Mathematik I HM I A. SoSe Variante A

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1 Prof. Dr. E. Triesch Mathematik I SoSe 08 Variante A Hinweise zur Bearbeitung: Benutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen stehen! Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zwei handbeschriebene DIN-A-Blätter (Vorder- und Rückseite beschriftet, keine Fotokopien oder Ausdrucke). Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben (Schmierblätter) ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen. Sonstige Hilfsmittel wie zum Beispiel alte Klausuren, Skripte, Bücher, Mobiltelefone, Smartphones, Laptops und insbesondere Taschenrechner sind nicht erlaubt! Hinweise zur Bewertung der einzelnen Klausurteile: I: (Aufgabe I.-I.) Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte. II: (Aufgabe II.-II.) Sie müssen das richtige Ergebnis in das entsprechende Ergebnis - Kästchen des Antwortbogens eintragen. Darüber hinaus können Sie in dem dazugehörigen Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein. III: (Aufgabe III.-III.) Sie müssen Aussagen den Wahrheitswert wahr (W) oder falsch (F) zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und vollständig zuordnen. Es gibt keine Minuspunkte. Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen. Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier. Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: ( Pkt.). = 6. + =. Antwort.. Punkte Antwort.. Punkte (i) W W 0 (v) F - 0 (ii) W F (vi) W - 0 (iii) F W 0 (vii) - F 0 (iv) F F 0 (viii) - W 0 Viel Erfolg!

2 Teil I Aufgabe I.: a) Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für alle n N gilt. n ( ) k+ k n+ n(n + ) = ( ) k= b) Zeigen Sie, dass für alle n N 0 die Zahl 5 n n durch 8 teilbar ist. a) Induktionsanfang: Für n = gilt ( ) k+ k = = ( ) +. k= Damit ist die Behauptung für n = wahr. Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte für ein n N. Induktionsschritt: Wir zeigen, dass die Behauptung für n + gilt, wenn sie für n erfüllt ist. Zu zeigen ist also: n+ ( ) k+ k n+ (n + )(n + ) = ( ). Es gilt k= (5+ Pkt.) n+ ( ) k+ k = k= n ( ) k+ k + ( ) n+ (n + ) k= IV n+ n(n + ) = ( ) + ( ) n+ (n + ) ( ) = ( ) n+ n(n + ) (n + )(n + ) ( ) (n + )(n + ) = ( ) n+ n(n + ) n+ (n + )(n n + ) = ( ) n+ (n + )(n + ) = ( ). Somit folgt die Behauptung mit dem Prinzip der vollständigen Induktion (für alle n N). b) Wir zeigen auch diese Behauptung mit vollständiger Induktion. Induktionsanfang: Für n = 0 gilt = = 0. Damit ist die Behauptung für n = 0 wahr. Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte für ein n N 0.

3 Induktionsschritt: Wir zeigen, dass die Behauptung für n + gilt, wenn sie für n erfüllt ist. 5 (n+) (n+) = 5 n+ n+ = 5 n 5 n 9 = 5 n + 5 n n n 8 = (5 n n ) + 5 n n 8 = (5 n n ) + 8(5 n n ) Nach Induktionsvoraussetzung ist 5 n n durch 8 teilbar. Da auch 8(5 n n ) durch 8 teilbar ist, folgt die Teilbarkeit von 5 (n+) (n+) durch 8. Somit folgt die Behauptung mit dem Prinzip der vollständigen Induktion (für alle n N 0 ).

