Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre

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1 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2009/ Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 (WS 2009/2010) Inhaltlicher Bezug: KE 4, 5 und 6 Aufgabe 1 20 Punkte ALPHA betrachtet die durch nachfolgende Zahlungsreihen gekennzeichneten drei Investitionsprojekte: e 0 e 1 e 2 e 3 e 4 a a a Da ALPHA aber nur eines dieser Projekte durchführen kann, ist er sich nicht schlüssig, wie er bei Berücksichtigung seiner Zielsetzung einer Endvermögensmaximierung die optimale Alternative ermitteln soll. Gehen Sie bei der Beantwortung der nachfolgenden Aufgaben davon aus, dass eine Kreditaufnahme- und Geldanlage jederzeit zu 8% p.a. möglich ist! a) Berechnen Sie bitte für jedes der drei Projekte die projektindividuelle äquivalente Annuität und begründen Sie, warum und in welchen Fällen die äquivalente Annuität unter der Zielsetzung einer Endvermögensmaximierung zu Fehlentscheidungen führen kann! (12 P.)

2 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2009/ Äquivalente Annuität a 1 e* = K ANF (4 J./8%) = 56,61 0,3019 = +17,09 a 2 e* = K ANF (4 J./8%) = 52,96 0,3019 = +15,99 a 3 e* = K ANF (3 J./8%) = 46,67 0,3880 = +18,11 Bei projektindividuellen Entscheidungen und bei Auswahlentscheidungen aus Projekten mit gleichen Projektlaufzeiten kann die äquivalente Annuität uneingeschränkt als Entscheidungskriterium verwendet werden. Wenn allerdings, wie in der hier betrachteten Entscheidungssituation, Projekte mit unterschiedlicher Laufzeit zu vergleichen sind, kann die äquivalente Annuität zu Fehlentscheidungen führen. Dies hängt damit zusammen, dass die Annuität eine Durchschnittsgröße ist. Sie beschreibt die während der Projektlaufzeit durchschnittlich pro Periode erzielbare Einkommenssteigerung, verglichen mit der Unterlassensalternative. Um als sinnvolles Entscheidungskriterium zu dienen, muss diese Durchschnittsgröße aber auf die gleiche Laufzeit bezogen werden. Festzuhalten ist hier jedoch, dass die Laufzeiten der Projekte a 1 und a 2 einerseits und die Laufzeit des Projektes a 3 andererseits unterschiedlich sind, so dass in diesem Fall die äquivalente Annuität als Entscheidungskriterium ungeeignet ist. Diesem aus unterschiedlichen Projektlaufzeiten resultierenden Vergleichsproblem kann man begegnen, indem man die Berechnung der äquivalenten Annuität bei den Projekten mit der kürzeren Laufzeit auf den Zeitraum des Projektes mit der längsten Laufzeit bezieht. Im Fall von Projekt a 3 ergibt sich dann bei Berücksichtigung eines Zeitraumes von vier Jahren eine ä- quivalente Annuität i.h.v.: a 3 e*(t=4) = K ANF (4 J./8%) = 46,67 0,3019 = +14,09 Da sich nun alle äquivalenten Annuitäten auf den gleichen Zeitraum von 4 Jahren beziehen, sind sie unmittelbar vergleichbar. Das Projekt mit der maximalen äquivalenten Annuität (hier Projekt a 1 ) weist zwingend auch den höchsten Kapitalwert auf und führt im Fall der Durchführung zum maximal erreichbaren Endvermögen.

3 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2009/ b) Geben Sie auf der Basis eines geeigneten Entscheidungskriteriums eine Rangfolge der drei betrachteten Projekte an. Welches Projekt sollte ALPHA letztlich durchführen? (8 P.) Die finanzmathematischen Kennzahlen Kapitalwert, Endwert und äquivalente Annuität führen zu übereinstimmenden mit der Zielsetzung Endvermögensmaximierung kompatiblen Entscheidungen, wenn die Endwerte aller Projekte auf denselben Zeitpunkt bezogen werden bzw. die Annuitäten aller Projekte auf denselben Zeitraum bezogen werden. Für die genannten Kennzahlen ergeben sich folgende Werte: Projekt Kapitalwert Endwert bezogen auf T = 4 Äquivalente Annuität, jeweils auf der Basis eines Vier-Jahres-Zeitraums a 1 +56,61 +77,02 +17,09 a 2 +52,96 +72,05 +15,99 a 3 +46,67 +63,49 +14,09 In diesem Fall sollte ALPHA das Projekt a 1 durchführen, da der Kapitalwert, der auf T = 4 bezogene Endwert und die auf den Zeitraum von vier Jahren bezogene Annuität bei dieser Alternative jeweils am größten sind. Aufgabe 2 20 Punkte Ein Investor betrachtet die beiden folgenden Investitionsprojekte a 4 und a 5 mit den Zahlungsreihen: e 0 e 1 e 2 e 3 e 4 a a a) Stellen Sie die Differenzzahlungsreihe nach den Ihnen bekannten Bedingungen auf! Welches Projekt sollte der Investor durchführen, wenn der für die gesamte Laufzeit geltende Zins 8% p.a. beträgt und auf jeden Fall eines der beiden Projekte realisiert werden soll? (8 P.)

