Nachklausur zur Analysis 1, WiSe 2016/17

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1 BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL Fakultät 4 - Mathematik und Naturwissenschaften Prof. N. V. Shcherbina Dr. T. P. Pawlaschyk Nachklausur zur Analysis, WiSe 06/7 Aufgabe (Folgen und Reihen) (a) ( P) Wie lautet das Cauchy-Kriterium für Reihen? (b) (3 P) Überprüfen Sie die Folge c n := 4n + ( 4) n n, n N, auf Konvergenz. Was sind ihre Häufungswerte? a n (c) (5 P) Seien zwei Folgen (a n ) n N und (b n ) n N derart gegeben, dass lim := q > 0 n b n gilt. Zeigen Sie, dass a n genau dann konvergiert, wenn b n konvergiert. Lösungen zu Aufgabe n= (a) Eine Reihe n= a n ist genau dann konvergent, wenn es für jedes n= > 0 einen Index N gibt, so dass für alle m k N gilt: a n < P Voraussetzungen + P Aussage = Punkte (b) Für n gerade ist c n = 4n n = n n = Für n ungerade ist c n = 0. Damit hat (c n ) n mindestens die Häufungswerte 0 und und konvergiert daher nicht. Angenommen, es gäbe einen weiteren Häufungswert a. Dann existiert eine Teilfolge (c nk ) k von (c n ) n, die gegen a konvergiert. Diese muss unendlich viele gerade oder unendlich viele ungerade Folgenglieder besitzen. Im ersten Fall muss dann a = und im zweiten Fall a = 0 gelten. Daher sind 0 und die einzigen Häufungswerte. P: Häufungswert 0 P: Häufungswert P: Begründung: 0 und einzige Häufungswerte (c) Da der Quotient a n /b n gegen q konvergiert, gibt es einen Index N 0 mit a n b n q < q für alle n N 0. Nach Umstellen bedeutet das q < a n < 3q b n q < a n b n q < q q b n < a n < 3q b n < 3a n

2 für alle n N 0. Ist nun b n konvergent, gibt es nach dem Cauchy-Kriterium zu einem beliebigen > 0 n= einen Index N N 0, so dass für alle m k N gilt: Mit den oberen Ungleichungen folgt: Also 3q < q < q < b n <. b n < 3q a n < Nach dem Cauchy-Kriterium konvergiert auch analog. P: Abschätzungen für a n /b n und Grenzwert q P: Abschätzungen durch Cauchy-Kriterium P: Kombination beider Abschätzungen P: Andere Implikation a n < 3q b n < 3q a n. Die andere Implikation beweist man n=

3 Aufgabe (Funktionenfolgen) (a) (3 P) Geben Sie eine Folge (p n ) n N von Polynomen p n an, die gleichmäßig auf kompakten Intervallen [ ϱ, ϱ] gegen die Sinusfunktion konvergiert. n x (b) ( P) Berechnen Sie lim n + n für festes x R. x4 (c) (5 P) Bestimmen Sie größtmögliche Intervalle, auf denen f n (x) := konvergiert. Lösungen zu Aufgabe (a) Laut Definition ist sin(x) = (b) Sei ( ) k x k+ mit Konvergenz- (k + )! radius R =. Wir wählen daher p n (x) := k=0 n ( ) k x k+ (k + )! k=0 n x + n x 4 gleichmäßig Nach einem Satz aus der Vorlesung konvergiert die Folge (p n ) n gleichmäßig auf allen kompakten Intervallen [ ϱ, ϱ]. P: Reihendarstellung Sinus (Punktweise Konvergenz) P: Polynomfolge angeben P: Glm. Konvergenz begründen f n (x) := n x + n x 4 = x + x n 4 ( Punkt): Für x = 0 gilt: f n (0) = 0 für alle n. Daher ist lim f n(x) = 0. n ( Punkt): Für x 0 gilt: lim f n(x) = x n x 4 = x 3. (c) Da aus der gleichmäßigen Konvergenz die punktweise Konvergenz folgt, müssen wir prüfen, wo (f n ) n gegen f gleichmäßig konvergiert, wobei nach Teil (b): { 0, x = 0 f(x) = lim n f n(x) = x 3, x 0 Nun ist f nur stetig auf R \ {0}. Daher vermuten wir gleichmäßige Konvergenz auf [a, + ) oder (, a] für ein festes a > 0. Sei nun x [a, + ) für ein festes a > 0. Dann ist f n (x) f(x) = n x + n x 4 x 3 = n x 4 n x 4 x 3 ( + n x 4 ) = x 3 ( + n x 4 ) a 3 ( + n a 4 ) ( ) Da a 3 ( + n a 4 eine Nullfolge ist, die nicht von x abhängt, finden wir zu jedem ) n N > 0 einen Index N, so dass für alle x [a, + ) und n N gilt: f n (x) f(x) < Analog gilt dieselbe Eigenschaft für auf (, a]. P: Grenzwert f angegeben P: Differenz f n (x) f(x) angegeben P: Differenz durch Nullfolge abgeschätzt P: Kriterium für glm. Konvergenz richtig angeschrieben 3

