Vorlesung 10+11: Roter Faden:

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1 Vorlesung 10+11: Roter Faden: Heute: Harmonische Schwingungen Erzwungene Schwingungen Resonanzen Gekoppelte Schwingungen Schwebungen, Interferenzen Versuche: Computersimulation, Pohlsches Rad, Film Brücke, gekoppelte Pendel, Rotationsschwingung Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1

2 Formale Einführung der Zahl i Zahlenpaare sind extrem nützlich um Schwingungen zu beschreiben, da eine Schwingung durch ZWEI Zahlen beschrieben wird, nämlich Amplitude und Phase! Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 2

3 Darstellung der komplexen Zahlen x+iy = r (cosϕ + i sinϕ) = r e iϕ Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 3

4 Rechenregel Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 4

5 Ungedämpfte (harmonische) Schwingungen Lösung mit komplexen Zahlen: x(t)=a e iωt+ϕ. Einsetzen ergibt: -mω 2 Ae iωt+ϕ = -k Ae iωt+ϕ x(t) = A e i (k/m) t+ϕ Physikalische Lösung immer Realteil der komplexen Zahl: x(t) = A cos (k/m) t+ϕ Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 5

6 Kreisbewegungen Komponenten, d.h. Projektionen der Kreisbewegung auf Achsen sind sin und cos Funktionen! Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 6

7 Energieerhaltung bei ungedämpften Schwingungen Was passiert wenn Energieverluste durch Reibung auftreten? Reibung i.a. proportional v n, oft n 1 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 7

8 Ein Körper der Masse m=2kg führt Schwingungen der Form s(t)=0,2*cos(3*t) aus (Einheit m,s). a) Gib Schwingungsdauer und Frequenz der Schwingung an. b) Bestimme die maximale kinetische Energie des Körpers. c) Wie groß ist die maximale Rückstellkraft, die der Körper erfährt? d) Berechne die Federkonstante des Systems. e) Worin unterscheidet sich die Bewegung von einer Bewegung der Form s(t)=0,2*sin(3*t). Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 8

9 T r ϕ F r α F=mg g=(0,0,g) Steigung 2π/ g l Methnode um g zu messen Pendel als Drehbewegung Drehmoment M = r x F = dl/dt=d(r x p)/dt Oder -r x mg = d(r x mv)/dt =mrx dv/dt Oder -r x g = r x d(ω x r)/dt=r x (ω x r) Oder, da a x (b x c)= b (a.c) c (a.b), gilt -r x g = ω r 2 -r (r. ω) = ω r 2 (Scalarprodukt r. ω=0 da r ω(=α) Oder -lgsin ϕ =l 2 ϕ (ω = ϕ und sin ϕ = ϕ - ϕ 3 /(3!)+ ϕ) Lösung der Diff. Gleichung ϕ =-g/l ϕ : ϕ =Asin(ωt), da ϕ =-Aω 2 sin(ωt), oder Aω 2 sin(ωt)=ag/l sin(ωt), oder ω= g/l =2π/T. Schwingungsdauer T=2π (l/g) Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 9

10 Konisches Pendel Seilkraft+Gewichtskraft liefern Zentripetalkraft Diskussion: cos α 1/ω 2 d.h. desto größer Kreisfrequenz oder Winkelgeschwindigkeit, desto kleiner cos α, desto höher fliegt Körper. Versuch mit Flugzeug. Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 10

11 Gedämpfte Schwingungen Addiere Reibungskraft bv zur Federkraft kx: Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 11

12 Gedämpfte Schwingungen Exponentieller Abfall Aperiodischer Grenzfall Kriechfall Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 12

13 Lösung mit komplexen Zahlen: x(t)=a e λt Einsetzen in mx+bx+kx=0 ergibt: mλ 2 + b λ +k =0 oder λ = -b/2m ±1/(2m) (b 2-4mk) x(t) = A e bt/2m e ± (b 2/4m2-k/m) t =A e γt e ± iω t ω= 1/(2m) (4mk-b 2 ) = (ω 02 - γ 2 ) ω 0 = k/m γ=b/2m=1/τ Q= ω 0 τ Physikalische Lösung immer Realteil der komplexen Zahl: x(t) = A e γt cos ω t (Anfangsphase 0 gesetzt) Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 13

14 Zusammenfassung der gedämpften Schwingungen Exponentieller Abfall Aperiodischer Grenzfall Kriechfall Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 14

15 Schwingungssimulator Simulator auf Webseite der Vorlesungen unter: SCHWING (Vorsicht: gibt nur Simulation der gedämpften Schwingungen OHNE Resonanzen) Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 15

16 Energie der gedämpften Schwingungen 2 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 16

17 Berechnung des Q-Faktors Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 17

18 Erzwungene Schwingungen (inhomogene DG hat gleiche Lösungen wie homogene DG + spezielle Lösung) Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 18

19 Erzwungene Schwingungen Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 19

20 Erzwungene Schwingungen Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 20

21 Erzwungene Schwingungen Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 21

22 Versuch: Pohlsches Rad F 0 cosωt Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 22

23 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 23

24 Gekoppelte Schwingungen, z.b. Atome Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 24

25 Gekoppelte Schwingungen Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 25

26 Additionstheoreme Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 26

27 Versuch: Gekoppelte Pendelschwingungen Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 27

28 Versuch: Gekoppelte Pendelschwingungen Pendelamplituden von 1 und 2 Schwebungen treten überall auf, wenn Schwingungsamplituden mit leicht unterschiedlichen Frequenzen addiert werden. Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 28

29 Schwebung bei gekoppelten Pendeln Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 29

30 Resonanzen bei erregten Schwingungen Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 30

31 Lissajous Figuren Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 31

32 Versuch: Lissajous Figuren Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 32

33 Zum Mitnehmen Erzwungene Schwingungen führen zu Resonanzen, wenn Erregerfrequenz und Eigenresonanz übereinstimmen Gekoppelte Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen führen zu Schwebungen Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 33