4 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2009/ Die sich zu den jeweiligen Zeitpunkten ergebenden Differenzzahlungen werden ermittelt, indem die einzelnen Zahlungen der beiden Projekte zeitpunktbezogen voneinander subtrahiert werden. Dabei ist zu beachten, dass die erste von Null verschiedene Zahlung der Differenzzahlungsreihe ein negatives Vorzeichen hat. Um im konkreten Fall die gesuchte Differenzzahlungsreihe zu erhalten, ist jeweils zeitpunktbezogen a 4 a 5 zu berechnen. e 0 e 1 e 2 e 3 e 4 D 4, Die Berechnung des Kapitalwertes der Differenzzahlungsreihe für r = 0,08 ergibt: 4, K = , , , ,08 = + 1, 56. Der positive Kapitalwert der Differenzzahlungsreihe entspricht definitionsgemäß gerade der Differenz der Kapitalwerte der Projekte a 4 und a 5. Da diese Differenz positiv ist, ist das Investitionsprojekt a 4 dem Investitionsprojekt a 5 unter der Zielsetzung Endvermögensmaximierung eindeutig vorzuziehen. b) Führt die von Ihnen in Aufgabenteil a) als vorteilhaft erkannte Investition auch zu einem höheren Endvermögen als die Unterlassensalternative? Begründen Sie Ihre Meinung! K = , , , , 08 4 = 8, 94. Das in Aufgabenteil a) als vorteilhaft erkannte Projekt a 4 weist einen negativen Kapitalwert auf und ist daher der Unterlassensalternative nicht vorzuziehen.

5 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2009/ c) Erörtern Sie kurz die Aussagekraft und den Nutzen bzw. die Einsatzmöglichkeiten von Differenzzahlungsreihen bei Investitionsentscheidungen! Differenzzahlungsreihen sind geeignet, die relative Vorteilhaftigkeit beim Vergleich zweier Investitionsprojekte zu beurteilen. Es kann also eine Rangordnung zwischen den betrachteten Investitionsprojekten erstellt werden. Aufgrund der Differenzzahlungsreihe kann aber nicht beurteilt werden, ob die betrachteten Investitionsprojekte im Vergleich zur Unterlassensalternative vorteilhaft sind. Hierzu ist es zwingend notwendig, die einzelnen Zahlungen der Projekte zu berücksichtigen, es ist somit der jeweilige Kapitalwert der Investitionsprojekte zu ermitteln. Weist die Differenzzahlungsreihe genau einen internen Zinsfuß auf, so gibt dieser interne Zinsfuß den kritischen Zinssatz an, bei dem die relative Vorteilhaftigkeit zwischen den beiden betrachteten Projekten wechselt. Problemstellungen, bei denen die Differenzzahlungsreihe Verwendung finden kann, sind immer dann gegeben, wenn der Investor bereits die Entscheidung über die Durchführung einer Investition getroffen hat, die Unterlassensalternative also nicht mehr zur Disposition steht bzw. die zu untersuchenden Investitionsprojekte im Vergleich zum Unterlassen bereits als vorteilhaft identifiziert wurden. Der Nutzen, den der Entscheidungsträger dabei aus der Verwendung der Differenzzahlungsreihe zieht, ist darin zu sehen, dass er unnötig viele Diskontierungsrechnungen vermeiden kann. Aufgabe 3 20 Punkte Ein Investor hat die Möglichkeit, eines der fünf nachfolgend skizzierten einperiodigen Projekte (a i ) zu realisieren. Diese Projekte führen am Ende der betrachteten Periode in Abhängigkeit von den sieben möglichen Umweltentwicklungen (s j ) zu unterschiedlich hohen Gesamtergebnissen (e ij ). Der Investor präferiert unter sonst gleichen Umständen ein höheres Ergebnis gegenüber einem niedrigeren Ergebnis. Nachfolgende Tabelle gibt einen Überblick über die relevanten Ergebnisverteilungen. s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 a a a a a

