Wahrscheinlichkeitstheorie Aufgabensammlung

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1 rof. Dr. Z. Kabluchko Sommersemester 2016 Herik Flasche 4. Juli 2016 Wahrscheilichkeitstheorie Aufgabesammlug Keie Abgabe 1 Grezwertsätze er Wahrscheilichkeitstheorie 1.1 Lemma vo Borel Catelli Lemma 1.1 (Borel Catelli, Teil 1). Seie A 1, A 2,... Ereigisse i eiem WRaum (Ω, F, ) mit [A ] <. Da gilt [uelich viele A s trete ei] = 0. Lemma 1.2 (Borel Catelli, Teil 2). Seie A 1, A 2,... uabhägige Ereigisse i eiem WRaum (Ω, F, ) mit [A ] =. Da gilt [uelich viele A s trete ei] = 1. Aufgabe 1. Seie A 1, A 2,... uabhägige Ereigisse mit [A ] = p für alle N. Zeige Sie, ass [ ] 1I A = + = 1 p =. Aufgabe 2. Es sei X eie auf em Itervall [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable. Bestimme Sie ie Wahrscheilichkeit, ass i er Dezimalarstellug vo X as Muster 777 uelich oft vorkommt. Aufgabe 3. Es seie A 1, A 2,... u A Ereigisse mit [A A] <. Zeige Sie, ass [uelich viele A s trete ei] 1 [A]. Aufgabe 4. Seie ξ 1, ξ 2,... uabhägige, auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable. Zeige Sie: [Die Mege {ξ 1, ξ 2,...} ist überall icht im Itervall [0, 1]] = 1. Aufgabe 5. Kostruiere Sie abhägige Ereigisse A 1, A 2,... mit [A ] = u [uelich viele A s trete ei] = 0. Aufgabe 6. Seie X 1, X 2,... uabhägige, auf em Itervall [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable. Bestimme Sie [ ] 1I X<1/ = +.

2 1.2 Kovergez i Wahrscheilichkeit Defiitio 1.3. Eie Folge X 1, X 2,... vo Zufallsvariable kovergiert gege eie Zufallsvariable X i Wahrscheilichkeit (oer stochastisch), we für jees ε > 0 lim [ X X > ε] = 0. Dabei wir vorausgesetzt, ass alle Zufallsvariable auf eiem gemeisame WRaum (Ω, F, ) efiiert si. Bezeichug: X X. Aufgabe 7. Seie X 1, X 2,... Zufallsvariable mit X Exp(λ ), wobei lim λ = +. Zeige Sie, ass X 0. Aufgabe 8. Seie X 1, X 2,... Zufallsvariable mit X N(0, σ), 2 wobei lim σ 2 = 0. Zeige Sie, ass X 0. Aufgabe 9. Seie X 1, X 2,... Zufallsvariable u r > 0 mit lim E X r = 0. Zeige Sie, ass X 0. Aufgabe 10. Seie X 1, X 2,... Zufallsvariable u M eie Kostate mit [ X > M] = 0 für alle = 1, 2,.... Zeige Sie, ass X 0 geau a, we lim E X = 0. Aufgabe 11. Kostruiere Sie ichtegative Zufallsvariable X 1, X 2,... mit X + für alle. Aufgabe 12. Kostruiere Sie Zufallsvariable X 1, X 2,... u X mit X alle N u EX = +. Aufgabe 13. Für zwei Zufallsvariable X, Y : Ω R efiiere (X, Y ) := E[mi{ X Y, 1}]. (Der Erwartugswert ist wohlefiiert, e 0 mi{ X Y, 1} 1). Zeige Sie: (i) (X, Y ) = 0 geau a, we X = Y fast sicher. (ii) (X, Y ) = (Y, X) für beliebige Zufallsvariable X, Y. (iii) (X, Z) (X, Y ) + (Y, Z) für beliebige Zufallsvariable X, Y, Z. (iv) X X geau a, we lim (X, X) = 0. 0 u EX = X, EX = 0 für Somit ist eie Metrik auf er Mege aller Zufallsvariable (wobei fast überall gleiche Zufallsvariable ietifiziert were), welche ie Kovergez i Wahrscheilichkeit metrisiert. Aufgabe 14. Für zwei Zufallsvariable X, Y : Ω R efiiere [ ] X Y ρ(x, Y ) := E. 1 + X Y Zeige Sie, ass ρ Eigeschafte (i) (iv) aus er vorherige Aufgabe hat.

