Mathematik für Ökonomen

Transkript

1 Springer-Lehrbuch

2 Wolfgang Kohn Riza Öztürk Mathematik für Ökonomen Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab Zweite, überarbeitete und ergänzte Auflage

3 Prof. Dr. Wolfgang Kohn Prof. Dr. Riza Öztürk Fachhochschule Bielefeld Fachbereich Wirtschaft und Gesundheit Bielefeld, Deutschland ISSN ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): 9101, 91B02, 91B26, 9701 Springer Gabler Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009, 2012 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Gabler ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media

4 Für unsere Familien und unsere Eltern

5 Vorwort Vorwort zur 2. erweiterten und verbesserten Auflage Wir haben den Text um die Kapitel Mengenlehre und Aussagenlogik erweitert. Das Buch um diese Grundlagen zuerweitern erschien uns aufgrund der Erfahrungen aus der Lehre sinnvoll. Ferner haben wir versucht den Text an einigen Stellen besser zu formulieren, klarer zu gliedern und Fehler zu bereinigen, die leider immer auftreten. Wir hoffen keine neuen erzeugt zu haben. Bielefeld, Januar 2012 Wolfgang Kohn und Riza Öztürk Vorwort zur 1. Auflage In diesem Buch haben wir mathematische Grundlagen für Ökonomen zusammengefasst. Formale Definitionen, Beweise und mathematische Sätze befinden sich kaum im Text, wohingegen eine Herleitung von Formeln oft erfolgt, die hoffentlich zu ihrem besseren Verständnis führen. In der Anwendung stehen betriebswirtschaftliche Aspekte im Zentrum. Zeitgemäß werden aufwändigere Rechnungen mit einem Computerprogramm durchgeführt. Das hier verwendete open source Programm Scilab besitzt hervorragende numerische Eigenschaften und ermöglicht die einfache Umsetzung der Formeln, insbesondere in der linearen Algebra. In diesem Programm können auch Vektoren oder Matrizen Variablen sein. Dies ist ein großer Vorteil, wenn man die Rechnungen nachvollziehen möchte. An geeigneten Stellen im Text werden die Programmbefehle für einzelne Berechnungen beschrieben. Natürlich eignen sich auch andere Programme wie zum Beispiel Excel, Maple oder Mathematica für die Berechnungen. Scilab (siehe steht für verschiedene Betriebssysteme zur Verfügung. Teil I enthält einige Grundlagen der Mathematik, Teil II führt in die lineare Algebra und deren ökonomischen Anwendungen ein. In Teil III wird die Analysis mit Finanzmathematik, Differentialrechnung und Integralrechnung behandelt. Im Anhang

6 VIII Vorwort (Teil IV) wird kurz das Programm Scilab beschrieben. Ferner finden sich dort die Lösungen zu den Übungen aus den vorangegangenen Kapiteln. Die Kapitel 4 bis 10 und 11 (mit Einschränkung) bilden das Programm für einen vier Semesterwochenstunden (SWS) umfassenden Kurs in einem betriebswirtschaftlich orientierten Bachelorstudiengang mit einem Arbeitsäquivalent von 5 europäischen Arbeitspunkten (ECTS). Die Kapitel 3, 10 und 11 sind in Kombination mit weiterführenden Themen für einen Masterstudiengang geeignet. Besonderer Dank gebührt Diplom-Volkswirtin Coco Rindt, Prof. Dr. Rainer Lenz und Dr. Wolfgang Rohde, die mit vielen Korrekturen und guten Verbesserungen zum Gelingen des Buches beitrugen. Bielefeld, Mai 2009 Wolfgang Kohn und Riza Öztürk

7 Inhaltsverzeichnis Teil I Grundlagen 1 Mengenlehre und Aussagenlogik Vorbemerkung Mengen Mengenoperationen Mengengesetze Zahlenmengen Aussagenlogik Logikoperatoren Regeln GesetzederLogik Fazit Besondere mathematische Funktionen Vorbemerkung Summenzeichen Produktzeichen Betragsfunktion Ganzzahlfunktion PotenzenundWurzeln Exponentialfunktionen Logarithmen Anwendung in Scilab Fazit Kombinatorik Vorbemerkung Fakultät und Binomialkoeffizient Fakultät Binomialkoeffizient... 38

8 X Inhaltsverzeichnis Definition des Binomialkoeffizienten in Scilab Permutation Permutation ohne Wiederholung PermutationmitWiederholung Variation Variation ohne Wiederholung VariationmitWiederholung Kombination Kombination ohne Wiederholung KombinationmitWiederholung Fazit Teil II Lineare Algebra 4 Vektoren Vorbemerkung EigenschaftenvonVektoren OperationenmitVektoren Addition (Subtraktion) von Vektoren SkalaresVielfacheseinesVektors GeometrischeDarstellungvonVektoren Linearkombinationen und lineare Abhängigkeit von Vektoren LinearunabhängigeVektorenundBasisvektoren Skalarprodukt (inneres Produkt) Vektoren in Scilab Fazit Matrizen Vorbemerkung EinfacheMatrizen SpezielleMatrizen OperationenmitMatrizen Addition (Subtraktion) von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem skalaren Faktor Multiplikation von Matrizen Ökonomische Anwendung Matrizenrechnung mit Scilab Fazit Lineare Gleichungssysteme Vorbemerkung Inhomogene lineare Gleichungssysteme Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems Linear abhängige Gleichungen im Gleichungssystem