6 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2009/ a) Welche Projekte können nach dem Prinzip der absoluten Dominanz als unvorteilhaft ausgeschlossen werden? Nach dem Prinzip der absoluten Dominanz ist eine Alternative X einer Alternative Y dann vorzuziehen, wenn gilt: min(e Xj) max(e Yj). j j Nach diesem Kriterium kann somit nur das Projekt a 5 als unvorteilhaft ausgeschlossen werden, da es von a 3 dominiert wird. b) Welche Projekte können nach der Zustandsdominanz als unvorteilhaft ausgeschlossen werden? Nach der Zustandsdominanz ist Alternative X einer Alternative Y dann vorzuziehen, wenn gilt: exj exj für alle j = 1, 2,..., n eyj > für mindestens ein j. eyj Nach diesem Kriterium kann a 2 als unvorteilhaft ausgeschlossen werden, da es von a 4 dominiert wird. c) Welches Projekt sollte der Entscheidungsträger letztlich durchführen? Begründen Sie Ihre Meinung! (8 P.) Diese Frage ist nicht eindeutig zu beantworten, da nichts über die konkreten Präferenzen des Entscheiders bekannt ist. Sicher ist nur, dass die Investitionen a 2 und a 5 nicht durchgeführt werden, da sie jeweils von einer anderen Investition dominiert werden. Die Entscheidung für ein bestimmtes der nicht dominierten Projekte ist allein von den subjektiven Präferenzen des Entscheidungsträgers abhängig. Je nach Präferenz bzw. Einstellung des Entscheidungsträgers wird die passende Entscheidungsregel angewendet, woraus letztlich eine präferenzabhängige und damit subjektive Handlungsempfehlung resultiert.

7 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2009/ Aufgabe 4 40 Punkte Anleger ÄNGSTLICH verhält sich risikoscheu im Sinne des μ-σ-prinzips. a) Zeichnen Sie in ein μ-σ-diagramm mögliche Indifferenzkurven des ÄNGSTLICH und begründen Sie den Verlauf! σ ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 Sämtliche μ-σ-kombinationen, die auf einer Linie liegen, führen jeweils zum identischen Präferenzwert ϕ i mit i = 1 bis 4 (ϕ 1 < ϕ 2 < ϕ 3 < ϕ 4 ). Im Falle der Risikoscheu müssen die Indifferenzkurven steigend verlaufen (egal, ob linear, konvex, konkav oder eine Kombination dieser Verlaufsformen), da eine Zunahme des Risikos, die ÄNGSTLICH als negativ bewertet, durch eine Zunahme des Erwartungswertes ausgeglichen werden muss. μ b) ÄNGSTLICH will einen fest vorgegebenen Geldbetrag für genau ein Jahr anlegen. Als Anlagemöglichkeit zieht er die Wertpapiere A und B sowie beliebige Mischungen in Betracht. ÄNGSTLICH geht von folgenden Renditen für die alleinige Anlage in A oder B in Abhängigkeit von den vier von ihm für möglich gehaltenen Umweltentwicklungen aus: s 1 p 1 = 0,2 s 2 p 2 = 0,1 s 3 p 3 = 0,3 s 4 p 4 = 0,4 A B Berechnen Sie für jedes der Wertpapiere den zugehörigen μ-, σ 2 - und σ-wert, runden Sie Ihre Ergebnisse auf 2 Nachkommastellen und tragen Sie die von Ihnen ermittelten Punkte in ein μ-σ-diagramm ein!

8 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2009/ σ 10 8 B(14; 8,81) 6 A(10; 5,14) μ Für die zu berechnenden Werte ergibt sich: μ σ σ 2 A 10 5,14 26,40 B 14 8,81 77,60 c) Berechnen Sie die Kovarianz zwischen den Renditen der Wertpapiere A und B sowie den zugehörigen Korrelationskoeffizienten! Zu den Berechnungsformeln für die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten vgl. Kurs 00091, KE 6, Kapitel Danach ergibt sich: covab = 15,2 ρ AB = 0,34. d) Berechnen Sie für die folgenden Portefeuilleanteile (a = 0,69 und b = 0,31 bzw. a = 0,5 und b = 0,5) der Wertpapiere A und B die sich ergebenden μ p -, (12 P.) 2 σ p - und σ p - Werte für das Portfolio. Tragen Sie die von Ihnen ermittelten μ-σ-kombinationen in die Zeichnung ein, die Sie im Rahmen des Aufgabenteils b) erstellt haben, und verbinden Sie alle von Ihnen eingetragenen Punkte. Wie wird die sich aus dieser Punkteverbindung ergebende Skizze einer Kurve genannt?

