Höhere Mathematik Vorlesung 7

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1 Höhere Mathematik Vorlesung 7 Mai 2017

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3 Phantasie ist wichtiger als Wissen, denn Wissen ist begrenzt. Albert Einstein 7 Flächenintegrale Flächen Reguläre Flächen: ei D R 2 regulär. Unter einer Fläche versteht man das Bild eine Abbildung r : D R 3 : r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) D mit folgenden Eigenschaften: i) r ist injektiv auf Int(D). ii) Jede componente x(u, v), y(u, v), z(u, v) ist stetig differenzierbar iii) In jedem Punkt von D: r u r v (0, 0, 0) Die Abbildung r selbst heisst eine reguläre Parametrisierung von. 1

4 Funktionsgraph Ist f : D R 2 R 3 stetig differenzierbar, so ist: r(u, v) = u i + v j + f(u, v) k eine reguläre Parametrisierung des Graphes von f, denn: ( r u r v = f ) x, f y, 1 (0, 0, 0). Als Beispiel nehmen wir die Funktion f(u, v) = u 2 v 2 : Rotationsfläche c 1 (u) Die Kurve c(u) = c 2 (u), u [a, b], rotiert um die z-achse erzeugt die c 3 (u) Fläche mit der Parametrisierung: cos v sin v 0 c 1 (u) r(u, v) = sin v cos v 0 c 2 (u), c 3 (u) u [a, b], v [0, 2π]. cos v sin v 0 Die Matrix sin v cos v 0 heisst Rotationsmatrix um die z-achse

5 Torus Ein Torus entsteht bei der Rotation einer Kreislinie in der xz- Ebene mit Mittelpunkt (a, 0, 0) und Radius 0 < R < a um die z-achse. Er wird regulär parametrisiert durch r : [0, 2π] [0, 2π] R 2 : cos v sin v 0 a + R cos u r(u, v) = sin v cos v a + R sin u = (a + R cos u)cos v i + (a + R cos u)sin v j + (a + R sin u) k Kugeloberfläche: Fixieren wir in den Kugelkoordinaten den Radius R, so erhalten wir eine Parametrisierung der Kugeloberfläche r : [ π 2, π 2 ] [0, 2π] R3 : r(u, v) = R cos u i + R sin ucos v j + R sin usin v k. Hierbei wird ein Halbkreis um die x-achse rotiert. Die Rotationsmatrix 3

6 1 0 0 um die x-achse ist 0 cos v sin v. 0 sin v cos v Zylinder: Eine Parametrisierung des Zylinders mit dem Radius R ist: r(u, v) = R cos u i + R sin u j + v k wobei 0 u 2π, a v b Parameterliniern: Ist r eine reguläre Parametrisierung einer Fläche, so bilden: u r(u, v 0 ), v r(u 0, v) für jedes feste u 0, v 0 reguläre Kurven auf, die sogennanten Parameterlinien ei eine Fläche mit der vektoriellen Gleichung (Parametrisierung): r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) D. Nehmen wir an, dass D ein achsenparalleles Rechteck in der uv- Ebene ist. Das Rechteck D sei in Teilrechtecke R ij mit der Grösse u und v zerlegt. An der Fläche entsprechen dieser Teilrechtecken die Maschen ij. 4

7 Um der Flächeninhalt der Masche ij zu abschätzen, überdecken wir die Masche mit einem Parallelogramm. Betrachten wir die linke untere Ecke (u * i, v* j ) des Rechtecks R ij. Der Punkt P ij entspricht diesem Punkt an der Fläche. ei r * u, r * v die Tangentialvektoren am P ij. Die eiten von ij haben die Längen ungefähr u r * u und v r * v (es folgt aus dem Mittelwertsatz). Der Flächeninhalt des Parallelogramms mit eiten u r * u und u r * v ist: ( u r * u) ( u r * v) = r * u r * v u v. Also eine Näherung des Flächeninhalts der Masche ij ist: ij r * u r * v u v. Das skalare Flächenintegral: ei : D R 2 R 3 eine Fläche mit regulärer Parametrisierung r : D R 3 : r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) D. Dann ist das Flächenintegral einer stetigen Funktion f : R auf ist definiert als: f(x, y, z)d = f(r(u, v)) r u r v da D 5