4 Aufgabe 3 (Differentiation) (a) ( P) Sei f : (a, b) R eine invertierbare, differenzierbare Funktion. Was ist die Ableitung ihrer Umkehrfunktion? Berechnen Sie mit dieser Formel die Ableitung der n-ten Wurzel g(y) = n y. (b) (3 P) Berechnen Sie lim x 0 e x log(x) und lim x e x log(x). (c) (5 P) Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion f : R R, f(x) = x x + e x Was sind lim f(x) und lim f(x)? Skizzieren Sie den Graphen von f über [, 3]. x + x Lösungen zu Aufgabe 3 (a) Nach einem Satz aus der Vorlesung gilt für die Ableitung der Umkehrfunktion f an der Stelle y 0 = f(x 0 ) die Formel (f ) (y 0 ) = Sei f(x) = x n. Dann ist f (x) = nx n. Damit ist g (y) = f (f (y 0 )) = f (x 0 ) n( n y) n = ny n P: Satz P: Ableitung von n-te Wurzel durch Formel (b) Punkt: Es ist da e 0 = und lim x 0 e x log(x) =. lim x 0 e x log(x) =, Punkte: Es ist mit der Regel von de l Hospital: = n y n log(x) /x lim x e x log(x) = lim x e x = lim x e x = lim x xe x = 0 (c). Fall: In x 0 = hat f ein lokales Maximum, da f( ) = 0 und f(x) < 0 für alle x (, 0), x.. Fall: Ist x >, so ist f(x) = x(x + )e x = (x + x)e x. Dann berechnen wir f (x) = (x + )e x (x + x)e x = ( x + x + )e x = (x x )e x Notwendige Bedingung: Es ist f (x) = 0 genau dann, wenn x x = 0 bzw. x = = ± 5 und x = 4 + = ± 5 Hinreichende Bedingung I: Wir berechnen f (x) = ( x + )e x ( x + x + )e x = ( x + )e x f (x)e x = (x 3x)e x 4

5 Dann ist f (x ) = ( x + )e x = 5e x < 0, da f (x ) = 0 ist. Es liegt in x = + 5 ein lokales Maximum vor. Außerdem ist f (x ) = ( x + )e x = 5e x > 0, da f (x ) = 0 ist. Es liegt in x = 5 ein lokales Minimum vor. Hinreichende Bedingung II: Der Vorfaktor x + x + ist eine nach unten geöffnete Parabel, die in beiden Stellen x < x verschwindet, d.h. links von x ist sie positiv und rechts davon negativ. Die erste Ableitung f hat also einen Vorzeichenwechsel von + nach - nahe x. Dort muss daher ein lokales Maximum vorliegen. Für x liegt aus ähnlichen Gründen ein lokales Minimum vor. 3. Fall: Ist x <, so ist f(x) = x(x + )e x. Dann ist f (x) = (x x )e x Notwendige Bedingung: Es ist f (x) = 0 genau dann, wenn x x = 0, also x und x wie oben. Da aber x > x > sind, gibt es links von keine Extremstellen. Es sind und nach einem Satz aus der Vorlesung. Der Graph sieht wie folgt aus: lim f(x) = lim x(x + x + x + )e x = 0 lim f(x) = lim x(x + x x )e x = f(x) x Punkt: x 0 = lokales Maximum Punkt: x = ( + 5)/ lokales Maximum (Notw. + Hinr. Bed.) Punkt: x = ( 5)/ lokales Maximum (Notw. + Hinr. Bed.) Punkt: Limiten Punkt: Graph 5

6 Aufgabe 4 (Integration) (a) ( P) Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? (b) (3 P) Berechnen Sie das nachfolgende Integral. I = 0 x log x (c) (3 P) Bestimmen Sie: I = e x log(x) Lösungen zu Aufgabe 4 (a) Seien f, ϕ : [a, b] R stetige Funktionen und ϕ 0. Dann existiert ein ξ [a, b], so dass b a f(x)ϕ(x) = f(ξ) b Punkt Voraussetzung + Punkt Aussage = Punkte (b) In x = 0 ist log x nicht definiert. Daher schreiben wir I = 0 x log x = lim 0 Anschließend lösen wir mit partieller Integration: Für 0 erhalten wir: =v a ϕ(x) x log x = lim 0 }{{} x log(x) = [ ] x 3 log(x) }{{} 3 x= =u = 3 (0 3 log()) 3 x = 3 log() 3 I = ( ) = x3 }{{} =u x log(x) }{{} x =v 9 ( 3 ) Punkt: Formel angewendet: Partielle Integration Punkt: Richtiges Zwischenergebnis im Integral Punkt: Grenzwert/Endergebnis (c) Zuerst schreiben wir: R I = lim R e x(log(x)). Wir substituieren mit t = log(x), e t = x und = e t dt und erhalten R e log R x(log(x)) = e t log R e t t dt = dt [ t = ] log R t = t= log R Für R erhalten wir: I =. Punkt: Korrekte Anwendung der Substitutionsregel Punkt: Stammfunktion Punkt: Grenzen eingesetzt + korrekt ausgerechnet 6

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