9 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2009/ Lösungshinweis: Verwenden Sie auch die beiden anderen in der Tabelle genannten Wertpapierkombinationen, um eine exaktere Punkteverbindung zu erhalten. μ p 2 σ p σ p a = 0,9; b = 0,1 10,40 19,40 4,40 a = 0,69; b = 0,31 a = 0,5; b = 0,5 a = 0,3; b = 0,7 12,80 33,94 5,83 Zu den Berechnungsformeln für den Erwartungswert und die Varianz eines aus zwei Wertpapieren bestehenden Portefeuilles vgl. Kurs 00091, KE 6, Kapitel Danach ergibt sich: μ σ 2 σ a = 0,9; b = 0,1 10,40 19,40 4,40 a = 0,69; b = 0,31 11,24 13,45 3,67 a = 0,5; b = 0, ,31 4,28 a = 0,3; b = 0,7 12,80 33,94 5,83 Aus der Verbindung der berechneten Punkte resultiert die Skizze einer Portefeuillelinie. σ 10 B(14; 8,81) 8 6 A(10; 5,14) μ

10 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2009/ e) Nachfolgend werden fünf mögliche, aus den Wertpapieren A und/oder B bestehende Portefeuilles betrachtet. Welche dieser Portefeuilles wird der risikoscheue ÄNGSTLICH auf keinen Fall realisieren? Welche wird er möglicherweise realisieren? Begründen Sie Ihre Einschätzungen! (10 P.) Lösungshinweis: Das risikominimale Portefeuille aus den Wertpapieren A und B wird bei einem Portefeuilleanteil von a = 0,69 des Wertpapiers A erreicht. 1) Der Anteil von Wertpapier A am Gesamtportfolio beträgt 100%. (a = 1; b = 0) 2) Der Anteil von Wertpapier A am Gesamtportfolio beträgt 0%. (a = 0; b = 1) 3) Der Anteil von Wertpapier A am Gesamtportfolio beträgt 69%. (a = 0,69; b = 0,31) 4) Der Anteil von Wertpapier A am Gesamtportfolio beträgt 75%. (a = 0,75; b = 0,25) 5) Der Anteil von Wertpapier A am Gesamtportfolio ist kleiner als 73%. (a < 0,73) Da das risikominimale Portefeuille gerade zu 69% aus Wertpapier A besteht, lässt sich unmittelbar ableiten: Für alle Portefeuilles auf dem steigenden Ast der Portefeuillelinie gilt: a < 0,69. Für alle Portefeuilles auf dem fallenden Ast der Portefeuillelinie gilt: a > 0,69. Aufgrund des für einen risikoscheuen Anleger zwingend steigenden Verlaufes der Indifferenzkurven kann aus Sicht von ÄNGSTLICH ein Portefeuille überhaupt nur dann optimal sein (also zum höchsten erreichbaren Präferenzwert führen), wenn es auf dem ansteigenden Teil der in Aufgabenteil d) skizzierten Portefeuillelinie liegt. Zu jedem Portefeuille auf dem fallenden Ast der Portefeuillelinie existiert ein Portefeuille auf dem steigenden Ast, das bei gleichem Risiko einen höheren Erwartungswert aufweist und somit von einem risikoscheuen Anleger auf jeden Fall vorgezogen wird. Daraus folgt nun unmittelbar, dass die auf dem fallenden Ast der Portefeuillelinie liegenden Portefeuilles (1) und (4) auf keinen Fall als Optimalalternative in Betracht kommen. Da die Portefeuilles (2) und (3) auf dem steigenden Ast der Portefeuillelinie liegen, also zu den aus Sicht eines risikoscheuen Anlegers effizienten Portefeuilles gehören, kommen beide, da ja die konkrete Präferenzfunktion von ÄNGSTLICH unbekannt ist, als Optimalalternative in Frage. Ob Portefeuille (5) zu den effizienten Portefeuilles gehört, lässt sich nicht eindeutig beantworten. Gilt für Portefeuille (5) a < 0,69, so liegt es auf dem aufsteigenden Ast der Portefeuillelinie und kommt damit als Optimalalternative für ÄNGSTLICH in Betracht. Gilt hingegen 0,69 < a < 0,73, so liegt es auf dem fallenden Ast der Portefeuillelinie und kommt damit in diesem Fall als Optimalalternative für ÄNGSTLICH nicht in Betracht.

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