Systemtheorie Teil B

Transkript

1 d + d z + c d z + c uk d + + yk z d + c d z + c Systemtheorie eil B - Zeitdiskrete Signale und Systeme - Musterlösungen Manfred Strohrmann Urban Brunner

2 Inhalt Musterlösungen - Signalabtastung und Rekonstruktion btastzeit und Zahlenfolgen btasttheorem und liasing btasten von Signalen Spektren abgetasteter Signale Rekonstruktionsfilter mit endlicher Steilheit Fourier-ransformierte der idealen btastfunktion Reale Rekonstruktion Oversampling....9 btasten bei Störungen.... Reale btastung.... btastung und Rekonstruktion.... Interpolation im Zeitbereich... 4

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4 Musterlösungen - Signalabtastung und Rekonstruktion. btastzeit und Zahlenfolgen a) us der ufgabenstellung ergeben sich die Bedingungen k k 5 und 4 k k 5 Beide Gleichungen sind linear voneinander abhängig, sodass nur eine Gleichung betrachtet werden muss. k k 5 uflösen nach führt zu 5 b) Das Signal x(t) ist periodisch in = /, damit ist f =. Deshalb können die btastwerte x[k] zum Beispiel auch durch das Signal sin t cos t x t sin t cos t erzeugt werden.. btasttheorem und liasing a) Die btastfrequenz für Signal x (t) ergibt sich aus f 4 Hz Die maximale Frequenz des Signals x (t) beträgt f G = Hz. Damit ist die btastfrequenz eingehalten, denn es gilt: f 4 fg fg Die btastfrequenz für Signal x (t) ergibt sich aus f 5 Hz Die maximale Frequenz des Signals x (t) beträgt f G = Hz. Damit ist die btastfrequenz nicht eingehalten, und es ist mit liasing zu rechnen. b) Die Zeitpunkte, an denen das Signal abgetastet wird, sind t k = k. Daraus ergibt sich die Darstellung

5 Betrag des Spektrums X() Betrag des Spektrums X () x t x t at x k t k sin k t k k k 4 4 sin k t k k 4 Vereinfacht können die btastwerte als Zahlenfolge x[k] angegeben werden. xk sin k Für Signal ergibt sich entsprechend 4 x t x t at x k t k cos k t n k k x t cos k t k k 5 5 Vereinfacht können die btastwerte als Zahlenfolge x[k] angegeben werden. 4 xk cos k 5 c) Zur Herleitung des Spektrums X (ω) wird zunächst das Spektrum des kontinuierlichen Signals X (ω) skizziert. Durch die btastung wird das Spektrum des kontinuierlichen Signals X (ω) in ω periodisch wiederholt und mit dem Wert / multipliziert. 4 8 / - Kreisfrequenz / -8-8 Kreisfrequenz / Im Basisband ändert sich das Spektrum nicht, es findet kein liasing statt. uch zur Herleitung des Spektrums X (ω) wird auch zuerst das Spektrum des kontinuierlichen Signals X (ω) skizziert. Durch die btastung wird auch hier das Spektrum des kontinuierlichen Signals X (ω) in ω periodisch wiederholt und mit dem Wert / multipliziert. Die Darstellung zeigt, dass liasing auftritt. 5 3

