Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.2/??
|
|
- Leander Neumann
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Zustandsraummodelle und Kalman Filter Kapitel 15 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.0/?? Lernziele Repräsentation eines Zustandsraums: Beobachtungs- und Zustandsgleichung Ein Strukturmodell Darstellung eines ARIMA Modells als Zustandsraummodell Die Kalman Rekursion Schätzen von Zustandsraummodellen Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.1/?? Warum Zustandsraummodelle? Zustandsraummodelle, state space models, SSM, stellen eine Verallgemeinerung von ARIMA Modellen dar. Das strukturelle Zeitreihenmodell von Harvey(1990) kann ebenfalls eingebettet werden. Es ist eine stochastische Version der klassischen Zerlegung von Zeitreihen in Trend, Saison und irregulärer Komponente. Die Kalman Rekursionen erlauben eine einheitliche Behandlung von Schätzung, Prognose und Glättung basierend auf der Markoff Eigenschaft von Zustandsraummodellen. SSM erlauben eine einfache Berücksichtigung von fehlenden Beobachtungen. Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p./??
2 Notation Im Folgenden bezeichnet W t einen n-dimensionalen Vektor von ZVen für t = 1,,.... W t WN(0, R t ) bezeichnet einen n-dimensionalen white noise, der das Mittel Null und Kovarianzmatrizen der Form E(W s W R t für s = t t) = 0 sonst besitzt. Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.3/?? Zustandsraummodell Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.4/?? Die Beobachtungsgleichung Ein Zustandsraummodell für eine Zeitreihe {Y t, t = 1,,...} besteht aus Gleichungen. Die Beobachtungsgleichung: Y t = G X t + W t Sie besagt, dass die n-dimensionale Beobachtung Y t eine lineare Funktion einer r-dimensionalen Zustandsvariablen X t plus einer n-dimensionalen Störung ist. Wobei die Störung W t WN(0, R) und die Koeffizientenmatrix G die Dimension n r hat. Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.5/??
3 Die Zustandsgleichung, Anfangswert Die Zustandsgleichung: X t+1 = F X t + V t Die Koeffizientenmatrix F hat die Dimension r r, die Störung V t WN(0, Q), und beide Störungen V t und W t sind unkorreliert (ie E(W t V s) = 0 für alle s und t). Der Anfangswertvektor X 1 ist unkorreliert mit allen V t und W t. Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.6/?? Verallgemeinerungen Zeitabhängige Koeffizienten Die Matrizen G und F können zeitabhängig als G t und F t, t = 1,,..., gewählt werden. Zeitabhängige Kovarianzmatrizen der Fehler Die Matrizen R und Q können zeitabhängig als R t und Q t, t = 1,,..., gewählt werden. Kontrollvariable Zum Steuern des Systems kann in die Zustandsgleichung ein Kontrollterm der Form (H t u t ) mit der Kontrollvariablen u t eingeführt werden. Konstante und exogene Variable, Z t Y t = a t + G t X t + E t Z t + W t, X t+1 = b t + F X t + V t Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.7/?? Die rekursive Darstellung Wir lösen die Zustandsgleichung rekursiv: X t = F X t 1 + V t 1 = F (F X t + V t ) + V t 1... = F t 1 X 1 + F t V V t 1 = f(x 1, V 1,..., V t 1 ) und somit (ohne exogene Variable) Y t = a t + G t X t + W t = g(x 1, V 1,..., V t 1 ; a t, W t ) Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.8/??
4 Stochastische Eigenschaften Aus der rekursiven Darstellung folgt: Vergangene und gegenwärtige X s, wie auch Y s, sind unkorreliert mit V t. E(V t X s) = E(V t Y s) = 0, 1 s t Vergangene und gegenwärtige X s sind unkorreliert mit W t. E(W t X s) = 0, 1 s t Vergangene Y s sind unkorreliert mit W t. E(W t Y s) = 0, 1 s < t Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.9/?? Markoffeigenschaft, Stabilität des Systems Ist die Folge X 1, V 1,..., V t 1,... nicht nur unkorreliert, sondern auch unabhängig, so gilt für X t die Markoffeigenschaft. Ie, die Verteilung von X t+1 hängt nur vom Zustand X t in t ab. Die Fortsetzung der obigen Rekursion ergibt X t = F j V t j 1 j=0 Die Zustandsgleichung ist stabil, wenn die Eigenwerte der Matrix F innerhalb des Einheitskreises liegen, λ F < 1. (Bzw det(i F z) = 0 für z > 1, die Wurzeln außerhalb des Einheitskreises.) Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.10/?? Zustandsraumdarstellung Eine Zeitreihe {Y t, t = 1,,...} besitzt eine Zustandsraumdarstellung, wenn für {Y t } ein Zustandsraummodell existiert. Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.11/??
5 ARIMA und Zustandsraummodelle Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.1/?? AR(1) Sei {Y t } ein 1-dimensionaler AR(1) Prozess Y t = α Y t 1 + Z t, α < 1, Z t WN(0, σ ) Wir definieren die Beobachtungs- und Zustandsgleichungen als Y t = X t, X t+1 = α X t + V t, t = 1,,... Die Koeffizientenmatrizen G und F sind: G = 1 und F = α, die Störungen W t = 0, ie R = 0, und V t = Z t. Der Anfangswert für X 1 ergibt sich aus der Rekursion eines AR(1) X 1 = j=0 α j Z 1 j Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.13/?? Das SSM eines AR(1) Der AR(1): Der AR(1) ist für t =,..., 1, 0, 1,..., nur definiert, wenn α < 1 ist. Geht man von einem Anfangszeitpunkt t = 1 mit einem Anfangswert X 1 aus, so ist der Prozess für beliebige α, also zb auch für α = 1, definiert. Das SSModell: Ausgehend von X 1 ist der Prozess für alle α und t = 1,,... definiert. Daher kann man auch nicht-stationäre Prozesse modellieren. Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.14/??
