4. Leistungs- und Kreuzleistungsdichtespektren

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1 4. Leistungs- und Kreuzleistungsdichtespektren Die bereits in Kapitel 1.2 einführten Leistungsdichtespektren werden nun genauer untersucht. Zudem werden Kreuzleistungsdichtespektren eingeführt. Aus Leistungs- und Kreuzleistungsdichtespektren der Lasten können die Leistungsdichtespektren der Antworten berechnet werden. Aus den Leistungsdichtespektren der Antworten lassen sich weitere Größen zur Bewertung der Antwort und des Strukturverhaltens berechnen

2 4. Leistungs- und Kreuzleistungsdichtespektren Leistungsdichtespektren 4.2 Kreuzleistungsdichtespektren 4.3 Leistungsdichtespektrum der Antwort 4.4 Auswertung 2.4-2

3 4.1 Leistungsdichtespektren In Kapitel wurden Leistungsdichtespektren über den quadratischen Mittelwert gefilterter Zeitsignale eingeführt. Auf diese Weise können Leistungsdichtespektren analog ermittelt werden. Jetzt werden zwei weitere Definitionen angegeben, die für theoretische Untersuchungen und die digitale Ermittlung von Leistungsdichtespektren mit Hilfe der schnellen Fourier-ransformation (FF) geeigneter sind. Aus diesen Definitionen folgen außerdem eine Reihe von wichtigen Eigenschaften von Leistungsdichtespektren

4 4.1 Leistungsdichtespektren Endliche Fourier-ransformation: Gemessene Realisierungen von stochastischen Prozessen sind immer von endlicher Dauer. Die endliche Fourier-ransformation einer solchen Realisierung x k (t) ist definiert durch X k ( f, )= x k (t )e 2 π i f t dt Die endliche Fourier-ransformation hängt außer von der Frequenz f auch von der Zeitdauer ab

5 4.1 Leistungsdichtespektren Leistungsdichtespektrum und endliche Fourier-ransformation: Für eine Realisierung x k (t) eines stochastischen Prozesses wird definiert: x k (t, )={ x (t ) k für t sonst Für die Fourier-ransformation gilt: x k (t, )e 2 π i f t dt= x k (t )e 2 π i f t dt =X k ( f, ) 2.4-5

6 4.1 Leistungsdichtespektren Mit der Parsevalschen Gleichung x k 2 (t, )dt= X k ( f, ) 2 df folgt: x k 2 (t )dt= x k 2 (t, ) dt= X k ( f, ) 2 df Mit X k ( f, ) = X k ( f, ) = X k ( f, ) folgt daraus: x 2 k (t )dt=2 X k ( f, ) 2 df 2.4-6

7 4.1 Leistungsdichtespektren Mit der Übertragungsfunktion H ( f )={ 1 für f c Δ f /2 f f c +Δ f /2 sonst eines Filters mit Mittenfrequenz f c und Bandbreite Δf lautet die Fourier-ransformation des Filterausgangs: X k ( f,, f c,δ f )=H ( f ) X k ( f, ) x k 2 (t, f c,δ f )dt= =2 x k 2 (t,, f c,δ f ) dt X k ( f,, f c, Δ f ) 2 2 df=2 H ( f ) X k ( f, ) 2 df 2.4-7

8 4.1 Leistungsdichtespektren Für die Abschätzung des Leistungsdichtespektrums folgt: ^G xx ( f c )= 1 Δ f = 2 Δ f x 2 k (t, f c,δ f )dt= 2 Δ f f c +Δ f / 2 f c Δ f /2 X k ( f, ) 2 df H ( f ) 2 X k ( f, ) 2 df Mit lim Δ f 1 Δ f f c +Δ f /2 f c Δ f / 2 X k ( f, ) 2 df = X k ( f c, ) 2 folgt: G xx ( f c )=lim lim E [ ^G xx ( f c )]=2 lim Δ f 1 E [ X k ( f c, ) 2 ] 2.4-8

9 4.1 Leistungsdichtespektren Mit f anstelle von f c gilt für das Leistungsdichtespektrum: G xx ( f )=2 lim 1 E [ X k ( f, ) 2 ] Mit dieser Formel kann das Leistungsdichtespektrum mithilfe der schnellen Fourier-ransformation (FF) abgeschätzt werden

