MαTZε frühstückt. Steffen Ohrendorf et al. Revision 31 ( )

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1 MαTZε frühstückt Revision 31 ( ) Steffen Ohrendorf et al.

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3 Als Informatiker sollte man immer Linux zu Hause haben. Falls mal Besuch kommt.

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5 Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 Danksagung 2 Eine Bitte 3 I. Mathematische Grundlagen 4 1. Mengenlehre Definitionen Rechenregeln De Morgansche Regeln Relationen Gruppe Ring Körper Lineare Abbildungen Homomorphismus Modulo-Arithmetik Kombinatorik Komplexe Zahlen Sonstiges Polarkoordinaten Vollständige Induktion 13 i

6 Inhaltsverzeichnis II. Lineare Algebra Vektoren, Vektorräume Definitionen Vektorraum Untervektorraum Skalarprodukt Norm Errechnung von Normalen Orthonormalisierungsverfahren Operationen mit zwei Vektoren Kreuzprodukt Vektorraum aus Polynomen Ebenengleichungen Umformungen Parameterform zur Hesseschen Normalform Abstandbestimmung Schnittmengenbestimmung Matrizen Definition Rechenregeln Falksches Schema Quadratische Matrizen Lineare Gleichungssysteme Lösungsmethoden Gauß-Algorithmus Cramersche Regel Methode der kleinsten Quadrate Verallgemeinerte Inverse Darstellung unendlich vieler Lösungen Determinanten Rechenregeln Entwicklungssatz nach Laplace Berechnung nach Gauß Komplementärmatrix Umkehrmatrix Berechnung mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus Berechnung mit der Komplementärmatrix Definitheit Hurwitz-Kriterium Transformationsmatrizen Basistransformation ii

7 Inhaltsverzeichnis 7.7. Orthogonale Matrizen Eigenwerte und -vektoren Lineare Abbildungen Definitionen Überprüfung auf Linearität Berechnung der Abbildung Vektorraum aus Matrizen III. Analysis Folgen Definitionen Wichtige Grenzwerte Rechenregeln Rekursive Folgen Reihen Definitionen Rechenregeln Kriterien Potenzreihen Definitionen Wichtige Grenzwerte Rechenregeln Wichtige Potenzeihen Taylorreihe Taylorreihenentwicklungen Newton-Verfahren Funktionen mehrerer Veränderlicher Allgemeines Stetigkeit Epsilon-Umgebung Weiteres Partielle Ableitungen Allgemeines Extrema Regressionsanalyse Extrema mit Nebenbedingungen Untersuchung der Hesse-Matrix iii

8 Inhaltsverzeichnis Bestimmung der Kandidaten IV. Stochastik Kombinatorik Grundlagen Zufallsexperiment Laplace-Experiment Bernoulli-Experiment Definitionen Zentraler Grenzwertsatz Verteilungen Binomialverteilung Grenzwertsatz von Moivre-Laplace Geometrische Verteilung Hypergeometrische Verteilung Poisson-Verteilung Normalverteilung Exponentialverteilung χ 2 -Verteilung Gamma-Funktion t-verteilung nach Student Mehrere Veränderliche Statistik/Schätzungen Konfidenzintervalle Übersicht 61 V. IT Grundlagen Zahlendarstellungen Stellenwertsystem Codierungen ASCII Unicode Unicode Transformation Format (UTF) Hamming-Code EAN (European Article Number) iv

9 Inhaltsverzeichnis Hash-Summen Huffman-Codierung Von-Neumann Rechnerarchitektur Komponenten CPU Control Unit RAM Bus Flaschenhals Erweiterungen Harvard-Architektur RISC/CISC Betriebssysteme Definition Anforderungen Aufgaben Typen Task Scheduler Batch-Systeme Dialogsysteme Echtzeitsysteme Strategien Speicherverwaltung Physische Speicherverwaltung Virtuelle Speicherverwaltung Auslagerungsstrategien Grafische Algorithmendarstellungen Struktogramme Flussdiagramme Speichermedien Diskette Magnetplatte Solid State Disc (SSD) Compact Disc RAID RAID Typen Dateisysteme Journaling Dateisystemtypen v

10 Inhaltsverzeichnis Windows Unix/Linux Rechteverwaltung Kryptologie Definitionen Einsatzgebiete und Anforderungen Einsatzgebiete Anforderungen Klassische Verfahren Moderne Verfahren Symmetrische Verfahren Asymmetrische Verfahren RSA Verfahren Anwendungsgebiete Signierung von Nachrichten Hybridverfahren Kryptoanalyse Datensicherheit Sicherheitsrisiken Sicherheitsmaßnahmen Bundesdatenschutzgesetz Assembler Grundlagen Register Mnemonics Datenbefehle Mathematische Befehle Sprünge Beispiele Muster von Dr. Alexander Voß Alternative Alternative Compiler-Optimierungen VI. Anhänge 105 A. Formelsammlung 107 A.1. Potenzreihen vi

11 Inhaltsverzeichnis A.2. Andere Reihen A.3. Wichtige Grenzwerte A.4. Integrale und Ableitungen A.4.1. Regeln A.4.2. Einfache Integrale A.4.3. Exponentialfunktionen A.4.4. Logarithmusfunktionen A.4.5. Trigonometrische Funktionen A.4.6. Hyperbolische Funktionen B. Tabellen 112 C. Beispiele 115 C.1. Konvergenz einer Folge C.2. Konvergenz einer Reihe C.3. Extremwerte einer Funktion mehrerer Veränderlicher C.4. Vollständige Induktion C.5. Schnittmengenbestimmung D. L A TEX Symbole 120 D.1. Griechische Buchstaben D.2. Sonstige Symbole D.3. Verhältnisoperatoren D.4. Operatoren D.5. Begrenzungen und Klammern D.6. Große Operatoren, Dekorationen D.7. Abstände D.8. Zahlenmengen D.9. Die MathBB-Zeichen im Überblick D.10.Beispiele D.10.1.Vergleich eingebettete Formeln und abgesetzte Formeln 124 E. Stichworte 125 Mathematik IT Grundlagen Glossar 135 Literaturverzeichnis 136 vii

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13 Vorwort Wichtiger Hinweis Dieses Dokument ist nicht als Skript zu verstehen und sollte nicht als alleinige Basis zum Lernen dienen. Es ist als begleitendes Material gedacht, um eventuell das vorhandene Wissen aufzufrischen. Wer beim Durchlesen oder Nachschlagen ein Thema nicht voll versteht, sollte auf jeden Fall noch einmal einen Blick in das Skript der entsprechenden Vorlesung werfen. Es ist durchaus ratsam, das Studium ernst zu nehmen und in den Vorlesungen nicht zu schlafen, denn sonst passiert sowas hier: (Klausur Analysis I, WS 2011/12) 1

14 Danksagung Ich möchte folgenden Personen danken: Jens Hollmann, Dr. Alexander Voß, Hans Joachim Pflug und Benno Willemsen für die Vorlesungen, Präsentationen, Notizen und Inspirationen. Tim Böhmer für den Teil Kombinatorik auf Seite 10. Frederic Klein für einen wichtigen Teil von Lineare Gleichungssysteme auf Seite 26. Mike Boddin für das Korrekturlesen von Revision 21. Einem Spender, der mich dazu angespornt hat, den Teil Lineare Algebra noch einmal zu überarbeiten und zu vervollständigen. 2

