N a c h s c h r e i b k l a u s u r

Transkript

1 N a c s c r e i b k l a u s u r Aufgabe Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f (x) an der Stelle x 0, indem Sie den Grenzwert des Differenzenquotienten berecnen. a) f (x) = 4 x 2 x 2 x 0 = 4 b) f (x) = x + 2 x 0 = 25 Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion (one Benutzung der Ableitungsregeln) zu: a) f (x) = x 2 + x b) f (x) = 4 x Aufgabe Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion zu a) f (x) = x 5 7 x + 4 x 2 6 b) f (x) = a n x n (4 + n) a k x k 4 + a z x z c) f (x) = x + 2 x 2 4 x 2 d) f (x) = 2 x x 2 2 x Aufgabe 4 Eine ganze rationale Funktion vierten Grades scneidet die x-acse an den Stellen x 0 = 4, x 02 = 2, x 0 = 2, x 04 = 4 und die y-acse an der Stelle y S = 8. a) Bestimmen Sie die Funktionsgleicung. (Ergebnis: f (x) = 8 x4 2 2 x2 + 8) b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Extrempunkte dieser Funktion. c) Bestimmen Sie die Koordinaten der Wendepunkte. d) Fertigen Sie eine Wertetabelle für die Funktion f (x) und deren Ableitungsfunktionen f (x) und f (x) an. e) Wälen Sie einen geeigneten Maßstab und zeicnen Sie die Grapen dieser Funktionen in ein Koordinatensystem. f) Bescreiben Sie die Zusammenänge, die zwiscen der Funktion f (x) und deren Ableitungen f (x) und f (x) besteen.

2 L ö s u n g e n Aufgabe a f (x) = 4 x 2 x 2 x 0 = 4 f (4) f (4 + ) f (4) 4 (4 + ) ( ) f (4) f (4) f (4) 4 ( ) (4 + ) 2 ( ) ( ) f (4) ( ) f (4) ( ) = 76 Die Funktion f (x) = 4 x 2 x 2 at an der Stelle x 0 = 4 die Ableitung f (4) = 76 Aufgabe b f (x) = x + 2 x 0 = 25 f (25) f (25 + ) f (25) ( ) f (25) f (25) f (25) ( ) ( ) ( ) = = ( ) Die Funktion at an der Stelle die Ableitung f (x) = x + 2 x 0 = 25 f (25) =

3 Aufgabe 2a f (x) = x 2 + x f (x) f (x + ) f (x) (x + ) 2 + x + (x 2 + x) f (x) f (x) = x x x + x 2 x ( + 2 x + ) Die Ableitung der Funktion ( + 2 x + ) = 2 x x + f (x) = x 2 + x lautet: f (x) = 2 x + Aufgabe 2b f (x) = 4 x f (x) f (x) f (x + ) f (x) 4 x (x + ) 4 = x + 4 x 4 = 4 x (x + ) x 2 lim 4 x 4 (x + ) x (x + ) Die Ableitung der Funktion f (x) = 4 x lautet: f (x) = 4 x 2 Aufgabe a) f (x) = x 5 7 x + 4 x 2 6 f (x) = 5 x 4 2 x x b) f (x) = a n x n (4 + n) a k x k 4 + a z x z f (x) = n a n x n (k 4) (4 + n) a k x k 5 + (z ) a z x z 2

4 Fortsetzung von Aufgabe c) f (x) = x + 2 x 4 x 2 = x + 2 x 4 x 2 = x 4 x 2 = x 4 x 2 f (x) = 2 x 2 8 x f (x) = 2 x 8 x d) f (x) = 2 x x 2 2 x f (x) = 8 x 5 2 x + 6 x 2 f (x) = 8 x 5 2 x + 6 x Aufgabe 4 a Durc die 4 Nullstellen ist die ganze rationale Funktion 4-ten Grades bis auf den Streckungsfaktor α R \ {0} festgelegt. Es gilt also: f (x) = α (x 4) (x + 4) (x 2) (x + 2) = α (x 2 6) (x 2 4) = α (x 4 20 x ) Da der Grap von f die y-acse an der Stelle y S = 8 scneidet, folgt: f (0) = 8 α 64 = 8 α = 8 Damit erält man: f (x) = 8 (x4 20 x ) = 8 x4 2 2 x + 8 Die Gleicung der ganzen rationalen Funktion vierten Grades lautet: f (x) = 8 x4 2 2 x2 + 8 Aufgabe 4 b Notwendige Bedingung für Extremstellen: f (x E ) = 0 f (x E ) = 2 x E 5 x E = 0 x E 2 x E 2 5 = 0 x E = 0 2 x E 2 5 = 0 2 x E 2 = 5 x E 2 = x E2 =,62 x E =,62

