4. Woche: Mehrdimensionale Modelle

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1 Systemanalyse I: 4. Woche: Mehrdimensionale Modelle Nicolas Gruber Umweltphysik Institut für Biogeochemie und Schadstoffdynamik ETH Zürich 1 Inhalt INHALT 1. Zusammenfassung & Review 2. Leare Box-modelle 5: Oszillierender Input oder was geschieht, wenn der Input schwgt? 3. Leare Modelle mit zwei Systemvariablen 1: oder was Determanten und Eigenwerte mit Boxmodellen zu tun haben 4. Leare Modelle mit zwei Systemvariablen 2: Fall A: reelle, nicht positive Eigenwerte. oder e Spurenstoff verschwdet selten spurlos 2 WOCHE 4

2 Durchflussreaktor mit zeitabhängigem Input REAKTOR Falls der Input expontiell ansteigt, dann entscheidet das Verhältnis zwischen der Wachstumsrate ß und der totalen Verlustrate über das Verhalten: C (t Zeit t Für t >> ( -1: k w C(t = C (t + ß Fall A: ß << Adiabatische Störung Fall B: ß Das System zeigt Trägheit, d.h. C(t ist verzögert, steigt aber auch exponentiell an! 3 Inhalt INHALT 1. Zusammenfassung & Review 2. Leare Box-modelle 5: Oszillierender Input oder was geschieht, wenn der Input schwgt? 3. Leare Modelle mit zwei Systemvariablen 1: oder was Determanten und Eigenwerte mit Boxmodellen zu tun haben 4. Leare Modelle mit zwei Systemvariablen 2: Fall A: reelle, nicht positive Eigenwerte. oder e Spurenstoff verschwdet selten spurlos 4 WOCHE 4

3 Anwendung: Periodische Störung Jahreszeiten, Ebbe&Flut, Tageszyklen,... 5 Anwendung: Periodische Störung C hat die folgende zeitliche Abhängigkeit: C (t = C + C 1 s (ω t ω = 2π/T: Kreisfrequenz C 1 : Amplitude Das ergibt für C(t: k w C k w C C(t = + (C - exp(- t + Dieser Teil entspricht der Lösung mit C =konst. Dieser Teil enthält die Schwgungs terme k w C 1 (ω 2 +2 s(ω t-η + k w C 1 ω ω exp (-ktot t η = arctan (ω/ 6

4 Anwendung: Periodische Störung k w C k w C C(t = + (C - exp(- t + k w C 1 (ω 2 +2 s(ωt-η + k w C 1 ω ω exp (-ktot t Für t >> ( -1: exp(- t C(t = k w C k + w C 1 s(ωt-η (ω 2 +2 Vergleiche mit dem Stationärzustand: Amplitude: gedämpft Phasenverschiebung η = arctan (ω/ k C (t = w C k + w C 1 s(ωt 7 Anwendung: Periodische Störung E leares System wirkt als Filter und Dämpfer für periodische Schwankungen 8

5 Anwendung: Periodische Störung Dämpfung: Amplitude C(t/Amplitude C (t γ = (ω 2 +2 γ=[..1] γ=1: kee Dämpfung γ=: vollständige Dämpfung Phasenverschiebung η = arctan (ω/ Die kritischen Parameter sd und ω γ : proportional zu ω, d.h. je schneller die Schwgungen relativ zu, desto stärker die Dämpfung η: proportional zu ω, d.h. je schneller die Schwgungen, desto grösser die Phasenverschiebung η: vers proportional zu, d.h. je schneller die Reaktion, desto kleer die Phasenverschiebung 9 Anwendung: Periodische Störung Spezialfall A: langsame Schwgung Für >>ω: Dämpfung: γ = 1 Phasenverschiebung: η = C(t C (t, d.h. es handelt sich um ee adiabatische Störung Spezialfall C: sehr schnelle Schwgung Für <<ω: Dämpfung: γ = /ω Phasenverschiebung: η = π/2 C(t k w C = constant d.h. es handelt sich um ee vollständig gedämpfte Störung 1

