Gleichung einer quadratischen Funktion*

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1 Gleichung einer quadratischen Funktion* Aufgabennummer: 1_341 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 3.1 Im nachstehenden Koordinatensystem ist der Graph einer quadratischen Funktion f mit der Gleichung f(x) = a x² + b (a, b R) dargestellt. f f(x) x Aufgabenstellung: Ermitteln Sie die Werte der Parameter a und b! Die für die Berechnung relevanten Punkte mit ganzzahligen Koordinaten können dem Diagramm entnommen werden. a = b = * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2014

2 Gleichung einer quadratischen Funktion 2 Lösungserwartung a = 1 4 b = 2 oder a = 0,25 Lösungsschlüssel Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei beide Parameter richtig angegeben sein müssen.

3 Potenzfunktion* Aufgabennummer: 1_437 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 Aufgabenformat: Multiple Choice (x aus 5) Grundkompetenz: FA 3.1 In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Potenzfunktion f vom Typ f(x) = a x z mit a R; a 0; z Z dargestellt. 2 f(x) x f Aufgabenstellung: Eine der nachstehenden Gleichungen ist eine Gleichung dieser Funktion f. Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an! f(x) = 2x 4 f(x) = x 2 f(x) = x 2 f(x) = x 1 f(x) = x 2 f(x) = x 1 * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 21. September 2015

4 Potenzfunktion 2 Lösungserwartung f(x) = x 2 Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Gleichung angekreuzt ist.

5 Potenzfunktionen* Aufgabennummer: 1_484 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 Aufgabenformat: Zuordnungsformat Grundkompetenz: FA 3.1 Gegeben sind die Graphen von vier verschiedenen Potenzfunktionen f mit f(x) = a x z sowie sechs Bedingungen für den Parameter a und den Exponenten z. Dabei ist a eine reelle, z eine natürliche Zahl. Aufgabenstellung: Ordnen Sie den vier Graphen jeweils die entsprechende Bedingung für den Parameter a und den Exponenten z der Funktionsgleichung (aus A bis F) zu! f(x) A a > 0, z = 1 f x B a > 0, z = 2 C a > 0, z = 3 D a < 0, z = 1 f f(x) E a < 0, z = 2 F a < 0, z = 3 x f f(x) x f(x) f x * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 10. Mai 2016

6 Potenzfunktionen 2 Lösungserwartung f(x) A a > 0, z = 1 f x E B a > 0, z = 2 C a > 0, z = 3 D a < 0, z = 1 f f(x) E a < 0, z = 2 F a < 0, z = 3 x F f f(x) x B f(x) f x C Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Graphen ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.

7 Eigenschaften der Ableitungsfunktion einer Polynomfunktion 3. Grades* Aufgabennummer: 1_455 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.2 Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f dritten Grades. Die Koordinaten der hervorgehobenen Punkte des Graphen der Funktion sind ganzzahlig. 5 f(x) x f 1 Aufgabenstellung: Welche der folgenden Aussagen treffen auf die Ableitungsfunktion f der Funktion f zu? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Funktionswerte der Funktion f sind im Intervall (0; 2) negativ. Die Funktion f ist im Intervall ( 1; 0) streng monoton steigend. Die Funktion f hat an der Stelle x = 2 eine Wendestelle. Die Funktion f hat an der Stelle x = 1 ein lokales Maximum. Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 eine Nullstelle. * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 15. Jänner 2016

8 Eigenschaften der Ableitungsfunktion einer Polynomfunktion 3. Grades 2 Lösungserwartung Die Funktionswerte der Funktion f sind im Intervall (0; 2) negativ. Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 eine Nullstelle. Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.

9 Funktion* Aufgabennummer: 1_532 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 3.2 In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f mit f(x) = a x b (a, b R, a 0) dargestellt. Die Koordinaten der hervorgehobenen Punkte des Graphen der Funktion sind ganzzahlig. 4 3 f(x) f x Aufgabenstellung: Geben Sie die Werte von a und b an! a = b = * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 12. Jänner 2017

10 Funktion 2 Lösungserwartung a = 1 b = 2 Lösungsschlüssel Ein Punkt für die korrekten Werte von a und b.

11 Graphen quadratischer Funktionen* Aufgabennummer: 1_622 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 3.2 Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen quadratischer Funktionen f 1, f 2 und f 3 mit den Gleichungen f i (x) = a i x 2 + b i, wobei gilt: a i, b i R, i {1, 2, 3}. f i (x) f 1 f 2 x f 3 Aufgabenstellung: Ordnen Sie die Parameterwerte a i und b i jeweils der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten! Parameterwerte a i : < < Parameterwerte b i : < < * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2018

12 Graphen quadratischer Funktionen 2 Lösungserwartung a 3 < a 1 < a 2 b 3 < b 2 < b 1 Ein Punkt für die richtige Lösung. Lösungsschlüssel