15 Eine Bitte Bitte nehmen Sie sich die Zeit, mir über ch eine kurze Nachricht zukommen zu lassen. Ich weiß selbst, wie gern man etwas benutzt, ohne dem Schöpfer/Ersteller/Autor/etc. eine Nachricht zukommen zu lassen, wie seine Arbeit denn nun ankommt. Ich habe bereits einiges an Arbeit in dieses PDF investiert, und aufgrund der vermutlich geringen Nutzerbasis ist es schwer, überhaupt an Rückmeldungen zu gelangen. Mir geht es nicht darum, dass Sie mich loben lediglich eine Nachricht, dass Sie meine Arbeit nutzen, lässt mich weitermachen. Denn wozu sollte ich mir die Mühe machen, wenn sie ins Leere verpufft? Außerdem bitte ich Sie, nicht zu zögern, mir Fehler und Unvollständigkeiten mitzuteilen. Auf diese Weise weiß ich, dass mein PDF genutzt wird, und Sie helfen auch den anderen Lesern Fehler zu vermeiden. 3

16 Teil I. Mathematische Grundlagen 4

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18 1. Mengenlehre 1.1. Definitionen Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens welche die Elemente der Menge genannt werden zu einem Ganzen. Explizite Aufzählung M = {a,b,c,d,...} Aufzählung nach Eigenschaft P = {x x ist Primzahl} (Cantor) Leere Menge oder {}. Achtung: { } = {{}} ist eine Menge, die eine leere Menge enthält. Es gilt M : M. (Echte) Teilmenge A ist (echte) Teilmenge von B: A B := A B a A : a B. Unechte Teilmenge A ist (unechte) Teilmenge von B: A B := a A : a B. Durchschnitt (Schnittmenge) A B := {x x A x B} Vereinigung A B := {x x A x B} Differenzmenge A\B := {x x A x / B} 1.2. Rechenregeln Prioritäten, absteigend sortiert: Klammern, Komplement, Durchschnitt, Vereinigung. Kommutativgesetz A B = B A, A B = B A Assoziativgesetz (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) Distributivgesetz A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) 6

19 1.3. Relationen Transitivgesetz A B B C A C Komplement R =, = R, A = A Potenzmenge Menge aller Teilmengen einer Menge: P(A). Es ist P(A) = 2 A. Kreuzprodukt A B := {(a,b) a A b B} De Morgansche Regeln A\(B C) = (A\B) (A\C) A\(B C) = (A\B) (A\C) (A B) = A B (A B) = A B 1.3. Relationen Eine Relation R auf einer Menge A ist eine (unechte) Teilmenge von A A. Reflexivität a A : (a,a) R Symmetrie a,b A : (a,b) R (b,a) R Transitivität a,b,c A : (a,b) R (b,c) R (a,c) R Äquivalenzrelation Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M muss reflexiv, symmetrisch und transitiv (rst) sein. Es gilt dann: (a,b) R a b Gruppe Eine nicht-leere Menge M, auf der eine Verknüpfung definiert ist, heißt Gruppe, wenn für x,y,z M gilt: Abgeschlossenheit x y M Assoziativität (x y) z = x (y z) Neutralelement Es existiert genau ein Element n M, für das gilt: x n = n x = x 7

20 1. Mengenlehre Inverses Element Zu jedem x M existiert ein x 1 M, für das gilt 1 : x x 1 = x 1 x = n Mit folgender zusätzlicher Bedingung heißt die Gruppe kommutativ bzw. Abelsch: Kommutativ x y = y x 1.5. Ring Eine nicht-leere Menge M heißt Ring, wenn auf ihr zwei Verknüpfungen und mit folgenden Eigenschaften definiert sind: 1. M ist eine kommutative Gruppe bezüglich. 2. Ohne das Neutralelement bzgl. erfüllt der Rest von M alle Axiome einer Gruppe bezüglich, jedoch nicht das Axiom des inversen Elements. 3. Es gelten die Distributivgesetze ( x, y, z M): (x y) z = (x z) (y z) x (y z) = (x y) (x z) Anmerkung: Das neutrale Element bezüglich der Addition wird oft mit 0 bezeichnet, das neutrale Element bezüglich der Multiplikation oft als Körper Eine nicht-leere Menge M heißt Körper, wenn sie die Eigenschaften des Ringes erfüllt und zusätzlich ein inverses Element bezüglich besitzt Lineare Abbildungen Funktion/Abbildung f : A B oder f : A a f(a) B Definitionsbereich Das A bei f : A B. Zielmenge Das B bei f : A B. Bildmenge f(a) B, auch: Wertemenge/Bild von A bzgl. f. Urbild f -1 (b) := {a A f(a) = b} A, Urbild von b B. 1 Das inverse Element x 1 ist nicht mit dem Kehrwert zu verwechseln. 8

21 1.8. Modulo-Arithmetik Injektivität f(u) = f(v) u = v. Surjektivität f(a) = B. Bijektivität Injektiv und surjektiv Homomorphismus A und B seien Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : A B heißt Homomorphismus bzw. lineare Abbildung, falls gilt: Additivität x,y A : f(x + y) = f(x)+ f(y) Homogenität x A λ K : f(λx) = λf(x) Die Menge der linearen Abbildungen von A nach B wird auch mit Hom(A,B) bezeichnet. Kern von f bzw. Nullraum von f : Ker(f) = {x A f(x) = 0}. Enthält entweder genau ein Element (die 0) oder unendlich viele. Regulär Ker(f) = {0} Singulär Ker(f) = Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus Modulo-Arithmetik Zwei Zahlen a,b Z heißen zu einer festen Zahl m N \ {0} kongruent modulo m, wenn gilt: a b(modm) a b = n m, n N Das heißt, dass die Differenz beider Zahlen a und b durch m teilbar ist. Weiter gelten: (x + y) mod p = ((x mod p)+(y mod p)) mod p (x y) mod p = ((x mod p) (y mod p)) mod p x n mod p = (x mod p) n mod p 9

22 2. Kombinatorik Die Kombinatorik beschreibt eine Auswahl von k Objekten aus n Elementen, welche in einer Ergebnismenge zusammengefasst werden. Gesucht ist dann die Mächtigkeit a der Ergebnismenge. Permutation Berücksichtigung der Reihenfolge Kombination Ignorieren der Reihenfolge Permutation Kombination mit Wdh. PER MW (n,k) = n k KOM MW (n,k) ( ) n + k 1 = k ohne Wdh. PER OW (n,k) ( ) n = k! k KOM OW (n,k) ( ) n = k Betragsstriche beachten! Die Funktionen geben die Kombinationen bzw. Permutationen zurück. Teilchen-/Fächermodell Grundmenge: Fächer, Auswahl: Besetzung der Fächer mit Teilchen. Mächtigkeit der Grundmenge ist Anzahl der Fächer, Experiment erfolgt durch Verteilen der Teilchen in die Fächer. Urnenmodell Grundmenge: Kugeln in Urne, Auswahl: Ziehung der Kugeln. Mächtigkeit der Grundmenge ist Anzahl der Kugeln, Experiment besteht aus Ziehung der Kugeln. 10