10 4.1 Leistungsdichtespektren Leistungsdichtespektrum und Autokorrelation: Für das Quadrat des Betrags der endlichen Fourier-ransformation einer Realisierung gilt: X k ( f, ) 2 =X k ( f, ) X k ( f, ) = = x k (t 1 )e 2 π i f t 1 dt 1 ( x k (t 2 )e 2π i f t 2 dt 2 x k (t 1 ) x k (t 2 )e 2 π i f (t 1 t 2 ) dt 2) dt

11 4.1 Leistungsdichtespektrum Die Substitution τ = t 1 t 2 t 1 = τ+t t = t 2 t 2 = t ergibt: = dt 2 dt (t 2, t 1 ) 1 (t, τ) dt d τ= 1 1 dt d τ=dt d τ 1 ransformation des Integrationsgebiets: t 2 t t 1 τ

12 4.1 Leistungsdichtespektren Damit gilt: X k ( f, t ) 2 = + ( τ ( τ x k (t + τ) x k (t )e 2 π i f τ dt ) d τ x k (t +τ) x k (t 2 )e 2 π i f τ dt ) d τ Mit E [ x k (t 2 + τ) x k (t 2 )]=R xx (τ) folgt: E [ X k ( f, ) 2 ]= ( τ + ( τ R xx ( τ)e 2 π i f τ dt ) d τ R xx (τ)e 2 π i f τ dt ) d τ

13 4.1 Leistungsdichtespektren Da der Integrand der inneren Integrale nicht von t abhängt, folgt weiter: E [ X k ( f, ) 2 ]= + = ( + τ ) R xx (τ)e 2 π i f τ d τ ( τ ) R xx (τ)e 2π i f τ d τ ( τ ) R xx ( τ)e 2 π i f τ d τ Damit gilt: 1 E [ X k ( f, ) 2 ]= ( 1 τ ) R xx( τ)e 2 π i f τ d τ

14 4.1 Leistunsdichtespektren Die folgende Untersuchung des verbleibenden Integrals orientiert sich an Lin, Kap Wird R xx (τ) d τ< vorausgesetzt, dann existiert die Fourier-ransformierte der Autokorrelation. Außerdem gibt es zu jedem ε ein τ, so dass gilt: R xx( τ) d τ< ε τ

15 4.1 Leistungsdichtespektren Wegen R xx ( τ)=r xx (τ) gilt zunächst: τ R xx(τ)e 2 π i f τ d τ 2 τ R xx (τ) d τ Für > τ folgt für die rechte Seite: τ R xx (τ) d τ= 1 τ τ τ R xx( τ) d τ+ τ τ R xx( τ) d τ 1 τ R xx( τ) d τ+ R xx(τ) d τ τ τ τ R xx(τ) d τ+ ε 4 <

16 4.1 Leistungsdichtespektren Für > = 4 τ ε τ R xx( τ) d τ folgt: τ R xx (τ) d τ< ε 4 + ε 4 = ε 2 Zu jedem ε gibt es also ein, so dass gilt: τ R xx(τ)e 2 π i f τ d τ <2 ε 2 =ε für > Daraus folgt: lim τ R xx( τ)e 2 π i f τ d τ=

17 4.1 Leistungsdichtespektren Damit ist gezeigt (Wiener-Chintschin-heorem): G xx ( f )=2 lim 1 E [ X k ( f, ) 2 ]=2 R xx (τ)e 2 π i f τ d τ Da das Leistungsdichtespektrum G xx (f) nur für positive Frequenzen definiert ist, wird es als einseitiges Leistungsdichtespektrum bezeichnet. Das einseitige Leistungsdichtespektrum ist gleich dem Zweifachen der Fourier-ransformation der Autokorrelation

18 4.1 Leistungsdichtespektren Zweiseitiges Leistungsdichtespektrum: Das zweiseitige Leistungsdichtespektrum ist gleich der Fourier-ransformierten der Autokorrelation: S xx ( f )= R xx ( τ)e 2 π i f τ d τ Es ist auch für negative Frequenzen definiert. Für positive Frequenzen gilt: G xx ( f )=2 S xx ( f ) für f >

19 4.1 Leistungsdichtespektren Eigenschaften: Aus der Definition mithilfe der endlichen Fourier-ransformation folgt sofort, dass sowohl das einseitige als auch das zweiseitige Leistungsdichtespektrum reell und positiv sind. Damit gilt: S xx ( f )= R xx ( τ)cos (2 π f τ ) d τ S xx ( f )=S xx ( f )=S xx ( f ) Mit R xx ( τ)=r xx (τ) folgt außerdem: S xx ( f )=2 R xx (τ)cos(2 π f τ)d τ G xx ( f )=4 R xx ( τ)cos(2 π f τ)d τ für f >