6 AR(p) Beobachtungsgleichung Sei {Y t } ein 1-dimensionaler AR(p) Prozess, t = 0, ±1, ±,..., Y t = α 1 Y t α p Y t p + Z t, Z t WN(0, σ ) mit α(z) = 1 α 1 z... α p z p = 0 für z > 1. Wir führen einen p-dimensionalen Zustandsvektor X t ein X t = (Y t p+1, Y t p+,..., Y t ) Die Beobachtungsgleichung Y t = G 1 p X t + W t lautet Dabei ist W t = 0. Y t = [ ] X t Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.15/?? AR(p) Zustandsgleichung Die Zustandsgleichung X t+1 = F p p X t + V t ist X t+1 = α p α p 1 α p... α 1 X t Z t+1 mit V t = (0, 0,..., Z t+1 ). Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.16/?? ARMA(1, 1) Sei {Y t } ein 1-dimensionaler AR(1, 1) Prozess, t = 0, ±1, ±,..., Y t = α Y t 1 + Z t β Z t 1, Z t WN(0, σ ) mit α, β < 1. Wir definieren ein U t = (1 β L) 1 Y t, sodass (1 α L)[(1 β L) 1 Y t ] = (1 α L) U t = Z t und Y t = (1 β L) U t Wir führen einen -dimensionalen Zustandsvektor X t ein X t = (U t 1, U t ) Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.17/??
7 ARMA(1, 1)- Ein SSM Die Beobachtungsgleichung Y t = G 1 X t + W t lautet Dabei ist W t = 0. Y t = [ β 1] X t Die Zustandsgleichung X t+1 = F X t + V t ist X t+1 = 0 1 X t + 0 Z t+1 0 α 1 mit V t = (0, 0,..., Z t+1 ). (Y t = U t β U t 1, U t = U t, U t+1 = α U t + Z t+1 ) Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.18/?? ARIMA(1, 1, 1) Ist {Y t } ein ARIMA(1, 1, 1), so ist { Y t } ein ARIMA(1, 0, 1). Dh Y t hat die Darstellung von oben Y t = G X t X t+1 = F X t + V t. Y t ergibt sich aus Y t als Y t = Y t + Y t 1 = G X t + Y t 1 Die Beobachtungsgleichung mit t = 1,,... wird zu [ ] Y t = G 1 X t Y t 1 Ein neuer Zustandsvektor T t, definiert durch stacking von X t und Y t 1, liefert die Zustandsgleichung T t+1 = X t+1 = F 0 T t + V t Y t G 1 0 Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.19/?? Das Strukturmodell Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.0/??
8 Beobachtungsgleichung ohne Saison Das Zustandsraummodell ist sehr flexibel. Es erlaubt einfach deterministische und stochastische (lokale) Trends, wie auch deterministische und stochastische Saison zu beschreiben. Das Komponentenmodell (ohne Saison) besitzt die Beobachtungsgleichung Y t = M t + W t, W t WN(0,σ v) Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.1/?? Modell mit deterministischem Niveau Nehmen wir an M t = m t, m t deterministisch, so können unterschiedliche Niveaus m t zu verschiedenen Zeitpunkten vorgegeben werden. Die (erweiterte) Zustandsgleichung lautet M t+1 = m t+1 + F M t + V t mit F = 0 und E(V t ) = Var(V t ) = 0. Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p./?? Modell mit stochastischem Niveau Die Zustandsgleichung ist M t+1 = M t + V t, V t WN(0,σ v) mit Anfangsniveau M 1. Sie ist ein random walk ohne Drift. Zusammen mit der Beobachtungsgleichung ergibt sich ein random walk plus noise. Y t = M t + W t, M t+1 = M t + V t Dieser Prozess ist ein ARIMA(0, 1, 1). Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.3/??
9 Stoch Niveau und ARIMA(0, 1, 1) Der differenzierte Prozess Y t gehorcht Y t = Y t Y t 1 = V t 1 + W t W t 1 Er ist stationär mit Mittel Null und besitzt die ACF {ρ 0, ρ 1, ρ, ρ 3,...} = {1, σ w/(σw +σv), 0, 0,...} eines MA(1) Prozesses ρ 1 = β/(1 + β ), ρ s = 0, s > 1, mit ( Y t ) = Z t β Z t 1 V( Y t ) = σ w +σ v = (1 + β )σ z. β explizit ist β = 1 σw (σw +σv σ v σv + 4σw) Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.4/?? Modelle mit lokalem Niveau u lok Steigung Die Zustandsgleichung ist M t+1 = M t + B t + V t Lokales determ Niveau und lokale determ Steigung M t+1 = m t + β t, m t,β t gegeben Stochastisches Niveau und lokale determ Steigung M t+1 = M t + β t + V t, β t gegeben Determ Niveau und stoch Steigung, m t gegeben M t+1 = m t + B t, B t+1 = B t + U t, U t WN(0,σu) Stoch Niveau und stoch Steigung, V t WN(0,σv) M t+1 = M t + B t + V t, B t+1 = B t + U t, U t WN(0,σu) Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.5/?? Die SS-Form f stoch Niveau u stoch Steigung Wir führen einen Zustandsvektor X t = (M t, B t ) ein. Die Zustandsgleichung ist X t+1 = M t+1 B t+1 = X t + V t U t Die Beobachtungsgleichung ist [ Y t = 1 0 ] X t + W t Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.6/??