9 Inhaltsverzeichnis XI Lösen eines Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus Lösen eines Gleichungssystems mit Scilab RangeinerMatrix EigenschaftdesRangs Rang und lineares Gleichungssystem Berechnung des Rangs mit Scilab InverseeinerMatrix EigenschaftderInversen Berechnung der Inversen Berechnung von Inversen mit Scilab Ökonomische Anwendung: Input-Output-Analyse KlassischeAnalyse Preisanalyse Lösen linearer Gleichungssysteme mit Scilab DeterminanteeinerMatrix Berechnung von Determinanten EinigeEigenschaftenvonDeterminanten Berechnung von Determinanten in Scilab Homogene Gleichungssysteme Eigenwerte Eigenvektoren EinigeEigenschaftenvonEigenwerten ÄhnlicheMatrizen Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren mit Scilab Fazit Lineare Optimierung Vorbemerkung Formulierung der Grundaufgabe GrafischeMaximierung Matrix-FormulierungderlinearenOptimierung Simplex-Methode für die Maximierung InterpretationdesSimplex-Endtableaus Sonderfälle im Simplex-Algorithmus UnbeschränkteLösung Degeneration MehrdeutigeLösung Erweiterungen des Simplex-Algorithmus Berücksichtigung von Größer-gleich-Beschränkungen Berücksichtigung von Gleichungen Ein Minimierungsproblem GrafischeMinimierung Simplex-Methode für die Minimierung Dualitätstheorem der linearen Optimierung

10 XII Inhaltsverzeichnis 7.13 Lineare Optimierung mit Scilab Fazit Teil III Analysis 8 Funktionen mit einer Variablen Vorbemerkung Funktionsbegriff RationaleFunktionen Partialdivision und Linearfaktorzerlegung Regulafalsi Nullstellenberechnung mit Scilab Gebrochen-rationaleFunktionen Folgen ArithmetischeFolge GeometrischeFolge Reihen ArithmetischeReihe GeometrischeReihe Fazit Grundlagen der Finanzmathematik Vorbemerkung Tageszählkonventionen Lineare Zinsrechnung Exponentielle Zinsrechnung Nachschüssige exponentielle Verzinsung Vorschüssige exponentielle Verzinsung GemischteVerzinsung UnterjährigeperiodischeVerzinsung Rentenrechnung Rentenrechnung mit linearer Verzinsung Rentenrechnung mit exponentieller Verzinsung Besondere Renten WachsendeRente EwigeRente Kurs- und Renditeberechnung eines Wertpapiers Kursberechnung Renditeberechnung für ein Wertpapier Berechnung einer Wertpapierrendite mit Scilab Zinsstruktur Barwertberechnung bei nicht-flacherzinsstruktur Berechnung von Nullkuponrenditen mit Scilab Duration

11 Inhaltsverzeichnis XIII Berechnung der Duration mit Scilab Annuitätenrechnung Annuität Restschuld Tilgungsrate Tilgungsplan Berechnung eines Tilgungsplans mit Scilab Anfänglicher Tilgungssatz EffektiverKreditzinssatz Berechnung des effektiven Kreditzinssatzes mit Scilab Mittlere Kreditlaufzeit Investitionsrechnung Kapitalwertmethode Methode des internen Zinssatzes Berechnungen mit Scilab Probleme der Investitionsrechnung Fazit Differentialrechnung für Funktionen mit einer Variable Vorbemerkung GrenzwertundStetigkeiteinerFunktion Differentialquotient AbleitungeinerPotenzfunktion Ableitung der Exponentialfunktion AbleitungdernatürlichenLogarithmusfunktion AbleitungderSinus-undKosinusfunktion Differentiation von verknüpften Funktionen Konstant-Faktor-Regel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel ErgänzendeDifferentiationstechniken AbleitungderUmkehrfunktion AbleitungeinerlogarithmiertenFunktion Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis a Ableitung der Logarithmusfunktion zur Basis a Höhere Ableitungen und Extremwerte Newton-Verfahren Ökonomische Anwendung Ertragsfunktion Beziehung zwischen Grenzerlös und Preis Kostenfunktion Individuelle Angebotsplanung unter vollkommener Konkurrenz

12 XIV Inhaltsverzeichnis Angebotsverhalten eines Monopolisten Elastizitäten Fazit Funktionen und Differentialrechnung mit zwei Variablen Vorbemerkung FunktionenmitzweiVariablen Isoquanten Nullstellen DifferenzierenvonFunktionenmitzweiVariablen PartiellesDifferential Partielles Differential höherer Ordnung TotalesDifferential DifferentiationimpliziterFunktionen Ökonomische Anwendungen Extremwertbestimmung Extremwertbestimmung unter Nebenbedingung Interpretation des Lagrange-Multiplikators Hinreichende Bedingung für ein Maximum bzw. Minimum Ökonomische Anwendung: Minimalkostenkombination Ökonomische Anwendung: Portfolio-Theorie nach Markowitz Fazit Grundlagen der Integralrechnung Vorbemerkung Das unbestimmte Integral IntegralefürelementareFunktionen Integrationsregeln Ökonomische Anwendung DasbestimmteIntegral Hauptsatz der Integralrechnung EigenschaftenbestimmterIntegrale BeispielefürbestimmteIntegrale Ökonomische Anwendung Integralberechnung mit Scilab Uneigentliche Integrale Ökonomische Anwendung Statistische Anwendung Fazit Teil IV Anhang Eine kurze Einführung in Scilab

13 Inhaltsverzeichnis XV Lösungen zu den Übungen Literaturverzeichnis Sachverzeichnis