5 Fortsetzung von Aufgabe 4 b Hinreicende Bedingung für Extremstellen: f (x E ) = 2 x E 5 f (x E ) = f (0) = 5 < 0 Maximum f (x E ) = 0 s.o. und f (x E ) 0 f (x E2 ) = f ( ) = 2 5 = > 0 Minimum f (x E2 ) = f ( ) = 2 5 = > 0 Minimum Berecnung der Funktionswerte f (x E ) = f (0) = 8 f (x E2 ) = f ( ) = 8 ( )4 2 2 ( )2 + 8 = = 4 2 f (x E2 ) = f ( ) = 8 ( )4 2 2 ( )2 + 8 = = 4 2 Die Funktion f at das Maximum H = (0 / 8) und die beiden Minima T = ( / 4 und 2 ) T 2 = ( / 4 2 ) Aufgabe 4 c Notwendige Bedingung für Wendestellen: f (x W ) = 0 2 x 2 W 5 = 0 x 2 W = x W =,826 x W2 =,826 Hinreicende Bedingung für Wendestellen: f (x W ) 0, f (x W ) = 0 s.o. und f (x E ) 0 f (x W ) = f = 2 5 6,086 0

6 f (x W2 ) = f = 2 5 = 2 5 f (x W2 ) 6,086 0 Die dritte Ableitung der Funktion f lautet: f (x) = 2 x Für die Wendestellen erält man: f (x W ) = f = 2,65 0 f (x W2 ) = f = 2,65 0 Die inreicende Bedingung für Wendestellen ist also erfüllt. Berecnung der Funktionswerte f (x w ) = f = f (x W ) = = 9 8 = 8, = f (x W2 ) = = 8,056 Die beiden Wendepunkte der Funktion f aben die Koordinaten: W =,,826 /,056 W 8 2 = 8,826 /,056) Aufgabe 4 d x ± 4,5 ± 4 ±,5 ± ± 2,5 f (x) 8,6 0,867 4,75 2,742 x ± 2 ±,5 ± ± 0,5 0 f(x) 0,008 5,625 7,8 8

7 Fortsetzung von Aufgabe 4 d x 4,5 4,5 2,5 2,5 f (x) 2,06 2,98,5 4, ,8 f (x) 0, ,75,5 9,75 6,75 x 0,5 0 0,5,5 2 f (x) 4,5 2,48 0 2,48 4,5 5,8 6 f (x),5 0,75 0 0,75,5,75 6 x 2,5,5 4 4,5 f (x) 4,688,5,98 2 2,06 f (x) 9,75,5 8, ,75 Aufgabe 4 e

8 Aufgabe 4 e Für < x < ist die Funktion f (x) monoton fallend. Die erste Ableitung verläuft in diesem Bereic unteralb der x-acse. An der Stelle x = ändert die Steigung der Funktion f (x) ir Vorzeicen; sie wird also positiv. Der Grap der ersten Ableitungsfunktion scneidet an dieser Stelle die x-acse. Im Punkt T = ( / 4 at die Funktion ein lokales 2 ) f (x) Minimum. Die Steigung von f (x) bleibt nun bis zum Scnittpunkt mit der y-acse H = (0 / 8), wo ein lokales Maximum vorliegt,positiv, ändert dort ir Vorzeicen und bleibt bis zur Stelle x = negativ, wo sie erneut ir Vorzeicen wecselt.im Punkt T 2 = ( / 4 at ein weiteres 2 ) f (x) Minimum. Bei x = scneidet der Grap der ersten Ableitung die x-acse. Für < x < sind die Funktionswerte von f (x) positiv. Die Steigung der Funktion f (x) ändert an der Stelle x =, wo ein weiteres lokales Minimum vorliegt, erneut ir Vorzeicen und bleibt dann im Bereic < x < positiv. Die zweite Ableitungsfunktion f (x) verläuft im Bereic < x < oberalb der x-acse. Der Grap der Funktion f (x) ist in diesem Bereic linksgekrümmt. Für < x < nimmt f (x) negative Funktionswerte an. Der Grap von f (x) ist in diesem Bereic rectsgekrümmt. Für < x < sind die Funktionswerte von f (x) wieder positiv. Der Grap von f (x) weist in diesem Bereic erneut eine Linkskrümmung auf. An den Stellen x = und x = scneidet der Grap der zweiten Ableitung die x-acse. Es findet an diesen Stellen jeweils ein Vorzeicenwecsel der Funktionswerte von f (x) statt. Der Grap von f (x) wecselt an der Stelle x = von der Linkskrümmung in die Rectskrümmung - und an der Stelle x = von der Rectskrümmung in die Linkskrümmung. Die Punkte W = und sind also W 8 2 = 8 Wendepunkte der Funktion f (x).