13 Parabeln zuordnen* Aufgabennummer: 1_389 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 Aufgabenformat: Zuordnungsformat Grundkompetenz: FA 3.3 Gegeben sind die Graphen von sechs Funktionen f 1, f 2, f 3, f 4, f 5 und f 6 mit der Gleichung f i (x) = ax² + b mit a, b R und a 0 (i von 1 bis 6). Aufgabenstellung: Ordnen Sie den folgenden Eigenschaften jeweils den entsprechenden Graphen der dargestellten Funktionen zu! a < 0 und b < 0 a < 0 und b > 0 A a > 0 und b < 0 a > 0 und b > 0 B C D E F * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. Jänner 2015

14 Parabeln zuordnen 2 Lösungserwartung a < 0 und b < 0 a < 0 und b > 0 a > 0 und b < 0 a > 0 und b > 0 D B E C A B C D E F Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier Aussagen ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.

15 Parameter reeller Funktionen* Aufgabennummer: 1_574 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: FA 3.3 Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen zweier reeller Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f(x) = a x 3 + b und g(x) = c x 3 + d mit a, b, c, d R. 1 f(x), g(x) 0,5 0 x 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 0,5 1 1,5 2 f g Aufgabenstellung: Welche der nachstehenden Aussagen treffen für die Parameter a, b, c und d zu? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! a > c b > d a > 0 b > 0 c < 1 * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 28. September 2017

16 Parameter reeller Funktionen 2 Lösungserwartung b > d a > 0 Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.

17 Graph einer quadratischen Funktion* Aufgabennummer: 1_362 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 3.3 Gegeben ist der Graph einer Funktion g mit g(x) = a x 2 + b mit a, b Z und a 0. Aufgabenstellung: Geben Sie die Parameter a und b so an, dass sie zum abgebildeten Graphen von g passen! a = b = * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 17. September 2014

18 Graph einer quadratischen Funktion 2 Lösungserwartung a = 3 b = 1 Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn beide Parameter korrekt angegeben sind. Toleranzintervalle: a [2,9; 3,1]; b [ 1,1; 0,9]

19 Heizungstage* Aufgabennummer: 1_461 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 3.4 Die Anzahl der Heizungstage, für die ein Vorrat an Heizöl in einem Tank reicht, ist indirekt proportional zum durchschnittlichen Tagesverbrauch x (in Litern). Aufgabenstellung: In einem Tank befinden sich 1500 Liter Heizöl. Geben Sie einen Term an, der die Anzahl d(x) der Heizungstage in Abhängigkeit vom durchschnittlichen Tagesverbrauch x bestimmt! d(x) = * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 15. Jänner 2016

20 Heizungstage 2 Lösungserwartung d(x) = x Lösungsschlüssel Ein Punkt für einen korrekten Term. Äquivalente Terme sind als richtig zu werten.

21 Funktionsgraphen zuordnen Aufgabennummer: 1_064 Prüfungsteil: Typ 1 S Typ 2 Aufgabenformat: Zuordnungsformat Grundkompetenz: FA 3.1 S keine Hilfsmittel erforderlich S gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Den nachfolgenden vier Gleichungen von Potenzfunktionen stehen sechs Graphen gegenüber. Aufgabenstellung: Ordnen Sie den jeweiligen Funktionsgleichungen die zugehörigen Funktionsgraphen zu!

22 Funktionsgraphen zuordnen 2 y = x² + 2 y = (x 2)² A y = (x + 2) 1 B y = 2x 2 C D E F

23 Funktionsgraphen zuordnen 3 Lösungsweg y = x² + 2 D A y = (x 2)² E y = (x + 2) 1 C B y = 2x 2 B C D E F

24 Funktionsgraphen zuordnen 4 Lösungsschlüssel Die Aufgabe ist nur dann als richtig gelöst zu werten, wenn alle Buchstaben korrekt zugewiesen wurden.

25 Indirekte Proportionalität Aufgabennummer: 1_102 Prüfungsteil: Typ 1 Typ 2 Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: FA 3.4 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich t ist indirekt proportional zu x und y². Aufgabenstellung: Welche der angegebenen Formeln beschreiben diese Abhängigkeiten? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Formeln an! z t= 3 x y² t= x z 3 y² t= x y² 3 z t= 3 z x y² t=x y² z

26 Indirekte Proportionalität 2 Lösungsweg z t= 3 x y² t= 3 z x y² Lösungsschlüssel Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die zwei zutreffenden Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.

27 Ideales Gas* Aufgabennummer: 1_117 Prüfungsteil: Typ 1 Typ 2 Aufgabenformat: Konstruktionsformat Grundkompetenz: FA 3.4 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Die Abhängigkeit des Volumens V vom Druck p kann durch eine Funktion beschrieben werden. Bei gleichbleibender Temperatur ist das Volumen V eines idealen Gases zum Druck p indirekt proportional. 200 cm³ eines idealen Gases stehen bei konstanter Temperatur unter einem Druck von 1 bar. Aufgabenstellung: Geben Sie den Term der Funktionsgleichung an und zeichnen Sie deren Graphen! V(p) = 240 V(p) in cm 3 p in bar * Diese Aufgabe wurde dem im Oktober 2012 publizierten Kompetenzcheck (vgl. entnommen.

