Portfolioeffekte bei der Kreditrisikomodellierung

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1 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 1 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung Mark Wahrenburg 1 und Susanne Nehen Kurzfassung Für vele Fragesellungen m Rahmen der Bewerung kredrskobehafeer Fnanzel sowe der Value a Rsk-Besmmung für Kredporfolos müssen Korrelaonseffeke von Kredrsken berückschg werden. Der vorlegende rkel gb enen Überblck über verschedene Messkonzepe für Kredrskokorrelaonen sowe über nsäze aus Theore und Praxs, de ene Quanfzerung Porfoloeffeken ermöglchen. Dabe wrd besonders auf de emprsche Schäzung der korrelaonsbesmmenden Parameer engegangen. n enem Bespel wrd de Herleung der usfallkorrelaon nach verschedenen Modellen demonsrer und de uswrkung auf das Value a Rsk enes Kredporfolos unersuch. 1 Unversä Frankfur McKnsey & Company

2 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 1 Enleung Das Porfolorsko s nch densch m der Summe der Enzelrsken. Dese aus der kenanalyse bekanne Grundwahrhe gl ebenso für Porfolos von Kredrsken. Während de explze Messung des Porfolorskos und sene Opmerung m Rahmen ener kenanlage heue zu den Sandardrounen m sse Managemen gehör, seck de Berückschgung von Porfoloeffeken m Rahmen der Kredrskomessung noch n den Knderschuhen. Ene Quanfzerung von Porfoloeffeken s aber aus verschedenen Gründen für das Managemen ener Bank snnvoll: () () () (v) (v) Se erlaub ene Quanfzerung des Gesambankrskos m Kredberech und dam ene bschäzung der ökonomsch adäquaen Egenkapalunerlegung. Se ermöglch ene Porfoloseuerung des Kredporfolos, de explz den margnalen Berag enzelner Posonen zum Gesamrsko berückschg. Im Rahmen von Verbrefungen m sse Backed Secures verbleb häufg en begrenzes usfallrsko be dem Emenen. (z.b.: De ersen zwe Prozen der usfälle des verbrefen Pools werden vom Emenen geragen ). De Bewerung ener solchen usfallgarane erforder de Besmmung der Wahrschenlchke enes usfalls von x% der Krednehmer für verschedene Were von x. Dese Fragesellung s formal densch m der Besmmung des Value a Rsk enes Porfolos. Der enzge Unersched leg n der Verwendung unerschedlcher Quanle der Häufgkesverelung. De Bewerung von Kreddervaen uner Berückschgung des Konrahenenausfallrskos erforder ebenfalls ene Quanfzerung von Korrelaonseffeken m Kredberech. Zum Bespel häng der Wer enes Defaul Swaps offenschlch davon ab, m welcher Wahrschenlchke sowohl der zugrundelegende Krednehmer als auch de Gegenpare des Swaps gemensam ausfallen. Kreddervae werden häufg auf Baskes verschedener Schuldner abgeschlossen. En Baske Defaul Swap führ z.b. zu ener Defaulzahlung, wenn während der Laufze (mndesens) ener von mehreren Schuldnern ausfäll. Zur Berechnung der Wahrschenlchke der Defaulzahlung und dam der Bewerung des Swaps wrd de Korrelaon von usfalleregnssen benög. De Messung von Kredrskokorrelaonen muss an ener Defnon des Begrffs Kredrsko ansezen. ls Kredrsko (auch dressrsko) wrd allgemen de möglche negave Werveränderung enes Fnanzmarknsrumenes aufgrund ener akuen Zahlungsunfähgke des Schuldners (usfallrsko) oder ener Veränderung sener Bonä (Spreadrsko bzw. Rangänderungsrsko) versanden. Dabe wrd zwschen dreken und bedngen Kredrsken sowe Selemenrsken unerscheden. Bespele für drekes Kredrsko snd klasssche Krede und nlehen. En bednges Kredrsko enseh aus dem Wederendeckungsrsko be Dervaegeschäfen. Falls bespelswese der Sllhaler ener Opon m Handelsbesand vor der usübung ausfäll, enseh en Verlus n Höhe