10 Beispiel - Linearer Trend Beispiel: Linearer Trend Beobachtungsgleichung: Y t = a + b t +ǫ t Y t = M t + V t, {V t } WN(0,σv) Zustandsgleichung: M t+1 = M t + β t mit M 1 = a, β t = b, V t = ǫ t Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.7/?? Die Kalman Rekursionen Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.8/?? Prognose-, Filter-, Glättungsproblem Die Kalman Rekursionen geben Lösungen im Sinne der Minimierung der Fehlerquadratsumme für das Prognoseproblem: Gegeben Y 0, Y 1,..., Y t 1, gesucht Y t. Filterproblem: Gegeben Y 0, Y 1,..., Y t, gesucht Y t. Glättungsproblem: Gegeben Y 0, Y 1,..., Y T, T > t, gesucht Y t. für Y 0 = (1,..., 1), Vektor der Konstanten, und t = 1,,..., an. Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.9/??
11 Prognose eines Vektors Im Gegensatz zum univariaten Fall, prognostizieren/filtern/glätten wir hier einen Vektor. Prognostizieren/Filtern/Glätten ist komponentenweise zu verstehen. ZB für die 1-Schritt Prognose eines Vektors X t : ˆX t t 1 = ( ˆX 1,t t 1,..., ˆX n,t t 1 ) Wir schreiben ˆX k,t t 1 = E(X k,t Y 0, Y 1,..., Y t 1 ) ˆX t t 1 = E(X t Y 0, Y 1,..., Y t 1 ) = E t 1 (X t ) Hier ist E t 1 (X t ) die Projektion von X t auf die Vergangenheit von Y t inklusive einer Konstanten. Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.30/?? Kalman Rekursion für die Prognose Wir geben nur die Kalman Rekursion für die Prognose an. Der Kalman Filter berechnet rekursiv die 1-Schritt Prognosen ˆX 1 0, ˆX 1, usw zusammen mit der Folge der MSE-Matrizen der 1-Schritt Prognosefehler, Ω t t 1 = E[(X t ˆX t t 1 )(X t ˆX t t 1 ) ] Wir beginnen mit ˆX 1 0 = E(X 1 ), Ω 1 0 = E[(X 1 EX 1 )(X 1 EX 1 ) ] E(X 1 ) ist die unbedingte Erwartung von X 1. Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.31/?? Kalman Rekursion für die Prognose (Fs) Und weiter, t = 1,,..., gelten die Rekursionen ˆX t+1 t = F ˆX t t 1 + Θ t 1 t (Y t G ˆX t t 1 ) mit Ω t+1 t = F Ω t t 1 F + Q Θ t 1 t Θ t t = G Ω t t 1 G + R, Θ t = F Ω t t 1 G 1 t ist die generalisierte Inverse von t. Die 1-Schritt Prognose für Y t ist einfach Ŷ t t 1 = G ˆX t t 1 Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.3/??
12 Kalman Rekursion für die Prognose (Fs) Interpretation der Rekursion für ˆX t+1 t Die Prognose für X t+1 ist eine Linearkombination aus der letzten Prognose ˆX t t 1 und dem Prognosefehler der Prognose von Y t. Oft werden die einzelnen Schritte als (1) Anfangswerte festlegen (diskutieren wir nicht) () Prognose von Y t, Ŷ t t 1 (3) Update von X t berechnen, ˆX t t (hier nicht explizit sichtbar) (4) Prognose von X t+1, ˆX t+1 t beschrieben. Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.33/?? Exkurs: Generalisierte Inverse Gegeben sei eine Matrix A r s. Die generalisierte Inverse X = A 1 s r zu A ist eine Lösung der Gleichung A X A = A Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.34/?? Die h-schritt Prognose Die h-schritt Prognose, ˆX t+h t = E t X t+h, ergibt sich aus ˆX t+1 t = F ˆX t t 1 + Θ t 1 t (Y t Ŷ t t 1 ) ˆX t+h t = F ˆX t+h 1 t Aus der Beziehung = F h ˆX t+1 t Ŷ t+h t = G ˆX t+h t X t+h ˆX t+h t = F (X t+h 1 ˆX t+h 1 t ) + V t+h 1 finden wir für h =, 3,... Ω t+h t = F Ω t+h t F + Q Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.35/??
13 Die h-schritt Prognose (Fs) Analog ergibt sich für h = 1,, 3,... (h) t := E[(Y t+h Ŷ t+h t ) (Y t+h Ŷ t+h t ) ] bzw (h) t = G Ω t+h t G + R Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.36/?? Beispiel: Random walk plus noise Das Modell ist Y t = X t + W t, W t WN(0,σ w) X t+1 = X t + V t, V t WN(0,σ v) In die Kalman Prognosegleichung setzen wir für Y 0 := 1, G = 1, F = 1 und R = σ w, Q = σ v. Ŷ t+1 t = E t Y t+1 = ˆX t t 1 + Θ t t (Y t Ŷ t t 1 ) = (1 a t ) Ŷ t t 1 + a t Y t [Ŷ t t 1 = G ˆX t t 1 und ˆX t+1 t = F ˆX t t 1 + Θ t 1 t (Y t G ˆX t t 1 )] a t = Θ t t = Ω t t 1 Ω t t 1 +σ w Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.37/?? Beispiel: Random walk plus noise (Fs) Ω t t 1 = Ω, Ω t t 1 ist unabhängig von t, so existiert eine steady-state Lösung, Ω t+1 t = Ω = Ω t t 1. Ω Ω t+1 t = Ω +σv Ω +σw = Ω Lösung der quadratischen Gleichung für Ω > 0 ist Ω = 1 (σ v + σv 4 + 4σ vσw) und die a t konvergieren mit t zu a mit a = Ω Ω +σw Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.38/??
14 Schätzung von Zustandsraummodellen Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.39/?? Die Likelihood Sei θ ein Vektor, der alle Parameter, die in dem Modell auftreten umfasst. Die Likelihood ist L(θ; Y 1,..., Y T ) = T f t (Y t Y t 1,..., Y 0 ) t=1 Dies folgt aus der einfachen Beziehung für die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts von zwei Ereignissen A und B Bei drei Ereignissen: P(A B) = P(A) P(B A) P(A B C) = P(A) P(B A) P(C B, A) Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.40/?? Die Gaussian Likelihood Unter Annahme von gemeinsam normalverteilten Fehlern ist Y t X t und W t MVN(0, R) X t+1 Y t,..., Y 0 MVN( ˆX t+1 t, Ω t+1 t ) wie oben angegeben. Unter sehr allgemeinen Bedingungen gilt, dass der ML Schätzer konsistent, asymptotisch normalverteilt, asymptotisch unverzerrt und asymptotisch effizient ist. Dh die üblichen t-tests können angewendet werden. Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Zustandsraummodelle und Kalman Filter 15 p.41/??
Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Multivariate Normalverteilung und ML Schätzung 11 p.2/38
Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Multivariate Normalverteilung und ML Schätzung Kapitel 11 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Multivariate
MehrDynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Saisonbereinigung und Glättung 10 p.2/??
Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Saisonbereinigung und Glättung Kapitel 10 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Saisonbereinigung und Glättung
MehrDynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Systeme von Differenzengleichungen 6 p.2/??
Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Systeme von Differenzengleichungen Kapitel 6 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Systeme von Differenzengleichungen
MehrZeitreihenanalyse. Seminar Finanzmathematik. Andreas Dienst SS Einleitung - Begrüßung - Motivation - Inhaltsangabe. 2.
Seminar Finanzmathematik - Begrüßung - Motivation - Inhaltsangabe 3. Zusammen - fassung Zeitreihenanalyse Andreas Dienst SS 2006 Zeitreihen: Definition und Motivation - Begrüßung - Motivation - Inhaltsangabe
Mehr7. Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle
7. Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle Regelmäßigkeiten in der Entwicklung einer Zeitreihe, um auf zukünftige Entwicklung zu schließen Verwendung zu Prognosezwecken Univariate Zeitreihenanalyse
MehrStatistik Klausur Sommersemester 2013 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN!
Statistik 2 1. Klausur Sommersemester 2013 Hamburg, 26.07.2013 A BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN! Nachname:............................................................................ Vorname:.............................................................................
MehrDefinition und Beispiele. Lineare Prozesse. Kausalität und Invertierbarkeit. Berechnung der Autokovarianzfunktion. Prognosen in ARMA-Modellen
Kap. 2: ARMA-Prozesse Definition und Beispiele Lineare Prozesse Kausalität und Invertierbarkeit Berechnung der Autokovarianzfunktion Prognosen in ARMA-Modellen Wold-Darstellung 2.1 Definition und Beispiele
MehrZeitreihenanalyse in den Wirtschafts Wissenschaften
Klaus Neusser Zeitreihenanalyse in den Wirtschafts Wissenschaften 2., aktualisierte Auflage STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Zeichenerklärung XI XIII XV I Univariate Zeitreihenanalyse
MehrDynamische Modelle: Stabilität und Interpretation
1 / 25 Dynamische Modelle: Stabilität und Interpretation Kapitel 17 Angewandte Ökonometrie / Ökonometrie III Michael Hauser 2 / 25 Inhalt Kurz- und langfristige Effekte Einmalige Änderung in X Permanente
MehrStochastik-Praktikum
Stochastik-Praktikum Zeitreihenanalyse Peter Frentrup Humboldt-Universität zu Berlin 19. Dezember 2017 (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember 2017 1 / 13 Übersicht 1 Zeitreihen
MehrZerlegung von Zeitreihen
Kapitel 7 Zerlegung von Zeitreihen Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden VII Zerlegung von Zeitreihen 1 / 39 Lernziele Klassische Zerlegung von Zeitreihen Saisonbereinigungsverfahren: Gleitende Durchschnitte
MehrStochastische Prozesse und Box-Jenkins Technik
Stochastische Prozesse und Box-Jenkins Technik Stichwörter: AR-, MA- und ARMA-Prozeß weißes Rauschen random walk Autokorrelations-Funktion Stationarität Invertierbarkeit Korrelogramm Box-Jenkins Technik
MehrGewöhnliche Autokorrelationsfunktion (ACF) eines stationären Prozesses {X t } t Z zum Lag h
5. Die partielle Autokorrelationsfunktion 5.1 Definition, Berechnung, Schätzung Bisher: Gewöhnliche Autokorrelationsfunktion (ACF) eines stationären Prozesses {X t } t Z zum Lag h ρ X (h) = Corr(X t, X
MehrDynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.2/29
Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Komplexe Zahlen Kapitel 3 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.0/29 Motivation Für die
MehrVAR- und VEC-Modelle. Kapitel 22. Angewandte Ökonometrie / Ökonometrie III Michael Hauser
1 / 42 VAR- und VEC-Modelle Kapitel 22 Angewandte Ökonometrie / Ökonometrie III Michael Hauser 2 / 42 Inhalt VAR-Modelle, vector autoregressions VARX in Standardform und Strukturform VAR: Schätzung in
MehrMathematisches Institut
Mathematisches Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München Diplomarbeit Zustandsraum-Modelle, Kalman-Rekursionen und EM-Algorithmus Emil Ratko Aufgabensteller: Prof. Dr. Helmut Pruscha Abgabetermin:
MehrKapitel 8. Einfache Regression. Anpassen des linearen Regressionsmodells, OLS. Eigenschaften der Schätzer für das Modell
Kapitel 8 Einfache Regression Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden VIII Einfache Regression 1 / 21 Lernziele Lineares Regressionsmodell Anpassen des linearen Regressionsmodells, OLS Eigenschaften
Mehr2 Stationarität. Strikte Stationarität
2 Stationarität. Strikte Stationarität Die in 1 benutzten Begriffe sind noch zu präzisieren : Definition 2.1. a) Ein stochastischer Prozess {X t } t T heißt strikt stationär, falls für je endlich viele
MehrDSGE-Modelle. Linearisierung und Lösung. Institut für Ökonometrie und Wirtschaftsstatistik Münster
DSGE-Modelle Linearisierung und Lösung Dr. Andrea Beccarini Willi Mutschler, M.Sc. Institut für Ökonometrie und Wirtschaftsstatistik Münster willi.mutschler@uni-muenster.de Sommersemester 2012 Willi Mutschler
Mehr5. Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren
5. Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren Stichwörter: Trend, Saisonalität, Noise, additives Modell, multiplikatives Modell, Trendfunktion, Autokorrelationsfunktion, Korrelogramm, Prognosehorizont, Prognoseintervall,
MehrStatistische Analyseverfahren Abschnitt 2: Zufallsvektoren und mehrdimensionale Verteilungen
Statistische Analyseverfahren Abschnitt 2: Zufallsvektoren und mehrdimensionale Verteilungen Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Oktober 2018 Prof. Dr. Hans-Jörg
MehrInstitut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg. PROGNOSE II - Vertiefung Aufgaben und Lösungen Sommersemester 2004
Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg PROGNOSE II - Vertiefung Aufgaben und Lösungen Sommersemester 2004 Aufgabe 1 U t bedeute weißes Rauschen und B den Backshift
MehrLineare Regression. Kapitel Regressionsgerade
Kapitel 5 Lineare Regression 5 Regressionsgerade Eine reelle Zielgröße y hänge von einer reellen Einflussgröße x ab: y = yx) ; zb: Verkauf y eines Produkts in Stückzahl] hängt vom Preis in e] ab Das Modell
MehrStochastik Praktikum Parametrische Schätztheorie
Stochastik Praktikum Parametrische Schätztheorie Thorsten Dickhaus Humboldt-Universität zu Berlin 05.10.2010 Prolog Momentenmethode X : Ω 1 Ω Zufallsgröße, die Experiment beschreibt. Ein statistisches
MehrDynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Beschreiben von Zeitreihen 9 p.2/??
Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Beschreiben von Zeitreihen Kapitel 9 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Beschreiben von Zeitreihen 9 p.0/??
Mehr3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit
3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit Lernziele dieses Kapitels: Mehrdimensionale Zufallsvariablen (Zufallsvektoren) (Verteilung, Kenngrößen) Abhängigkeitsstrukturen Multivariate
MehrDynamische Modelle: Schätzen und Modellwahl
1 / 23 Dynamische Modelle: Schätzen und Modellwahl Kapitel 18 Angewandte Ökonometrie / Ökonometrie III Michael Hauser 2 / 23 Inhalt Dynamische Modelle und autokorrelierte Fehler Tests auf Autokorrelation
MehrRegressionsmodelle mit Anwendungen in der Versicherungs- und Finanzwirtschaft Probeklausur Wintersemester 2017/
Regressionsmodelle mit Anwendungen in der Versicherungs- und Finanzwirtschaft Probeklausur Wintersemester 2017/2018 06.12.2018 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:...................................................................
Mehr6.1 Definition der multivariaten Normalverteilung
Kapitel 6 Die multivariate Normalverteilung Wir hatten die multivariate Normalverteilung bereits in Abschnitt 2.3 kurz eingeführt. Wir werden sie jetzt etwas gründlicher behandeln, da die Schätzung ihrer
MehrII Stationäre Zeitreihen
II Stationäre Zeitreihen Bei der Modellierung von Zeitreihen in Anwendungen spielen ARMA(p, q)-modelle eine wichtige Rolle. Sie sind als stationäre Lösungen stochastischer Differenzgleichungen mit konstanten
Mehr13 Grenzwertsätze Das Gesetz der großen Zahlen
13 Grenzwertsätze 13.1 Das Gesetz der großen Zahlen Der Erwartungswert einer zufälligen Variablen X ist in der Praxis meist nicht bekannt. Um ihn zu bestimmen, sammelt man Beobachtungen X 1,X 2,...,X n
MehrKapitel 6 Martingale
Kapitel 6 Martingale Martingale spielen eine große Rolle in der Finanzmathematik, und sind zudem ein wichtiges Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer Prozesse, insbesondere auch für Zählprozesse
MehrKointegration. Kapitel 19. Angewandte Ökonometrie / Ökonometrie III Michael Hauser
1 / 28 Kointegration Kapitel 19 Angewandte Ökonometrie / Ökonometrie III Michael Hauser 2 / 28 Inhalt I(d), Trends, Beispiele Spurious Regression Kointegration, common trends Fehlerkorrektur-Modell Test
Mehr13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren
3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem
MehrMathematik 2 Probeprüfung 1
WWZ Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät der Universität Basel Dr. Thomas Zehrt Bitte in Druckbuchstaben ausfüllen: Name Vorname Mathematik 2 Probeprüfung 1 Zeit: 90 Minuten, Maximale Punktzahl: 72 Zur
Mehry = b 0 + b 1 x 1 x 1 ε 1. ε n b + b 1 1 x n 2) Hat die Größe x einen Einfluss auf y, d.h. gilt die Hypothese: H : b 1 = 0
8 Lineare Modelle In diesem Abschnitt betrachten wir eine spezielle Klasse von statistischen Modellen, in denen die Parameter linear auftauchen Wir beginnen mit zwei Beispielen Beispiel 8 (lineare Regression)
MehrSimultane Mehrgleichungssysteme: Parameterschätzung
Simultane Mehrgleichungssysteme: Parameterschätzung Stichwörter: Eigenschaften des OLS-Schätzers Hilfsvariablenschätzer 2SLS limited information Methoden 3SLS FIML full information Methoden o1-21.tex/0
MehrEinführung und Grundlagen
Kapitel 1 Einführung und Grundlagen Generelle Notation: Ω, A, P sei ein W-Raum im Hintergrund nie weiter spezifiziert Die betrachteten Zufallsvariablen seien auf Ω definiert, zb X : Ω, A M, A, wobei M,
MehrJohn Komlos Bernd Süssmuth. Empirische Ökonomie. Eine Einführung in Methoden und Anwendungen. 4y Springer
John Komlos Bernd Süssmuth Empirische Ökonomie Eine Einführung in Methoden und Anwendungen 4y Springer 1 Einführung 1 1.1 Ökonometrie 1 2 Vorüberlegungen und Grundbegriffe 7 2.1 Statistik als Grundlage
Mehr1 Einführung Ökonometrie... 1
Inhalt 1 Einführung... 1 1.1 Ökonometrie... 1 2 Vorüberlegungen und Grundbegriffe... 7 2.1 Statistik als Grundlage der Empirischen Ökonomie... 7 2.2 Abgrenzung und Parallelen zu den Naturwissenschaften...