20 4.1 Leistungsdichtespektren Die inverse Fourier-ransformation ergibt: R xx ( τ)= = S xx ( f )e 2 π i f τ df =2 G xx ( f )cos (2 π f τ ) df S xx ( f )cos (2 π f τ ) df Daraus folgt für den quadratischen Mittelwert: ψ x 2 =R xx ()= S xx ( f ) df=2 S xx ( f )df = G xx ( f )df 2.4-2

21 4.2 Kreuzleistungsdichtespektren Definition: Das zweiseitige Kreuzleistungsdichtespektrum ist die Fourier-ransformierte der Kreuzkorrelation: S xy ( f )= R xy ( τ)e 2 π i f τ d τ Die inverse Fourier-ransformation des zweiseitigen Kreuzleistungsdichtespektrums ergibt die Kreuzkorrelation: R xy (τ)= S xy ( f )e 2 π i f τ df

22 4.2 Kreuzleistungsdichtespektren Für das einseitige Kreuzleistungsspektrum gilt: Wie für das Leistungsdichtespektrum lässt sich zeigen: G xy ( f )=lim S xy ( f )=lim G xy ( f )=2 S xy ( f ) für f > 2 E [ X k( f, )Ȳ k ( f, )] für f > 1 E [X ( f, )Ȳ k k ( f, )]

23 4.2 Kreuzleistungsdichtespektren Eigenschaften: Das Kreuzleistungsdichtespektrum ist eine komplexe Funktion der Frequenz. Mit R xy ( τ)=r yx (τ) folgt: S xy ( f)= S xy ( f)=s yx ( f) Ḡ xy ( f)=g yx ( f) Es lässt sich zeigen, dass die folgende Ungleichung gilt: G xy ( f) 2 G xx ( f)g yy ( f)

24 4.2 Kreuzleistungsdichtespektren Kohärenz: Die Kohärenz ist definiert durch γ 2 xy ( f )= G xy ( f ) 2 G xx ( f )G yy ( f ) = S ( f ) xy 2 S xx ( f ) S yy ( f ) Die Kohärenz ist eine reelle Funktion der Frequenz, für die gilt: γ 2 xy ( f )

25 4.2 Kreuzleistungsdichtespektren Spektraldichtematrix: Gegeben seien N stochastische Prozesse {x nk (t)}. Die zugehörigen endlichen Fourier-ransformierten X nk (f, ) lassen sich in einer Spaltenmatrix zusammenfassen: ]=[ X 1 k [X k X Nk] Die Spektraldichtematrix ist definiert durch [G x ]=lim mit. [X k ] H =[ X k ] 2 E [ [ X k ] [X k ] H ] Die Spektraldichtematrix ist eine hermitesche Matrix, d. h. es gilt: [G x ] H =[G x ]

26 4.2 Kreuzleistungsdichtespektren Die Diagonalelemente der Spektraldichtematrix sind die reellen Leistungsdichtespektren der einzelnen stochastischen Prozesse. Die Außerdiagonalelemente sind die komplexen Kreuzleistungsdichtespektren zwischen den einzelnen stochastischen Prozessen

27 4.3 Leistungsdichtespektrum der Antwort Aufgabenstellung: Betrachtet wird ein lineares dynamisches System, das durch stationäre stochastische Prozesse belastet wird. Zu berechnen ist das Leistungsdichtespektrum der Antwort aus den Leistungs- und Kreuzleistungsdichtespektren der Lasten. Belastung durch eine einzige Last: Die Struktur wird durch einen einzigen stationären stochastischen Prozess {x k (t)} belastet, dessen Leistungsdichtespektrum G xx (f) gegeben ist

28 4.3 Leistungsdichtespektrum der Antwort Mit der Übertragungsfunktion H yx (f) gilt für die endliche Fourier-ransformation einer Realisierung y k (t) der Antwort: Für das Leistungsdichtespektrum der Antwort folgt: G yy ( f )=lim Y k ( f, )=H yx ( f ) X k ( f, ) 2 E [ Y k ( f, ) 2 ] = H yx ( f ) 2 lim 2 E [ X k ( f, ) 2 ]= H yx ( f ) 2 G xx ( f )

29 4.3 Leistungsdichtespektrum der Antwort Das Kreuzleistungsdichtespektrum zwischen Last und Antwort berechnet sich zu G xy ( f )=lim Ergebnis: 2 E [X k( f, )Ȳ k ( f, )] = H yx ( f ) lim 2 E [ X k ( f, ) X k ( f, )]= H yx ( f )G xx ( f ) G yy ( f )= H yx ( f ) 2 G xx ( f ), G xy ( f )= H yx ( f )G xx ( f )