6 Signal x(t) Signal x(t) Betrag des Spektrums X() Betrag des Spektrums X () / -4 4 Kreisfrequenz / Kreisfrequenz /.3 btasten von Signalen a) Die bbildung zeigt den Verlauf des analogen Signals sowie die einzelnen btastwerte. Das analoge Signal wird mit einer Frequenz von f = 5 khz abgetastet. Daraus ergibt sich eine btastzeit von. f 5 Damit ergeben sich die im linken Bild dargestellten Signalverläufe: btastzeit =. btastzeit = Signal btastwerte Signal btastwerte Zeit / ms Zeit / ms Die maximale Frequenz des Signals beträgt nach der ufgabenstellung f G = khz. Das btasttheorem ist eingehalten, wenn gilt: f f khz G Da die btastfrequenz f = 5 khz beträgt und damit größer ist als f G, ist das btasttheorem eingehalten. b) Für eine btastfrequenz von f =.5 khz beträgt die btastzeit: f 5 Damit ergeben sich die im rechten Bild oben gezeigten btastwerte. Die maximale Frequenz des Signals beträgt definitionsgemäß f = khz. Das btasttheorem ist eingehalten, wenn gilt: f f khz Da die btastfrequenz f =.5 khz beträgt und damit kleiner als die Frequenz f G ist, ist das btasttheorem nicht eingehalten.

7 Spektrum X 3 () Spektrum X 4 () Spektrum X () Spektrum X ().4 Spektren abgetasteter Signale a) Das Spektrum des abgetasteten Signals ergibt sich durch periodische Fortsetzung des Spektrums X(ω) in ω. Zum Skizzieren der Spektren muss in ω bestimmt werden. 4 g g 3 g g Es ergeben sich folgende Spektren. g g g g / / - - G G - - G G Kreisfrequenz Kreisfrequenz / 3 / 3 / 4 - G G - - G G Kreisfrequenz Kreisfrequenz b) Im Fall = 3 tritt liasing auf, da das btasttheorem nicht eingehalten wird. In allen anderen Fällen ist das btasttheorem eingehalten, und es tritt kein liasing auf. c) Im Fall = wird kritisch abgetastet, das btasttheorem ist gerade eben noch eingehalten.

8 Spektrum X P ().5 Rekonstruktionsfilter mit endlicher Steilheit Der Grenzfall zur Rekonstruktion ergibt sich aus der Bedingung, dass nach der Rekonstruktion kein Spektralanteil des periodisch fortgesetzten Spektrums mehr vorhanden sein darf. Das Signal muss dazu um ω =.5ω G verschoben werden. -.5 G.5 G Kreisfrequenz Damit ergibt sich eine btastfrequenz von f.5 g.6 Fourier-ransformierte der idealen btastfunktion Die btastfunktion a(t) ist ein periodisches Signal mit der Periodendauer. a t t k k Das Signal kann damit als Fourier-Reihe dargestellt werden. Die Fourier-Koeffizienten ergeben sich zu / / jn t jn t n t e dt t e dt / / Wegen der usblendeigenschaft der Impulsfunktion gilt: / / jnt jn n t e dt e t dt / / Das Spektrum ist damit an allen Stellen null () =, nur an den Stellen n weist es den Wert / auf. Der Zusammenhang zwischen den Fourier-Koeffizienten n und der Fourier-ransformierten (n ) ergibt sich aus n n Damit kann das Spektrum der idealen btastfunktion dargestellt werden als n n n n n n

9 .7 Reale Rekonstruktion a) Mithilfe der Korrespondenz der Fourier-ransformation ergibt sich u t cos t Das Spektrum besteht aus zwei Impulsen an den Stellen ω = π, die beide das Gewicht π besitzen. mplitudengang U() / b) Das Spektrum hat eine maximale Frequenz von f max = Hz. Die btastfrequenz beträgt f = 75 Hz. Daraus ergibt sich, dass das btasttheorem nicht eingehalten ist. c) Das Spektrum des abgetasteten Signals ergibt sich aus dem in periodisch fortgesetzten Spektrum des zeitkontinuierlichen Signals, das mit dem Faktor f = / gewichtet wird. U U n n - - Kreisfrequenz / mplitudengang U () / f - - Kreisfrequenz / d) Durch die Rekonstruktion mit dem Halteglied und einem idealen iefpass mit einer Grenzfrequenz von f G = 75 Hz wird der Spektralanteil, der sich unterhalb -f G = -75 Hz befindet, und der Spektralbereich, der sich oberhalb von f G = 75 Hz befindet, eliminiert. In den Grenzen - f G < f < f G wird das Spektrum mit dem Frequenzgang des Haltegliedes multipliziert. Es ergibt sich das folgende Spektrum:

10 mplitudengang U r () / - - Kreisfrequenz /.8 Oversampling a) Das Spektrum des Signals wird periodisch in f fortgesetzt. Die niedrigste Frequenz des fortgesetzten Spektrums hat den Wert f f fg Der Filter hat damit für den Übergang von Durchlass- bis Sperrbereich einen Frequenzbereich von f G bis f - f G. X () X P () X () X P () Spektrum X () Spektrum X () - - G G Kreisfrequenz - - G G Kreisfrequenz b) Durch die höhere btastfrequenz ziehen sich die einzelnen Spektren weiter auseinander. Der Frequenzbereich für den Übergang erhöht sich damit zu f f fg Durch das Oversampling wird damit die Forderung an die Steilheit des Rekonstruktionsfilters abgeschwächt..9 btasten bei Störungen a) Durch Einzeichnen der Geraden mit der nfangssteigung oder die Bestimmung der Zeit, bei der der Sprung 63 % seines Endwertes erreicht, kann die Zeitkonstante des Systems zu =. abgelesen werden. Die 3-dB-Grenzfrequenz des Systems berechnet sich damit zu G.

11 Spektrum X P () Sprungantwort h(t) b) Da die btastfrequenz ω = 4 ω G sein soll, ergibt sich 4 G Zeit t / s c) Das btasttheorem ist eingehalten, wenn die btastfrequenz mindestens doppelt so groß ist wie die maximale Frequenz, die in dem Signal, das abgetastet werden soll, vorkommt. Da hier die btastfrequenz auf das Vierfache der maximalen Frequenz festgelegt ist, ist das btasttheorem zunächst einmal eingehalten. d) Ein solcher iefpass wird als nti-liasing-iefpass bezeichnet. e) Die Störung wird zwar durch den iefpass gedämpft, allerdings nicht vollständig eliminiert. Ein RC-iefpass erster Ordnung fällt ab der Grenzfrequenz mit db/dekade ab. Da die Frequenz der Störung exakt auf dem Zehnfachen der Grenzfrequenz des Filters liegt, wird diese somit um - db gedämpft. Eine Dämpfung von - db entspricht einem Faktor von.. Damit liegt die mplitude der Störung bei. V. Durch das btasten des Signals wiederholt sich das Spektrum periodisch mit der btastfrequenz. Frequenzanteile, die größer als die halbe btastfrequenz sind, verursachen liasing. Die Frequenz der Störung liegt oberhalb der btastfrequenz. Durch liasing erscheint diese Störung allerdings auch im Basisband. Die Spektren von zeitkontinuierlichem und abgetastetem Signal sind in den beiden folgenden Diagrammen dargestellt. Signal Störung. Spektrum X () /. - S - G G S Kreisfrequenz - - G G Kreisfrequenz Wie die bbildung zeigt, erscheinen die Frequenzanteile bei S im Basisband bei der Frequenz ω G. Die Frequenzanteile bei den übrigen Frequenzen ergeben sich aus der periodischen Wiederholung der Spektren wegen des btastvorgangs.

12 Signal x(t) btastsignal a W (t) Real abgetastetes Signal x W (t). Reale btastung Folgende bbildung zeigt den Verlauf vom analogen Signal a) und das reale btastsignal b) sowie das daraus resultierende abgetastete Signal c) Zeit t / ms Zeit t / ms Zeit t / ms d) Durch das reelle btasten wird das Spektrum des Signals mit dem Spektrum des Rechtecks, das zwangläufig beim reellen btasten entsteht, multipliziert. Die Fourier-ransformierte eines Rechtecks lautet sin W W W Die Wandlungszeit ist W = 5 µs, damit beträgt bei der Frequenz khz die Dämpfung der Sinusschwingung 6 sin 5 s Hz W s Hz Die mplitude des Signals sinkt damit auf = Dieser Effekt ist kleiner als % und kann in praktischen nwendungen oft vernachlässigt werden.. btastung und Rekonstruktion a) Die btastfrequenz ω ergibt sich zu 4 G 4 b) Das Signal u M (t) lautet M u t V sin t Es besitzt das Spektrum U G V j M G G Durch den idealen btastvorgang wird das Signal mit / skaliert und periodisch in fortgesetzt. V j U n n M G G n V j n n G G n