23 3. Komplexe Zahlen Definition z = x + iy = re iϕ = r (cos(ϕ)+i sin(ϕ)) Konjugiert komplex z = x iy Betrag z = x 2 + y 2 = z z Potenzen z n = r n exp(n iϕ) Wurzeln n z = n r exp ( iϕ+2kπi n ) k = 0,1,...,(n 1) 11

24 4. Sonstiges 4.1. Polarkoordinaten { +arccos ( ) x füry 0 r ϕ = arccos ( ) x füry < 0 r ( x ) = (sign(y)+1 sign(y) ) arccos r 12

25 5. Beweis durch vollständige Induktion Beispiel vorhanden auf Seite 117. Induktionsanfang (IA) Beweise, dass eine Aussage f(n) = g(n) für ein gewähltes n 0 gilt (i.d.r. für n 0 = 1). Induktionsvoraussetzung (IV) Gleichsetzen der rekursiven Formel und der expliziten Formel, also f(n) = g(n) explizit aufschreiben. Induktionsbehauptung (IB) Satz: Wenn f(n) = g(n) für ein beliebiges aber festes n gilt, so gilt die Aussage auch für n +1. Induktionsschluss (IS) Überprüfen, ob f(n+1) = g(n+1) unter Verwendung der IV stets eine wahre Aussage ergibt, d.h., eine Seite der Aussage muss mit Hilfe der IV in die andere Seite umgeformt werden. Beim Einsetzen der IV sollte über dem Gleichheitszeichen IV stehen. Schlusssatz: Damit ist die IV bewiesen. 13

26 Teil II. Lineare Algebra 14

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28 6. Vektoren, Vektorräume 6.1. Definitionen Vektor Gerichtete Strecke ohne Position. Gebundener Vektor Vektor mit Position, zwischen zwei Punkten: PQ. Ortsvektor Gebundener Vektor mit Position im Ursprung. Parallelität α : a = α b a b (gleiche Richtung: α > 0, gegensätzliche Richtung: α < 0). Orthogonalität a, b = 0 a b a + b 2 = a 2 + b Vektorraum Sei K ein beliebiger Körper und V eine nicht-leere Menge. V heißt Vektorraum, wenn für x,y V und λ,µ K gilt: Folgende Abbildungen sind definiert: x y : V V V, (x,y) x y x y : K V V, (λ,x) λ x V ist eine kommutative Gruppe bezüglich. λ (µ x) = (λ µ) x. 1 x = x (hier ist 1 das Neutralelement bzgl. der Multiplikation aus K). λ (x y) = (λ x) (λ y). (λ+µ) x = (λ x) (µ x). Dabei nennt man die x,y Vektoren und die λ,µ Skalare. Linearkombination n i=1λi vi heißt Linearkombination von v1,..., vn. Lineare Hülle Die Menge aller Linearkombinationen L = { n i=1 λi vi λi K} V heißt lineare Hülle von v 1,..., v n. 16

29 6.1. Definitionen Erzeugendensystem Gilt L( v 1,..., v n) = V, so bilden die Vektoren ein Erzeugendensystem. Basis Auch: minimales Erzeugendensystem. Ist ein Erzeugendensystem, bei dem die Vektoren linear unabhängig sind. Daher hat eine Basis für einen Vektorraum V mit dim(v) = n genau n Basisvektoren. Dimension Hat ein Vektorraum V eine Basis { v 1,..., v n}, so ist dim(v) = n Untervektorraum Eine Teilmenge U eines Vektorraums V über einem Körper K ist ein Untervektorraum, wenn gilt: U x,y U, λ K : x + y U λx U Skalarprodukt V sei bel. Vektorraum über einem Körper K {R,C} und a, b, c V sowie λ K, dann heißt, : V V K Skalarprodukt falls gilt: SP0 a,b K SP1 a, b = b, a (Gilt wegen fehlendem Imaginärteil auch für K C.) SP2 a,b + c = a,b + a,c und a + b,c = a,c + b,c SP3 λa,b = λ a,b = a,λb (Gilt wegen fehlendem Imaginärteil auch für K C.) SP4 a,a = 0 a = 0 und a,a > 0 a 0 Standardskalarprodukt a, b := i aibi Norm Sei V ein Vektorraum über R sowie a,b R n und λ R, dann heißt : V R Norm falls a,b R n und λ R gilt: N0 a R N1 a 0 N2 a = 0 a = 0 N3 λa = λ a 17

30 6. Vektoren, Vektorräume N4 a + b a + b (Dreiecksungleichung) Standardnorm a = a,a (auch euklidische Norm, Zweiernorm oder Betrag) Betragssummennorm a 1 = i ai (auch Einernorm) Maximumnorm a = max({ a i }) Einheitsvektor a = 1 Kanonischer Einheitsvektor a = 1 1a i : a i = Errechnung von Normalen Sei v ein Vektor mit n Komponenten, so lassen sich dazu n 1 linear unabhängige Normalen nach folgendem Prinzip errechnen: 1. Wähle eine Komponente n i Vertausche n i mit einer anderen Komponente n j (i j) und setze die restlichen Komponenten auf Negiere eine der gewählten gebliebenen Komponenten Orthonormalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt Wird benutzt, um aus m linear unabhängigen Vektoren v 1,..., v m paarweise orthogonale normalisierte Vektoren w 1,..., w m zu erzeugen. 1. Ersten normalisierten Vektor erzeugen: w 1 = v1 v 1 2. Errechnen des nächsten orthogonalen Vektors: r k+1 = v k+1 3. Orthogonalen Vektor normalisieren: k v k+1, w i w i i=1 w k+1 = r k+1 r k+1 4. Für jeden weiteren Vektor bei 2. fortfahren. 18

31 6.2. Operationen mit zwei Vektoren Projektion von a in Richtung b a, b b, b b (Fußnote 1 ) Winkel zwischen a und b Schwarzsche Ungleichung a, b 6.2. Operationen mit zwei Vektoren = a b cos(ϕ) a, b a b Dreiecksungleichung a + b a + b Kreuzprodukt Das Kreuzprodukt 2 ist nur definiert 3 im R 3 : a b = a b sin(ϕ). Es gelten folgende Eigenschaften: Antikommutativität a ( ) b = - b a ( ) ( Distributivität a b + c = a ) ( b +( a c) ( a + ) b c analog.) ( ) ( ) Skalierbarkeit α R : (α a) b = α a b = a α b Keine Assoziativität ( a ) ( ) b c a b c Außerdem gilt: a b 2 = a, a b, b a, 2 b 6.3. Vektorraum aus Polynomen Rekursive Faktorzerlegung p n(x) = (x x 0)p n 1(x)+r Zerlegung mit n Nullstellen p n(x) = a n n i=1 (x xi) wobei xi die Nullstellen sind 4. Die Funktionen {1,x,x 2,...,x n } bilden eine Basis von P n (Polynome vom Grad n): dim(p n) = n +1. P n ist genau dann linear unabhängig, wenn n i=0 λixi = 0(x) λ i = 0 0 i n gilt. 1 Auch: Komponente von a entlang b. 2 Auch: Vektorprodukt 3 Das Kreuzprodukt lässt sich auch für beliebige R n definieren, indem man für n > 3 Komponenten auf 0 setzt bzw. Komponenten für n < 3 mit 0 ergänzt. 4 Siehe Hornerschema 19

