Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...

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1 Pflichtteil Wahlteil Analysis 7 Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis 7 Wahlteil Analytische Geometrie Wahlteil Analytische Geometrie 8

2 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Benötigte Kenntnisse: Analysis: Ableiten, Integrale berechnen, Polynomdivision, Asymptoten, Tangenten berechnen Analytische Geometrie: Ebenengleichung aufstellen, Punktprobe, Abstandsberechnung, Spiegelung an einer Ebene Aufgabe : Die Ableitung der Funktion f mit f() ( ) e muss mit der Produktregel bestimmt werden Mit u() ( ) und v() e erhält man: u () und v () e Mit der Produktregel folgt: f () e + ( ) ( e ) e + ( + ) e e ( + ) e ( ) Ergebnis: Die erste Ableitung von f ist f () e ( ) Aufgabe : Es ist: e + d ln + e e ln + ln e + e ( ln + ) + e e e Ergebnis: Es ist + d e Aufgabe : Zur Bestimmung der Nullstellen von f mit f() muss man die Gleichung lösen Diese Gleichung kann in dieser Form nicht eakt gelöst werden Man muss daher mithilfe der angegebenen Lösung eine Polynomdivision durchführen: ( ) : ( ) + ( ) 8 + ( ) + ( + ) Die weiteren Nullstellen sind die Lösung der Gleichung + Mit der Formel, b ± b a ac erhält man:, und Ergebnis: Die Nullstellen der Funktion f sind:,, und Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

3 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe : a) Berechnung der Asymptoten: Waagrechten Asymptoten: Man muss das Verhalten von f für ± untersuchen: + + (Man beachte, dass der Term (Man beachte, dass der Term Ergebnis: Die Gerade y ist eine waagrechte Asymptote für + gegen geht) auch für gegen geht) Senkrechte Asymptoten: Man muss das Verhalten von f an der Definitionslücke untersuchen: Grenzwert von rechts: + Grenzwert von links: Ergebnis: Die Gerade ist eine senkrechte Asymptote b) Schnittpunkt der Tangente in P( f()) mit der -Achse: Berechnung der Tangentengleichung: Jede Tangente hat die allgemeine Form y m + c Zur Berechnung von m f () benötigt man die Ableitung von f() Mit f() erhält man: f () Damit lautet die (unvollständige) Tangentengleichung: y + c f () und damit m Den Wert für c erhält man durch Einsetzen der Koordinaten von P( f()) mit f() : + c c (Hinweis: Man kann die Gleichung der Tangente auch mit der Formel y f ( )( ) + f( ) berechnen Mit, f () und f() erhält man dasselbe Ergebnis) Die Gleichung der Tangente im Punkt P( f()) ist y Schnittpunkt der Tangente mit der -Achse: Einsetzen von y in y ergibt: + : (), Ergebnis: Der Schnittpunkt der Tangente an K im Punkt P( f()) mit der -Achse ist N(, ) Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

4 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe : a) Begründung, dass Abbildung zur Funktion f gehört: a a Unabhängig von a gilt wegen die Gleichung f() f() + + () Das Schaubild der Funktion f verläuft also unabhängig von a symmetrisch zur y-achse Außerdem gilt unabhängig von a: a Das heißt, die Gerade y ist eine ± + waagrechte Asymptote des Schaubilds von f Diese beiden Eigenschaften erfüllt nur das Schaubild der Abbildung Berechnung des Wertes für a: b) Den Wert für a bestimmt man, indem man die Koordinaten eines Punktes des Schaubilds in die a a Funktionsgleichung f() einsetzt Mit A( ) erhält man: f() + Aus der Gleichung a folgt: a Zuordnung der Ableitungsfunktion f und der Integralfunktion I: Da das Schaubild von f mit f() an der Stelle einen Hochpunkt hat, muss das + Schaubild der Ableitungsfunktion f bei eine Nullstelle haben mit einem Vorzeichenwechsel von + nach Dies trifft nur auf das Schaubild der Abbildung zu Das Schaubild der Integralfunktion I muss wegen I() Dies trifft nur auf das Schaubild der Abbildung zu f(t) dt die Nullstelle N( ) haben Ergebnis: Abbildung gehört zur Ableitungsfunktion f Abbildung gehört zur Integralfunktion I Aufgabe 6: Ob die vier Punkte in einer Ebene liegen, überprüft man, indem man zunächst eine Ebenengleichung aufstellt, die drei der Punkte A, B, C und D enthält Anschließend macht man mit dem vierten Punkt eine Punktprobe Parametergleichung der Ebene, die A( ), B( ) und C( ) enthält: Mit dem Stützvektor OA und den Spannvektoren AB Parametergleichung von E: + s + t 6 und AC 6 lautet eine Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