4 Aufgabe I.: Gegeben sei die rekursive Folge (a n ) n N durch a =, a n+ = a n + a n +. a) Zeigen Sie, dass a n 7 für alle n N gilt. b) Zeigen Sie, dass die Folge (a n ) n N monoton fallend ist. (++ Pkt.) c) Begründen Sie die Existenz des Grenzwertes von (a n ) n N und berechnen Sie den Grenzwert a a n. n a) Wir beweisen mit vollständiger Induktion, dass a n für alle n N gilt. D.h. die Folge (a 7 n) n N ist durch nach unten beschränkt. 7 IA: a = 7. IV: Die Behauptung gelte für ein n N. IS: Es gilt: a n+ = a n a + n + IV 7 + ( 7) + = = = = 7. Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt die Behauptung für alle n N. b) Die Folge ist monoton fallend, denn a a n a n+ + n + = = + a n a n + Alternative: a n Teil a) = + 9 =. a n+ a n = a n a + n + a n = a a n + n + = a n + + a Teil a) n a n + 9 ( + 6 = a n + 9 ) = 0. Damit ist a n+ a n für alle n N und die Folge ist monoton fallend. c) Da die Folge (a n ) n N monoton fallend und nach unten beschränkt ist, konvergiert diese Folge nach dem Satz über monotone und beschränkte Folgen (Satz.). Sei a a n der Grenzwert, so gilt: n a n+ = a a n + n + n a = a + a +. D.h. a = a + 9a = a + a 0 ( ) 9a = a + a a = a = 7.

5 Insgesamt konvergiert die Folge (a n ) n N mit a n = n 7. 5

6 Aufgabe I.: a) Gegeben sei die Funktion f : R\ { π, } π R durch ( ) 08 x π, x < π, f(x) = sin(x), π < x < π,, x > π e. (x+ π ) Bestimmen Sie den Stetigkeitsbereich von f. An welchen Stellen ist die Funktion f stetig ergänzbar? b) Gegeben sei die Funktion g : R R durch, x, g(x) = (x ) e (6x 8), x <. (6+7 Pkt.) Untersuchen Sie die Funktion g auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie für alle x R, in denen g differenzierbar ist, die Ableitung g (x). a) Auf den Intervallen (, π), ( π, π) und ( π, ) ist f als Komposition stetiger Funktionen stetig. Es gilt f(x) = x π x π ( ) 08 x =, π x π + Also ist f stetig ergänzbar in π Weiter gilt f(x) x π + sin(x) =. (durch den Funktionswert ). f(x) = x π x π + x π sin(x) =, f(x) + e =. (x+ π ) x π Also ist f stetig ergänzbar in π (durch den Funktionswert ). b) Auf den Intervallen (, ) und (, ) ist g jeweils als Komposition differenzierbarer Funktionen differenzierbar. Für x = gilt g() = und somit g( + h) g() h 0 h h 0 e (6(+h) 8) h h 0 e 8+6h 8 h h 0 e 6h h 6 L H 6e 6h h 0 = 6,

7 und Alternative: g( + h) g() h 0 + h Somit existiert der Grenzwert nicht differenzierbar. h 0 + h 0 + h 0 + ( ) h ( + h ) ( ) h (h + ) (h+) h L H (h+) h 0 + =. ( ) g( + h) g() h 0 + h h 0 + h ( + h ) ( ) h 0 + h (h + ) ( ) h h h 0 + h (h + ) ( ) h( h ) h 0 + h (h + ) h h 0 + (h + ) = =. h 0 g(+h) g() Die Ableitung von g für x R\{} ist { g, x >, (x ) (x) = 6e (6x 8), x <. h nicht. Also ist die Funktion g im Punkt x = 7

8 Teil II Aufgabe II.: a) Gegeben sei die komplexe Zahl z = w mit 6 i w =. i Bestimmen Sie den Realteil von z. b) Es sei die Menge M gegeben durch { M = z C i + z = } 7 z. Beschreiben Sie eindeutig Form und Lage der Menge M in der komplexen Ebene. (+5+ Pkt.) c) Gegeben seien die in der Skizze eingezeichneten komplexen Zahlen z, z C. Tragen Sie in die Skizze auf dem Antwortbogen ein. z z z und z Im(z) z Re(z) a) Es gilt 6 i w = = ( 6 i )( + i) = ( 6 i )( + i) i 8 6 i + i = = + i = e i π. Damit folgt w = e iπ = und z = w =, also Re(z) =. 8

