Reziprokes Quadratgesetz und Stabilität von planetarischen Bahnen Einige analytische Ergebnisse

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1 Rezipokes Quaatgesetz un Stabilität von planetaischen Bahnen Einige analytische Egebnisse ) Die Kepleschen-Gesetze sin Folgen e Tatsache, ass ie Gavitationskaft einem umgekehten Quaatgesetz folgt Wi ween einige e analytischen Egebnisse skizzieen Zwei-Köpe-System, in em ie Wechselwikung von e Entfenung, abhängt. Die Relativbewegung kann wie ein Ein-Köpe-System behanelt ween Ein Köpe ist in Ruhe, e anee Planet bewegt sich aum ( ) e bewegte Köpe hat ie euziete asse μ m m m + Abstan / m

2 ie Bahnkuve in Polakooinaten () F L μ θ + mit L μ θ & Dehimpuls () G F P S De Dehimpuls ist ehalten, a as System invaiant unte Rotation ist G L P S μ θ + L G P S μ θ +

3 Die Lösung μg S P cos e L [ ( θ + θ )] 0 Wi nehmen an θ 0 0 ( θ ) L μg S P ecos ( θ ) ) e 0 Keis ) 0 e < Ellipse 3) e Paabel 4) e > Hypebel wobei e ie Exzentizität ist Alle ei Keple-Gesetze können mit iese Fomel bewiesen ween.

4 Rezipokes Quaat-Gesetz einige "philosophische" Übelegungen Was wüe passieen, wenn as Gesetz ein wenig von e Rezipoken Quaatabhängigkeit abweicht? Nehmen Sie an, ass ie Gavitationskaft ie Fom hat F G G S β P β, elliptische Bahn atlab Illustation ) Sonne ist nicht im Zentum e Bahn ) ie beechnete Bahn wieeholt sich β3, ezipokes Kubik-Gesetz ) Keine stabile Bahn ) De Planet entkommt aus em Sonnensystem (numeische Fehle) β.5,.,.,.0

5 Soga fü β.0 otiet ie Ellipse noch stak nach einigen Bahnen Das Vehalten eagiet seh empfinlich auf Abweichungen vom ezipoken Quaat-Gesetz (β ) Wi könnten im Stane sein zu bestimmen, wie ie Natu vom ezipoken Quaat-Gesetz abweicht ABER: Unsee Welt ist nicht so einfach (zwei Köpepoblem): es gibt neun Planeten auf ie man achten muss Jee Simulation muss ie Gavitationskaft jees Planeten einschließen Die Käfte von en aneen Planeten können auch elliptische Bahnen mit e Zeit otieen lassen Die expeimentelle Bestimmung von β ist nicht leicht

6 ekus Peihel-Dehung Es gibt Abweichungen von en Kepleschen Gesetzen! ) Effekten e Planeten auf einane Die meisten Planeten haben fast keisfömige Bahnen, auße eku un Pluto Fü en eku es ist aus em 9. Jahhunet bekannt, ass ie Oientieungen e Achsen e Ellipse mit e Zeit otieen Bekannt als Päzession es Peihels von eku De Umfang ist etwa 566 Bogensekunen po Jahhunet Bogensekune / 3600 Ga as Peihel macht alle Jahe einen Umlauf

7 Die Einflüsse e aneen Planeten (hauptsächlich Jupite) egeben 53 Bogensekunen po Jahhunet Wohe kommt e Rest? 97 - Allgemeine Relativitätstheoie Wenn e Abstan zwischen zwei Köpen klein ist, sagt ie Allgemeine Relativität Abweichungen vom ezipoken Quaat-Gesetz voaus Genau 43 Bogensekunen e Päzession! Tiumph e Allgemeinen Relativitätstheoie Das Poblem ist analytisch schwieig, abe numeisch leichte!

8 Das uch ie Allgemeine Relativität voausgesagte Kaft-Gesetz ist F G S α + G.4 x 0 3 kg ist ie eku asse un Koektu e Onung α 4 α. 0 AE 8 Die Koektuen sin zu klein, um sie uch eine Compute-Simulation zu bestimmen Folgene Näheung: Geschwinigkeit e Päzession als eine Funktion es Alphas bestimmen Wi fangen mit einem goßen Wet fü α an un euzieen es ann

9 ) Wi moifizieen unse Compute-Pogamm ) Wi nehmen ie Paametes es Planeten x(0)0.47 AE v y (0)8. AE/Jah atlab Illustation, α0.0, Ellipsen-Päzession mit e Zeit ist sichtba! Abe α ist zu goss Die Linie vom Zentum (Sonne) bis zum Punkt e von e Sonne am weitesten entfent ist Wie finen wi iese Punkte? atlab Illustation An iesen Punkten änet sich ie Ableitung e Entfenung von eku zu Sonne von positiv zu negativ Päzession-Winkel (fü gegebenes α) mit e Zeit θ (t)

10 atlab Illustation θ (t) änet sich linea mit e Zeit! θ ( t) t α const Beechnung fü veschieene α-wete θ ( t) t ( α ) atlab Illustation solch ein konstantes Vehalten elaubt Extapolationen fü kleine Wete von α θ ( t) / t α const α. 0 AE 8 atlab Illustation