3 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 3 der Wederendeckungskosen für das ensprechende Derva. Das Selemenrsko beseh darn, be der Erfüllung enes Geschäfs nach erbracher Lesung kene Gegenlesung zu erhalen. De Messung des Kredrskos sez an den messbaren sochasschen Fakoren an, de de Wahrschenlchke und de Größe des Kredrskos besmmen. 3 Dazu gehören: () () () (v) Krederegns (usfall und Rangänderung) Heruner fäll zunächs das usfalleregns selbs (Enr der Zahlungsunfähgke des Schuldners). Im weeren Snn sellen Krederegnsse Veränderungen der Bonä des Schuldners dar, so dass auch Rangveränderungen zu den Krederegnssen gezähl werden können. Spread uch be unveränderem Rang enes Schuldners kann sch der Wer ausfallbedroher Fnanzel dadurch ändern, dass sch der vom Mark gefordere Spread änder. Befredgungsquoe (Recovery Rae Rsk) Uner desem Rsko wrd de Ungewsshe der Befredgungsquoe be Enr enes Konkurseregnsses (Zahlungsunfähgke) aufgefass. De Befredgungsquoe häng n erser Lne von dem Rang der Forderung und der Werhalgke ewager Scherheen ab. Exposure be Enr des Krederegnsses Im Fall des Konkurses der Gegenpare aus enem dervaen Fnanzerungsgeschäf ensehen Verluse n Höhe der Wederendeckungskosen, deren Höhe von der (sochasschen) Enwcklung von Markraen und m Fall von Kreddervaen von der Enwcklung der Kredwürdgke des zugrundelegenden Krednehmers abhängen. De Höhe des Verluss m Fall des usfalls s also sochassch und abhängg von anderen Markparameern. Genau genommen wesen auch Sandardkredverräge en sochassches Exposure auf, da der Verlus m Konkursfall (der Markwer der Kredforderungen) uner anderem von der Enwcklung des allgemenen Znsnveaus abhäng. Ene korreke Modellerung von Kredporfolosrsken muss also de gemensame Sochask der obgen Rskoaren abblden, um das Gesamrsko des Porfolos quanfzeren zu können. Das hess, dass alle Korrelaonen zwschen den angesprochenen Eregnssen n dem Modell abgeblde werden müssen. En perfekes Modell muss z.b. Fragen beanworen können we: We hoch s de Wahrschenlchke für enen gemensamen usfall von zwe Schuldnern und B? De gemensame usfallwahrschenlchke wrd von der sogenannen usfallkorrelaon besmm. We hängen de Recovery Raes von zwe Krednehmern zusammen? In Porfolomodellen müssen sowohl de nzahl der usfälle als auch de Höhe der daraus resul- 3 Vergleche auch Basle Commee on Bankng and Supervson (1999).

4 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 4 erenden Verluse modeller werden. Herbe kann es snnvoll sen, Korrelaonen von Recovery Raes zu berückschgen. Welche Korrelaon wesen Recovery Raes und usfallwahrschenlchkeen auf? Bespelswese häng de Recovery Rae m Fall von Baufnanzerungen maßgeblch von dem allgemenen Nveau der Grundsücks- und Immoblenprese ab, de aber hrerses ene wchge Deermnane der Insolvenzquoe von Immoblenkreden s. Sofern kredrskobehafee Fnanznsrumene als Scherhe fungeren (z.b. Corporae Bonds), s de Recovery Rae abhängg von dem Wer der nlehe und dam von der Enwcklung der Konkurswahrschenlchke. De n der Praxs besehenden Kredrskosyseme snd zumes we davon enfern, Porfoloeffeke auf enem so dealleren Nveau abzublden. us nahelegenden Gründen (m wesenlchen snd de Verfügbarke von Daen sowe de Komplexä der Problemsellung zu nennen) beschränk sch de nalyse von Korrelaonseffeken m Kredrskoberech auf de Unersuchung der sochasschen bhänggkeen nnerhalb der Gruppe der Krederegnsse. Dabe seh wederum de Korrelaonsanalyse von usfällen m Zenrum des Ineresses. Sochassche bhänggkeen m Berech der Befredgungsquoen oder des Kredexposures werden enweder gar nch oder über sark verenfachende ad hoc nnahmen (z.b. Unabhänggkesannahmen) berückschg. Da de usfallkorrelaon bzw. de Wahrschenlchke enes glechzegen usfalls mehrerer Schuldnern den särksen Enfluss auf das Kredporfolorsko aufwes, beschränk sch auch deser Berag m folgenden auf de nalyse der usfallkorrelaon. Der rkel s folgendermaßen gegleder: der zwee bschn unermauer emprsch de Exsenz von posven usfallkorrelaonen und zeg für en repräsenaves Kredporfolo hre Bedeuung für de Messung des Value a Rsk. Im dren bschn werden der Begrff der usfallkorrelaon präzser und Egenschafen des usfallkorrelaonskoeffzenen abgelee. De nachfolgenden zwe bschne geben enen Überblck über mehodsche nsäze zur Modellerung von usfallkorrelaonen. Im veren bschn werden de usfallprozesse verschedener sse Value Modelle vorgesell und gezeg, we m Rahmen deser Modelle korrelere usfälle erzeug werden können. usserdem werden Formeln hergelee, um de usfallkorrelaon konkre zu berechnen. Der fünfe bschn zeg analog Modellerungsalernaven der usfallkorrelaon n verschedenen ausfallraenbaseren Modellen auf. bschn 6 beschäfg sch m der emprschen Schäzung der Parameer, de n den unerschedlchen Kredrskomodellen de usfallkorrelaon deermneren. Für en enfaches Bespelporfolo wrd anschleßend de uswrkung auf Value a Rsk-Were besmm. Der leze bschn fass de Ergebnsse kurz zusammen. Relevanz der usfallkorrelaon für de Rskomessung En Blck auf hsorsche usfallzerehen (z.b. Insolvenzzerehen für Deuschland n bbldung 1) zeg deulch, dass de usfallraen n verschedenen Branchen nch vonenander unabhängg snd. Offenbar exser en gemensamer Hnergrundfakor we