9 { b) Ein z C mit z = x + iy, x, y R, liegt genau dann in M = z C i + z = } 7 z, wenn gilt i + z = 7 z i + x + iy = 7 x + iy x + ( + y)i = 7 x + iy (x) + ( + y) = 7 x + y 9x y + 9y = 7x + 7y x + y + y + 6 = 0 x + y + y + 8 = 0 x + (y + 6) 8 = 0 x + (y + 6) = 8. Es handelt sich folglich um einen Kreis(rand) in der komplexen Ebene mit Mittelpunkt (0, 6) und Radius 8 = 7. c) Es gilt z = e i 7 8 π, z = e i 8 π = e i 8 π, z z = ei 7 8 π = e i 5 8 π = ei 8 π, z = e i 8 π = e iπ = e iπ. Im(z) z z z z z Re(z)

10 Aufgabe II.: Bestimmen Sie den Grenzwert Seien x arctan(x) x 0 cos(x). f(x) = x arctan(x) und g(x) = cos(x). (5 Pkt.) Dann sind f(x) und g(x) als Kompositionen von beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen beliebig oft stetig differenzierbar auf R. Es gilt f(x) = 0 g(x). x 0 x 0 Betrachte also Weiter gilt Betrachte also f (x) = arctan(x) + x x + f (x) = + x + ( + x ) x x = ( + x ) f (x) = 0 g (x). x 0 x 0 und g (x) = sin(x). und g (x) = cos(x) 9. ( + x ) Also folgt mit Hilfe der Regel von L Hospital (zweimal angewendet): x arctan(x) x 0 cos(x) f (x) x 0 g (x) arctan(x) + x 0 sin(x) L H x x + L H f (x) x 0 g (x) (+x ) x 0 cos(x) 9 = ( ) 9 = 9. 0

11 Aufgabe II.: a) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit b) Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe a) Es ist a n = n 5 n n + n 5. ( ) n + (. n ) n+ } 5 {{ n n } = n 5 n n < n 5 n n + n 5 < n 5 n n = 5 n n }{{} n }{{} 5. 5 Nach dem Sandwich-Lemma ist b) Es gilt n ( ) n + ( = n ) n+ n 5n n + n 5 = 5. = = ( ( ) n n+ + ) n n ( ) n + ( ) n n n ( ) n + ( 6 = ( ) + 6 = = 8 5. ) n (+ Pkt.)

12 Aufgabe II.: a) Geben Sie für den Term x x + 5 x + x + x + x + den Ansatz für eine Partialbruchzerlegung über R an. Hinweis: Für das Ausrechnen der Koeffizienten gibt es keine Punkte! b) Für A, B, C R sei der folgende Ansatz für eine Partialbruchzerlegung gegeben: Bestimmen Sie die Koeffizienten A, B, C R. x + x 7 = A (x ) x + B (x ) + C (x ). c) Bestimmen Sie das unbestimmte Integral x + 8x + x + 6x + 0 dx. (6++5 Pkt.) a) Durch Einsetzen erhalten wir für den Nenner die reelle Nullstelle x =. Mit Polynomdivision erhalten ( wir x + x + x + x + ) : ( x + ) = x + x + x + x x x + x x x x + x x x x + x 0 Für das Polynom x + x + x + ist x = wieder eine reelle Nullstelle. Wir verwenden wieder ( einmal Polynomdivision x + x + x + ) : ( x + ) = x + x + x x x + x x x x + x 0 x + x + ist ein nullstellenfreies, quadratisches Polynom. Damit ist der Ansatz für die Partialbruchzerlegung (über R) gegeben durch x x + 5 x + x + x + x + = A x + + B (x + ) + Cx + D x + x + mit A, B, C, D R. b) Es gilt x + x 7 = A(x ) + B(x ) + C = Ax 6Ax + 9A + Bx B + C