32 6. Vektoren, Vektorräume 6.4. Ebenengleichungen Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K, x, p, n, r 1,...,n 1 V und λ 1,...,n 1 K. p ist der Ortsvektor der (Hyper-)Ebene, r 1,...,n 1 sind die Richtungsvektoren, n ist die Normale. Ein Körper der Dimension n 1 in einem Vektorraum der Dimension n wird als Hyperebene bezeichnet, für n = 2 als Gerade und für n = 3 einfach als Ebene. Parameterform E : x = p + n 1 i=1 λi ri (Fußnote5 ) Normalform E : x p, n = 0 bzw. E : x, n = p, n (Fußnote 6 ) Hessesche Normalform Wie gewöhnliche Normalform, nur mit n = 1. Koordinatenform Die Gleichung x, n = p, n ausgeschrieben: E : n 1 i=1 xini = p, n Umformungen nach von PF NF KF PF via KF s.u. NF s.u. s.u. KF via NF s.u. Tabelle 6.1.: Umformungswege Ebenengleichungen Parameterform zur Hesseschen Normalform Im R 3 : 1. Normale n bestimmen: Vektorprodukt der Richtungsvektoren bilden und normalisieren. 2. Gleichung aufstellen: E : x, n = p, n, dabei die rechte Seite durch das Ergebnis des Skalarprodukts ersetzen. Normalform zur Koordinatenform Die Gleichung x, n = p, n ausgeschrieben: E : n 1 i=1 xini = p, n. 5 Auch: Punkt-Richtungs-Form. 6 Auch: parameterlose Form. 20

33 6.5. Abstandbestimmung Koordinatenform zur Hesseschen Normalform 1. Aus den Faktoren der x i den Normalenvektor n bestimmen (der i-te Faktor ist die i-te Komponente der Normale) und ggf. normalisieren. 2. Einen beliebigen Punkt p der Ebene ermitteln. 3. Mithilfe der Parameterform die Hessesche Normalform ermitteln. Koordinatenform zur Parameterform 1. n paarweise verschiedene Punkte der Ebene ermitteln. 2. Einen Punkt als Ortsvektor p wählen. 3. Von den restlichen Punkten p abziehen, das sind dann die Richtungsvektoren r 1,...,n 1. Alternativen Die Umrechnung der Koordinaten- und Normalform zur Parameterform lässt sich auch mit Hilfe der Errechnung von linear unabhängigen Normalen zur Ebenennormale durchführen. Siehe dazu Seite Abstandbestimmung Allgemein: 1. Richtung r des Abstandsvektors bestimmen. 2. Vektor a als Vektor zweier beliebiger Punkte auf den beiden Objekten bestimmen (Verbindungsvektor). 3. Kürzester Abstandsvektor ist dann: d = a, r r, r r Hyperebenen r entspricht der Normale der Ebene. Geraden im R 3 Funktioniert nur bei nicht-parallelen Geraden, r entspricht dann dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren Schnittmengenbestimmung Beispiel vorhanden auf Seite Umformung beider Gleichungen in jeweils die parameterlose Form und die Parameterform. 21

34 6. Vektoren, Vektorräume 2. Parameterlose Form in die Parameterform einsetzen und Wert eines Parameters berechnen. 3. Erhaltenen Parameter in die Parametergleichung einsetzen. 22

35 7. Matrizen 7.1. Definition Eine m n-matrix besteht aus m Zeilen und n Spalten. Die Indizes der einzelnen Werte bestehen aus der Zeile gefolgt von der Spalte. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =... a m1 a m2 a mn Die Elemente einer Matrix vom Typ 1 (m,n) lassen sich mit a ij 1 i m 1 j n ansprechen. Man kann Matrizen auch alternativ A = (a ij), i = 1,...,m, j = 1,...,n schreiben. Gleichheit A = B bzw. (a ij) = (b ij) gilt, wenn die Typen gleich sind und i,j : a ij = b ij gilt. Addition, Subtraktion A+B := (a ij + b ij) Nullmatrix a ij = 0, i = 1,...,m, j = 1,...,n { 0 falls i j Einheitsmatrix E = (δ ij) mit δ ij = 1 falls i = j Transponierte Matrix Die transponierte Matrix A T einer Matrix A erhält man durch Vertauschung von Zeilen und Spalten. Inverse Matrix Für die inverse Matrix A -1 gilt AA -1 = A -1 A = E. Es gibt nicht immer ein A -1. Quadratisch m = n Zeilenmatrix m = 1 Spaltenmatrix n = 1 Rang Der Rang einer Matrix ist die Dimension der größten Untermatrix U, für die det(u) 0 ist. 1 Der Typ kann auch als m n geschrieben werden. 23

36 7. Matrizen 7.2. Rechenregeln Multiplikation mit Skalar λa := (λa ij) Multiplikation (allgemein) Voraussetzung: A ist eine m n-matrix, B eine n r-matrix. Dann gilt: C = A B := (c ik ) mit c ik = n j=1 aijb jk. Es entsteht eine m r-matrix. Achtung: Im allgemeinen ist AB BA. Sofern die Produkte existieren, gelten: Distributivgesetz A(B + C) = AB + AC Assoziativgesetz (AB)C = A(BC) = ABC (AB) T = B T A T EA = AE = A Falksches Schema Das Falksche Schema kann als Hilfsmittel zur Matrizenmultiplikation benutzt werden. 1 4 ( ) Hier ein Beispiel für Schritt 1: Die rechte Matrix etwas höher aufschreiben als die linke Schritt 2: Quasi die Skalarprodukte aus den Zeilen von A und den Spalten von B bilden. 24

37 7.3. Quadratische Matrizen... und so weiter Schritt 3: Produkt abschreiben. 1 6 C = Quadratische Matrizen Hauptdiagonale existiert nur bei quadratischen Matrizen (m = n), es sind die Elemente (a kk ) 1 k n gemeint. Nebendiagonalen Siehe unten. Nebendiagonalen (markiert mit n) heißen sowohl die Diagonalen direkt über und direkt unter der Hauptdiagonalen (H) als auch die zur Hauptdiagonalen senkrechte Diagonale. 25

38 7. Matrizen H n n n n n n H Dreiecksmatrix Wenn alle Elemente über der Hauptdiagonalen 0 sind heißt die Matrix untere Dreiecksmatrix. Sind die Elemente unter der Hauptdiagonalen 0, so heißt die Matrix obere Dreiecksmatrix. Diagonalmatrix i j a ij = 0 Symmetrische Matrix a ij = a ji A = A T 7.4. Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus m linearen Gleichungen und n Unbekannten: m a ijx j = b i, 1 i m j=1 Homogen i : b i = 0 Inhomogen i : b i 0 Koeffizientenmatrix (a ij) a 11x 1 + a 12x a 1nx n = b 1 a 21x 1 + a 22x a 2nx n = b a m1x 1 + a m2x a mnx n = b m Erweiterte Matrix Koeffizientenmatrix erweitert um die b i Äquivalenz Zwei erweiterte Matrizen A, B sind äquivalent (Schreibweise: A B), wenn sie dieselben Lösungen haben. Stufenform Die Koeffizientenmatrix der erweiterten Matrix bildet eine obere Dreiecksmatrix (von oben nach unten verschiebt sich die Pivot-Spalte nach rechts). Reduzierte Stufenform Die Koeffizientenmatrix hat pro Zeile und Pivot-Spalte genau eine 1 und sonst nur 0. Bei quadratischen Matrizen bildet die Koeffizientenmatrix eine Einheitsmatrix. 26