5 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Punktprobe mit D( 9 ): Einsetzen der Koordinaten von D( 9 ) in E: t s ergibt: t s Das entsprechende Gleichungssystem lautet: s + t (I) 9 s 6t (II) s (III) Aus Gleichung (III) folgt sofort: s, Einsetzen in Gleichung (II) ergibt: 9 6t 9 6t 6 6t :(6) t Einsetzen von s, und t in Gleichung (I) ergibt: wahre Aussage Somit ist s, und t die Lösung der Gleichung t s Das heißt, der Punkt D( 9 ) liegt ebenfalls in der Ebene E Ergebnis: Die vier Punkte liegen in einer Ebene, weil der Punkt D in der von A, B und C aufgespannten Ebene E liegt

6 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe 7: a) Zur Berechnung des Abstands von P(9 ) zur Ebene E: 7 benötigt man zunächst die Hesse-Normalen-Form (HNF) von E Die HNF lautet: + 7 bzw + ( ) + Einsetzen der Koordinaten von P(9 ) ergibt den gesuchten Abstand: d Ergebnis: Der Punkt P hat den Abstand d 6 LE von der Ebene E b) Wenn der Punkt Q den gleichen Abstand von E haben soll, wie der Punkt P(9 ), dann muss aus Symmetriegründen* die Strecke SQ gleich lang sein wie die Strecke PS Damit kann der Ortsvektor von Q mit der Vektorgleichung OQ OP + PS berechnet werden (siehe Abbildung) Mit OP OQ 9 9 und PS Q( 6 ) erhält man: Ergebnis: Der Punkt Q hat die Koordinaten Q( 6 ) (* Die Beziehung PS SQ ergibt sich streng genommen aus dem zweiten Strahlensatz: g d Q E S P d d d ) PS SQ O Aufgabe 8: Verfahren zur Spiegelung von g an E: Zur Bestimmung einer Gleichung von g benötigt man zwei Bildpunkte von g Dazu muss man zunächst einen beliebigen Punkt A von g an der Ebene E spiegeln Der zweite Bildpunkt ist der Schnittpunkt S, der bei der Spiegelung an E seine Lage beibehält (siehe Abbildung) Den Ortsvektor des Bildpunkts A berechnet man mit der S l A F g E Vektorgleichung OA' OA + AF + FA' A' Wegen FA' AF folgt: OA' OA + AF Zur Berechnung der Koordinaten des Lotfußpunkts F muss man die Lotgerade l durch A mit der Ebene E schneiden Da die Lotgerade senkrecht auf E steht, ist ihr Richtungsvektor der Normalenvektor von E O g' Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 6

7 Lösungen: Wahlteil Analysis Lösungen zur Prüfung : Wahlteil - Analysis Benötigte Kenntnisse: Nullstellenberechnung, Symmetrie von Schaubildern, maimale Steigung berechnen, Prismenvolumen, Flächenberechnung mit Integralen, Beweis mit vollständiger Induktion Aufgabe a): Breite des Walls an seinem Fuß: Die Breite des Walls ist der Abstand der beiden Schnittpunkte mit der -Achse Mit f() folgt: ( + ) + 8 : 6, und 6, Damit ist die Breite b 6, m,6 m (Hinweis: Die Nullstellen können auch mit dem GTR bestimmt werden) y Ergebnis: Die Breite des Walls an seinem Fuß beträgt b,6 m Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 7

