Welches Problem denn? Das Heiratsproblem. Formale Beschreibung. Paarungen

Transkript

1 Das Heiratsproblem Welches Problem denn? Eine Heirat: ein Problem. Mehrere Heiraten: mehrere Probleme. Viele Heiraten: viele Probleme? Martin Schönhacker (P.S.: Heiraten muss kein Problem sein!) 1 2 Formale Beschreibung Paarungen Gegeben: Menge M der Männer, Menge F der Frauen, M = F. Jeder Mann m M hat eine Reihung < m (Totalordnung) aller Frauen f F. Jede Frau f F hat eine Reihung < f (Totalordnung) aller Männer m M. Die Schreibweise m 1 < f m 2 bedeutet: f würde lieber m 1 als m 2 heiraten. Eine Paarung ist eine bijektive Abbildung H: M F. Wir schreiben: (m,f) H, H(m) = f, H -1 (f) = m. Eine Paarung ist stabil, wenn sie nicht instabil ist

2 Instabile Paarungen Ein kleines Beispiel Eine Paarung ist instabil, wenn es m M und f F gibt, sodass: (1) (m,f) H, d.h. m und f sind nicht miteinander verheiratet, (2) m wäre lieber mit f verheiratet als mit seiner Frau H(m), (3) f wäre lieber mit m verheiratet als mit ihrem Mann H -1 (f). M = { anton, bernd, christoph } anton: Birgit, Anna, Carina bernd: Carina, Anna, Birgit christoph: Carina, Birgit, Anna F = { Anna, Birgit, Carina } Anna: anton, bernd, christoph Birgit: bernd, christoph, anton Carina: anton, christoph, bernd Instabile Paarung: { ac, ba, cb } 5 6 Der praktische Hintergrund Zentrale Zuweisung von Studierenden der Medizin zu Kliniken in den USA Vorher: immer frühere Bewerbungen, Abwerbung von Studierenden bereits aus dem Grundstudium, späte Wechsel Nachher: zentrale Festlegung zu fixen Bedingungen, stabile Zuweisungen, deutlich weniger Personalprobleme Ein naiver Algorithmus Alle möglichen Paarungen erstellen: Aufwand Θ(n!). Jede Paarung auf Instabilität überprüfen, d.h. für jede/n Beteiligte/n auf der Liste nachsehen, ob eine Person, die weiter vorne steht, auch in Frage kommt: Aufwand jeweils O(2n 2 ), bzw. je nach Implementierung der Listen noch mehr. Das kann eine Weile dauern 7 8 2

3 Algorithmus (Gale & Shapley, 1962) Solange ein Mann m M nicht verlobt ist: m macht 1. Frau f auf seiner Liste einen Antrag Wenn f noch nicht verlobt ist: m und f verloben sich: (m,f) H Wenn bisher (m,f) H, aber m < f m : Verlobung (m,f) wird gelöst m und f verloben sich: (m,f) H m streicht f von seiner Liste Sonst: (f ist glücklich mit m ) m streicht f von seiner Liste Ein kleines Beispiel a:bac, b:cab, c:cba A:abc, B:bca, C:acb a macht B einen Antrag: {ab} b macht C einen Antrag: {ab, bc} c macht C einen Antrag, und C mag c lieber als b: {ab, cc}, b streicht C b macht A einen Antrag: {ab, ba, cc} Stabiler Zustand: a und c sind zufrieden, b mag nur C lieber (sie ihn aber nicht), A mag nur a lieber, B mag b und c lieber, C mag nur a lieber 9 10 Qualitätskontrolle Qualitätsbeweis (1) Definition: Eine Frau f heißt für einen Mann m unerreichbar, wenn es keine stabile Paarung H mit (m,f) H gibt. Behauptung: Der Algorithmus erzeugt eine stabile Paarung H. H ist für die Männer optimal, d.h. jeder Mann heiratet die bestmögliche für ihn erreichbare Frau. H ist vollständig. Beobachtung: Ist eine Frau f einmal verlobt, dann bleibt sie es auch. Annahme: Es gibt am Schluss eine allein stehende Frau f F. Dann gibt es auch noch einen einsamen Mann m M. Aber m muss irgendwann auch f einen Antrag gemacht haben: Widerspruch!

4 Qualitätsbeweis (2) Die Paarung ist stabil. Annahme: H sei instabil. Es gibt also ein Paar (m,f) H, das sich lieber hat als die jeweiligen Partner H(m) bzw. H -1 (f). Daraus folgt, dass m laut seiner Liste f schon vor H(m) einen Antrag gemacht hat und wegen H -1 (f) abgewiesen wurde. Frauen können ihre Beziehung aber immer nur verbessern: Widerspruch! Qualitätsbeweis (3a) H ist Männer-optimal : Wenn ein Mann m von einer Frau f zurückgewiesen wurde, ist diese Frau für ihn unerreichbar. Annahme: m wird von f zurückgewiesen, und es gibt eine stabile Paarung H mit (m,f) H. o.b.d.a. sei dies das erste Mal, dass der Algorithmus einen Fehler macht. In der Paarung H ist m der Ehemann von f Qualitätsbeweis (3b) Eindeutigkeit Mit wem ist m in H verheiratet? Auf keinen Fall mit f, sondern mit f f. Fall 1: m mag f lieber als f. Dann hätte der Algorithmus vorher schon einen Fehler gemacht, denn m hat in H f schon vor f einen Antrag gemacht. Fall 2: m mag f weniger gern als f. m :, f,, f, f:, m,, m, Widerspruch zur Stabilität von H. Korollar: Das Ergebnis des Algorithmus ist eindeutig. Beweis: Seien H 1 und H 2 verschiedene Männer-optimale Lösungen. Dann muss es einen Mann m geben, dem es entweder in H 1 oder in H 2 schlechter geht

5 Qualität??? Lemma: H ist Frauen-pessimal ( pessimal = Gegenteil von optimal ). Beweis: Sei eine stabile Paarung H H das schlechteste mögliche Arrangement für die Frauen. Sei (f,m) H, (f,m ) H. Dann muss gelten: m: xxx < m f < m (xxx unerreichbar für m) f:, m,, m, Widerspruch zur Stabilität von H. Aufwandsabschätzung Jeder Mann m muss im schlimmsten Fall allen n Frauen auf seiner Liste einen Antrag machen. Aufwand im Worst Case: Θ(n 2 ). Tatsächlich passiert das glücklicherweise nicht jedem Mann. Im optimalen Fall erhält jeder sofort von der ersten Frau auf seiner Liste eine Zusage, die auch hält. Aufwand im Best Case: Θ(n) Erweiterungen Stable Roommates Problem : z.b. Zimmereinteilung in einem Studentenheim. Komplikationen: eventuell unvollständige Präferenzlisten kein Matching (wie auch bei Paarungen im wirklichen Leben nicht alle unbedingt eine/n heterosexuelle/n Partner/in wollen) zwischen zwei Mengen, sondern die Bildung von Partnerschaften aus einer einzigen Menge 19 5