5 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 5 de allgemene Wrschafslage, der zu ener glechgercheen Enwcklung der usfallraen m Zeablauf führ. Daraus folg, dass usfalleregnsse kene sochassch vonenander unabhänggen Eregnsse sen können. DURCHSCHNITTLICHE INDUSTRIESPEZIFISCHE USFLLRTEN IN DEUTSCHLND 0,0 0,018 0,016 0,014 0,01 0,01 0,008 0,006 0,004 0,00 0 ggrega Banken & Verscherungen Energe & Bergbau Tele kommunkaon & Transpor Denslesungen Landwrschaf Bau Verarbeende Indusre Handel bbldung 1: Insolvenzzerehen Deuschland. Quelle: Sassches Bundesam Bevor auf de Enzelheen der Korrelaonsmessung engegangen wrd, soll de emprsche Bedeusamke der korreken Spezfkaon der Korrelaonseffeke für de Messung des Porfolorskos an enem für de Praxs repräsenaven Bespelporfolo veranschaulch werden. Dazu wrd de uswrkung unerschedlcher Korrelaonsannahmen auf das Value a Rsk exemplarsch nach dem CredMercs-Verfahren unersuch. Das Porfolo wurde auf Bass ener Sude des Federal Reserve Boards über de Qualä der Kredporfolos großer Banken defner. Ene deallere Beschrebung zur Zusammensellung des Porfolos fnde sch n Gordy (1998). Es wrd en Porfolo m 5000 glech großen Kreden an unerschedlche Krednehmer unersell, de sch ensprechend der nachfolgenden Tabelle auf Sandard & Poor s Rangklassen m den angegebenen usfallwahrschenlchkeen 4 verelen: 4 De usfallwahrschenlchkeen wurden berechne als Durchschn der usfallraen von 1981 bs 1997, wobe de usfälle nur auf de Krednehmer als Grundgesamhe bezogen wurden, de am nfang und am Ende des ensprechenden Jahres en Rang (bzw. usfall) haen. Krednehmer, deren Rangs zurückgezogen wurden, bleben demensprechend unberückschg.

6 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 6 BBB BB B CCC usfallw.(%) nzahl Um de Unersuchung auf de usfallkorrelaon zu konzenreren, wrd zur Value a Rsk-Messung de Mehodk von CredMercs m zwe Enschränkungen verwende: 1.) Nur das usfallrsko wrd berache, d.h. Werveränderungen aufgrund von Bonäsveränderungen bleben unberückschg..) De Recovery Rae s null, d.h. der komplee Kredberag fäll aus. CredMercs s en sogenannes sse Value Modell, das de gemensame Veränderung von Unernehmensweren smuler. In bhänggke von der usfallwahrschenlchke wrd ene usfallschranke berechne. Falls der Unernehmenswer uner dese Schranke fäll, s der Schuldner zahlungsunfähg und en Verlus n Höhe der Kredsumme enseh. Im nächsen bschn wrd gezeg, dass sch de usfallkorrelaonen ndrek als Funkon der usfallschranken und der Korrelaon der Unernehmenswerveränderung (auch als Rendekorrelaon oder ssekorrelaon bezechne) ergeben. De folgende Tabelle sell de Ergebnsse der Rskomessung m den oben beschrebenen Daen für unerschedlche Korrelaonsszenaren dar. Es wrd ene enhelche paarwese Korrelaon der sserenden unersell. Für verschedene Were der ssekorrelaon zwschen 1% und 50% wrd das Value a Rsk zum 95 und 99 Prozen Konfdenznervall angegeben. ssekorrelaon Value a Rsk 95% Value a Rsk 99% Tabelle 1: Value a Rsk des Sandardporfolos für verschedene vorgegebene ssekorrelaonen für en Porfolo von 5000 Krednehmern, verel auf Rangklassen ensprechend Gordy, nach dem CredMercs-nsaz (usfallwahrschenlchkeen ensprechend Sandard & Poor s, Smulaonen) De Value a Rsk Were legen zwschen 15 und 408 ausgefallenen Kreden be enem 95%-Konfdenznveau und zwschen 143 und 880 ausgefallenen Kreden be enem 99%-Konfdenznveau. Ene sorgfälge nalyse der Korrelaonsannahmen s offenbar unerlässlch, wenn Porfoloeffeke n Kredrskomodellen korrek abgeblde werden sollen.