3 1.3 Kovergez i Verteilug Defiitio 1.4. Die Verteilugsfuktio eier Zufallsvariable X ist gegebe urch F X (t) = [X t], t R. Defiitio 1.5. Für eie Zufallsvariable X bezeiche wir mit S(X) ie Mege aller ukte t R, i ee F X stetig ist,.h. S(X) = {t R: [X = t] = 0}. Defiitio 1.6. Eie Folge X 1, X 2,... vo Zufallsvariable kovergiert i Verteilug gege eie Zufallsvariable X, we Bezeichug: X lim F X (t) = F X (t) für alle t S(X). X oer F X F X. Aufgabe 15. Seie X, X 1, X 2,... Zufallsvariable mit Werte i {0, 1, 2,...} u Zeige Sie, ass a X lim [X = k] = [X = k] für alle k = 0, 1, 2,.... X gilt. Aufgabe 16. Sei X Bi(, λ/), wobei λ > 0 ei arameter sei. Zeige Sie, ass X i Verteilug gege eie oisso-verteilug mit arameter λ kovergiert. [Für groß geug ist λ/ < 1 u ur solche s were hier betrachtet]. Aufgabe 17. Sei X Geo(λ/), wobei λ > 0 ei arameter sei. Zeige Sie, ass X / i Verteilug gege eie Expoetialverteilug mit arameter λ kovergiert. Aufgabe 18. Seie X 1, X 2,... Zufallsvariable mit X gleichverteilt auf [0, ]. Zeige Sie: es gibt keie Zufallsvariable X mit X X. Aufgabe 19. Seie X 1, X 2,... Exp(1) uabhägig. Zeige Sie, ass max{x 1,..., X } log i Verteilug gege eie Zufallsvariable mit Verteilugsfuktio e e x, x R, kovergiert (Gumbel Verteilug). Aufgabe 20. Seie X 1, X 2,... U[0, 1] uabhägig. Zeige Sie, ass mi{x 1,..., X } i Verteilug gege eie expoetialverteilte Zufallsvariable mit arameter 1 kovergiert. Aufgabe 21. Zeige Sie: Aus Kovergez i Wahrscheilichkeit folgt Kovergez i Verteilug. Aufgabe 22. Kostruiere Sie eie Folge vo Zufallsvariable, ie i Verteilug aber icht i Wahrscheilichkeit kovergiert. Aufgabe 23. Zeige Sie: Kovergiert eie Folge vo Zufallsvariable i Verteilug gege eie Kostate c, so kovergiert sie auch i Wahrscheilichkeit gege c.

