Experimentalphysik 1

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Robert Förstner
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1 Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Experimentalphysik WS 06/7 Lösung 3 Ronja Berg (ronja.berg@ph.tum.de) Katharina Scheidt (katharina.scheidt@tum.de) Aufgabe : Stahlseil (a) Das Elastizitätsgesetz lautet F = EA L L. () Nach L umgestellt und mit F = mg ergibt das: (b) Die Definition der Poissonzahl lautet: L = F L = 7,4 cm. () EA Daraus ergibt sich: µ = d = µd L L d d L L (3) = 4,4 µm (4) (c) Der Haken führt nun eine harmonische Schwingung aus. Man kann also nach dem Prinzip der Federpendel-Aufgabe weiterrechnen. (d) Es gilt Energieerhaltung (Federkonstante k = AE L ): k L = AE L L = E vor = E nach = mgh (5) h = AE L mgl = 3,7 m (6)

2 Aufgabe : Reibung Betrachtet man die zwei Massen getrennt, kann für jede der Massen eine Bewegungsgleichung aufstellen. Auf die Masse, die über die Glas- bzw. Holzplatte rutscht, wirkt die Reibungskraft F R entgegen der Bewegungsrichtung und die Seilspannung T entgegengesetzt zur Reibungskraft. Außerdem erfährt die Masse eine resultierende Beschleunigung ẍ. Wir können also für m schreiben: F R + T = m ẍ. (7) Auf die zweite Masse m wirkt die Gravitationskraft F G und die Seilspannung in entgegengesetzte Richtung. m erfährt eine Beschleunigung die entgegengesetzt gleich groß ist, wie die Beschleunigung, die m erfährt: ẍ = ẍ. Für m können wir die folgende Bewegungsgleichung aufstellen: F G + T = m ẍ = m ẍ. (8) Lösen wir die Gleichung nach ẍ auf, erhalten wir ẍ = g T m (9) Wenn wir (7) nach ẍ auflösen, erhalten wir: ẍ = µg + T m (0) Gleichsetzen mit (9) liefert: µg + T m = g T m T = m m m + m g( + µ) () Die Differenz T der Fadenspannung ist dann T Glas T Holz = m m m + m g( + µ ) = m m m + m gµ = 0,05 N () Aufgabe 3: Reibung (a) Die Beträge der Normalkraft F N, bzw. der Hangabtriebskraft F H sind: F N = Mg cos α (3) F H = Mg sin α (4) (b) Rutschen setzt ein, sobald F H > F Haft = µ H F N (5) mg sin α > mgµ H cos α sin α > µ H cos α (6) tan α > µ H = tan α 0. (7) Der Grenzwinkel ist somit: α 0 = arctan 0, 9 = 4

3 (c) Die gesamte Zugkraft ist Ma = F H µ G F N = Mg(sin α 0 µ G cos α 0 ) (8) a = g cos α 0 (tan α 0 µ G ) = g cos α 0 (µ H µ G ) a =, 46 m s (9) (d) Die gesamte Rutschstrecke ist L = H/ sin α 0. Die benötigte Zeit fürs Herabrutschen bezeichnen wir mit t. Die Geschwindigkeit am Ende der Strecke sei v. Die Strecke L ist: L = a t (0) t = L a () Für die kinetische Energie gilt: E kin = mv = m(a t) = ma H m La = sin α Mit E pot = Mg H und a aus Teil (c) wird () E kin E pot = Ma H = cos α 0(µ H µ G ) = µ H µ G (3) Mg H sin α 0 sin α 0 µ H Aufgabe 4: Auftriebskraft Beim Wägen wird die Masse der Kugel durch Vergleich mit den Massen der Messingwägestücke bestimmt. Kugel und Messingwägestücke haben unterschiedliche Dichten und damit verschiedenen Volumina. Sie erfahren daher in Luft einen ungleichen Auftrieb. Will man eine große Genauigkeit erreichen, dann muss man den Einfluss des Auftriebs berücksichtigen (Korrektur des Auftriebfehlers). Bei gleich langen Hebelarmen ist die Balkenwaage im Gleichgewicht, wenn gilt: m K g ρ L V K g = m M g ρ L V M g. (4) Die Differenz der beiden Auftriebskräfte ist der Fehler beim Wägen der Luft: Mit V K = π 6 d3 K und V M = m M ρm m K = m M + ρ L (V K V M ). (5) folgt weiter m K = m M + ρ L ( π 6 d3 K m M ρ M ) = 805 g (6) Aufgabe 5: Belastung einer Staumauer Die Kraft des Wassers in horizontaler Richtung gegen die Staumauer ist von der Höhe z abhängig: df W = p(z)da (7) Dabei ist p(z) = ρ W g(h z) (8) 3