7 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 7 3 Der usfallkorrelaonskoeffzen De paarwese usfallkorrelaon zweer Schuldner und B s als Korrelaon ener Indkaorfunkon defner, de jewels den Wer 1 (be Kredausfall) oder den Wer 0 (be Rückzahlung des Kreds) annehmen. Nach der Sandardformel zur Berechnung von Korrelaonen s ρ defner als: (1) ρ = E( B) E( ) E( B) VR( ) VR( B) Dabe gl für de Zufallsvarable (und analog für B): Krederegns Wer von Wahrschenlchke usfall 1 p Ken usfall 0 1 p Melwer und Varanz von berechnen sch (analog für B) als E ( ) = p VR( ) = p (1 p ) Ensezen n de Formel der usfallkorrelaon ergb () p{ B } p pb ρ = bzw. p 1 p ) p (1 p ) p ( B B { B } = p pb + ρ p ( 1 p ) pb (1 pb ) Dabe bezechne p{ B } de Wahrschenlchke für den gemensamen usfall von und B. De Glechung zeg, dass en lnearer Zusammenhang zwschen der usfallkorrelaon und der Wahrschenlchke des gemensamen usfalls beseh. { B } B De usfallkorrelaon kann grundsäzlch Were zwschen 1 und 1 annehmen. Ene Korrelaon von null ergb sch be Unabhänggke der usfalleregnsse, dann gl p = p * p. De Korrelaon s posv (negav), wenn de gemensame usfallwahrschenlchke größer (klener) als be Unabhänggke s. Der Exremwer von 1 ergb sch, wenn und B enweder glechzeg ausfallen oder kener ausfäll. Dazu müssen nowendgerwese de ndvduellen usfallwahrschenlchkeen densch sen und es gl: p = pb = p{ B }. Sowe de usfallwahrschenlchkeen verscheden snd, ergb sch demnach nowendgerwese ene usfallkorrelaon von klener 1. Der negave Exremwer von 1 ergb sch nur uner der emprsch unplausblen Konsellaon, dass mmer dann ausfäll, wenn B nch ausfäll (und umgekehr). Dann muss gelen: p ( 1 p ); p =. Des bedeue, dass sch für ene Korrelaon von 1 bede = B B { } 0

8 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 8 usfallwahrschenlchkeen zu 1 adderen müssen. Da aber emprsche usfallwahrschenlchkeen rech klen snd, snd auch de emprschen usfallkorrelaonen n der Praxs nur gerngfügg von null verscheden. 4 usfallkorrelaonen n sse Value Modellen De n der Leraur dskueren Kredrskomodelle können grob n zwe Kaegoren engeel werden: sse Value Modelle und auf usfallraen baserende Modelle. De sse Value Modelle gehen auf Meron (1974) zurück, der Krede als Puoponen beschreb und m dem Black/Scholes-Kalkül bewere. In desen nsäzen s das Underlyng der Wer der kva (sses) des krednehmenden Unernehmens, für dessen Werenwcklung üblcherwese ene geomersche Brown sche Bewegung angenommen wrd: (3) dv = µ V d + σ V dz, wobe her µ als erwaree Rende, σ als Volalä der kva angenommen wrd und dz das Inkremen ener Brown schen Bewegung darsell. Der usfall r en, wenn der Wer der kva gernger als der fällge Kredrückzahlungsberag (oder ene anders defnere usfallschranke) s. Demensprechend häng n desem Modellen de Höhe der usfallkorrelaon maßgeblch von der Höhe der Korrelaon der sserenden ab. Zur bbldung von Korrelaonen zwschen zwe Krednehmern muss ene gemensame Werenwcklung der kva fesgeleg werden. D.h. ene 1 Rendekorrelaon ρ der beden sochasschen Prozesse dv und V muss spezfzer werden. M Wahl der Rendekorrelaon s de usfallkorrelaon noch nch besmm, da dese von der Defnon der usfallschranke abhäng. De sse Value Modelle unerscheden sch jedoch durch de Defnon der usfallbarrere, so dass ene densche Rendekorrelaon zu unerschedlchen usfallkorrelaonen führen kann. Im folgenden wrd gezeg, dass de nsäze, de den möglchen usfall nur an enem exogen fesgelegen Zepunk zulassen (Meron, CredMercs und KMV), be ensprechender Wahl der Inpuparameer densche usfallkorrelaonen mplzeren, während Modelle, n denen der usfall zu jedem Zepunk n enem Berachungsnervall ausgelös werden kann (Black/Cox, Longsaff/Schwarz), hervon verschedene usfallkorrelaonen erzeugen. En Sonderfall sell de Bewerung von Kuponanlehen m dem Geske- Modell dar. 4.1 usfallkorrelaonen be Meron, KMV und Cred Mercs Im Bewerungsansaz von Meron kann der usfall nur am Laufzeende T erfolgen. Der Krednehmer s ausgefallen, wenn zum Zepunk T gl: V < B, wobe B den fällgen Rückzahlungsberag bezechne. En Unerschreen deser Schranke zu enem Zepunk <T s ensprechend der Modellkonzepon möglch, lös aber kenen usfall aus.