39 7.4. Lineare Gleichungssysteme Pivot-Element Das erste Element einer Zeile 2 0. Pivot-Spalte Spalte mit Pivot-Element. Unterbestimmt Weniger linear unabhängige Gleichungen als Unbekannte. Überbestimmt Mehr linear unabhängige Gleichungen als Unbekannte 3. Nicht lösbar Lösungsspalte der reduzierten Stufenform ist eine Pivot-Spalte. Eindeutig lösbar Die Koeffizientenmatrix der reduzierten Stufenform ist eine Einheitsmatrix. Bei quadratischen Koeffizientenmatrizen ist die Determinante 0 (Gleichungen sind linear unabhängig). Mehrdeutig lösbar Das LGS ist unterbestimmt. Bei quadratischen Koeffizientenmatrizen ist die Determinante = 0 (Gleichungen sind linear abhängig) Lösungsmethoden Einfache Verfahren sind Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren (sinnvoll bis max. 3 Unbekannte). Gauß-Algorithmus Standardverfahren, auch bekannt als Gaußsches Eliminationsverfahren. Cramersche Regel Lösungsverfahren mit Hilfe von Determinanten. Methode der kleinsten Quadrate Wird benutzt, um bei überbestimmten Gleichungssystemen diejenige Lösung zu ermitteln, die die geringste Abweichung zum erwarteten Ergebnis liefert. Verallgemeinerte Inverse Wird bei unterbestimmten Gleichungssystemen benutzt, um die Lösung mit der geringsten Norm zu ermitteln Gauß-Algorithmus Ziel Bestimmung der zu einem LGS äquivalenten reduzierten Stufenform unter Verwendung von Äquivalenzumformungen. 2 Auch die Lösungsspalte kann ein Pivot-Element enthalten. 3 Über- und Unterbestimmtheit lassen sich erst nach Reduktion auf die Stufenform angeben. 27

40 7. Matrizen Verwendete Rechenschritte Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Vertauschen zweier Zeilen Skalarmultiplikation mit einem Skalar λ R\{0} Algorithmus 1. Spaltenweises Vorgehen: LGS in eine Stufenform überführen (nicht eindeutig). 2. Zeilenweises Vorgehen: Von unten nach oben das Pivotelement auf 1 bringen, Elemente darüber auf 0 bringen Cramersche Regel Sei A x = b ein lineares Gleichungssystem mit A (n n,k) und x, b K n sowie det(a) 0, dann wird eine Matrix A i definiert als Matrix A, in der die i-te Spalte durch b ersetzt wurde. Die Lösung des Gleichungssystems ist dann gegeben als x i = det(a i) det(a) Methode der kleinsten Quadrate Sei A M(m n,r), m n, A x = b, b R m, dann gilt für die beste Näherungslösung: x = (A T A) -1 A T b Verallgemeinerte Inverse Sei A M(m n,r), m < n, A x = b, b R m, dann gilt für die beste Näherungslösung mit der kleinsten Norm von x: x = A T (AA T ) -1 b Darstellung unendlich vieler Lösungen 1. Reduzierte Stufenform errechnen. 2. Nicht-Pivot-Spalten mit dem entsprechenden freien Koeffizienten durch Subtraktion auf die rechte Seite bringen. 3. Erweiterung um die fehlenden Zeilen: Konstante Vektoren um 0 ergänzen, abhängige Vektoren der entsprechenden freien Koeffizienten um 1 ergänzen. 28

41 7.5. Determinanten Beispiel: ( ) x = y ( ( ) 8 + z Determinanten ) ( ) 15 8 ( ) x 8 15 y = 2 +z 8 z 0 1 Determinanten können nur für quadratische Matrizen berechnet werden. Ihr Wert ist ein Skalar. Bis zur Größe 3 3 gibt es spezielle Gleichungen. Die Menge aller m n-matrizen über einem Körper K wird als M(m n,k) geschrieben. n = 1 det(a 1) = a 1 ( ) a1 b 1 n = 2 det = det( a, a 2 b b) = a 1b 2 b 1a 2 2 a 1 b 1 c 1 n = 3 det a 2 b 2 c 2 = det( a, b, c) = a 1b 2c 3+b 1c 2a 3+c 1a 2b 3 a 1c 2b 3 a 3 b 3 c 3 b 1a 2c 3 c 1b 2a 3 Letzteres lässt sich mit der Regel von Sarrus veranschaulichen: a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 a 2 b 2 c 2 a 2 b Rechenregeln a 3 b 3 c 3 a 3 b Die folgenden Regeln lassen sich analog auch für den R n anwenden. Die Regeln für die Spalten gelten Aufgrund von D6 auch für Zeilen. D1 det( a, b, c) = det( c, a, b) = det( b, c, a) (Rotation von Spalten) D2 det( a, b, c) = -det( b, a, c) (Vertauschung von Spalten) D3 det( a, a, b) = 0 (Duplikat einer Spalte) 29

42 7. Matrizen D4 α R : det(α a, b, c) = α det( a, b, c) (Multiplikation einer Spalte mit einem Skalar) D5 det( a, b, c + d) = det( a, b, c)+det( a, b, d) (Addition zweier Spalten) D6 det(a) = det(a T ) (Invarianz bei Transponierung) Außerdem gilt im R 3 : a b, c = det( a, b, c) (Die Determinante im R 3 gibt also das Volumen des durch die Vektoren a, b und c aufgespannten Spats an.) Weiter gilt: det(ab) = det(a) det(b) Entwicklungssatz nach Laplace Sei A ij definiert als die (n 1) (n 1)-Untermatrix der Matrix A durch Streichen von Zeile i und Spalte j. Dann gilt für die Determinante: Entwicklung nach Zeile i det(a) = n j=1 (-1)i+j a ij det(a ij) Entwicklung nach Spalte j det(a) = n i=1 (-1)i+j a ij det(a ij) Dabei ergibt (-1) i+j ein Schachbrettmuster: Berechnung nach Gauß Formt man die Matrix in eine Dreiecksmatrix um, so gilt für die Determinante: n det(a) = Komplementärmatrix Die Komplementärmatrix (auch Adjunkte genannt) à = (ãij) zu einer Matrix A ist mit Hilfe der Unterdeterminanten (Minore, Einzahl Minor) definiert als Es bietet sich an: ã ij à i=1 a ii = (-1) i+j det(a ji) = adj(a) 30

