Musterlösungen. Theoretische Physik I: Klassische Mechanik

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1 Blatt Musterlösungen Theoretische Physik I: Klassische Mechanik Prof. Dr. G. Alber MSc Nena Balanesković Die Lagrange Methoe zweiter Art, Symmetrien un Erhaltungsgrößen 1. y r x Gegeben sei eine Anornung wie in er Skizze argestellt. Zwei Massenpunkte mit Massen m 1 un m sin über einen masselosen Faen er Länge l über eine im Mittelpunkt fixierte Rolle mit Raius r miteinaner verbunen un unterliegen em Schwerefel er Ere g = g e y. m 1 m a Stellen Sie ie Zwangsbeingungen auf. Es gibt rei holonom skleronome Zwangsbeingungen: b Wie lautet ie Lagrangefunktion? y 1 +rπ y = l y 1,y < 0 1 x 1 = r = x. L = m 1 ẏ 1 + m ẏ 1 gm 1y 1 +m y 1 +rπ l 3 c Bestimmen Sie ie Bewegungsgleichungen er beien Massenpunkte. Unter welcher Beingung gibt es eine Gleichgewichtskonfiguration? Wir erhalten aus m 1 +m ÿ 1 = gm 1 m 4 ie Bewegung y 1 t = y ẏ 1 0t t gm 1 m m 1 +m. Falls m 1 = m ergibt sich ein Gleichgewicht.. Eine Perle er Masse m gleite reibungslos auf einem Drahtring mit Raius R. Der Ring rotiere mit konstanter Winkelgeschwinigkeit ω um seinen Durchmesser im Schwerefel g. g θ R m ω 1

2 a Formulieren Sie ie Zwangsbeingungen. Wir legen en Koorinatenursprung in en Mittelpunkt es Drahtrings. Die z-achse ist abei antiparallel zu g un zum Zeitpunkt t = 0 sei y = 0. Damit lauten ie Zwangsbeingungen x +y +z = R holonom skleronom unanωt = y/x holonom rheonom. b Führen Sie geeignete verallgemeinerte Koorinaten ein. Wir benutzen Kugelkoorinaten, xθ, t Rsinθcosωt rθ,t = yθ, t = Rsinθsinωt zθ, t Rcosθ c Wie lautet ie Lagrangefunktion in iesen Koorinaten?. 5 Lθ, θ,t = m R ω sin θ+r θ mgrcosθ 6 Wie lauten ie Bewegungsgleichungen? Aus L θ L θ = 0 7 erhalten wir θ + g R ω cosθsinθ = 0. 8 e Betrachten Sie en Fall kleiner Frequenzen ω g/r. Bestimmen Sie ie Gleichgewichtsposition θ 0 am Ring, un berechnen Sie θt für kleine Auslenkungen θ0 = 0,θ0 = θ 0 +δ, δ 1 inem Sie ie Bewegungsgleichung nach δ entwickeln. Der Ausruck g R ω cosθ ist immer positiv. Mögliche Gleichgewichtspositionen sin aher θ0 = θ 0 = π un θ0 = θ 0 = 0, genau ann gilt nämlich θ0 = 0 un somit falls θ0 = 0 θt = θ 0. Ist as Teilchen in θ 0 = 0 ist as Gleichgewicht stabil un wir können ie Bewegungsgleichung für θ = θ 0 + δ nach δ entwickeln. Wir erhalten bis auf Terme höherer Ornung δ + g R ω δ = 0. 9 Für eine kleine Auslenkungδ 0 erhalten wir also g δ 0 g θt = δ 0 cos t R ω + sin g t R ω R ω. 10 f Betrachten Sie en Fall großer Frequenzenω g/r. Bestimmen Sie ie Gleichgewichtspositionθ 0 am Ring, un berechnen Sieθt für kleine Auslenkungen θ0 = 0,θ0 = θ 0 +δ, δ 1. Der Ausruck ω g g cosθ verschwinet für cosθ ω R ω R 0, so ass gilt θ0 = 0 un amit falls θ0 = 0 θt = θ 0. Wir entwickeln ie Bewegungsgleichung für θ = θ 0 + δ nach δ un erhalten δ +ω cosθ 0 cosθ 0 +δsinθ 0 +Oδ sinθ 0 +δcosθ 0 +Oδ = 0 δ +δω sin θ 0 = 0. 11