6 Periodische Störung: Diskussion FALL A Für ω << : FALL B Für ω : FALL C Für ω >> : Schwgung: langsam mittel schnell Dämpfung: γ = 1 γ 1/ 2 γ = /ω Phasenverschiebung: η = η π/4 η = π/2 E leares System wirkt als Dämpfer und Zeitfilter 11 Inhalt INHALT 1. Zusammenfassung & Review 2. Leare Box-modelle 5: Oszillierender Input oder was geschieht, wenn der Input schwgt? 3. Leare Modelle mit zwei Systemvariablen 1: oder was Determanten und Eigenwerte mit Boxmodellen zu tun haben 4. Leare Modelle mit zwei Systemvariablen 2: Fall A: reelle, nicht positive Eigenwerte. oder e Spurenstoff verschwdet selten spurlos 12 WOCHE 4

7 Zurück zum Schweizerhalle Unglück Schweizerhalle: November 1986 In eem Seitenarm des Rhes kommt ständig Schadstoff A here. Dieser reagiert zur sehr toxischen Substanz B, welche auch wieder zurück zu A reagieren kann (1.Ordnung. Beide Schadstoffe werden ausgewaschen. Fragen: Wie wird die Konzentration CB im Seitenarm sich über die Zeit entwickeln? Wie schnell wird die kritische Konzentration CBkrit erreicht? 13 E anderes Beispiel: Der Chemostat A: Nährstoff B: Mikroben Zielgrösse Wird gebraucht z.b. für die Produktion von mikrobiellen Produkten kontuierlicher Kultur. Ziel: möglichst grosser Ertrag von B 14

8 Der erweiterte Boxmodellklassiker: Durchflussreaktor mit zwei Reaktanden k w : Austauschrate (T -1 = Q/V k A : Reaktionskonstante 1. Ordnung A B (T -1 k B : Reaktionskonstante 1. Ordnung B A (T -1 Input Reaktionen Auswaschen Bilanzgleichungen dc A /dt = k w C A + k B C B k A C A k w C A dc B /dt = k B C B + k A C A k w C B Annahmen: Reaktionen Auswaschen Volumen V ist gut durchmischt, d.h. C A und C B sd homogen verteilt 15 Der erweiterte Boxmodellklassiker: Durchflussreaktor mit zwei Reaktanden Ordnen nach C A und C B : dc A /dt = k w C A (k A C A + k B C B dc B /dt = + k A C A (k B C B Schreiben Matrizenform: p 2,1 V = R + P V p 2,2 Bemerke Analogie zum 1-dim Fall C = R + k C R = k w C A P = (k A k B k A (k B V = C A C B V = dc A /dt dc B /dt p 2,1 p 2,2 Koeffizientenmatrix 16

9 E Exkurs die leare Algebra: Determanten, Spuren, Diskrimanten, und Eigenwerte Determante von P: P = p 2,1 p 2,2 det(p = p 1,1 p 2,2 p 1,2 p 2,1 Spur von P: p 2,1 p 2,2 Sp(P = p 1,1 + p Summe der Diagonalelemente 2,2 Diskrimante von P: p 2,1 p 2,2 (P = Sp(P 2 4 det(p Bestimmt die Art der Lösung = (p 1,1 p 2, p 1,2 p 2,1 Eigenwerte von P: λ 1,2 = 1/2 [Sp(P ± (P] Aus der charakteristischen Gleichung: λ 2 - λ Sp(P + det(p 17 Lösung der allgemeen Differentialgleichung mit Hilfe von Eigenwerten 2-dim Differentialgleichung: V = R + P V (1 falls die Koeffizientematrix zwei verschiedene Eigenwerte λ i hat, d.h. falls (P, dann hat (1 die zeitabhängige Lösung: V 1 (t = a 1, + a 1,1 exp (λ 1 t + a 1,2 exp (λ 2 t V 2 (t = a 2, + a 2,1 exp (λ 1 t + a 2,2 exp (λ 2 t Der Stationärzustand: Falls λ i negativ und reel sd, t : exp(λ i t V 1 = a 1, = V 2 = a 2, = p 1,2 R 2 p 2,2 R 1 p 1,1 p 2,2 p 1,2 p 2,1 p 2,1 R 1 p 1,1 R 2 p 1,1 p 2,2 p 1,2 p 2,1 Erhalten durch Nullsetzen der lken Seite von (1 18