9 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 9 ufgrund der nnahme der geomerschen Brownschen Bewegung s der Wer der kva V zum Zepunk T lognormalverel und gemäß Io s Lemma Rende V V,0 ( V, 0 s der Markwer der kva zum Zepunk 0) normalverel m Mel- wer µ 0,5σ und Sandardabwechung σ. M desen Informaonen kann de usfallwahrschenlchke enes Schuldners als de Fläche uner der Normalverelung für Were klener als B berechne werden ( Φ ( ) ). µ, σ B Markwer n 0 (ndexer auf 1) Möglche Enwcklungspfade über Laufze (m,s)-normalverele Renden 1+m Egenkapal kva Verbndlchkeen B Wahrschenlchke, daß B am Laufzeende unerschren wrd: F m,s (B) bbldung : usfallwahrschenlchke n sse Value Modellen. Nach Varablenransformaon läss sch de usfallwahrschenlchke m Hlfe der Sandardnormalverelung ausdrücken. De usfallschranke muss ledglch so verschoben werden, dass de ensprechende Fläche uner der Sandardnormalverelung m ( ) Φ µ, σ B überensmm. De Formel für de usfallwahrschenlchke nach Meron laue demnach: (4) p Meron = Φ( Z Meron ), Z Meron ln( V, 0 B) + ( µ 0.5σ ) T = σ T Z Meron s de sandardsere usfallschranke, wenn de Verelungsfunkon der Sandardnormalverelung Φ verwende wrd. Bevor der gemensame usfallprozess von zwe Schuldnern berache wrd, sellen wr den unvaraen usfallprozess n CredMercs und dem KMV-Modell vor. Dese Modelle beruhen auf ener ähnlchen Konzepon, da auch her normalverele kvarenden angenommen werden. Ebenso wrd zu enem fesen Zepunk T (.d.r. dem Rskohorzon) ausgewere, ob de Renden uner ene usfallschranke fallen. ller-

10 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 10 dngs werden dese usfallschranken vom Meron-Modell abwechend besmm. In CredMercs wrd jedem Schuldner ensprechend sener Rangklasse ene usfallwahrschenlchke p zugeordne. De usfallschranke berechne sch demnach modellendogen als: (5) = Φ 1 ( p ) Z CM Im KMV-Modell wrd de usfallschranke (her Dsance o Defaul genann) we m Meron-nsaz ensprechend der erwareen Rende, der Volalä der Vermögenswer- Renden, und der Verbndlchkeen (her Defaul Pon ) besmm. llerdngs werden nch alle Verbndlchkeen 5 berückschg und zusäzlch npassungen für Znszahlungen und Dvdenden vorgenommen. (6) Z KMV = ln( V Defaul Pon) + ( µ 0.5σ ) T npassungen Cashou σ T usfallkorrelaon De usfallkorrelaon wrd n sse Value-Modellen durch de Korrelaon der sse- Renden geseuer. Dabe wrd jedoch nch de Rendekorrelaon drek n das Sysem engegeben, velmehr werden vom Benuzer Gewchungsfakoren engegeben, welche den nel der Rende angeben, der durch verschedene Indzes (kenndzes auf Branchen, Länder ec.) erklär wrd. Im folgenden wrd gezeg, dass de Engabe der Gewchungsfakoren ene enfache lernave zur dreken Vorgabe ener Korrelaonsmarx darsell. Im CredMercs- und KMV-Modell muss spezfzer werden, zu welchem nel sch de Unernehmenswerrenden aus länder- und ndusrespezfschen Indzes erklären lassen. Herdurch elen sch de Renden n enen sysemaschen und enen unsysemaschen nel auf. De Korrelaonen snd som durch de Rendekorrelaonen der Indzes vorgegeben. llerdngs kann jede belebge Rendekorrelaon durch ene ensprechende Wahl der sysemaschen nele engesell werden. Um des an enem enfachen Bespel zu demonsreren, berachen wr enen kenndex I und nehmen an, dass de Renden von pple R und US rways R US folgendermaßen durch den Index erklär werden können: (7) R R US = ω = ω I US I + ε + ε US Herbe bezechne ω den nel der pple bzw. US rways Renden, de durch den Index erklär werden können. ε und ε US bezechnen de unsysemaschen nele, de unabhängg von dem Index snd, also ρ ( ε, I) = ρ( εus, I) = 0. Dam folg für de Korrelaon der beden Unernehmen: (8) ρ ( R, RUS ) = ω ω US ρ( I, I) = ω, ω US 5 In der Regel alle kurzfrsgen Verbndlchkeen zuzüglch der Hälfe der langfrsgen Verbndlchkeen.