4 Satz 1.7. Eie Folge vo Zufallsvariable X 1, X 2,... kovergiert i Verteilug gege eie Zufallsvariable X geau a, we lim Ef(X ) = Ef(X) für alle beschräkte, stetige Fuktioe f : R R. Aufgabe 24. Seie X 1, X 2,... Zufallsvariable mit X gleichverteilt auf er Mege { 1, 2,..., },.h. [X = 1/] = [X = 2/] =... = [X = /] = 1/. Zeige Sie, ass X i Verteilug kovergiert u bestimme Sie ie Grezwertverteilug. Aufgabe 25. Sei X = für = 1, 2,.... Zeige Sie, ass iese Folge i Verteilug icht kovergeiert. Defiitio 1.8. Die charakteristische Fuktio eier Zufallsvariable X ist gegebe urch ϕ X (t) = E[e ixt ], t R. Satz 1.9 (Lévy). Eie Folge vo Zufallsvariable X 1, X 2,... kovergiert i Verteilug gege eie Zufallsvariable X geau a, we lim ϕ X (t) = ϕ X (t) für alle t R. Aufgabe 26. Seie X 1, X 2,... Zufallsvariable mit X N(µ, σ 2 ), wobei µ := lim µ R u σ 2 := lim σ 2 (0, ) existiere. Zeige Sie, ass X i Verteilug gege ie Normalverteilug mit arameter (µ, σ 2 ) kovergiert. Aufgabe 27. Seie X 1, X 2,... Zufallsvariable mit X Exp(λ ), wobei λ := lim λ (0, ) existiere. Zeige Sie, ass X i Verteilug gege ie Expoetialverteilug mit arameter λ kovergiert. Aufgabe 28. Seie X 1, X 2,... Zufallsvariable mit X N(0, ). Zeige Sie: lim ϕ X (t) existiert für jees t R, aber X kovergiert icht i Verteilug. Warum ist es kei Wierspruch zum Satz vo Lévy? 1.4 Fast sichere Kovergez Defiitio Eie Folge vo Zufallsvariable X 1, X 2,... kovergiert fast sicher gege eie Zufallsvariable X, falls [{ }] ω Ω: lim X (ω) = X(ω) = 1. Dabei wir vorausgesetzt, ass alle Zufallsvariable auf eiem gemeisame WRaum (Ω, F, ) efiiert si.

5 f.s. Bezeichug: X X. Bemerkug Die obige Beigug ka ma abgekürzt auch folgeermaße formuliere: [ ] lim X = X = 1. Aufgabe 29. Zeige Sie: Für beliebige Zufallsvariable X 1, X 2,... u X si ie Mege { } { } ω Ω: lim X (ω) = X(ω) u ω Ω: lim X (ω) existiert messbar. Hiweis: Die zweite Mege ka zwar als a R {ω Ω: lim X (ω) = a} argestellt were, iese Vereiigug ist allerigs überabzählbar. Aufgabe 30. Sei X eie Zufallsvariable u a 1, a 2,... eie etermiistische Folge mit lim a = 0. Zeige Sie, ass a X a.s. 0. Satz Es gelte ie folgee Implikatioe: X f.s. X = X X = X u alle Rückrichtuge si im Allgemeie icht richtig. X Aufgabe 31. Seie X 1, X 2,... uabhägige Zufallsvariable mit X Beroulli-verteilt mit arameter 1/. Zeige Sie: X 0 u sogar X 0 aber icht X a.s. 0. Aufgabe 32. Seie X 1, X 2,... Zufallsvariable. Zeige Sie: Aufgabe 33. Sei X gibt. ε > 0 : [ X X > ε] < = X a.s. X. X. Zeige Sie, ass es eie Teilfolge k(1) < k(2) <... mit X a.s. k() X Aufgabe 34. Sei Ω = [0, 1], F = Borel σ-algebra auf [0, 1], = Lebesgue Maß. Zeige Sie: Die Folge X 1 = 1I [0,1/2], X 2 = 1I [1/2,1], X 3 = 1I [0,1/4], X 4 = 1I [1/4,1/2], X 5 = 1I [1/2,3/4], X 6 = 1I [3/4,1], X 7 = 1I [0,1/8], X 8 = 1I [1/8,1/4],... kovergiert i Wahrscheilichkeit gege 0, hat jeoch keie fast sichere Grezwert. Gebe Sie eie fast sicher kovergete Teilfolge vo X 1, X 2,... a. Aufgabe 35. Zeige Sie: Kovergiert eie mooto fallee Folge vo icht-egative Zufallsvariable gege 0 i Wahrscheilichkeit, so kovergiert sie sogar fast sicher gege 0. Dabei beeutet mooto falle, ass X 1 (ω) X 2 (ω) X 3 (ω)... 0 für alle ω Ω. Aufgabe 36. Zeige Sie: Für beliebige Folge vo Zufallsvariable X 1, X 2,... gibt es eie Zahlefolge a 1, a 2,... > 0 mit a X a.s. 0.