8 Bemerkungen: Hierbei heisst d das Flächenelement von un gilt es die formale Beziehung: d = r u r v dudv Für eine Fläche in der explizite Form z = h(x, y) gegeben, die Parametrisierung ist: r(u, v) = ui + vj + h(u, v)k und es gilt: d = 1 + ( ) 2 h + u ( ) 2 h dudv v Beispiel: Wird nun die Fläche von einem Vektorfeld (z.b. einer trömung mit bekannter Geschwindigkeitsverteilung) durchsetzt, lässt sich an jedem Punkt der Oberfläche das kalarprodukt aus Geschwindigkeitsvektor und Normalenvektor bestimmen: F n = F (x, y, z) n(x, y, z) Damit erhält man eine auf der gesamten Fläche definierte skalare Funktion. Das Flächenintegral dieser Funktion: F n d wird als Fluss oder Vektorfluss von F durch bezeichnet. Das vektorielle Flächenintegral: ei eine orientierbare Fläche mit reguläre Parametrisierung r : D, sodass r u r v in die äussere Normalenrichtung weist. Dann ist das Flächenintegral eines stetigen Vektorfeldes F auf defniniert als: F d = F (r(u, v)) (r u r v ) da D Bemerkungen: Die Beziehung zwischen der beiden Flächenintegralen ist: F d = F n d, wobei n = ru rv r u r v der Normaleneinheitsvektor ist. 6

9 Für einen Graph z = h(x, y) einer Funktion h gibt es den onderfall: ( F d = f 1 (u, v, h(u, v)) h u f 2(u, v, h(u, v)) h ) v + f 3(u, v, h(u, v)) D dudv wobei F = (f 1, f 2, f 3 ). Beispiel: Der Fluss des Feldes F = (3y, 2x, 0) durch das ebene Rechteck: z = y 3 x = h(x, y) 20 im Bereich D = {(x, y) : 2 x 5, 1 y 4} beträgt in Richtung der positiven z-achse: F d = ( 3v ( u 2 ) ) + 0 dudv = atz von tokes: ei eine orientierbare, stückweise reguläre Fläche, deren Rand durch die geschlossene Kurve c gegeben sei. Die Kurve c soll so durchlaufen werden, dass ihr Umlaufsinn zusammen mit der Normalenrichtung n eine Rechtsschraubung ergibt. Das Vektorfeld F sei auf stetig differenzierbar. Dann gilt: c F dr = rotf d 7

10 atz von Gauss: ei E R 3 ein regulärer Körper und seine Oberfläche sei eine reguläre Fläche. F : E R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf E. Dann gilt bei nach Aussen gerichtetem Normalfeld n: F d = divf dv. E E Das Volumen eines Körpers, der durch eine geschlossene Fläche begrenzt wird: ei F (x, y, z) = (x, y, x), dann divf = 3 und aus dem atz von Gauss folgt: F d = divf dv = 3 1 dv = 3vol(E) daraus: E E F d E vol(e) =, F (x, y, z) = (x, y, z). 3 E 8

11 Übungen mit Lösungen Aufgabe 1. Finde die Masse einer zylindrischen Oberfläche parametrisiert durch: r(u, v) = a cos ui + a sin uj + vk, wobei 0 u 2π, 0 v H. Die Dichte der Oberfläche im Pumkt (x, y, z) ist μ(x, y, z) = z 2 (x 2 + y 2 ). Lösung: Die Masse der Oberfäche ist: m = μ(x, y, z)d wobei ist die zylindrische Oberfläche. Wir berechnen zuerst das Flächenelement d = r u r v dudv. Also: r u = a sin ui + a cos uj + 0K. und: Dann gilt: r v = 0i + 0j + 1k i j k r u r v = a sin u a cos u 0 = a cos ui + a sin uj

