Klausur zur Vorlesung Stochastische Modelle in Produktion und Logistik im SS 09

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1 Leibniz Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Produktionswirtschaft Prof. Dr. Stefan Helber Klausur zur Vorlesung Stochastische Modelle in Produktion und Logistik im SS 09 Hinweise: 1. Die Klausur besteht aus 11 Seiten (inkl. Deckblatt). Bitte überprüfen Sie, ob Ihr Exemplar komplett ist und lassen Sie sich ggf. ein anderes geben. 2. Alle Aufgaben sind zu bearbeiten. 3. Bei einer Klausurdauer von 60 Minuten sind insgesamt 60 Punkte zu erreichen. 4. Der Lösungsweg muss erkennbar sein! Wenn Sie zur Beantwortung einer Frage eine Formel verwenden, so geben Sie diese zunächst in allgemeiner Form an! 5. Als Hilfsmittel ist ein nicht alpha-numerisch programmierbarer Taschenrechner zulässig sowie ein beidseitig handbeschriebenes Hilfsblatt im Format DIN A4 mit Formeln etc. nach Ihrer Wahl. 6. Zur Beantwortung der Fragen finden Sie genügend Platz in der Klausur. Bitte reißen Sie die Klausur nicht auseinander und verwenden Sie kein eigenes Papier. 7. Tragen Sie bitte zuerst Ihre persönlichen Daten ein. Persönliche Daten: Nachname Vorname Matrikelnr. Studienfach Semester Bewertung: Aufg Summe Punkte 1

2 1. Zufallsvariablen (21 P.) (a) Eine zufällige Zeitdauer werde modelliert durch eine Zufallsvariable T 1. Diese sei exponentialverteilt mit Rate (!!) λ = 1 4 ZE 1. (9 P.) i. Geben Sie den Mittelwert, die Standardabweichung und den Variationskoeffizienten der Zufallsvariablen T an. (6 P.) ii. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable T im Intervall [5, 15] liegt. (3 P.) 2

3 (b) Die Anzahl der Taxen, die mittwochs zwischen 11:00 Uhr und 12:00 Uhr eine Straßenkreuzung passieren, sei Poisson-verteilt mit Mittelwert 5. (12 P.) Ermitteln Sie i. die Varianz der Anzahl der Taxen im gegebenen Zeitabschnitt (2 P.), ii. die Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder mehr Taxen die Kreuzung passieren (3 P.), 3

4 iii. die Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder mehr Taxen die Kreuzung passieren, unter der Bedingung, dass mindestens ein Taxi die Kreuzung passiert (3 P.), und iv. die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb der nächsten zwei Minuten ein Taxi vorbeikommt, unter der Bedingung, dass in der letzten Minute kein Taxi vorbeigekommen ist. (4 P.) 4

5 2. Modellierung (19 P.) Betrachtet wird die zufällige Anzahl N der wartenden Fahrgäste an einem Warteplatz mit einer Kapazität für maximal K wartende Fahrgäste. Potentielle Fahrgäste treffen stets einzeln ein. Die Zwischenankunftszeiten der Fahrgäste sind exponentialverteilt mit Rate λ. Sind alle Warteplätze belegt, so werden in dieser Situation eintreffende Fahrgäste abgewiesen. Mit ebenfalls exponentialverteilten Zwischenankunftszeiten treffen Fahrzeuge zum Abtransport der Fahrgäste ein. Der Erwartungswert der Zwischenankunftszeit dieser Fahrzeuge beträgt 1. Jedes dieser Fahrzeuge hat eine Aufnahmekapazität von F Fahrgästen γ und nimmt im Rahmen seiner Kapazität so viele Fahrgäste mit, wie dies im Moment seines Eintreffens möglich ist. (a) Unterstellen Sie zunächst K = 6 und F = 1. (15 P.) i. Geben Sie den Zustandsraum hinsichtlich der Anzahl der an dem Warteplatz wartenden Fahrgäste an und zeichnen Sie das Übergangsdiagramm. ii. Handelt es sich um einen Geburts- und Sterbeprozess? Begründen Sie Ihre Antwort! 5

6 iii. Erläutern Sie kurz zwei verschiedene Wege, auf denen die Zustandwahrscheinlichkeiten im eingeschwungenen Zustand berechnet werden können. iv. Gehen Sie nun davon aus, dass Sie die Zustandswahrscheinlichkeiten P n für die Anzahl wartender Fahrgäste an dem Warteplatz bestimmt haben. Leiten Sie daraus eine Formel zur Ermittlung des Erwartungswerts der Anzahl wartender Fahrgäste E[L] ab. Geben Sie eine Formel zur Berechnung der erwarteten Wartezeit der Fahrgäste E[W ] an. 6

7 v. Unterstellen Sie nun zusätzlich λ = γ = 5 / ZE. A. Welche Aussage können Sie in diesem speziellen Fall über die Zustandswahrscheinlichkeiten machen und warum? B. Berechnen Sie für diesen speziellen Fall den Erwartungswert der Anzahl wartender Fahrgäste E[L] und die die erwartete Wartezeit der Fahrgäste E[W ]. 7

8 (b) Unterstellen Sie nun K = 6 und F = 2. (4 P.) i. Zeichnen Sie auch für diesen Fall das Übergangsdiagramm! ii. Handelt es sich um einen Geburts- und Sterbeprozess? Begründen Sie Ihre Antwort! 8

9 3. Markow sche Bediensysteme (10 P.) An einem Bediensystem mit unendlichem Warteraum treffen Kunden mit Rate λ = 9 pro Zeiteinheit (ZE) ein. Die Zwischenankunftszeiten wie auch die Bedienzeiten der einzelnen Kunden sind exponentialverteilt. Es werden zwei verschiedene Systemkonfigurationen betrachtet: (a) In der ersten Konfiguration wird ein einzelner Server mit Bedienrate µ a = 10 / ZE eingesetzt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P 0 eines leeren Systems und den Erwartungswert E[W S ] der Zeit, die die Kunden im System verbringen. Geben Sie das dazu einzusetzende Warteschlangenmodell an. (4 P.) 9

10 (b) In der zweiten Konfiguration werden zwei langsamere Server mit Bedienrate µ b = 5 / ZE eingesetzt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P 0 eines leeren Systems und den Erwartungswert E[W S ] der Zeit, die die Kunden im System verbringen. Geben Sie das dazu einzusetzende Warteschlangenmodell an. (6 P.) 10

11 4. Erläuterungen und Herleitungen (10 P.) Erläutern Sie, was man unter Ergodizität versteht und warum welche Bedingungen eingehalten werden müssen, so dass eine Markov-Kette ergodisch ist. (10 P.) 11

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