43 7.5. Determinanten 1. Aufschreiben der Minore und nach dem Schachbrettmuster negieren (also ÃT aufschreiben). 2. Transponieren der neuen Matrix Umkehrmatrix Berechnung mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus Funktioniert wie die Lösung eines linearen Gleichungssystems. Man Schreibt eine Blockmatrix der Form A E auf und versucht, diese mit den Rechenregeln für Determinanten in die Form E B zu bringen. Gelingt dies, so ist B = A Berechnung mit der Komplementärmatrix Es gilt A -1 = 1 det(a)ã Definitheit Eine symmetrische Matrix A ist: positiv definit x 0 : x T A x > 0 positiv semi-definit x 0 : x T A x 0 negativ definit x 0 : x T A x < 0 negativ semi-definit x 0 : x T A x 0 indefinit wenn keine Aussage zutrifft Hurwitz-Kriterium Sei D k die Determinante der k k-teilmatrix von A von links oben bzw. rechts unten. Dann gilt für A: positiv definit D k > 0 positiv semi-definit D k > 0 negativ definit (-1) k D k > 0 negativ semi-definit (-1) k D k 0 31

44 7. Matrizen 7.6. Transformationsmatrizen Die Koordinaten eines Vektors x zu einer Basis A werden als K A ( x) geschrieben und geben die Linearfaktoren zur Basis A an, wodurch die Linearkombination der Vektoren von A zu x eindeutig bestimmt ist. Zur Transformation der Koordinaten von einer Basis A zu einer Basis B und umgekehrt gilt folgendes: Von A nach B K B ( x) = B } {{ -1 A } K A ( x) T A B Von B nach A K A ( x) = A } {{ -1 B } K B ( x) T B A Dabei heißt T A B Transformationsmatrix von A nach B. In T A B stehen die Koordinaten der Einheitsvektoren von A zur Basis B Basistransformation Seien A und A Basen desr m sowie B und B Basen desr n undφ : R m R n eine lineare Abbildung, dann lässt sich eine Abbildungsmatrix M A B(Φ) von Φ bezüglich A und B angeben: K B (Φ( x)) = M A B(Φ) K A ( x) M A B (Φ) = TB B M B(Φ) T A A A K A ( x) T A A K A ( x) 7.7. Orthogonale Matrizen M A B K B (Φ( x)) M A B T B B K B (Φ( x)) Eine Matrix A M(n n,r) heißt orthogonal, wenn A T A = E bzw. A = A -1 gilt. Man schreibt A O(n). Die Spalten- bzw. Zeilenvektoren von A bilden jeweils ein Orthonormalsystem, daher gilt det(a) = 1. Drehmatrix im R 2 A = ( ) cos(ϕ) -sin(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ) 32

45 7.8. Eigenwerte und -vektoren 7.8. Eigenwerte und -vektoren 1. Lösung des charakteristischen Polynoms p(λ) = det(λe A)! = 0, die gefundenen λ sind die Eigenwerte. 2. Einsetzen der λ i in (λ ie A) x = 0. Die speziellen Lösungen x i sind die Eigenvektoren zu den entsprechenden Eigenwerten. 33

46 8. Lineare Abbildungen 8.1. Definitionen Seien V, W Vektorräume über einem Körper K (f : V W ), dann heißt f lineare Abbildung bzw. Homomorphismus, wenn x, y V und λ K gilt: f(x + y) = f(x)+ f(y) f(λx) = λf(x) Die Menge aller Homomorphismen über zwei Vektorräume V, W wird als hom(v,w) bezeichnet. Bild bild(f) = f(v) := {f(v) v V} W (V ist Unterraum von W, wenn f linear ist.) Die lineare Hülle der Spaltenvektoren der m n- Abbildungsmatrix einer Abbildung f : R n R m ist gleich bild(f). Kern ker(f) := {v V f(v) = 0} (auch genannt: Nullraum von f ). Es ist immer 0 ker(f). Außerdem: ker(f) {1, } Rang rg(f) = dim(bild(f)) Dimensionssatz dim(v) = dim(ker(f))+rg(f). Wenn dim(v) = dim(w) <, dann gilt: f injektiv f surjektiv. regulär ker(f) = {0} singulär ker(f) > 1 Injektivität f regulär f injektiv Matrixdarstellung Jede m n-matrix liefert eine lineare Abbildung. Isomorphismus f bijektiv, A quadratisch, det(a) 0. Das Bild der Basis von V ist eine Basis von W. Urbild f -1 := {v f(v) = w w W}. Immer vorhanden. Umkehrabbildung Urbild einer linearen Abbildung: f(f -1 (x)) = f 1 (f(x)) = x 34

47 8.1. Definitionen Überprüfung auf Linearität Es gibt zwei Möglichkeiten: 1. Obige Definition des Homomorphismus überprüfen. 2. f(x) als Matrixdarstellung Ax, dann prüfen, ob f(x) = Ax (gilt nur für R n R m ) Berechnung der Abbildung Seien V, W Vektorräume über einem Körper K, {v 1,...,v n} Basis von V, {w 1,...,w n} beliebige Vektoren von W, dann gilt: 1f : V W 1 i n : f(v i) = w i Damit ist f durch Abbildung der v i eindeutig bestimmt Vektorraum aus Matrizen Vektorraum der m n-matrizen über einem Körper K bzgl. der Matrixaddition und Multiplikation mit einem Skalar: M(m n, K). Invertierbarkeit Wenn A R n n : AA -1 = A -1 A = E gilt, dann heißt A invertierbar und A -1 Inverse von A. A ist genau dann invertierbar, wenn det(a) 0. Es gilt: (A -1 ) T = (A T ) -1 und (λa) -1 = 1 λ A-1. 35

48 Teil III. Analysis 36

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50 9. Folgen Beispiel vorhanden auf Seite Definitionen Nach oben beschränkt S : a n S n Nach unten beschränkt S : a n S n Beschränkt S : a n S n Alternierend a n a n+1 < 0 n Häufungswert Eine Zahl h heißt Häufungswert, wenn es unendlich viele n gibt, für die h a n < ε gilt. Grenzwert Eine Zahl g heißt Grenzwert, wenn n 0 : g a n < ε n n 0 gilt. Dann ist g = lim n an. Konvergenz/Divergenz Eine Folge heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt, sonst divergent. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Nullfolge Eine Folge mit Grenzwert 0 heißt Nullfolge. Satz von Bolzano-Weierstraß Jede beschränkte Folge hat einen Häufungswert. Aus obigen Definitionen lässt sich folgern: Jeder Grenzwert ist ein Häufungswert. Ist h der einzige Häufungswert einer Folge, so ist er auch der Grenzwert der Folge. Eine Folge mit mehreren Häufungswerten ist divergent. Ein h ist ein Häufungswert einer Folge (a n), wenn es eine Unterfolge (a n) gibt, deren Grenzwert h ist. 38