10 Die Bedeutung der Eigenwerte λ 1,2 = 1/2 [Sp(P ± (P] Die Eigenwerte ees learen Systemes charakterisieren see zeitlichen Eigenschaften 19 Verhalten der Lösung der Differentialgleichung als Funktion der Eigenwerte Eigenwerte Eigenschaften Lösungstyp (1 reell, λ 1,2 < (2 reell, λ 1 =, λ 2 < (3 reell, λ 1 > (4 beide re imagär (5 Konjugiert komplex mit negativem Realteil (6 Konjugiert komplex mit positivem Realteil Lösung mit Stationärzustand Lösung mit Stationärzustand Lösung, (unbegrenzte Lösung Ungedämpfte Oszillation Gedämpfte Oszillation Wachsende Oszillation λ 1,2 = 1/2 [Sp(P ± (P] V 1 (t = a 1, + a 1,1 exp (λ 1 t + a 1,2 exp (λ 2 t V 2 (t = a 2, + a 2,1 exp (λ 1 t + a 2,2 exp (λ 2 t 2

11 Der Zustandsraum V 1 (t = a 1, + a 1,1 exp (λ 1 t + a 1,2 exp (λ 2 t V 2 (t = a 2, + a 2,1 exp (λ 1 t + a 2,2 exp (λ 2 t Beschreibt den Weg der Systemvariablen vom Anfangszustand,V, zum Stationärzustand, V (falls dieser existiert. Wege kreuzen sich nicht. 21 Inhalt INHALT 1. Zusammenfassung & Review 2. Leare Box-modelle 5: Oszillierender Input oder was geschieht, wenn der Input schwgt? 3. Leare Modelle mit zwei Systemvariablen 1: oder was Determanten und Eigenwerte mit Boxmodellen zu tun haben 4. Leare Modelle mit zwei Systemvariablen 2: Fall I&II: reelle, nicht positive Eigenwerte. oder e Spurenstoff verschwdet selten spurlos 22 WOCHE 4

12 Zurück zum Durchflussreaktor mit zwei Reaktanden Berechne die Eigenwerte von P P = (k A k B k A (k B p 2,1 p 2,2 Sp(P = (k A (k B = (k A +k B + 2k w Sp(P = p 1,1 + p 2,2 Det(P = (k A (k B k B k A = k w 2 (k A +k B > det(p = p 1,1 p 2,2 p 1,2 p 2,1 (P = ( (k A + (k B k B k A = (k A + k B 2 > (P = (p 1,1 p 2, p 1,2 p 2,1 Eigenwerte: λ 1,2 = 1/2 [ (k A +k B + 2k w ± (k A + k B ] Reelle Lösungen λ 1,2 = 1/2 [Sp(P ± (P] λ 1 = k w λ 2 = (k A + k B Eigenwerte sd reell und negativ Lösungstyp I 23 Zurück zum Durchflussreaktor mit zwei Reaktanden Berechne den Stationärzustand Da die Eigenwerte reell und negativ sd, gibt es ee Lösung mit Stationärzustand V 1 = a 1, = p 1,2 R 2 - p 2,2 R 1 p 1,1 p 2,2 p 1,2 p 2,1 V 2 = a 2, = p 2,1 R 1 - p 1,1 R 2 p 1,1 p 2,2 p 1,2 p 2,1 C A = k B k A +k B +k C A w P = (k A k B k A (k B C B = k A k A +k B C A R = k w C A p 2,1 p 2,2 Diskussion: C A und C B sd lear proportional zur Inputkonzentration C B steigt mit zunehmendem k A 24

13 Diskussion der Eigenwerte: Zeitliches Verhalten Eigenwerte: λ 1 = k w λ 2 = (k A + k B Auswaschterm Reaktionsterm C A (t = C A + a 1,1 exp ( k w t + a 1,2 exp ( (k A + k B t C B (t = C B + a 2,1 exp ( k w t + a 2,2 exp ( (k A + k B t 2 abklgende Exponentialfunktionen Anpassungszeit: Wird (approximativ durch den klesten Eigenwert bestimmt τ 5% 3 m λ i = 3 k w 25 Zu tun... TO DO Lösen von Übung 4 Abgabe nächste Woche Nachlesen Stoff Kapitel 5 bis Abschnitt Bis morgen... 26