8 Lösungen: Wahlteil Analysis Lösungen zur Prüfung : Wahlteil - Analysis Nachweis der Symmetrie des Querschnitts: Man muss zeigen, dass für alle IR gilt: f() f() Mit f() + erhält man: + ( ) + Wegen () folgt: + + Das ist eine wahre Aussage für alle IR; somit ist das Schaubild von f symmetrisch zur y-achse Was zu zeigen war Maimales Gefälle kleiner als %? Das maimale Gefälle der Böschung muss man mit der ersten Ableitung von f untersuchen Mit f() + ( + ) erhält man für die erste Ableitung (Kettenregel): f () ( + ) ( + ) ( + ) Wie man am Schaubild von f erkennt, ist der Betrag f () < für alle IR Somit ist das maimale Gefälle kleiner als ( %) Schaubild von f' y Ergebnis: Das maimale Gefälle der Böschung ist beim vorliegenden Querschnitt kleiner als Hinweis: Die Etrempunkte von f können auch rechnerisch mit f () bestimmt werden Die zweite Ableitung von f erhält man mit der Quotientenregel: Mit u() und v() ( + ) ist: u () und v () ( + ) Damit folgt: f () ( + ) ( ( ) ( + ) + ) ( ( + ) + + ) ( ) 7 ( 8 + ) Mit f () erhält man: 7 ( 8 + ) 7 8,8 und,8 Die Steigungen von f an diesen Stellen sind: f (,8),87 und f (,8),87 Beide Steigungen sind also betragsmäßig kleiner als m % Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 8

9 Lösungen: Wahlteil Analysis Lösungen zur Prüfung : Wahlteil - Analysis Aufgabe b): Das Volumen des Lärmschutzwalls: Der Lärmschutzwall hat die Form eines Prismas mit dem Querschnitt als Grundfläche Für das Volumen V gilt: V G l, wobei G der Flächeninhalt der Grundfläche ist und l m Für G erhält man mit dem GTR: G f() d,97 m Damit erhält man für das gesuchte Volumen: V,97 m m 98 m m y Ergebnis: Der Lärmschutzwall hat ein Volumen von ca m Die Breite des Fahrwegs: Um die Breite des Fahrwegs zu berechnen, muss man die Schnittstellen des Schaubilds von f mit der Geraden y bestimmen (siehe Abbildung) y y Mit dem Ansatz f() lautet die zu lösende Gleichung: (Hinweis: Diese Gleichung kann auch ohne GTR eakt gelöst werden) + Mit dem GTR erhält man die Lösungen und Die Breite ist somit m Ergebnis: Der Fahrweg hat eine Breite von m Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 9

10 Lösungen: Wahlteil Analysis Lösungen zur Prüfung : Wahlteil - Analysis Verlängerung des abgeflachten Walls: Für das Volumen V a des abgeflachten Walls gilt: V a G a l neu Dabei ist G a der Flächeninhalt der neuen Querschnittsfläche und l neu die neue Länge des Walls Das Gesamtvolumen ändert sich nicht, weil das abgetragene Material dem Wall angefügt wird Es ist also V a m Für G a gilt: G a G G (siehe Abbildung) Für G gilt: y G f() d Mit dem GTR erhält man: G G,7 m G a y Mit G,97 m (siehe oben) erhält man für den Flächeninhalt der neuen Querschnittsfläche: G a,97 m,7 m, m Einsetzen von G a, m und V a m in die Gleichung V a G a l neu ergibt:, l neu l neu,6 m Die Länge hat also gegenüber m um,6 m zugenommen Ergebnis: Der Wall wird um,6 m länger (Hinweis: Wenn man mit V a 98 m rechnet, erhält man nur, m) Aufgabe c): Neigung des Fahrwegs: Für den Neigungswinkel α des Fahrwegs gilt (siehe Abbildung):, tan α α,7 Ergebnis: Der Neigungswinkel beträgt,7 α Fahrweg m, m Neigung des Fahrwegs im Querschnitt (Proportionen verzerrt) (Hinweis: Vom Fahrweg aus betrachtet würde die geneigte Seite des abgebildeten Steigungsdreiecks als Breite des Fahrwegs erscheinen Betrachtet man hingegen von außen den Querschnitt, ist die horizontale Seite des Steigungsdreiecks die Breite des Fahrwegs Die Aufgabenstellung ist hier etwas missverständlich!) Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

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