6 f.s. Aufgabe 37. Kostruiere Sie eie Folge vo ichtegative Zufallsvariable mit X 0 aber EX = + für alle N. Bemerkug: Diese Aufgabe zeigt, ass E[lim X ] lim EX. 1.5 L p -Kovergez Defiitio Eie Folge vo Zufallsvariable X 1, X 2,... kovergiert gege eie Zufallsvariable X i L p (oer im p-te Mittel), wobei p > 0, we lim E X X p = 0. Dabei wir vorausgesetzt, ass alle Zufallsvariable auf eiem gemeisame WRaum efiiert si u ass E X p < u E X p < für alle N. L Bezeichug: X p X. Aufgabe 38. Zeige Sie: Aus er Kovergez im p-te Mittel folgt Kovergez i Wahrscheilichkeit. Aufgabe 39. Kostruiere Sie Zufallsvariable X 1, X 2,... mit E X p 1 für alle N, ie fast sicher (u somit auch i Wahrscheilichkeit), aber icht im p-te Mittel kovergiere. Aufgabe 40. Seie X 1, X 2,... Zufallsvariable mit X X u X M, wobei M > 0 eie Kostate sei. Zeige Sie, ass X X für alle p > 0. L p Aufgabe 41. Zeige Sie: Aus er Kovergez im p-te Mittel folgt Kovergez im s-te Mittel, s < t. Aufgabe 42. Kostruiere Sie Zufallsvariable X 1, X 2,..., ie für jees p 1 im p-te Mittel aber icht fast sicher kovergiere. f.s. Aufgabe 43. Sei X eie Zufallsvariable. Zeige Sie, ass p E X p = ess sup X, lim p + wobei ess sup X = if{y R: [X > y] = 0} R {+ } as wesetliche Supremum vo X ist. [Das Ifimum eier leere Mege wir hier als + efiiert]. Zeige Sie, ass ess sup X sup{x(ω) : ω Ω} u gebe Sie ei Beispiel a, i em iese Ugleichug strikt ist. 1.6 Verschieees zu Kovergezarte Aufgabe 44. Seie X 1 = c 1, X 2 = c 2,... Zufallsvariable, wobei c 1, c 2,... etermiistische Kostate mit c := lim c R seie. Zeige Sie: (a) X kovergiert i Verteilug gege c. (b) X kovergiert i Wahrtscheilichkeit gege c. (c) X kovergiert fast sicher gege c. () X kovergiert i L p gege c, für alle p > 0.

7 Aufgabe 45. Betrachte Sie rei Folge (X ) N, (Y ) N, (Z ) N vo Zufallsvariable mit (a) Ageomme X (b) Ageomme X W, Z W, Z lim [X Y Z ] = 1. W. Zeige Sie, ass Y W. Zeige Sie, ass Y W. W. (c) Zeige Sie, ass eie aaloge Aussage für ie fast sichere Kovergez icht gilt. Aufgabe 46. Eie Folge X 1, X 2,... vo Zufallsvariable heißt straff (oer beschräkt i Wahrscheilichkeit), falls lim [ X > a] = 0. Zeige Sie: sup a + N (a) Si X 1, X 2,... u Y 1, Y 2,... straffe Folge, so ist auch ie Folge X + Y straff. (b) Ist X 1, X 2,... straffe Folge u Y (c) Eie Folge, ie i Verteilug kovergiert, ist straff. 0, so gilt auch X Y Gesetz er große Zahle Satz 1.14 (Starkes Gesetz er große Zahle, Kolmogorow). Seie X 1, X 2,... uabhägige ietisch verteilte Zufallsvariable mit E X 1 <. Da gilt X X f.s. E[X 1]. Satz 1.15 (Starkes Gesetz er große Zahle für icht ietisch verteilte Zufallsvariable, Kolmogorow). Seie X 1, X 2,... uabhägige (icht otweigerweise ietisch verteilte) Zufallsvariable mit E X 2 < für alle N u Var X 2 <. Da gilt für ie Folge er artialsumme S = X X, ass S ES f.s. 0. Aufgabe 47. Sei f : [0, 1] R eie Borel-Fuktio mit 1 0 f(t) t < u X 1, X 2,... uabhägige, auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable. Zeige Sie, ass f(x 1 ) f(x ) a.s. 1 0 f(t)t.

