1 Kryptographie - alt und neu

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1 1 Krytograhie - alt und neu 1.1 Krytograhie - alt [H] S und S. 18:.3.1. (Idee) - olyalhabetische Verschlüsselung, Vigenère (1550) 1. Primzahlen [RS] S , wohl im wesenlichen ohne Beweise. Ausnahme vlt. Satz 4..4 unendlich viele Primzahlen S Hautsatz der elementaren Zahlentheorie: Primfaktorzerlegung S : muss wohl nicht vorgetragen werden 1.3 Teiler und Vielfaches [RS] S Definition Seien a, b Z nicht beide gleich Null. d = ggt(a, b) gdw... Satz 1.1 Seien a, b Z. Dann gibt es x, y Z, so dass gilt S : ggt(a, b) = xa + yb Definition 1.3. a, b Z heißen teilerfremd gdw. ggt(a, b) = 1 ist. Satz 1. Seien a, b Z teilerfremd. Dann läßt sich jedes n N als Linearkombination für geeignete x, y Z darstellen. Wichtig insbesondere für n = 1. n = ax + by 1.4 Der Euklidische Algorithmus [RS] S , insbesondere S. 11: Satz Beisiel, vgl. auch S. 68 und 105 auch [H] s Das Rechnen mod n [RS] Kaitel 7 nach Wunsch bzw. Vorkenntnissen 7.1. Kongruenzen, 7. Verknüfung von Restklassen: evtl kurze Wiederholung 1

2 1.6 Lineare Kongruenzen [RS] S mit dem Ziel Satz 1.3 Seien a, b Z und m N. Die lineare Kongruenz ax b mod m ist lösbar gdw. d = ggt(a, m) ein Teiler von b ist. In diesem Fall liegen die Lösungen in genau d verschiedenen Äquivalenzklassen mod m. Sie unterscheiden sich jeweils um Vielfache von m d. Satz 1.4 Sei > Primzahl und a Z. Dann gilt a 1 mod gdw. x 1 mod oder x 1 mod gilt. Satz 1.5 (Wilson) Es ist > 1 ( N) Primzahl gdw. gilt. A. Die Sätze von Euler [RS] S ( 1)! 1 mod Satz 1.6 (Euler) Sei > Primzahl. Dann ist die Kongruenz x 1 mod lösbar gdw. x 1 mod 4 gilt. Definition Die Eulersche ϕ-funktion ordnet jedem n N die Anzahl ϕ(n) derjenigen m {1,,..., n}, die zu n teilerfremd sind, d.h. für die ggt(n, m) = 1 gilt. Beisiel 1.6. ϕ() = 1, falls eine Primzahl ist. Satz 1.7 (Fermat-Euler) Sei n N und a Z mit ggt(n, a) = 1. Dann gilt Insbesondere gilt falls eine Primzahl und ggt(, a) = 1 ist. neu eingefügt: B. Chinesischer Restsatz a ϕ(n) 1 mod n a 1 1 mod Satz 1.8 [RS], S. 194 f. Seien m 1,..., m n N, aarweise teilerfremd und a 1,..., a n Z gegeben. Dann ist das System linearer Kongruenzen x a 1 mod m 1 x a mod m... x a n mod m n lösbar. Alle Lösungen des Systems liegen in einer gemeinsamen Restklasse mod m mit m := m 1... m n.

3 Krytograhie.1 Krytograhie - neu [RS] S , evtl. kurz die Einleitung S.47f. S. 49 Definition.1.1 (Einheit) x Z N heißt Einheit in Z N gdw. ein y Z N existiert mit x y 1 mod N. Bemerkung.1. Allgemein heißt x R Einheit, falls das Inverse x 1 von x im Ring R existiert, d.h. x x 1 = 1. Satz.1 Sei N > 1 und x {0, 1,,..., N 1}. Es ist x Z N eine Einheit dieses Ringes gdw. x zu N teilerfremd ist, d.h. ggt(x, N) = 1. Definition.1.3 Die Einheiten in Z N bilden eine Grue Z N, die sogenannten Einheitengrue. Definition.1.4 Für eine endliche Grue G mit N Elementen erklärt man die Ordnung der Grue G := N. Satz. (Lagrange) die Ordnung jeder Untergrue U einer endlichen Grue G ist ein Teiler der Ordnung von G.. Einheiten in Z q Sei n = q mit Primzahlen q. Satz.3 Die Anzahl der Elemente von Z q ist ϕ(q) = ( 1)(q 1). Folgerung..1 Für x Z q gilt x ( 1)(q 1) = 1 D.h. für x x Z q hat man x ( 1)(q 1) 1 mod q..3 Das RSA-Verfahren Hist.: Rivest, Shamir, Adleman 1977 Haftendorn: S [RS] S. 53 ff. - Grundlagen: S raktische Zahlenkodierung S Beisiel zur Kodierung und Dekodierung S , wohl ohne Basic-Programm Beachte: k l 1 mod ϕ(n) x ϕ(n) 1 mod n Bei Bedarf: 3

4 .4 RSA-Signatur und Zertifizierung [H] S Ergänzungen Dies könnte von 3 Vortragenden erledigt werden und ist vielleicht etwas raxisbezogener als Quadratische Kongruenzen. A. Buchnummern: ISBN-10 und ISBN-13 [H] S B. IBAN-Die Schreckliche [H] S C. EAN-Die euroäische Artikelnummer [H] S , evtl. Barcode S D. Quadratische Kongruenzen Definition.5.1 Sei ggt(a, m) = 1. Ist die Kongruenz x a mod m lösbar, so heißt x ein quadratischer Rest mod. Andernfalls heißt x ein quadratischer Nichtrest mod. Satz.4 Sei > Primzahl. Dann gibt es genau 1 quadratische Reste mod und genau 1 quadratische Nichtreste mod unter den Zahlen 1,,..., 1. Definition.5. (Legendre-Symbol) Sei > Primzahl und a Z, nicht durch teilbar. ( ) 1 falls a quadratischer Rest mod a := 1 falls a kein quadratischer Rest mod Satz.5 (Euler-Kriterium) Sei > Primzahl und a Z mit ggt(a, ) = 1. Dann gilt a 1 mod Satz.6 (Satz von Euler) Sei > Primzahl. Dann ist ( ) 1 = 1, falls 1 mod 4, und falls 1 mod 4 gilt. ( ) 1 = 1, 4

5 Satz.7 (Gauß sches Lemma) Sei > Primzahl und a Z mit ggt(a, ) = 1. Ferner sei A = { } ka : k = 1,,..., 1 und s die Anzahl der (betrags)kleinsten Reste der Element von A, die negativ sind. Dann gilt = ( 1) s Satz.8 Sei > Primzahl und a Z ungerade, mit ggt(a, ) = 1. Setze σ := 1 i=1 [ ] iu ([.] größter ganzer Teil). Dann gilt = ( 1) σ Satz.5.3 ( Quadratisches Rezirozitätsgesetz) Sei, q > verschiedene Primzahlen. Dann gilt ( ) ( ) q = ( 1) ( 1)(q 1) 4 q Literatur [H] Haftendorn, D.; Mathematik sehen und verstehen. Lehrbuch,. Aufl. SringerSektrum 016. Druckexemlar in Camusbibliothek und als Ebook von Rechnern der Uni aus als PDF zugänglich [RS] Reiss, D. und G. Schmieder: Basiswissen Zahlentheorie, Mathematik für das Lehramt, 3. Aufl. Sringer 014. Druckexemlar in Camusbibliothek [W] Willems, W.: Codierungstheorie und Krytograhie. Mathematik komakt. Birkhäuser 008 5