30 4.3 Leistungsdichtespektrum der Antwort Für die Kohärenz zwischen Last und Antwort folgt: γ 2 xy ( f )= H yx ( f ) 2 G 2 xx ( f ) G xx ( f ) H yx ( f ) 2 G xx ( f ) =1 Für die aus der gemessenen Last und der gemessenen Antwort berechnete Kohärenz gilt in der Regel: γ 2 xy <1 Die Gründe dafür sind: Den Messwerten y(t) ist ein Fremdgeräusch überlagert. Das Strukturverhalten ist nichtlinear. Zusätzlich zur betrachteten Last x(t) greifen weitere Lasten an der Struktur an

31 4.3 Leistungsdichtespektrum der Antwort Belastung durch mehrere Lasten: Die Struktur wird durch mehrere stationäre stochastische Prozesse {x nk (t)}, n = 1,, N belastet. Gegeben sind die Leistungsdichtespektren G nn (f) und alle Kreuzleistungsdichtespektren G mn (f). Mit den Übertragungsfunktionen H yn (f) gilt für die endliche Fourier-ransformation einer Realisierung y k (t) der Antwort: N Y k ( f, )= n=1 H yn ( f ) X nk ( f, )

32 4.3 Leistungsdichtespektrum der Antwort Mit der Übertragungsmatrix [ H yx ( f )]=[H y1 ( f ) H yn ( f )] gilt: Mit Y k ( f, )=[H yx ( f )] [X k ( f, )] Y k ( f, ) 2 =Y k ( f, )Ȳ k ( f, ) =[H yx ( f )] [ X k ( f, )] [X k ( f, )] H [ H yx ( f )] H folgt: G yy ( f )=[ H yx ( f )] [G x ( f )] [H yx ( f )] H

33 4.4 Auswertung Aus dem Leistungsdichtespektrum lassen sich viele weitere Größen zur Bewertung eines stochastischen Prozesses und seiner Auswirkungen berechnen. Quadratischer Mittelwert: Für den quadratischen Mittelwert gilt: Für einen stationären stochastischen Prozess, dessen Mittelwert null ist, stimmt der quadratische Mittelwert mit der Varianz überein. Daraus folgt für die Standardabweichung: σ x = ψ x 2 ψ 2 = x G xx ( f )df

34 4.4 Auswertung Für einen ergodischen Gaußschen stochastischen Prozess gilt zu jedem Zeitpunkt für die Wahrscheinlichkeitsdichte von x(t): p(x )= 1 2 π σ x exp( x2 ) 2 2 σ x Gewichteter quadratischer Mittelwert: Der gewichtete quadratische Mittelwert ist definiert durch ψ 2 = Wx W ( f )G xx ( f )df

35 4.4 Auswertung Die Gewichtung W(f) berücksichtigt, dass die Beiträge der einzelnen Frequenzen unterschiedlich starke Auswirkungen haben. Beispiele: Die A-, B- C- und D-Bewertungen für das Leistungsdichtespektrum des Schalldrucks berücksichtigen die unterschiedliche Empfindlichkeit des menschlichen Ohrs (DIN EN 6651, ISO 1996). Komfortkennzahlen sind gewichtete quadratische Mittelwerte des Leistungsdichtespektrums der Beschleunigungen, die zur Bewertung des Fahrkomforts verwendet werden (VDI 257, ISO )

36 4.4 Auswertung Anzahl der Nulldurchgänge pro Zeiteinheit: Für einen Gaußschen stochastischen Prozess, dessen Mittelwert null ist, gilt für die Anzahl der Nulldurchgänge pro Zeit: N = 1 σ v ( π σ = 1 4 π 2 f 2 )1/2 G xx ( f )df x π G xx ( f )df =2( f 2 )1/2 G xx ( f )df G xx ( f )df Für die Anzahl der Durchgänge durch die Gerade x = α pro Zeit gilt: N α =N exp ) α2 2 ( 2σ x

37 4.4 Auswertung Lebensdauerabschätzung: Es gibt eine Reihe von Methoden, mit denen sich die Lebensdauer anhand von Leistungsdichtespektren der Spannungen abschätzen lässt, z. B. Dirlik Wirsching-Light Gao-Moan Zhao-Baker ovo-benasciutti Petrucci-Zuccarello