Mehrx t2 y t = 160, y = 8, y y = 3400 t=1
Aufgabe 1 (25 Punkte) 1. Eine Online Druckerei möchte die Abhängigkeit des Absatzes gedruckter Fotos vom Preis untersuchen. Dazu verwendet die Firma das folgende lineare Regressionsmodell: wobei y t =
MehrAusgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9-10
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Dezember Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9- Übungsblatt
MehrAngewandte Ökonometrie Übung. Endogenität, VAR, Stationarität und Fehlerkorrekturmodell
Angewandte Ökonometrie Übung 3 Endogenität, VAR, Stationarität und Fehlerkorrekturmodell Zeitreihenmodelle Zeitreihenmodelle Endogenität Instrumentvariablenschätzung Schätzung eines VARs Tests auf Anzahl
MehrInferenz im multiplen Regressionsmodell
1 / 29 Inferenz im multiplen Regressionsmodell Kapitel 4, Teil 1 Ökonometrie I Michael Hauser 2 / 29 Inhalt Annahme normalverteilter Fehler Stichprobenverteilung des OLS Schätzers t-test und Konfidenzintervall
Mehr7 Vorhersage bei stationären Zeitreihen
7 Vorhersage bei stationären Zeitreihen Vorhersageproblem: Aus einem Abschnitt X,...,X n einer reellen stationären Zeitreihe sollen die zukünftigen Werte X t (t = n+,n+2,... vorhergesagt werden. Optimalitätskriterium:
MehrMultivariate Verteilungen
Multivariate Verteilungen Zufallsvektoren und Modellierung der Abhängigkeiten Ziel: Modellierung der Veränderungen der Risikofaktoren X n = (X n,1, X n,2,..., X n,d ) Annahme: X n,i und X n,j sind abhängig
MehrEinführung in Stochastische Prozesse und Zeitreihenanalyse Vorlesung, 2017S, 2.0h 24.November 2017 Hubalek/Scherrer
Name: Mat.Nr.: Bitte keinen Rotstift oder Bleistift verwenden! 105.59 Einführung in Stochastische Prozesse und Zeitreihenanalyse Vorlesung, 2017S, 2.0h 24.November 2017 Hubalek/Scherrer (Dauer 90 Minuten,
MehrFortgeschrittene Ökonometrie: Maximum Likelihood
Universität Regensburg, Lehrstuhl für Ökonometrie Sommersemester 202 Fortgeschrittene Ökonometrie: Maximum Likelihood Poissonverteilung Man betrachte die poisson-verteilten Zufallsvariablen y t, t =, 2,...,
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 213 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra Kapitel 7.5: Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik
MehrMehrgleichungsmodelle
1 / 25 Mehrgleichungsmodelle Kapitel 20 Angewandte Ökonometrie / Ökonometrie III Michael Hauser 2 / 25 Inhalt SUR, seemingly unrelated regressions Systeme von interdependenten Gleichungen Identifikation
Mehr1 Gemischte Lineare Modelle
1 Gemischte Lineare Modelle Wir betrachten zunächst einige allgemeine Aussagen für Gemischte Lineare Modelle, ohne zu tief in die mathematisch-statistische Theorie vorzustoßen. Danach betrachten wir zunächst
MehrEinführung in die Stochastik 6. Übungsblatt
Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS M. Kohler 3. Mai A. Fromkorth D. Furer Gruppen und Hausübung Aufgabe (a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine S Bahn Verspätung hat, betrage.3.