11 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 11 Durch Wahl von ω und ω US kann demnach jede Zelkorrelaon errech werden. Deses Verfahren läss sch lech auf mehrere Indzes erweern. Der Vorel von Fakormodellen leg n der Verrngerung der nowendgen Parameervorgaben. usserdem reduzer es den Rechenaufwand be der Value a Rsk-Besmmung für große Porfolos. Dem seh der Nachel gegenüber, dass en Fakormodell de asächlche emprsche Korrelaonsmarx für Porfolos nch perfek nachblden kann. Werden nun n desen Modellen zwe Schuldner glechzeg berache und für de gemensame Werenwcklung der kva ene Rendekorrelaon ρ unersell, s de gemensame Verelung der möglchen Vermögenswerrenden zum Zepunk T ene zwedmensonale Normalverelung, de nach der oben beschrebenen usfallschranken- Transformaon als sandardser angenommen werden kann. De Wahrschenlchke für den gemensamen usfall der beden Schuldner s daher de Fläche uner der zwed-, Z 1, Z. mensonalen Normalverelungsfunkon für den Wereberech [ ] [ ] De gemensame usfallwahrschenlchke kann folgendermaßen berechne werden: (9) p{ 1 } = exp ( r1 ρ r1 r r ) dr + 1dr π 1 1 ρ 1 Z Z 1 π (1 ρ M Formel (1) snd som de usfallkorrelaonen für den Meron-nsaz, das Cred- Mercs- und KMV-Modell besmm. De usfallkorrelaonen smmen n den dre nsäzen überen, wenn de gleche Rendekorrelaon ρ angenommen und de übrgen Inpuparameer so gewähl werden, dass de usfallschranken (som de usfallwahrschenlchkeen) der Schuldner überensmmen. ) r 1 r En Kred fäll aus Bede Krede fallen aus bbldung 3: Bvarae Normalverelung zu ener Rendekorrelaon von 50%

12 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 1 4. usfallkorrelaonen be Black, Cox und Longsaff, Schwarz Verschedene uoren haben krser, dass m Meron-nsaz der usfall nur m Zepunk T möglch s und haben das sse Value Modell ensprechend modfzer 6. In desen Modellen r en usfall auf, sowe der Vermögenswer uner dese usfallschranke fäll. Weerenwcklungen deser frs passage me Modelle unersellen ene sochassche usfallschranke und baseren auf abwechende nnahmen über den (sochasschen) rskofreen Zns, dessen Korrelaon zu anderen Größen und de Recovery Rae 7. Zhou (1998) zeg, dass de usfallkorrelaon für Modelle m ener zeabhänggen, nch sochasschen usfallschranke analysch besmm werden kann. De Bezechnungen für de Vermögenswerprozesse der beden Schuldner und de Rendekorrelaon seen we oben gewähl. De Schuldner fallen zu enem Zepunk T aus, falls der Vermögenswer zum Zepunk uner ene exponenell wachsende usfallschranke e λ K fäll: λ (10) V ( ) < e K = 1, Se τ 1 ( τ ) der erse Zepunk, an dem de Vermögenswere des Schuldners 1 (bzw. ) uner de usfallschranke fallen. M Hlfe der kumulaven Normalverelungsfunkon kann zu jedem Zepunk de Wahrschenlchke berechne werden, dass en usfall vor desem Zepunk engereen s, also τ vor leg 8 : ln( V ) (11) ( ) =,0 Pr ( < ) = Φ K P ob τ, = 1, σ Ceers parbus führ de Möglchke von usfällen vor Laufzeende zu ener höheren usfallwahrschenlchke als m Meron-Modell. Um de usfallkorrelaon besmmen zu können, muss neben den enzelnen usfallwahrschenlchkeen de gemensame usfallwahrschenlchke berechne werden. De gemensame usfallwahrschenlchke für den gesamen Zehorzon T erfüll folgende Glechung: (1) p T) = p ( T) + p ( T ) ~ p( ) { 1 } ( 1 T, wobe p ~ de Wahrschenlchke bezechne, dass Schuldner 1 oder Schuldner m Berachungszeraum ausfallen. De Formel für dese Größe lee Zhou her und laue: (13) ~ p ( T ) = 1 r 0 π T e r0 4T n= 1,3,5,... 1 nπθ sn I n α 1 nπ + 1 α r 0 + 4T I 1 nπ 1 α r 0 4T 6 Black, Cox (1976), Longsaff, Schwarz (1995) 7 Nelsen e al. (1993), Brys, de Varenne (1997) 8 Dese Formel gl für λ =, = 1,, da dann der Drferm elmner werden kann. µ