4 der Schweredruck in der Tiefe (h z) unter dem Wasserspiegel. Mit da = ldz folgt weiter df W = ρ W g(h z)ldz (9) Die auf die gesamte Mauer wirkende Kraft des Wassers in horizontaler Richtung erhält man durch Integration: h ] h F W = ρ W gl(h z)dz = ρ W gl [hz z (30) 0 0 Aufgabe 6: Kontinuitätsgleichung (a) Der Wasserstrom ist F W = ρ W glh = 5,3 MN (3) I = dv dt = 30 L min = 3 04 cm 3 60 s = 500 cm 3 /s. (3) Der Zusammenhang zwischen der Ausströmgeschwindigkeit v und dem Düsenquerschnitt A ist: I = Av. Aus der Fontänenhöhe H ergibts sich v (Energieerhaltung für ein Massenelement m des Wassers): Damit wird mv = mgh v = gh = 7,67 m s. (33) A = I v = I = 500 cm3 /s gh 767 cm = 0,65 cm. (34) s (b) Die Fontäne soll nun die doppelte Höhe erreichen: H H = H v v = v A A = A = 0,46 cm. (35) Aufgabe 7: Venturi-Düse Wenn die Luft inkompressibel ist, gilt die Kontinuitätsgleichung in der einfachen Form: A v = A v = A 3 v v = 3v. (36) Die Druckdifferenz an den beiden Enden des U-Rohrs, p = ρ Hg gh, ist durch die Bernoulli- Gleichung gegeben: p + ρ Luftv = p + ρ Luftv (37) p = p p = ρ Luft(v v ) = ρ Luftv (9 ) (38) p ρ Hg gh v = = =,8 m 4ρ Luft 4ρ s (39) Luft 4

5 Aufgabe 8: Venturi-Düse (a) Die Geschwindigkeit v ergibt sich aus der Kontinuitätsgleichung: v = I A = 3,3 m s. (40) (b) Einen Ansatz für die Höhendifferenz h erhält man aus der Gleichung p = ρ W g h : h = p ρ W g. (4) Die Bernoulli sche Gleichung liefert eine Formel für die Druckdifferenz p: p + ρ L v = p + ρ L v (4) p = p p = ρ L (v v). (43) Die beiden Geschwindigkeiten v und v werden mithilfe der Kontinuitätsgleichung bestimmt: v = I A v = I A. (44) Setzt man diese beiden Gleichungen in (43) ein, so erhält man p = p p = ρ LI ( A ) A p = ρ LI A (A A A ) (46) (46) in (4) ergibt die gesuchte Höhendifferenz h: (45) h = ρ LI (A A ) ρ W ga. (47) A Mit ρ W =,0 0 3 kg/m 3 und den gegebenen Größen findet man h =,8 cm. (48) Aufgabe 9: Strömung mit Höhenunterschied Bezeichnet man die Stelle am Wasserspiegel mit (), die Anschlussstelle des Rohres an die Pumpe mit (), so ergibt sich die Bernoulli sche Gleichung in der Form p L + ρ v = p + ρgh + ρ v (49) p = p L ρgh ρ (v v ). (50) Die Geschwindigkeit v folgt aus der Kontinuitätsgleichung: v A = v A liefert mit A = π ( ) d 4 d : v = v. (5) d Man erhält somit den gesuchten Druck p = p L ρgh ρ v [ ( d d ) 4 ] = 64, kpa (5) 5

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