28 Ideales Gas 2 Möglicher Lösungsweg V(p) = c p 200 = c 1 V(p) = 200 p V(p) in cm V p in bar Lösungsschlüssel Die Lösung gilt nur dann als richtig, wenn die Funktionsgleichung richtig angegeben ist und der Graph den entsprechenden Verlauf (in seiner charakteristischen Ausprägung) zeigt.

29 Potenzfunktion* Aufgabennummer: 1_122 Prüfungsteil: Typ 1 Typ 2 Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 3.2 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Von einer Funktion f mit der Gleichung f(x) = a x 2 + b ist der Graph gegeben: f(x) f x Aufgabenstellung: Ermitteln Sie die Werte der Parameter a und b! a = b = * Diese Aufgabe wurde dem im Oktober 2012 publizierten Kompetenzcheck (vgl. entnommen.

30 Potenzfunktion 2 a = 0,2 b = 5 Möglicher Lösungsweg Lösungsschlüssel Die Lösung gilt nur dann als richtig, wenn beide Parameter richtig angegeben sind.

31 Funktionsgraph Aufgabennummer: 1_ 264 Prüfungsteil: Typ 1 S Typ 2 Aufgabenformat: Konstruktionsformat Grundkompetenz: FA 3.1 S keine Hilfsmittel erforderlich S gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Gegeben ist die Funktion g mit der Gleichung g(x) = 2 x2 8. Aufgabenstellung: Zeichnen Sie den Graphen der Funktion g!

32 Funktionsgraph 2 Möglicher Lösungsweg Lösungsschlüssel Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn die Zeichnung als Parabel mit dem korrekten Scheitel und den richtigen Nullstellen erkennbar ist.

33 Funktionsgleichungen zuordnen Aufgabennummer: 1_265 Prüfungsteil: Typ 1 Typ 2 Aufgabenformat: Zuordnungsformat Grundkompetenz: FA 3.1 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Gegeben sind vier Graphen von Potenzfunktionen und sechs Funktionsgleichungen. Aufgabenstellung: Ordnen Sie den vier Graphen jeweils die entsprechende Funktionsgleichung (aus A bis F) zu! A f(x) = x B f(x) = x 2 1 C f(x) = x D f(x) = x E f(x) = x 2 1 F f(x) = x 2

34 Funktionsgleichungen zuordnen 2 Lösung B A f(x) = x B f(x) = x 2 1 D C f(x) = x D f(x) = x C E f(x) = x 2 1 F f(x) = x 2 F Lösungsschlüssel Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn alle vier Buchstaben richtig zugeordnet sind.

35 Wirkung der Parameter Aufgabennummer: 1_267 Prüfungsteil: Typ 1 S Typ 2 Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: FA 3.3 S keine Hilfsmittel erforderlich S gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Gegeben ist eine Potenzfunktion g mit der Gleichung g(x) = c x 2 + d mit c < 0 und d > 0. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die beiden für g zutreffenden Aussagen an! g schneidet die y-achse im Punkt P = (d 0). g besitzt zwei Nullstellen. Je größer d ist, umso steiler verläuft der Graph von g. Je kleiner c ist, umso flacher verläuft der Graph von g. g besitzt einen Hochpunkt.

36 Wirkung der Parameter 2 Lösung g besitzt zwei Nullstellen. S g besitzt einen Hochpunkt. S Lösungsschlüssel Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.

37 Gleichung einer indirekten Proportionalität Aufgabennummer: 1_268 Prüfungsteil: Typ 1 Typ 2 Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 3.4 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung f(x) = a x z + b, wobei z und a, b gilt. Aufgabenstellung: Welche Werte müssen die Parameter b und z annehmen, damit durch f ein indirekt proportionaler Zusammenhang beschrieben wird? Ermitteln Sie die Werte der Parameter b und z! b = z =

38 Gleichung einer indirekten Proportionalität 2 b = 0 z = 1 Lösung Lösungsschlüssel Die Aufgabe ist dann als richtig gelöst zu werten, wenn beide Werte korrekt angegeben sind.

39 Punkte einer Wurzelfunktion Aufgabennummer: 1_316 Prüfungsteil: Typ 1 Typ 2 Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: FA 3.2 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Eine Wurzelfunktion kann durch die Funktionsgleichung f(x) = a x+b mit a, b festgelegt werden. Aufgabenstellung: Welche der nachstehenden Punkte liegen jedenfalls (bei jeder beliebigen Wahl von a und b) auf dem Graphen der Funktion f? Kreuzen Sie die beiden entsprechenden Punkte an! P 1 = ( 1 a) P 2 = (0 b) P 3 = (a b) P 4 = (b a b) P 5 = (1 a + b)

40 Punkte einer Wurzelfunktion 2 Lösung P 2 = (0 b) P 5 = (1 a + b) Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.