3 Für eine kleine Auslenkungδ 0 erhalten wir also θt = θ 0 +δ 0 cos t ω g ω R + δ 0 sin ω g ω R t ω g ω R Es gibt weiterhin ie zwei labilen Gleichgewichtspositionenθ 0 = 0 unθ 0 = π Die Lagrangefunktion eines relativistischen Massenpunktes mit Ruhemasse m in einem äußeren PotentialU x, x,t lautet L x, x,t = mc 1 a Wie lauten ie Euler-Lagrange Gleichungen? Aus L L = erhalten wir x x x U x, c x,t. 13 mγ x = U x U x. 14 b Betrachten Sie zunächst en Fall eines freien Massenpunktes,. h. U = 0. Zeigen Sie, ass iese Dynamik symmetrisch unter er speziellen Lorentztransformation T ǫ = γt xǫ/c X ǫ = γx ǫt Y ǫ = y Z ǫ = z 15 ist. Bewegung in negativer x-richtung, γ = 1/ 1 ǫ/c. Welche Erhaltungsgröße ist mit ieser Symmetrie verbunen? Mit Tǫ = 1 ǫẋ/c +Oǫ, Xǫ T ǫ = Xǫ ẏ1+ǫẋ/c +Oǫ un Zǫ L Tǫ ǫ ǫ=0 = 1 ǫẋ mc ǫ c = ǫ = mc 1 ǫẋ c mc ẋ c T ǫ = ẋ1+ǫẋ/c ǫ+oǫ, Yǫ T ǫ = Yǫ T ǫ = ż1+ǫẋ/c +Oǫ erhalten wir 1 1 ẋ1+ ǫẋ +ẏ1+ ǫẋ c c ǫ 1 1 c ẋ +ẏ +ż 1+ ǫẋ 1 ẋ +ẏ +ż c + ẋ 1 ẋ +ẏ +ż c c Y ǫ = c +ż1+ ǫẋ c c +Oǫ ǫẋ+oǫ wobei wir beim letzten Schritt ie Oǫ Terme vernachlässigt haben. Die Erhaltungsgröße =

4 ergibt sich aus 0 = l = t = ψ l L q l +ϕ L l mẋ 1 ẋ +ẏ +ż c m 1 ẋ +ẏ +ż c L q l ql 0 xc L mẋ +ẏ +ż x ẋt. 1 ẋ +ẏ +ż c 17 c Zeigen Sie, ass ie Lagrangefunktion eines freien Teilchens invariant unter Translationen in Raum un Zeit un Drehungen ist. Welche Erhaltungsgrößen folgen araus? Wir betrachten zunächst ie Translationen im Raum, T ǫ = t X k ǫ = xk +ǫe k. 18 Die Lagrangefunktion in iesen neuen Koorinaten ist gleich er in en alten Koorinaten, a sie nur von x abhängt. Daher istf = 0 un wir erhalten ie Erhaltungsgröße aus γm x e+0 0 = 0, 19 wobei γ = 1/ 1 x/c. Es bleibt also er relativistische Impulsγm x erhalten. Für eine Translation er Zeit, T ǫ = t+ǫ X k ǫ = x k, 0 bleibt ie Lagrangefunktion in en neuen Koorinaten ebenfalls gleich er in en alten Koorinaten. Daher ist wieerf = 0 un wir erhalten ie Erhaltungsgröße aus 0 = 0+1 L γm x x 0 = γmc. 1 Die relativistische Energieγmc bleibt erhalten. Zuletzt betrachen wir Rotationen um en Winkel ǫ um ie Achse e, T ǫ = t X k ǫ = xk +ǫε lmk e l x m. Die Lagrangefunktion ist wieerum invariant un ie Erhaltungsgrößen ergeben sich aus 0 = γmẋk ε lmk e l x m +0 0 = x γm x e, 3 so ass ie Konstanz es relativistischen Drehimpulses x γm x folgt. 4

5 Betrachten Sie as spezielle geschwinigkeitsabhängige Potential U x, x,t = qφ x,t q A x,t x 4 mit em elektromagnetischen PotentialenΦun A, für ie gilt E x,t = x Φ x,t A x,t t 5 B x,t = x A x,t. 6 vgl. mit Aufgabe.3. Wie lauten ie azugehörigen Euler-Lagrange Gleichungen? Es istl = mc 1 v/c U un wir erhalten mγ x = U x U x. 7 Die rechte Seite ieser Gleichung haben wir bereits in Aufgabe.3 berechnet, wir erhalten mγ x = q E xt,t+q x B xt,t. 8 e Betrachten Sie en speziellen Fall U/ t = 0. Welche Ehaltungsgröße folgt araus? Wir betrachten eine Translation er Zeit, T ǫ = t+ǫ X k ǫ = xk. 9 Die Lagrangefunktion ist invariant un wir erhalten ie Erhaltungsgröße aus 0 = 0+1 L γm x x 0 = γmc U. 30 Die relativistische Gesamtenergieγmc +U bleibt erhalten. 5