51 9.2. Wichtige Grenzwerte 9.2. Wichtige Grenzwerte n a 1 n n 1 n n! ( 1+ 1 n) n e ( 1+ a ) n e a n ( 1 a ) n e a n 1 n 1 n! n e a n n! 0 a n n! 0 n n n! ( ) a 0 a > 1 n a n n k a > 1 k = const. a n 0 a < 1 k = const. nk 9.3. Rechenregeln a n a b n b a n ± b n a ± b a n b n a b a n b n a fürb b n 0, b 0 an bn a b füra n > 0, a > 0 an c a c füra n > 0, a > 0, c R Arithmetisches Mittel a n a a 1+ +a n n a Geometrisches Mittel a n a, a n > 0 n a 1 a n a Quetschlemma a n,b n a a n x n b n n n 0 x n a Geometrische Folge a n = q n ist für q < 1 eine Nullfolge, für q > 1 divergent. Polynom-Brüche Für a n = P(n) sieht man das Verhalten, wenn man P und Q(n) Q durch die höchste Potenz von n im Nenner kürzt Rekursive Folgen Monotoniekriterium Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent. 39

52 9. Folgen Konvergenzkriterium von Cauchy Eine Folge (a n) konvergiert genau dann, wenn n 0 n,m > n 0 : a m a n < ε gilt 1. 1 Auch bekannt als Kriterium ohne Grenzwert. 40

53 10. Reihen Beispiel vorhanden auf Seite Definitionen Partialsumme s n := n k=0 a k heißt Partialsumme der unendlichen Reihe k=0 a k. Unendliche Reihe Die unendliche Reihe ist definiert als Folge der Partialsummen s n. Konvergenz/Divergenz Ist die Partialsummenfolge konvergent, so konvergiert auch die Reihe. Konvergiert die Partialsummenfolge nicht, so ist die Reihe divergent. Grenzwert Im Konvergenzfall von (s n) ist der Grenzwert der Partialsummenfolge g = lim n sn. Endliche geometrische Reihe n k=0 qk = 1 qn+1 1 q q 1 Geometrische Reihe k=0 qk konvergiert wenn q < 1. Dann ist der Grenzwert 1 1 q. Harmonische Reihe 1 k=0 konvergiert wenn a > 1. k a Notwendiges Konvergenzkriterium k=0 a k konvergiert nur, wenn (a k ) eine Nullfolge ist. Leibnizkriterium k=0 ( 1)k a k, a k > 0 konvergiert nur, wenn (a k ) eine monotone Nullfolge ist. Absolute Konvergenz k=0 a k heißt absolut konvergent, wenn k=0 a k konvergiert. Alternierend a k a k+1 < 0 k N 41

54 10. Reihen Rechenregeln Sind k=1 a k = a, k=1 b k = b konvergente Reihen und ist r R, so gilt: Addition k=1 (a k + b k ) = k=1 a k + k=1 b k = a + b Multiplikation k=1 r a k = r k=1 a k = r a Cauchy-Produkt ( k=0 a k) ( k=0 b k) = k=0 ( k i=0 ai b k i Cauchy-Produkt für absolut konvergente Reihen ( k=0 a k) ( k=0 b k) = a b Cauchy-Schwarz-Ungleichung n k=1 a k b k n k=1 a2 k n k=1 b2 k Minkowsky-Ungleichung n k=1 (a k + b k ) 2 n k=1 a2 k n k=1 b2 k Kriterien Majorantenkriterium k=1 x k ist absolut konvergent, wenn es eine konvergente Reihe k=1 a k a k > 0 gibt, für die k k 0 : x k < a k gilt. Minorantenkriterium k=1 x k ist divergent, wenn es eine divergente Reihe k=1 a k a k > 0 gibt, für die k k 0 : a k < x k gilt. Verdichtungskriterium Ist(x k ) eine monoton fallende Nullfolge, so sind k=1 x k und k=1 2k x (2 k ) entweder beide divergent oder beide konvergent. Quotientenkriterium Sei g = lim und x = k=1 x k, dann ist x absolut x k+1 k x k konvergent für g < 1, divergent für g > 1. Keine Aussage falls g = 1. k Wurzelkriterium Sei g = lim xk und x = k k=1 x k, dann ist x absolut konvergent für g < 1, divergent für g > 1. Keine Aussage falls g = 1. Grenzwertkriterium Sind(a k ) und(b k ) Folgen mit a k,b k > 0 und0 < lim ) a k k b k <, so sind die Reihen entweder beide konvergent oder beide divergent. Integralkriterium Ist f(x) > 0 monoton fallend auf[m, [, so zeigen k=m und f(k) f(x)dx dasselbe Konvergenzverhalten. m 42

55 11. Potenzreihen Definitionen Reihen der Form heißen Potenzreihen. a n(x x 0) n n=0 Koeffizienten sind die a n. Entwicklungspunkt ist das x 0. Konvergenzbereich Menge aller einsetzbaren x, so dass die entstehende numerische Reihe konvergiert. Konvergenzradius Der Konvergenzradius r wird bestimmt durch 1 = lim r oder 1 = lim. r a n+1 n a n n n an Ableitungsregel f (n) (x 0) = n! a n. Daraus folgen f (x) = n=1 nan(x x0)n 1 und f (x) = n=2 n(n 1)an(x x0)n 2, etc Wichtige Grenzwerte n=0 x n = 1 1 x x < 1 n=0 ( ) r x n = (1+x) r x < 1 n Rechenregeln Mit f(x) = n=0 anxn und g(x) = n=0 bnxn : f(x)± g(x) = (a n ± b n)x n n=0 43

56 11. Potenzreihen f(x) g(x) = c nx n mitc n = n=0 Siehe das Cauchy-Produkt auf Seite 42. f(g(x)) = n a k b n k k=0 ( ) n a n b k x k n=0 Potenzreihen dürfen summandenweise differenziert und integriert werden. Dabei bleibt der Konvergenzradius unverändert. k= Wichtige Potenzeihen Taylorreihe Das Taylorpolynom n-ten Grades der Funktion f bei x 0 ist definiert als T n(x) = n k=0 f (k) (x 0) (x x 0) k k! = f(x 0)+ f (x 0) 1! (x x f (x 0) 0)+ (x x 0) 2 + 2! Der Taylorsatz sagt: Ist f in einer Umgebung x 0 hinreichend oft differenzierbar, so gilt f(x) = T n(x) + R n(x), wobei das Restglied definiert ist als: R n(x) = f (n+1) (ξ) (x x0)n+1 (n +1)! wobei ξ zwischen x 0 und x liegt. Achtung! Da ξ i.d.r. nicht bekannt ist, kann man das Restglied nur abschätzen! Taylorreihenentwicklungen Bei rationalen Funktionen kann man eine Partialbruchzerlegung versuchen, um auf folgende Taylorreihen zu kommen (gilt nur für z < 1): 1 1 z = z n 1 1+z = ( 1) n z n 1 (1 z) = (n+1)z n 2 n=0 n=0 n=0 44

57 11.6. Newton-Verfahren Newton-Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung: x n+1 = x n f(xn) f (x n) 45