Mehr6. Das klassische Komponentenmodell. 6. Das klassische Komponentenmodell. 6. Das klassische Komponentenmodell. 6. Das klassische Komponentenmodell
6. Das klassische Komponentenmodell Gegeben sei eine ZR x t für die Zeitpunkte t = 1,..., T. Im additiven klassischen Komponentenmodell wird sie folgendermaßen zerlegt: x t = ˆm t + ŝ t + ε t ˆm t ist
MehrComputer Vision: Kalman Filter
Computer Vision: Kalman Filter D. Schlesinger TUD/INF/KI/IS D. Schlesinger () Computer Vision: Kalman Filter 1 / 8 Bayesscher Filter Ein Objekt kann sich in einem Zustand x X befinden. Zum Zeitpunkt i
MehrProxies, Endogenität, Instrumentvariablenschätzung
1 4.2 Multivariate lineare Regression: Fehler in den Variablen, Proxies, Endogenität, Instrumentvariablenschätzung Literatur: Wooldridge, Kapitel 15, Appendix C.3 und Kapitel 9.4 Wahrscheinlichkeitslimes
MehrStochastische Trends und Unit root-tests
Stochastische Trends und Unit root-tests Stichwörter: Random walk stochastischer Trend unit root Trend-Stationarität Differenz-Stationarität Dickey-Fuller (DF-)Test Augmented Dickey-Fuller (ADF-)Test o1-15.tex/0
MehrMultivariate Verteilungen. Gerhard Tutz LMU München
Multivariate Verteilungen Gerhard Tutz LMU München INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Multivariate Normalverteilung 3 Wishart Verteilung 7 3 Hotellings T Verteilung 11 4 Wilks Λ 14 INHALTSVERZEICHNIS
MehrOLS-Schätzung: asymptotische Eigenschaften
OLS-Schätzung: asymptotische Eigenschaften Stichwörter: Konvergenz in Wahrscheinlichkeit Konvergenz in Verteilung Konsistenz asymptotische Verteilungen nicht-normalverteilte Störgrößen zufällige Regressoren
Mehr6.4 Kointegration Definition
6.4 Kointegration 6.4.1 Definition Nach Engle und Granger (1987): Wenn zwei oder mehrere Variablen I(1) sind, eine Linearkombination davon jedoch I() ist, dann sind die Variablen kointegriert. Allgemein:
MehrHauptseminar Technische Informationssysteme
Hauptseminar Technische Informationssysteme Thema: Vergleich verschiedener Prognosestrategien von Tobias Fochtmann Betreuer: Dr. Ribbecke 24.01.2008 Gliederung I. Einleitung II. Prognose allgemein und
MehrLösungshinweise zur Klausur. Mathematik für Informatiker III. (Dr. Frank Hoffmann) 18. Februar 2008
Lösungshinweise zur Klausur Mathematik für Informatiker III (Dr. Frank Hoffmann) 8. Februar 8 Aufgabe Algebraisches I /6++ (a) Rechnen Sie zunächst nach, dass die Menge B = {,, von Vektoren eine Basis
Mehr1.4 Stabilität der Gauß-Elimination
KAPIEL 1. LINEARE GLEICHUNGSSYSEME 18 1.4 Stabilität der Gauß-Elimination Bezeichne x die exakte Lösung von Ax = b bzw. ˆx die mit einem (zunächst beliebigen Algorithmus berechnete Näherungslösung (inklusive
MehrMathematische Statistik Aufgaben zum Üben. Schätzer
Prof. Dr. Z. Kabluchko Wintersemester 2016/17 Philipp Godland 14. November 2016 Mathematische Statistik Aufgaben zum Üben Keine Abgabe Aufgabe 1 Schätzer Es seien X 1,..., X n unabhängige und identisch
Mehr5 Allgemeine Verfahren zum Testen von Hypothesen
5 Allgemeine Verfahren zum Testen von Hypothesen 5.1 Likelihood Schätzung für multivariate Daten Statistisches Modell: Einfache Zufallsstichprobe X 1,..., X n (unabhängige Wiederholungen von X IR d ).
MehrKonfidenzintervalle. Gesucht: U = U(X 1,..., X n ), O = O(X 1,..., X n ), sodass für das wahre θ gilt
Konfidenzintervalle Annahme: X 1,..., X n iid F θ. Gesucht: U = U(X 1,..., X n ), O = O(X 1,..., X n ), sodass für das wahre θ gilt P θ (U θ O) = 1 α, α (0, 1). Das Intervall [U, O] ist ein Konfidenzintervall
MehrFakultät Verkehrswissenschaften Friedrich List Professur für Ökonometrie und Statistik, insb. im Verkehrswesen. Statistik II. Prof. Dr.
Statistik II Fakultät Verkehrswissenschaften Friedrich List Professur für Ökonometrie und Statistik, insb. im Verkehrswesen Statistik II 2. Parameterschätzung: 2.1 Grundbegriffe; 2.2 Maximum-Likelihood-Methode;
Mehr1 Prognoseverfahren F H
1 Prognoseverfahren 1.1 Zielsetzung 1.2 Bedarfsverlauf von Verbrauchsfaktoren 1.3 Prognose bei regelmäßigen Bedarf 1.4 Prognosemodelle in Standard-ERP-Software 1.5 Ausblick Herrmann, Frank: Operative Planung
MehrKapitel 5. Eigenwerte. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 5 Eigenwerte 1 / 42
Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich
MehrBasiswerkzeuge. Kapitel 6. Lernziele. Zeitreihen-Plot. Beschreiben von Zeitreihen. Graphische Darstellungen. Univariate und bivariate Maßzahlen
Kapitel 6 Basiswerkzeuge Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden VI Basiswerkzeuge 1 / 29 Lernziele Beschreiben von Zeitreihen Graphische Darstellungen Univariate und bivariate Maßzahlen Transformationen
MehrKonvexe Menge. Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, d.h.
Konvexe Menge Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, dh Kapitel Extrema konvex: h x + h y D für alle h [0, ], und x,
Mehr2. Stochastische ökonometrische Modelle. - Modelle der ökonomischen Theorie an der Wirklichkeit überprüfen
.1. Stochastische ökonometrische Modelle.1 Einführung Ziele: - Modelle der ökonomischen Theorie an der Wirklichkeit überprüfen - Numerische Konkretisierung ökonomischer Modelle und deren Analse. . Variierende
MehrGoethe-Universität Frankfurt
Goethe-Universität Frankfurt Fachbereich Wirtschaftswissenschaft PD Dr. Martin Biewen Dr. Ralf Wilke Sommersemester 2006 Klausur Statistik II 1. Alle Aufgaben sind zu beantworten. 2. Bitte runden Sie Ihre
Mehr10.5 Maximum-Likelihood Klassifikation (I)
Klassifikation (I) Idee Für die Klassifikation sind wir interessiert an den bedingten Wahrscheinlichkeiten p(c i (x,y) D(x,y)). y Wenn man diese bedingten Wahrscheinlichkeiten kennt, dann ordnet man einem
Mehr6. Lineare DGL-Systeme erster Ordnung
HJ Oberle Differentialgleichungen I WiSe 22/3 6 Lineare DGL-Systeme erster Ordnung A Allgemeines Wir betrachten ein lineares DGL System erster Ordnung y (t = A(t y(t + b(t (6 und setzen voraus, dass die
MehrInverse und implizite Funktionen
Kapitel 8 Inverse und implizite Funktionen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 1 / 21 Inverse Funktion Sei f : D f R n W f R m, x y f(x). Eine Funktion f 1 : W
Mehr6. Statistische Schätzung von ARIMA Modellen
6. Statistische Schätzung von ARIMA Modellen Vorschau: ARIMA Modelle Modellidentifikation verschiedene Schätzverfahren Modelldiagnostik Fallstudien Zeitreihenanalyse 1 6.1 ARIMA Modelle Bisher: ARMA(p,q)-Modelle:
MehrVorkurs Mathematik. Vektoren, lineare Gleichungssysteme und Matrizen
Dorfmeister, Boiger, Langwallner, Pfister, Schmid, Wurtz Vorkurs Mathematik TU München WS / Blatt Vektoren, lineare Gleichungssysteme und Matrizen. In einem kartesischen Koordinatensystem des R sei eine
MehrDas empirische VaR bzw. CVaR
Das empirische VaR bzw. CVaR Sei x 1, x 2,..., x n eine Stichprobe der unabhängigen identischverteilten ZV X 1, X 2,..., X n mit Verteilungsfunktion F (Notation: Die ZV X 1, X 2,..., X n sind i.i.d. Empirische
MehrStationäre Zeitreihenmodelle
Exemplarisch für parametrische Zeitreihenmodelle werden in diesem Kapitel autoregressive Prozesse und ARCH-Prozesse vorgestellt. Der autoregressive Prozess ist einer der einfachsten stationären Prozesse.