13 Ein Koeffizientenvergleich ergibt = A = Ax + x( 6A + B) + (9A B + C). (I), = 6A + B (II), 7 = 9A B + C Aus (I) folgt direkt A =. Damit ist Also gilt c) Es ist B (II) = + 6A = + 6 ( ) = 0 C (III) (III). = 7 9A + B = 7 9 ( ) + 0 = =. x + x 7 = (x ) x + 0 (x ) + (x ). x + 8x + x + 6x + 0 dx = x + (x + 6) + x + 6x + 0 dx = x + x + 6x + 0 dx x + 6 = x + x + 6x + 0 dx x }{{} + 6x + 0 dx. }{{} Zu I : Da der Zähler die Ableitung des Nenners ist, substituieren wir Damit ist Zu I : Es ist Insgesamt ist I = y = x + 6x + 0, =:I dy = (x + 6) dx. dy Resubst. I = = ln y = ln x + 6x + 0. y x + 6x + 0 dx = =:I dx = arctan(x + ). (x + ) + x + 8x + x + 6x + 0 dx = x + ln x + 6x + 0 arctan(x + ).

14 Teil III Aufgabe III.: Gegeben sei das Polynom P (x) = x + x 5x. Es seien a 0, a, a, a R die Koeffizienten, sodass P (x) = a n (x ) n gilt. Die Koeffizienten lassen sich mit der Taylor-Entwicklung von P (x) bestimmen. (+++ Pkt.) a) Beurteilen Sie den Wahrheitswert für jede der folgenden Aussagen:. a 0 =. a 0 =. a 0 =. a 0 = 0 5. a 0 = 6. a 0 = b) Beurteilen Sie den Wahrheitswert für jede der folgenden Aussagen:. a = 0. a = 6. a =. a = 5. a = 6. a = c) Beurteilen Sie den Wahrheitswert für jede der folgenden Aussagen:. a =. a =. a =. a = 5. a = 0 6. a = d) Beurteilen Sie den Wahrheitswert für jede der folgenden Aussagen:. a =. a =. a =. a = 5 5. a = 0 6. a = Entwickle P (x) an der Stelle x 0 =. Da das Polynom Grad hat, ist die dritte Ableitung von P (x) eine Konstante. Alle höheren Ableitungen sind gleich 0. Dann ist das Taylorpolynom T, (x) = P (x), d.h. T, (x) ist die gesuchte Form. Bestimme dazu die Ableitungen Daraus folgt P (x) = x + x 5x, P (x) = + 6x 5x, P (x) = 6 0x, P (x) = 0. P () = + 5 =, P () = =, P () = 6 0 =, P () = 0. Dann ist P (x) = T, (x) = (x )! (x ) 0 (x )! = (x ) (x ) 5(x ) Es gilt also a 0 =, a =, a = und a = 5. Damit sind die Aussagen a)., b)., c)., d). wahr.

15 Aufgabe III.: Gegeben sei die Funktion f : I R mit f(x) = x x + x +. a) Beurteilen Sie den Wahrheitswert für jede der folgenden Aussagen:. Für I = (, ) ist f ist monoton fallend.. Für I = (, ) ist f monoton fallend.. Für I = (, ) ist f monoton steigend.. Für I = (, + ) ist f monoton steigend. b) Beurteilen Sie den Wahrheitswert für jede der folgenden Aussagen:. Für I = (, ) hat f keine Minimalstelle.. Für I = (, ] hat f keine Minimalstelle.. Für I = (, 0) hat f eine Minimalstelle. (+5 Pkt.). Für I = [, 0) hat f eine Minimalstelle. Da der Nenner x + x + = (x + ) + > 0, ist die Funktion f auf R wohldefiniert. Weiterhin ist f auf R als Komposition differenzierbarer Funktionen differenzierbar und f (x) = (x + x + ) x (x + ) = x + (x + x + ) (x + x + ). a) f(x) ist monoton steigend, wenn f (x) > 0 ist. x + (x + x + ) > 0 x + > 0 x < < x <. f(x) ist monoton fallend, wenn f (x) < 0 ist. x + (x + x + ) < 0 x + < 0 x > x < oder x >. Die Aussagen.,. und. sind falsch, die Aussage. ist wahr. b) f ist streng monoton fallend für x <, somit ist f streng monoton fallend auf (, ). f hat deshalb keine Minimalstelle auf (, ). f ist auf (, ] monoton fallend und die rechte Seite des Intervalls I = (, ] ist abgeschlossen, somit hat f an der Stelle x = eine Minimalstelle. f ist streng monoton steigend auf (, 0). Somit hat f keine Minimalstelle auf (, 0). f ist monoton steigend auf [, 0) und die linke Seite des Intervalls I = [, 0) ist abgeschlossen, somit hat f an der Stelle x = eine Minimalstelle. Die Aussagen. und. sind falsch, die Aussagen. und. sind wahr. 5