58 12. Funktionen mehrerer Veränderlicher Allgemeines Schreibweise: f : R n R m. Folgen im R n : x n Analog: Konvergenz, Häufungspunkte, Grenzwert. Konvergenz: ε > 0 : n 0(ε) : n n 0(e) : x n x < ε. f lässt sich als Vektor von Komponentenfunktionen schreiben. Für viele (nicht alle) Eigenschaften gilt: f hat die entsprechende Eigenschaft, wenn alle Komponentenfunktionen diese Eigenschaft haben. Im R n sind alle Normen äquivalent Stetigkeit Sei U R n eine offene Menge, f : U R n, x 0 U. Dann heißt f stetig in x 0, wenn für alle Folgen x n mit Grenzwert x 0 gilt: ( ) lim f( xn) = f lim n n xn = f( x 0) Formal: lim f( x) := lim f( xn) für alle Folgen xn. x x 0 n Epsilon-Umgebung Sei eine Norm im R n, dann heißt U ε( x 0) = { x R n x x 0 < ε} eine Epsilon-Umgebung von x 0 bzgl Weiteres Sei D R n. Innerer Punkt x 0 heißt innerer Punkt, wenn gilt: ε > 0 : U ε( x 0) D. (D.h., x 0 ist kein Randpunkt von D.) Offene Menge D heißt offene Menge, wenn alle Punkte von D innere Punkte sind. 46

59 12.2. Partielle Ableitungen Häufungspunkt x heißt Häufungspunkt, wenn gilt: ε > 0 x x 0 D : x U ε( x 0) Abgeschlossen D heißt abgeschlossen, wenn D alle Häufungspunkte enthält. Kompakt D heißt kompakt, wenn D abgeschlossen und beschränkt ist. Konvex D heißt konvex, wenn a,b D : λ [0;1] : λa + (1 λ)b D gilt. In Worten: Die Verbindungslinie zwischen zwei Punkten a und b liegt komplett in D Partielle Ableitungen Allgemeines Schreibweisen für die Ableitung einer Funktion f( x) nach einer Komponente x i: x i f, D if, f xi. Partiell diff bar Alle partiellen Ableitungen existieren. Stetig partiell diff bar Alle partiellen Ableitungen sind stetig. Ist dies in einem Punkt x 0 der Fall, so ist f in x 0 stetig. Nabla-Operator := ( x 1 ) T x n Gradient Der Gradient einer Funktion f ist eine Zeilenmatrix mit den komponentenweisen partiellen Ableitungen: grad(f) := ( ) T f x1 f xn = f (f ist hier als Skalar anzusehen, sodass die Funktion mit jeder Komponente von multipliziert wird). Divergenz div( f) :=, f Punkte mit div( f) > 0 heißen Quellen, Punkte mit div( f) < 0 heißen Senken. Rotation rot( f) := f Jacobi-Matrix J := A f = f 1. f n Totale Diff barkeit f : R n R m heißt total/vollständig diff bar in x 0, wenn f( x) f( x eine Jacobi-Matrix existiert mit lim 0 ) J( x 0 )( x x 0 ) x x x x 0 = 0. 0 Richtungsableitung im Punkt x 0 in Richtung a: f( x 0) Tangentialebene im Punkt x 0: f( x 0)+ f( x 0)( x x 0) a a 47

60 12. Funktionen mehrerer Veränderlicher Extrema Voraussetzung Die Funktion muss zweimal stetig diff bar sein und auf einer offenen Teilmenge des R n definiert sein. Notwendige Bedingung grad(f)( x 0) = 0 Kritischer Punkt Ein Punkt x heißt kritischer Punkt, wenn er die notwendige Bedingung erfüllt. Hesse-Matrix Für eine Funktion f : R R n ist die Hesse-Matrix definiert als Hf := (f xi x j ) i,j = 1,...,n. Für eine Funktion f : R 3 R wäre die Hesse-Matrix also: f xx f xy f xz Hf = f yx f yy f yz f zx f zy f zz Für zweimal stetig diff bare Funktionen ist die Hesse-Matrix symmetrisch (die Reihenfolge der Ableitungen kann vertauscht werden). Untersuchung der Hesse-Matrix Beispiel vorhanden auf Seite Berechne die kritischen Punkte a. 2. Ermittle für jeden kritischen Punkt die Definitheit 1 von (Hf)( a). (Hf)( a) pos. definit Min. neg. definit Max. indefinit SP. pos. semi-definit Min. SP. neg. semi-definit Max. SP. Höhenlinienmethode Sei x 0 der zu kritische Punkt, dann gilt für das Vorzeichen von lim x x 0 f( x) f( x 0): Stets positiv: x 0 ist Minimum. Stets negativ: x 0 ist Maximum. Alternierend: x 0 ist Sattelpunkt. 1 Siehe dazu das Hurwitz-Kriterium auf Seite

61 Regressionsanalyse Partielle Ableitungen Ziel Möglichst gute Näherung von Messwerten durch eine Kurve. Wichtig Die Art der Kurve muss man vorher festlegen. Für ein Polynom der Art p(x) = n i=1 aixi 1 lassen sich die a i aus m Messpunkten bestimmen durch das LGS: yj m xj x n xj j x 2 j x n+1 j xjy j x n j x n+1 j x 2n j x n j y j j = 1,...,m Die Lösung ergibt die a i. Für eine Punktemenge im R 2 ergibt sich mit der gesuchten Lösung ax +b: ( n n k=1 x2 k k=1 x ) ( ) ( k a n n k=1 x = k=1 x ) ky k n k n b k=1 y k Extrema mit Nebenbedingungen Zuerst die kritischen Punkte x 0 bestimmen, für die grad(f)( x 0) = 0 gilt, bestimmen. Danach eine der folgenden Methoden anwenden Untersuchung der Hesse-Matrix Lagrange-Funktion grad(f)+λ grad(g) = 0 Sei f : R n R mit k Nebenbedingungen (NB) g 1( x),...,g k ( x). Ein Punkt a, der die Nebenbedingungen g 1( x) = 0,...,g k ( x) = 0 erfüllt, erfüllt die Rangbedingung, wenn die Gradienten (grad(g 1))( a) bis (grad(g k ))( a) linear unabhängig sind: (grad(g 1))( a) rg. = k (grad(g k ))( a) Bestimmung der Kandidaten 1. Punkte, die die Rangbedingung nicht erfüllen, aber alle NB, sind Kandidaten. 49

62 Teil IV. Stochastik 50

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64 13. Kombinatorik Für vertiefende Erklärungen und Übungsaufgaben mit Lösungen empfiehlt sich [Pap11] Grundlagen Variation oder Permutation beschreibt die Möglichkeiten, n Elemente unter Beachtung der Reihenfolge anzuordnen. Man spricht von geordneten Stichproben. Kombination beschreibt die Möglichkeiten, n Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge anzuordnen. Man spricht von ungeordneten Stichproben. Wiederholung wird auch als Ziehen mit Zurücklegen beschrieben. Anzahl der Ziehungen heißt Ordnung. mit Wdh. ( ) ohne Wdh. ( ) n + k 1 n Kombination C W (n;k) = C(n;k) = k k Variation V W (n;k) = n k V(n;k) = n! (n k)! Tabelle 13.1.: Kombinatorikfunktionen Zufallsexperiment Bedingungen: Das Experiment lässt sich unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholen. Es gibt mehrere sich gegenseitig ausschließende Ereignisse. Diese Ereignisse heißen Elementarereignisse. Sie werden mit dem kleinen Omega bezeichnet: ω i. Die Menge aller Elementarereignisse heißt Ergebnismenge: Ω. Eine Teilmenge A von Ω heißt Ereignis. 52