12 = r u r v = (a cos u) 2 + (a sin u) 2 = a. Daraus folgt d = a dudv und nach der Definition ergibt sich: m = μ(x, y, z)d = μ(r(u, v))a dudv Formel von r = F ubini = = [0,2π] [0,H] 2π H 0 0 2π H 0 0 [0,2π] [0,H] v 2 ((a cos u) 2 + (a sin u) 2 )adudv v 2 ((a cos u) 2 + (a sin u) 2 )advdu v 2 a 2 a dvdu = 2π 0 a 3 H3 H3 du = 2πa3 3 3 Aufgabe 2. Berechnen ie das Flächenintegral von f(x, y, z) = x: f(x, y, z)d wobei die Fläche z = x 2 + y mit 0 x 1, 1 y 1 ist. Lösung: Die Fläche ist hier gegeben als Graph der Funktion: Eine Parametrisierung der Fläche ist: h(x, y) = x 2 + y. r(u, v) = u i + vj + (u 2 + v)k wobei (u, v) D = {0 u 1, 1 v 1}. Das skalare Flächenintegral einer stetigen Funktion f : R ist definiert als: f(x, y, z)d = f(r(u, v)) r u r v da Es gibt die formale Beziehung: D d = r u r v dudv Für eine Fläche in der expliziten Form z = h(x, y) gilt es: d = 1 + ( ) 2 h + u ( ) 2 h dudv v Wir erhalten für h(u, v) = u 2 + v die Beziehungen h h u = 2u und v = 1 dann: d = 1 + (2u) dudv. 10

13 Nun erhalten wir: f(x, y, z)d = = D f(r(u, v)) 1 + (2u) dudv 0 u 2 + 4u 2 dudv Mit der ubstitution t = 4u erhalten wir weiter dt = 8udu, danach: chliesslich: 1 0 u 2 + 4u 2 du = 1 8 f(x, y, z)d = ( ) t dt = 8 3 t 3 2 = 1 12 ( ) 1 12 ( )dv = 1 6 ( )

14 Übungsblatt 7 Aufgabe 1. ei D = {(u, v) : 0 u 2π, 0 v π} und: cos u sin v r(u, v) = sin u sin v cos v eine Parameterdarstellung der Einheitssphäre. Für das Vektorfeld: x F (x, y, z) = y z berechenen ie das Flächenintegral F d Aufgabe 2. Berechnen ie den Fluss von F = (x, y, x) durch die Fläche: = {(x, y, z) R 3 : z = 1 x2, (x, y) D} 2 wobei: D = {(x, y) : x 0, y 0, x + y 1} Aufgabe 3. (atz von Gauss am Einheitswürfel) Berechnen ie für den Einheitswürfel W = [0, 1] 3 und das Vektorfeld: F = (x 2, yz, y) beide im Gauss schen Integralsatz auftretenden Integrale. Aufgabe 4. (atz von Gauss am Zylinder) Berechnen ie den Fluss des Vektorfeldes: F = (xz, yz, z 2 ) durch die Oberfläche des Zylinderausschnitts: Z = {(x, y, z) : x 2 + y 2 1, 0 z 2} von innen nach aussen. Verwenden ie den atz von Gauss. 12

15 Aufgabe 5. Berechnen ie das Integral: x 2 d wobei die phäre: = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 16} ist. Hinweis: Die phäre besitzt die Parameterdarstellung: 4 cos u sin v r(u, v) = 4 sin u sin v 4 cos v mit (u, v) (0, 2π) (0, π) Aufgabe 6. Berechne den Inhalt der Mantelfläche des Zylinders: Z = {(R, u, v) : 0 R 2, 0 u 2π, 1 v 1} Hinweis: eine Parametrisierung ist: 2 cos u r(u, v) = 2 sin u v 13

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17 Literaturverzeichnis [1] [2] C. I. Hedrea. Curs de Matematici speciale,

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