gleichgewichtslage heisst labiles oder instabiles Gleichgewicht, wenn die potentielle Energie in der Gleichgewichtslage ein Maximum hat. Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass die zweite Ableitung d2 E pot dx 2 < 0 ist. Allgemeiner: Ein Maximum liegt vor, wenn die erste nicht verschwindende Ordnung der Ableitungen gerade ist und ihr Wert kleiner null ist. Ein indifferentes Gleichgewicht liegt vor, wenn die erste Ableitung der potentiellen Energie in der Umgebung der Gleichgewichtslage konstant gleich null ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 6

8 Feder im elektrostatischen Feld 10 5 F x Kräfte berechnet für x 0 = [0.5, 1, 2, 3, 4] (von rot bis türkis) und konstante angelegte Spannung. Für die beiden kleinsten Werte existiert keine Ruhelage. Universität Ulm, Experimentelle Physik 7

9 Feder im elektrostatischen Feld II x U 1. (grün, bzw. lila) und 2. (rot bzw blau) Näherungslösung für die Gleichgewichtslage als Funktion der angelegten Spannung. Man beachte, dass die beiden Näherungslösungen nur für kleine Spannungswerte übereinstimmen. Die Diskrepanz rührt daher, dass dieses System eine eingebaute Instabilität besitzt und eine analytische Näherungslösung in deren Nähe versagt. Universität Ulm, Experimentelle Physik 8

10 Energieerhaltungssatz Mechanik Die mechanische Gesamtenergie E = E pot + E kin = const (3) für konservative Systeme ist konstant. Dies ist der Energieerhaltungssatz der Mechanik. Universität Ulm, Experimentelle Physik 9

11 Energien beim harmonischen Oszillator Universität Ulm, Experimentelle Physik 10

12 Mathematisches Fadenpendel Universität Ulm, Experimentelle Physik 11

13 Mathematische Formulierung Der Energieerhaltungssatz der Mechanik besagt, dass E = E kin + E pot = 1 2 mv2 (h) + mgh (4) Wenn h max die Höhe bei der maximalen Auslenkung ist, dann ist mgh max = 1 2 mv2 (h) + mgh (5) Umgerechnet erhält man v = = = q 2g(h max h) q 2g(L(1 cos α max ) L(1 cos α)) q 2gL(cos α cos α max ) (6) Universität Ulm, Experimentelle Physik 12

14 Verallgemeinerter Energiesatz Wenn nichtkonservative Kräfte, also Reibungskräfte, vorhanden sind, dann gilt für die Arbeit, die in diese nichtkonservativen Kräfte geht: W nk = E pot + E kin = E 0 (7) Die nichtkonservativen Kräfte verringern also die mechanische Energie eines Systems. Universität Ulm, Experimentelle Physik 13

15 Leistung Die Leistung gibt an, wie schnell Energie (Arbeit) von einem System auf ein zweites übertragen wird. dw = F d s = F vdt (8) oder P = dw dt = F v (9) Einheit: 1 J s = 1W = Watt Universität Ulm, Experimentelle Physik 14

16 Masse des Lastwagens m = 40000kg, Geschwindigkeit v = 10m/s Winkel Steigung [%] Leistung [kw] π/ ,3 π/ π/ π/ Universität Ulm, Experimentelle Physik 15

17 Lastwagen, P = 400kW Winkel Steigung [%] Geschwindigkeit [m/s] π/ π/ π/ π/ π/ π/ Universität Ulm, Experimentelle Physik 16

18 Personenwagen mit m = 2000kg und P = 100kW Winkel Steigung [%] Geschwindigkeit [m/s] π/ π/ π/ π/ π/ π/ Universität Ulm, Experimentelle Physik 17

19 Methode zur Bestimmung des Massenmittelpunktes Ein ebener Testkörper muss mindestens zweimal aufgehängt werden, um den Schwerpunkt S zu finden. Bei einem nicht ebenen Körper sind mindestens drei Punkte nötig. Universität Ulm, Experimentelle Physik 18

20 Impulserhaltung Wenn keine äusseren Kräfte wirken, gilt, dass p 1 + p 2 = const ist, also dass der Gesamtimpuls erhalten wird. Die Formel lässt sich zwanglos auf eine beliebige Anzahl Teilchen erweitern. Universität Ulm, Experimentelle Physik 19

21 Impulserhaltung n p ges = m ges v S = m i v i = const i=1 (10) Gesetz der Impulserhaltung Universität Ulm, Experimentelle Physik 20

22 Stösse in einer Dimension Kollision zweier Lastwagen mit unterschiedlichen Massen und unterschiedlicher Geschwindigkeit dargestellt im Laborsystem Universität Ulm, Experimentelle Physik 21

23 Stösse in einer Dimension: Schwerpunktsbewegung Kollision zweier Lastwagen mit unterschiedlichen Massen und unterschiedlicher Geschwindigkeit dargestellt im Schwerpunktsystem Universität Ulm, Experimentelle Physik 22

24 Stösse... Setzen wir m 1 = 1000kg (Smart), m 2 = 3000kg (z.b. Mercedes-Benz) und v 1 = 10m/s und v 2 = 10m/s (eine Frontalkollision in der 30-er Zone). Dann erhalten wir v 1 = 20m/s und v 2 = 0m/s. Die gesamte kinetische Energie beider Autos wird also in das leichtere der beiden übertragen. Setzen wir m 1 = 1000kg (Smart), m 2 = 3000kg (z.b. Mercedes-Benz) und v 1 = 30m/s108km/h und v 2 = 60m/s = 216km/h (eine Auffahrkollision auf der Autobahn). Dann erhalten wir v 1 = 75m/s = 270km/h und v 2 = 45m/s = 162km/h, eine ziemlich unangenehme Situation für die Insassen des leichteren Autos. Universität Ulm, Experimentelle Physik 23

25 Kinetische Energien von Teilchensysteme Die kinetische Energie eines Teilchensystems lässt sich als Summe von zwei kinetischen Energien schreiben, der kinetischen Energie 1 2 m gesv 2 S der Schwerpunktsbewegung, wobei m ges die gesamte Masse ist, und der kinetischen Energie der Relativbewegung n m i u 2 i, i=0 also der Bewegung u i der einzelnen Teilchen relativ zum Schwerpunkt. Universität Ulm, Experimentelle Physik 24

26 Impulserhaltung bei Stössen i=1 i=1 Bei jedem Stoss gilt die Impulserhaltung n m i v i,e = n m i v i,a, wobei v i,a die Anfangsgeschwindigkeiten und v i,e die Endgeschwindigkeiten sind. Universität Ulm, Experimentelle Physik 25

27 Inelastische Stösse Bei einem inelastischen Stoss wird ein Teil der kinetischen Energie der Stosspartner in andere Energieformen umgewandelt. Meistens sind die anderen Energieformen die Wärmeenergie oder die Energie der plastischen Deformation. Denkbar ist aber auch eine Umwandlung in magnetische oder elektrische Energie. Universität Ulm, Experimentelle Physik 26