8 Aufgabe 48. Sei f : [0, 1] R eie stetige Fuktio. Bestimme Sie 1 1 ( ) x x lim... f x 1... x. 0 0 }{{} -faches Itegral Aufgabe 49. Seie X 1, X 2,... uabhägig mit X gleichverteilt auf [ α, α ], wobei 0 < α < 1 2 ei arameter sei. Zeige Sie, ass für iese Folge as starke Gesetz er große Zahle gilt: X X a.s. 0. Aufgabe 50. Seie X 1, X 2,... uabhägige Zufallsvariable mit X 1 = 0 u [X = +] = [X = ] = 1, [X = 0] = 1 2, 2. Zeige Sie, ass as starke Gesetz er große Zahle für iese Folge icht gilt, ämlich [ ] X X lim = 0 = 0. Aufgabe 51. Zeige Sie, ass lim }{{} faches Itegral x x 2 x x x 1... x = 2 3. Aufgabe 52. (a) Seie X 1, X 2,... uabhägige Cauchy-verteilte Zufallsvariable. Zeige Sie, ass 1 (X X ) ebefalls Cauchy-verteilt ist. (b) Zeige Sie, ass 1 (X X ) icht i Wahrscheilichkeit gege 0 kovergiert u somit as Gesetz er große Zahle für ie Cauchy Verteilug icht gilt. 1.8 Zetraler Grezwertsatz Satz 1.16 (Klassischer zetraler Grezwertsatz). Seie X 1, X 2,... uabhägige ietisch verteilte Zufallsvariable mit µ := EX 1 u σ 2 := Var X 1 <. Da gilt für ie Folge er artialsumme S = X X, ass S µ N(0, σ2 ). Aufgabe 53. Bestimme Sie approximativ ie Wahrscheilichkeit, ass ie Augesumme beim 1000-malige Werfe eies faire Würfels größer als 3500 ist. Aufgabe 54. Seie X 1, X 2,... uabhägige ietisch verteilte Zufallsvariable mit EX 1 = µ, σ 2 := Var X 1 <. Bestimme Sie lim [X X a]

9 für a < µ, a = µ u a > µ. Hiweis. Gesetz er große Zahle ist hilfreich, reicht aber im Fall a = µ icht aus. Aufgabe 55. Bestimme Sie e folgee Grezwert als Fuktio vo a [0, 1]: lim 1 2 [a] k=0 ( ). k Aufgabe 56. Bestimme Sie lim e (1 + ) 2 + 1! 2! + 3 3! ! Aufgabe 57. Betrachte Sie ie Folge vo Mege D 1, D 2,... mit D := {(x 1,..., x ) R : 0 x 1 1,..., 0 x 1, x x 2 /3} R. Bestimme Sie lim λ (D ), wobei λ as -imesioale Lebesgue-Maß (Volume) bezeichet. Aufgabe 58. Sei f : R R eie ichtegative Borel-Fuktio mit + f(x)x = 1, + x2 f(x)x = 1 u + x4 f(x)x <. Bestimme Sie lim... } {{ } x x2 a i Abhägigkeit vom arameter a > 0. (f(x 1 )... f(x )) x 1... x Satz 1.17 (Zetraler Grezwertsatz vo Lieberg). Für jees N seie uabhägige Zufallsvariable X,1,..., X, gegebe, so ass folgee Beiguge erfüllt si: (a) Zetriertheit: EX,k = 0 für alle k = 1,...,. (b) Normiertheit: k=1 E[X2,k ] = 1. (c) Die Lieberg Beigug: Für jees ε > 0: L (ε) := k=1 E[X2,k 1I X,k ε] 0. Da gilt er zetrale Grezwertsatz: X, X, N(0, 1). Satz 1.18 (Zetraler Grezwertsatz vo Ljapuow). Für jees N seie uabhägige Zufallsvariable X,1,..., X, gegebe, so ass (a), (b) erfüllt si u ie folgee Ljapuow Beigug gilt: (c ) Es gibt ei δ > 0 mit k=1 E[ X,k 2+δ ] 0. Da gilt er zetrale Grezwertsatz: X, X, N(0, 1). Aufgabe 59. Zeige Sie, ass (a), (b), (c ) = (c),.h. leite Sie e Satz vo Ljapuow aus em Satz vo Lieberg her.

