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1 20-minütige Klausur zur Vorlesung Lineare Modelle im Sommersemester 20 PD Dr. Christian Heumann Ludwig-Maximilians-Universität München, Institut für Statistik 2. Oktober 20, 4:5 6:5 Uhr Überprüfen Sie bitte sofort, ob Ihre Angabe vollständig ist. Sie sollte neben diesem Deckblatt 4 Aufgaben auf 4 Aufgabenblättern enthalten. Alle 4 Aufgaben sind zu bearbeiten. Schreiben Sie auf das Deckblatt Namen und Matrikelnummer und unterschreiben Sie unten. Das Deckblatt muss abgegeben werden, die Angaben können Sie behalten. Die Lösungen sind auf den ausgeteilten Kanzleibögen anzugeben. Der Lösungsweg sollte nachvollziehbar sein. Ergebnisse sind sinnvoll zu runden. Geben Sie Ihren Namen, Vornamen und Ihre Matrikelnummer auf diesem Blatt sowie auf jedem der von Ihnen beschrifteten Kanzleibögen an. Geben Sie außerdem die jeweilige Aufgabennummer (auch die der Teilaufgaben) an. Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner (nicht programmierbar, ohne Graphik-Funktion) Notizen von 3 DIN A4-Blättern (6 Seiten) Die Bearbeitungszeit beträgt 20 Minuten. Es können maximal 20 Punkte erreicht werden. Name (in Druckbuchstaben): Matrikelnummer: Unterschrift:

2 Aufgabe Ein Marktforschungsunternehmen untersucht, wie die Größe der Wohnung einer Person (in m 2 ) von der Anzahl der insgesamt in der Wohnung lebenden Personen, der Miete pro Quadratmeter und der Staatsangehörigkeit der befragten Person (in den Kategorien Deutscher, EU-Ausländer und Nicht-EU-Ausländer ) abhängt. Es liegen 50 Beobachtungen vor. a) Stellen Sie ein geeignetes Modell auf. Geben Sie dazu die Modellgleichung an und erläutern Sie, welche Werte die in der Gleichung vorkommenden Variablen annehmen. [4 P.] b) Interpretieren Sie die folgenden Parameterschätzungen [0 P.]: Estimate Intercept 70 Anzahl Personen 0 Miete pro Quadratmeter.6 EU-Ausländer 3 Nicht-EU-Ausländer 20 c) Erklären Sie die Bedeutung von Cook s distance und Leverage. Interpretieren Sie anschließend die folgenden Graphiken. Was könnte ein Grund für hohe Werte sein? [0 P.] Leverage Cook's distance Beobachtung Beobachtung 2

3 d) Tatsächlich wurden insgesamt 8 verschiedene lineare Regressionsmodelle unterschiedlicher Komplexität gerechnet. Dabei ergaben sich folgende Residuenquadratsummen: Variablen im Modell (außer der Konstanten) Residuenquadratsumme Anzahl Personen, Miete pro Quadratmeter, Staatsangehörigkeit 606 Anzahl Personen, Miete pro Quadratmeter 808 Anzahl Personen, Staatsangehörigkeit 7577 Miete pro Quadratmeter, Staatsangehörigkeit Anzahl Personen 9904 Miete pro Quadratmeter 2638 Staatsangehörigkeit Berechnen Sie für das volle Modell die partiellen und sequentiellen Quadratsummen. Gehen Sie dabei davon aus, dass zuerst die Variable Anzahl Personen, dann Miete pro Quadratmeter und zuletzt Staatsangehörigkeit in das Modell aufgenommen wird. [8 P.] e) Wie kann man testen, ob die Variable Miete pro Quadratmeter kontrolliert für die beiden anderen Variablen einen signifikanten Einfluss hat? Wie kann man vom vollen Modell ausgehend die Hypothese testen, dass weder die Miete pro Quadratmeter noch die Staatsangehörigkeit einen Einfluss hat? Geben Sie jeweils den Wert der Teststatistik und die zugehörige Verteilung unter H 0 an. [3 P.] 3

4 Aufgabe 2 Als Ergebnis einer Regressionsanalyse (mit Intercept) seien folgende Matrizen gegeben: X X = (X X) = X y = 6 4 a) Berechnen Sie den KQ-Schätzer ˆβ. [4 P.] y y = 0. b) Übernehmen Sie die folgende Tafel der Varianzanalyse auf Ihren Kanzleibogen und füllen Sie die Lücken aus. (Die Angabe eines p-wertes ist nicht gefordert.) [5 P.] Falsches Ersatzergebnis für SST: 9.35 df SS MS F Model 0.95 Error Total c) Welche Hypothese wird anhand des F-Werts in der Tafel der Varianzanalyse überprüft und wie lautet die Verteilung der Testgröße unter H 0? [3 P.] d) Wie lautet die Matrix A zum Testen der Hypothese H 0 : β 0 = 0, β 2 = 0? Geben Sie auch die Verteilung der zugehörigen Testgröße (unter H 0 ) an. [4 P.] e) Wie lautet die geschätzte Modellgleichung für das reduzierte Modell aus d)? [9 P.] 4

5 Aufgabe 3 Für 83 Standorte in einem Forstgebiet ist bekannt, ob die dort stehenden Buchen im Jahr 2004 Schäden aufwiesen oder nicht. Als Einflussgrößen werden der Beschirmungsgrad (Dichte der Laubdecke, in Prozent, angegeben mit Wertebereich zwischen 0 und ) und die Gründigkeit (Bodentiefe, in der das Gestein beginnt, in cm) betrachtet. a) Stellen Sie ein geeignetes Modell auf, um zu beschreiben, wie das Auftreten von Schäden mit dem Beschirmungsgrad und der Gründigkeit zusammenhängt. Geben Sie hierzu die Modellgleichung an. [3 P.] b) Bei der Analyse der Daten mit einem logistischen Regressionsmodell erhielt man folgende Ergebnisse: Variable Schätzer Intercept 6.06 Beschirmungsgrad Gründigkeit Interpretieren Sie alle Schätzer ausführlich. [6 P.] c) Berechnen Sie die geschätzte Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Beschirmungsgrad von 40 % und einer Gründigkeit von 20 cm Baumschäden festgestellt werden. [3 P.] d) Bei welchem Beschirmungsgrad ist die geschätzte Wahrscheinlichkeit, dass an einem Standort mit einer Gründigkeit von 30 cm Baumschäden festgestellt werden, nach dem Modell gleich 0.5 oder kleiner? [5 P.] Aufgabe 4 Nennen Sie mögliche Verletzungen von Modellannahmen im linearen Modell und skizzieren Sie jeweils deren Auswirkungen, sowie Möglichkeiten zur Diagnose und Korrektur. [23 P.] Viel Erfolg! 5

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