13 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 13 I ν (z) s de modfzere Bessel-Funkon zur Ordnung ν und de Parameer snd folgendermaßen defner: (14) b = ln ( V K ),,0 1 bσ 1 1 ρ an falls (.) > 0 b 1σ ρbσ 1 θ = 1 bσ1 1 ρ π + an andernfalls b σ ρb σ 1 1 r = b 0 ( σ sn( θ) ) 1 an α = 1 π + an = 1, 1 ρ ρ falls ρ < 0 1 ρ ρ andernfalls Dese Formeln können relav lech programmer werden, um de gemensame usfallwahrschenlchke und dann de usfallkorrelaon numersch zu besmmen. 4.3 usfallkorrelaonen be Geske Das Geske(1977) Modell erweer den Meronansaz um Kuponzahlungen vor dem Fällgkeszepunk. De Bewerung von Kuponanlehen m dem Geske-Modell führ zu enem usfallprozess, der sch von den beden oben beschrebenen Mehoden wederum unerschede. Denn deser nsaz beruh auf dem Prnzp zusammengesezer Oponen. Berache man enen Kred m ener Zns- und Kapalrückzahlung zu den Zepunken und T, dann s der Wer des Egenkapals S zum Zepunk, d.h. nach erfolger Znszahlung, ene Kaufopon auf den Vermögenswer des Unernehmens V m enem usübungspres n Höhe der Kredrückzahlung D: S = C( V, D) In bhänggke vom Wer S enscheden de Egner kurz vor dem Zepunk, ob de fällge Kuponzahlung K (durch Erhöhung des Egenkapals) erfolgen soll, oder ob das Unernehmen n Konkurs gehen soll. Er wrd den fällgen Kuponberag K zahlen, wenn deser den durch de Znszahlung erhalenen Oponswer unerschree. Der Wer des Egenkapals n enem nfnesmalen Zenervall vor, bezechne m -, beräg demnach: (15) S = max( C( V, D) K,0) Zum Zepunk der Kuponzahlung ha der Schuldner de Opon, durch Znszahlung de Folgeopon zu kaufen oder das Unernehmen an de Gläubger zu übergeben. usfälle können demnach zu ener endlchen nzahl von Zepunken erfolgen. De usfallkorrelaonen können für solche nsäze über Smulaonsverfahren besmm werden. Se

14 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 14 hängen von der Rendekorrelaon der Vermögenswerprozesse sowe der Höhe und den Zepunken der fällgen Znszahlungen ab. 5 usfallkorrelaon n auf usfallraen baserenden Modellen In den usfallraen-modellen wrd der Prozess der Kredausfälle drek modeller, ansa enen sochasschen Prozess für Unernehmenswere zu defneren, der ndrek de usfälle verursach. In desen Modellen wrd ledglch spezfzer, we hoch de Wahrschenlchke für das ufreen enes usfalls n jedem dskreen Zenervall s. In den Modellen zur Bewerung kredrskobehafeer Fnanznsrumene von Jarrow/Turnbull, Jarrow/Lando/Turnbull, Duffe/Sngleon und Madan/Unal wrd der usfall als erser Sprung n enem Possonprozess (auch Jump-Prozess genann) beschreben. En Possonprozess beseh als sochasscher Prozess aus Pfaden, de nur an wengen dskreen Punken ene Veränderung, enen Sprung, aufwesen. Für de Zählfunkon N enes Possonprozesses gl: (16) P( N = 1) λ(, X ) P( N = 0) 1 λ(, X ) λ bezechne de Inensä des Possonprozesses, de prnzpell von der Ze oder anderen exogenen Varablen abhängen kann. In engen Modellen wrd de Inensä λ nch als deermnssche Funkon, sondern als sochasscher Prozess defner, der elwese wederum von sochasschen Fakoren (z.b. Znsen, kenprese oder Rangs) gereben wrd. Ene deallere Dskusson deser Cox-Prozesse fnde sch n Lando (1998). Se X en d-dmensonaler sochasscher Prozess, der de möglchen (korreleren) Enwcklungspfade von d Fakoren beschreb. λ : R d R se ene Funkon, de als de margnale usfallwahrschenlchke n bhänggke der d Fakoren nerpreer werden kann. Dann s λ X ) ene zeabhängge sochassche Inensä. Berache man nun en ( Zenervall [,T] 0, dann berechne sch für jeden Pfad der Fakoren ( X ) T 0 de Wahrschenlchke, dass ken usfall enr, also N T = 0, als 9 T = exp 0 T 0 (17) P( N 0 ( X ) ) = λ( X ) d T Für enen fes gewählen Pfad der Fakoren s λ X ) ene deermnssche, zeabhäng- T ge Funkon, so dass exp ( ) λ X d de Überlebenswahrschenlchke zum beracheen Pfad berechne. Berache man nun de gesame Verelung der Fakoren X, so 0 ergb sch für jeden Punk der Fakorverelung ene usfallwahrschenlchke, also ( 9 Ene deallere Dskusson deser Cox-Prozesse fnde sch n Lando (1998).