10 Aufgabe 60. Es seie X 1, X 2,... uabhägige, icht ubeigt ietisch verteilte Zufallsvariable u M (0, ) eie Kostate mit [ X < M] = 1 (für alle N). Weiter gelte Var X =. Zeige Sie, ass für S := X X er folgee zetrale Grezwertsatz gilt: Hiweis: Satz vo Lieberg. S ES Var S N(0, 1). Aufgabe 61. Es seie X 1, X 2,... uabhägige, icht ubeigt ietisch verteilte Zufallsvariable mit EX k = 0, E[Xk 2 ] = 1 für alle k N u es gelte C := sup E[ X k 2+δ ] < k N für ei δ > 0. Zeige Sie, ass für S := X X er folgee zetrale Grezwertsatz gilt: Hiweis: Satz vo Ljapuow. S N(0, 1). Aufgabe 62. Seie X 1, X 2,... uabhägige Zufallsvariable mit X k gleichverteilt auf em Itervall [0, k] für alle k = 1, 2,.... Zeige Sie, ass 4 k=1 X k 2 3/2 i Verteilug kovergiert u bestimme Sie ie Grezwertverteilug. Aufgabe 63. Seie X 1, X 2,... uabhägig mit X gleichverteilt auf [ α, α ], wobei α > 0 ei arameter sei. Zeige Sie, ass für iese Folge er zetrale Grezwertsatz gilt, ämlich X X Var [X X ] N(0, 1). Aufgabe 64. Seie X N(0,!) uabhägig u ormalverteilt. Zeige Sie: Der Zetrale Grezwertsatz gilt für as Dreieicksschema X,k := X k /σ, k = 1,...,, wobei σ 2 = Var (X X ), ie Lieberg Beigug ist aber icht erfüllt. Aufgabe 65. Bestimme Sie (ohe Hilfsmittel) e umerische Wert vo +1 1 cos100 x x mit eiem relative Fehler vo < 10% Gesetz vo Kolmogorow Defiitio Seie X 1, X 2,... Zufallsvariable. Die termiale σ-algebra T ist efiiert urch T = σ(x, X +1,...), wobei σ(x, X +1,...) ie vo X, X +1,... erzeugte σ-algebra sei. Aufgabe 66. Zeige Sie, ass T tatsächlich eie σ-algebra ist.