MehrDas (multiple) Bestimmtheitsmaß R 2. Beispiel: Ausgaben in Abhängigkeit vom Einkommen (I) Parameterschätzer im einfachen linearen Regressionsmodell
1 Lineare Regression Parameterschätzung 13 Im einfachen linearen Regressionsmodell sind also neben σ ) insbesondere β 1 und β Parameter, deren Schätzung für die Quantifizierung des linearen Zusammenhangs
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 4
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 25. April 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung
MehrMethoden der Zeitreihenanalyse
Winfried Stier Methoden der Zeitreihenanalyse Mit 237 Abbildungen und 6 Tabellen Springer Inhaltsverzeichnis I. Elementare Zeitreihenanalyse 1 1.1. Definitionen, Grundkonzepte, Beispiele 1 1.2. Das traditionelle
MehrAbhängigkeitsmaße Seien X 1 und X 2 zwei Zufallsvariablen. Es gibt einige skalare Maße für die Abhängigkeit zwischen X 1 und X 2.
Abhängigkeitsmaße Seien X 1 und X 2 zwei Zufallsvariablen. Es gibt einige skalare Maße für die Abhängigkeit zwischen X 1 und X 2. Lineare Korrelation Annahme: var(x 1 ),var(x 2 ) (0, ). Der Koeffizient
MehrKapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn.
Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich
MehrWichtige Definitionen und Aussagen
Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge
MehrInverse und implizite Funktionen
Kapitel 8 Inverse und implizite Funktionen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 1 / 21 Inverse Funktion Sei f : D f R n W f R m, x y = f(x). Eine Funktion f 1 :
MehrZeitreihenanalyse. 1 Einleitung. 2 Autoregressive Prozesse, lineare Differenzengleichungen
Zeitreihenanalyse Enno MAMMEN Department of Economics, University of Mannheim L7, 3-5, 68131 Mannheim, Germany E mail: emammen@rumms.uni-mannheim.de February 22, 2006 1 Einleitung Klassisches Komponentenmodell,
Mehr11. Zeitreihen mit Trend und Saisonalität
In diesem Abschnitt geht es um ZR, die in eine Trend-, eine Saisonund eine Restkomponente zerlegt werden können. (Das Niveau sei in der Trendkomponente enthalten.) Beispiele für solche ZR sind in Abb.
Mehr10 ARIMA-Modelle für nicht-stationäre Zeitreihen
10 ARIMA-Modelle für nicht-stationäre Zeitreihen In diesem Abschnitt untersuchen wir einige praktische Aspekte bei der Wahl eines geeigneten Modells für eine beobachtete Zeitreihe X 1,...,X n. Falls die
Mehr4.1. Verteilungsannahmen des Fehlers. 4. Statistik im multiplen Regressionsmodell Verteilungsannahmen des Fehlers
4. Statistik im multiplen Regressionsmodell In diesem Kapitel wird im Abschnitt 4.1 zusätzlich zu den schon bekannten Standardannahmen noch die Annahme von normalverteilten Residuen hinzugefügt. Auf Basis
MehrÜbung V Lineares Regressionsmodell
Universität Ulm 89069 Ulm Germany Dipl.-WiWi Michael Alpert Institut für Wirtschaftspolitik Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften Ludwig-Erhard-Stiftungsprofessur Sommersemester 2007 Übung
MehrÜbungsblatt
Übungsblatt 3 3.5.27 ) Die folgenden vier Matrizen bilden eine Darstellung der Gruppe C 4 : E =, A =, B =, C = Zeigen Sie einige Gruppeneigenschaften: a) Abgeschlossenheit: Berechnen Sie alle möglichen
MehrKlausur Numerische Mathematik (für Elektrotechniker), 24. Februar 2016
Verständnisfragen-Teil ( Punkte) Jeder der Verständnisfragenblöcke besteht aus Verständnisfragen. Werden alle Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block Punkte.
MehrReelle Zufallsvariablen
Kapitel 3 eelle Zufallsvariablen 3. Verteilungsfunktionen esultat aus der Maßtheorie: Zwischen der Menge aller W-Maße auf B, nennen wir sie W B ), und der Menge aller Verteilungsfunktionen auf, nennen
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
10. Vorlesung - 2018 Grundbegriffe der Statistik statistische Einheiten = Objekte an denen interessierende Größen erfaßt werden z.b. Bevölkerung einer Stadt; Schüler einer bestimmten Schule; Patienten
Mehr3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse
Mehr