13 c) Das Spektrums U M () ist folgendem Diagramm dargestellt. U M () U S () Spektrum / j Kreisfrequenz / G d) Das Signal u S (t) lautet S u t V sin 7 t G Es ist ebenfalls sinusförmig und besitzt das Spektrum U V j 7 7 S G G Durch den idealen btastvorgang wird das Signal mit / skaliert und periodisch in fortgesetzt. V j U 7 n 7 n S G G n.5 V j 7 n 7 n G G n e) Das Spektrums U S () ist dem Diagramm oben bereits eingezeichnet. f) Die Überlagerung der periodischen Spektren ist in dem folgenden Diagramm eingezeichnet. U () Spektrum / j Kreisfrequenz / G Es ist ein periodisches Spektrum, bei dem sich die mplituden aufgrund des umgekehrten Vorzeichens destruktiv überlagern. us der grafischen Darstellung ergibt sich U.5 V j n n G G n g) Die Gleichung beschreibt die Faltung von gewichteten Impulsen mit einer Rechteckfunktion der Länge. Da die Faltung einer Funktion mit Impulsen an den Stelle k die Funktion an die Stelle der Impulse entspricht, beschreibt die Gleichung ein Signal, das den btastwert u (k ) für ein btastperiode konstant hält. Das entspricht der Wirkung eines Zero-Order-Hold Glieds.

14 h) Eine Faltung im Zeitbereich entspricht eine Multiplikation der Spektren im Frequenzbereich. Die Rechteckfunktion wt t t hat das Spektrum W sin e j Damit lautet das Spektrum des Signals nach dem Halteglied U.5 V sin e j n n j H G G n i) Durch den iefpass wird das Spektrum mit dem Frequenzgang multipliziert. Der iefpass ist stabil, und er hat den Frequenzgang G j G Nach dem iefpass ergibt sich damit das Spektrum U.5 V sin e j n n j j P G G n G. Interpolation im Zeitbereich a) Das Spektrum wird in ω periodisch fortgesetzt und mit dem Faktor / multipliziert. Spektrum X () b) Für das Signal x (t) gilt zu den btastzeitpunkten mit geraden Indizes x k x k mit und bei ungeraden Indizes x k x k x k - - G G Kreisfrequenz Das abgetastete Signal x kann damit dargestellt werden als

15 k x t x k t k x k x k t k k c) Das Spektrum der ersten Summe ist das bereits bekannte Spektrum des in abgetasteten Signals aus eil a). Das Spektrum der zweiten Summe wird in zwei Schritten berechnet. Das Spektrum eines Signals x 3 ergibt sich zu X 3 (ω) x t x k x k t k 3 k X3 e X j Durch die Verschiebung um / ergibt sich im Zeitbereich das gesuchte Signal x 4 mit dem Spektrum X 4 (ω) k x t x k x k t 4 n 4 j j j j X e X e e e X cos X Das gesamte Spektrum des Signals X (ω) ergibt sich zu X X cos X X cos d) Die interpolierte Funktion ist eine Näherung an die btastung mit der doppelten btastfrequenz, allerdings wird das Spektrum des Basisbands im Bereich hoher Frequenzen gedämpft und die erste periodische Fortsetzung des Spektrums in ω nicht vollständig gedämpft. Interpolation Doppelte btastfrequenz Spektrum X () G G Kreisfrequenz