16 Aufgabe III.: a) Gegeben sei das folgende Integral ln() ln() e x e x dx. Beurteilen Sie den Wahrheitswert für jede der folgenden Aussagen:. Der Wert des Integrals ist ln(5).. Der Wert des Integrals ist ln() ln().. Der Wert des Integrals ist 0.. Der Wert des Integrals ist ln() ln(). 5. Der Wert des Integrals ist ln() ln(). 6. Der Wert des Integrals ist ln() ln(). b) Es sei f : R R eine differenzierbare Funktion. Ferner sei g : R R mit g(x) = ex 0 f(t) dt gegeben. Beurteilen Sie den Wahrheitswert für jede der folgenden Aussagen:. Für jede Funktion f gilt für die Ableitung von g: g (x) = f(e x ).. Für jede Funktion f gilt für die Ableitung von g: g (x) = e x. (++ Pkt.). Für jede Funktion f gilt für die Ableitung von g: g (x) = e x f(e x ).. Für jede Funktion f gilt für die Ableitung von g: g (x) = e x f(e x ). c) Gegeben sei die Funktion h : (0, ) R mit h(x) = cos( x). Beurteilen Sie den Wahrheitswert für jede der folgenden Aussagen:. Eine Stammfunktion von h ist gegeben durch H(x) = x cos( x) + cos( x).. Eine Stammfunktion von h ist gegeben durch H(x) = x sin( x) + sin( x).. Eine Stammfunktion von h ist gegeben durch H(x) = sin( x) + sin( x).. Eine Stammfunktion von h ist gegeben durch H(x) = x sin( x) + cos( x). 5. Eine Stammfunktion von h ist gegeben durch H(x) = cos( x) + sin( x). 6. Eine Stammfunktion von h ist gegeben durch H(x) = x cos( x) + sin( x). 6

17 a) Es gilt (e x ) = e x und damit ln() ln() Also ist die. Aussage wahr. [ e x e x dx = ln e x ] ln() ln() = ln e ln() ln e ln() = ln ( e ln()) ln ( e ln() ) = ln ln = ln() ln(). b) Die Lösung erhält man durch Anwendung des Fundamentalsatzes der Differential und Integralrechnung. Sei p(x) = x f(t) dt, dann ist 0 p (x) = f(x). In der Aufgabenstellung ist die Funktion p(e x ) gegeben. Dann liefert die Kettenregel Also ist die. Aussage wahr. (p(e x )) = p (e x ) e x = e x f(e x ). c) Substituiere zunächst t = x bzw. dx = t dt. Dann gilt cos( x) dx = t cos(t) dt. Danach verwenden wir partielle Integration: Dann gilt u = t u = v = cos(t) v = sin(t) t cos(t) dt = t sin(t) = t sin(t) + cos(t). sin(t) dt Durch Resubstitution erhalten wir cos( x) dx = x sin( x) + cos( x). Also ist die. Aussage wahr. 7