15 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 15 nsgesam ene Verelung von ex ane sochasschen usfallwahrschenlchkeen über den beracheen Zeraum. 5.1 Korrelaonen n zekonnuerlchen Modellen Wenn der usfall we oben beschreben m Hlfe enes Possonprozesses modeller wrd, können Korrelaonen zwschen usfalleregnssen auf verschedene Wesen erzeug werden: () Für bede Krednehmer werden densche Jump-Prozesse unersell. Be desem nsaz fallen de Schuldner mmer glechzeg aus, ene für de Modellerung von Kredrsken unsnnge nnahme. () De Inensä (margnale usfallwahrschenlchke) λ ( X ) für zwe Krednehmer s densch gewähl, aber de Jump-Eregnsse snd sochassche vonenander unabhängg. Deses Konzep s anwendbar sowohl auf den Fall, dass de Inensä durch ene deermnssche Funkon beschreben s, als auch auf sochassche Inensäen. () De Inensä λ ( X ) wrd als sochasscher Prozess modeller, ndem für X en sochasscher Prozess engesez wrd. Wenn de Inensäen von je zwe Krednehmern λ 1, λ mndesens elwese von den glechen Elemenen des Vekors der Zusandsvarablen X abhängen, snd de usfallwahrschenlchkeen der Krednehmer korreler. De usfallraen verschedener Krednehmer snd dann nch densch, se wesen aber ene Korrelaonssrukur auf, de den emprsch beobacheen Glechlauf der Enwcklung der usfallraen abblden kann. M desen Korrelaonskonzepen können de auf Possonprozessen baserenden arbragefree Bewerungsansäze von Jarrow/Turnbull, Jarrow/Lando/Turnbull, Duffe/Sngleon und Madan/Unal zur Bewerung enes Kredporfolos und zur Besmmung des Value a Rsk herangezogen werden. In der Praxs fnden de Modelle für dese Fragesellung bsher kene Verwendung. Der hohe Komplexäsgrad sowe de großen Daenanforderungen für ene emprsche Kalbrerung der Modelle verhndern bsher den Ensaz n der Bankpraxs. 5. usfallkorrelaonen be CredRsk + und CredPorfoloVew CredRsk + und CredPorfoloVew können als dskree Verenfachungen der obgen Fälle () (korrelere sochassche usfallraen) und () (densche sochassche usfallraen) angesehen werden. De Dskreserung des Problems sowe weere verenfachende nnahmen sorgen dafür, dass de Modelle m sowohl m Hnblck auf de nowendge Compuerrechenze als auch de Daenanforderungen praksch m Hnblck auf Value a Rsk Berechnungen mplemenerbar snd. Bede Modelle baseren drek auf ener Spezfkaon von sochasschen usfallwahrschenlchkeen. Mehodsch unerscheden se sch von den oben erwähnen haupsächlch n zwe Punken: Ersens snd se nch zekonnuerlch, sondern de Rskoberachung erfolg zu enem fesen Zepunk. Zweens baser de Bewerung von Fnanznsrumenen nch auf rbragefrehesbedngungen. Um usfälle zu modelleren, wrd n beden nsäzen ene zwefache

16 Porfoloeffeke be der Kredrskomodellerung 16 Sochask unersell: m ersen Schr wrd ene (zufällge) sekorspezfsche usfallwahrschenlchke besmm, m zween Schr wrd de (zufällge) nzahl der usfälle nnerhalb des Sekors für de vorgegebene usfallwahrschenlchke ermel, wobe nun Unabhänggke der enzelnen usfalleregnsse unersell wrd. Be vorgegebener usfallwahrschenlchke p der Krednehmer n enem Porfolo verelen sch de usfälle uner nnahme der Unabhänggke bnomal. Verelung der usfallwahrschenlchke Bnomalverelung Eregns Wahrschenlchke 1/3 1% Ken usfall Enw. oder B fäll aus (1-0.01) x (1-0.01) = x 0.01 x (1-0.01) = und B fallen aus 0.01 x 0.01 = /3 5 % Ken usfall Enw. oder B fäll aus (1-0.05) x (1-0.05) =0.905 x 0.05 x (1-0.05) = und B fallen aus 0.05 x 0.05 = /3 10 % Ken usfall Enw. oder B fäll aus (1-0.1) x (1-0.1) = 0.81 x 0.1 x (1-0.1) =0.18 und B fallen aus 0.1 x 0.1 = 0.01 Bevor wr de Modellannahmen deallerer beschreben, soll en enfaches Bespel das verwendee Korrelaonskonzep verdeulchen. Dazu berachen wr zwe Krednehmer und B, für de ene Verelung von usfallwahrschenlchkeen zu enem gegebenen Zehorzon, z.b. en Jahr, defner wrd. Wr nehmen an, de möglchen jährlchen usfallwahrschenlchkeen beragen 1%, 5% und 10% und se reen m glecher Wahrschenlchke von jewels 1 3 auf. bbldung 4: Wahrschenlchkesbaum der zwefachen Sochask (Bespel) Demnach beräg de erwareer usfallwahrschenlchke µ = 1 3 0,01+ 0,05+ 0,10 = 0.. Im Fall der Unabhänggke von usfällen berüge ( ) 0533 de Wahrschenlchke enes gemensamen usfalls p = µ 0, 008. Dadurch, dass gem. = aber sowohl n CredRsk + als auch n CPV de Verelung der usfallwahrschenlchkeen m der Bnomalverelung (fäll und B, enweder oder B oder weder noch B aus) kombner wrd, enseh m Ergebns ene höhere gemensame usfallwahrschenlchke, we das Bespel zeg. Denn adder man de Wahrschenlchkeen für den gemensamen usfall n dem n bbldung 4 dargesellen Wahrschenlchkesbaum und el dese durch 3, ergb sch ene gemensame usfallwahrschenlchke von De usfälle snd also posv korreler. De folgenden bschne sellen nun de Deals der prakschen Umsezung deses Korrelaonskonzepes n CredRsk + und CredPorfoloVew dar.

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