11 Satz 1.20 (0-1-Gesetz vo Kolmogorow). Seie X 1, X 2,... uabhägige Zufallsvariable. Da gilt für jees Ereigis A aus er termiale σ-algebra T, ass [A] = 0 oer [A] = 1. Aufgabe 67. Seie X 1, X 2,... uabhägige Zufallsvariable. Zeige Sie, ass [ ] X kovergiert {0, 1}. Aufgabe 68. Seie X 1, X 2,... uabhägige Zufallsvariable. Zeige Sie, ass ie Zufallsvariable lim if X, lim sup X, lim if 1 k=1 X k, lim sup 1 X k, fast sicher kostat si. [I ieser Aufgabe lasse wir zu, ass Zufallsvariable ie Werte ± aehme]. k= Der Dreireihesatz vo Kolmogorow Satz 1.21 (Eireihesatz vo Kolmogorow). Seie X 1, X 2,... uabhägige Zufallsvariable mit EX = 0 u Var X <. Da kovergiert ie Reihe X fast sicher. Aufgabe 69. Seie ξ 1, ξ 2,... uabhägig staarormalverteilt. Zeige Sie, ass ie zufällige Taylor Reihe ξ x für x < 1 mit Wahrscheilichkeit 1 kovergiert. Satz 1.22 (Dreireihesatz vo Kolmogorow). Seie X 1, X 2,... uabhägige Zufallsvariable. Die Reihe X kovergiert fast sicher geau a, we ie folgee Beiguge für ei (äquivalet: für jees) A > 0 erfüllt si: (a) [ X > A] <. (b) Die Reihe E[X 1I X A] kovergiert. (c) Var [X 1I X A] <. Aufgabe 70. Es seie X 1, X 2,... u Y 1, Y 2,... Zufallsvariable mit [X Y ] <. Zeige Sie: X kovergiert fast sicher geau a, we Y fast sicher kovergiert. Aufgabe 71. Seie X 1, X 2,... uabhägige Zufallsvariable mit [X = ±1] = 1/2. Zeige Sie: Die Reihe a X kovergiert fast sicher geau a, we a2 <. Aufgabe 72. Seie ξ 1, ξ 2,... uabhägige, ietisch verteilte Zufallsvariable mit [ξ = +1] = [ξ = 1] = 1/2. Welche er folgee Reihe kovergiere mit Wahrscheilichkeit 1 u welche mit Wahrscheilichkeit 0? (a) ξ. (b) ξ.

12 (c) =2 () =2 ξ log. ξ log. Aufgabe 73. Seie X 1, X 2,... Zufallsvariable mit X 0. Zeige Sie: Die Reihe X kovergiert mit Wahrscheilichkeit 1 geau a, we ie Reihe mi(1, X ) fast sicher kovergiert. Aufgabe 74. Seie X 1, X 2,... uabhägig staar ormalverteilt. Zeige Sie: Die Reihe a X kovergiert fast sicher geau a, we a2 <. Hiweis für ie Hirichtug: Aus er fast sichere Kovergez vo a X folgt, ass ie artialsumme i Verteilug kovergiere. Daraus folgt ie Kovergez er charakteristische Fuktioe. Diese köe explizit berechet were. Aufgabe 75. Seie X 1, X 2,... uabhägig staar Cauchy-verteilt. Zeige Sie: Die Reihe a X kovergiert fast sicher geau a, we a < Verschieees Aufgabe 76. Seie X 1, X 2,... uabhägige, ietisch verteilte Zufallsvariable mit X i U[0, 1]. Sei N ie größte Zahl mit er Eigeschaft, ass ie eliche Folge X 1, X 2,..., X N mooto ist. Zeige Sie, ass EN = 2e 3. Hiweis: Bestimme Sie [N k] für k = 1, 2,.... Aufgabe 77. Seie ξ 1, ξ 2,... uabhägige, auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable. Bestimme Sie [Miestes eie er Zahle {ξ 1, ξ 2,...} ist ratioal]. Aufgabe 78. Die Euler sche ϕ-fuktio ist folgeermaße efiiert: ϕ() ist ie Azahl er Zahle uter 1, 2,...,, ie teilerfrem zu si. Beweise Sie ie Euler sche Formel ( ϕ() = 1 1 ) p mit wahrscheilichkeitstheoretische Mittel. p : rimteiler vo