TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Semestrale (Wiederholung) HÖHERE MATHEMATIK 3 für Chemieingenieurwesen

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1 Note I II Name Vorname 1 Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik Semestrale (Wiederholung) HÖHERE MATHEMATIK 3 für Chemieingenieurwesen Prof. Dr. J. Hartl 15. September 2008, 14:00 16:00 Uhr Hörsaal: Reihe: Platz: Hinweise: Überprüfen Sie die Vollständigkeit der Angabe: 8 Aufgaben I Erstkorrektur II Zweitkorrektur Bearbeitungszeit: 120 min Erlaubte Hilfsmittel: zwei selbsterstellte DIN A4 Blätter Bei Multiple-Choice-Aufgaben sind immer alle zutreenden Aussagen anzukreuzen. Bei Aufgaben mit Kästchen werden nur die Resultate in diesen Kästchen berücksichtigt. Nur von der Aufsicht auszufüllen: Hörsaal verlassen von bis Vorzeitig abgegeben um Besondere Bemerkungen:

2 1. Eigenwerte und Eigenvektoren (ca. 10 Punkte) Gegeben ist die Matrix A = (a) Welche Aussagen gelten für jeden Eigenvektor v von A? v liegt im Kern von A. Av ist ein Vielfaches von v. v 0. v ist eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A. (b) Wie lauten die Eigenvektoren und zugehörigen Eigenwerte von A? v 1 = ist Eigenvektor zum Eigenwert λ 1 =. v 2 = ist Eigenvektor zum Eigenwert λ 2 =. v 3 = ist Eigenvektor zum Eigenwert λ 3 =. (c) Geben Sie eine orthogonale Matrix B an, so dass B 1 AB eine diagonale Matrix ist. B =

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4 2. Kegelschnitte (ca. 12 Punkte) Die Quadrik Q ist gegeben durch die Gleichung 11x 2 6xy + 19y 2 + 6x 38y + 17 = 0. ( ) T ( ) ( ) x x x (a) Schreiben Sie Q in der Form A + b y y T + c = 0 mit A = A y T. Wie lauten A, b, c? A = b = c = (b) Bestimmen Sie die Eigenwerte λ 1, λ 2 (λ 1 < λ 2 ) und die zugehörigen Eigenvektoren b 1, b 2 von A. b 1 = ist Eigenvektor zum Eigenwert λ 1 = b 2 = ist Eigenvektor zum Eigenwert λ 2 = (c) Wie lautet die Matrix T der orthogonalen Hauptachsentransformation ( x y) = T ( u v)? T = (d) Wie lautet die Gleichung für Q in den transformierten Koordinaten (u, v)? 0 =

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6 3. Offene und abgeschlossene Mengen (ca. 10 Punkte) Gegeben sind die Mengen A = {(x, y) R 2 (x + 1) 2 + y 2 < 1} und B = {(x, y) R 2 y = 0 und x 1 < 1}. (a) Skizzieren Sie die beiden Mengen A und B. (b) Für die folgenden Mengen gilt: A ist offen abgeschlossen beschränkt A B ist offen abgeschlossen beschränkt A B ist offen abgeschlossen beschränkt (c) Sei (x, y) ein innerer Punkt der Menge A B. Dann gilt: Jede ɛ -Umgebung von (x, y) liegt in A B. Es gibt eine ɛ -Umgebung von (x, y), die ganz in A B liegt. (x, y) ist kein Randpunkt von R 2 \ (A B). Es gibt eine Folge von Randpunkten, die gegen (x, y) konvergieren. (d) Kreuzen Sie die wahren Aussagen an: (0, 0) ist ein innerer Punkt von R 2 \ (A B). (0, 0) ist ein Randpunkt von R 2 \ (A B). A ist im Rand von A B enthalten. B ist im Rand von A B enthalten.

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8 4. Lokale Extremwerte (ca. 12 Punkte) Gegeben ist die Funktion f : R 2 R, f(x, y) = y 4 3xy 2 + x 3. (a) Bestimmen Sie drei Punkte (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) und (x 3, y 3 ) für die grad f(x, y) = 0 gilt, so dass y 1 < y 2 < y 3. ( (x 1, y 1 ) =, ) ( (x 2, y 2 ) =, ) ( (x 3, y 3 ) =, ) (b) Wie lautet die Hessematrix von f in den Punkten (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) und (x 3, y 3 )? H f (x 1, y 1 ) = H f (x 2, y 2 ) = H f (x 3, y 3 ) = (c) f besitzt im Punkt (x 2, y 2 ) ein lokales Maximum, ein lokales Minimum, einen Sattelpunkt. f besitzt im Punkt (x 3, y 3 ) ein lokales Maximum, ein lokales Minimum, einen Sattelpunkt. (d) f nimmt sein globales Maximum in (x 1, y 1 ) an. f nimmt sein globales Minimum in (x 1, y 1 ) an. f nimmt sein globales Maximum in (x 2, y 2 ) an. f nimmt sein globales Minimum in (x 2, y 2 ) an. f nimmt sein globales Maximum in (x 3, y 3 ) an. f nimmt sein globales Minimum in (x 3, y 3 ) an. f besitzt weder ein globales Maximum noch ein globales Minimum.

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10 5. Extrema mit Nebenbedingungen (ca. 11 Punkte) Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode des Lagrange-Multiplikators die Positionen und den Wert der globalen Minima der Funktion f(x, y) = x 2 y unter der Nebenbedingung x 2 + 3y 2 = 9.

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12 6. Vektorfelder I (ca. 9 Punkte) (a) Zeigen Sie, dass für stetig partiell differenzierbare f : R 3 R und v = v 2 : R 3 R 3 gilt v 3 div(f v) = (grad f) v + f div v. (b) Berechnen Sie, unter Benutzung von grad g( x ) = g ( x ) x x für g : R + R differenzierbar und x R 3 \ {0}, die Divergenz von h : R 3 \ {0} R 3, h(x) = x x für α > 0. α (c) Für welchen Wert von α ist h im Definitionsbereich divergenzfrei? v 1 α =

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14 7. Vektorfelder (ca. 8 Punkte) xy Gegeben ist das Vektorfeld v(x, y, z) = αx 2 auf R 3 mit α R. z t (a) Berechnen Sie den Wert des Kurvenintegrals entlang des Wegs c(t) = t 2, t [0, 1]. t 3 c v dx = (b) Berechnen Sie die Rotation von v: rot v(x, y, z) = (c) Für welchen Wert von α ist v ein Gradientenfeld? α = (d) Geben Sie für den Fall, dass v ein Gradientenfeld ist, eine Stammfunktion f von v an. f(x, y, z) =

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16 8. Doppelintegrale (ca. 8 Punkte) Skizzieren Sie zunächst den Bereich B = {(x, y) R 2 y 0, x 2 + y 2 9, x 2 + 4y 2 9} und berechnen Sie das Integral der Funktion f(x, y) = x 2 y über diesen Bereich.

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