Logik für Informatiker

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1 Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau 1

2 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik: Modelle (Strukturen) Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)? Deduktionsmechanismus: Ableitung neuer wahrer Formeln 2

3 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik: Modelle (Strukturen) Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)? Deduktionsmechanismus: Ableitung neuer wahrer Formeln 3

4 Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen ( verum ); ( falsum ) ( nicht ) ( und ); ( oder ); ( wenn...dann ); ( genau dann, wenn ) ( ) die beiden Klammern 4

5 Vokabular der Aussagenlogik Atomare Aussagen (Atome, Aussagenvariablen) Abzählbare Menge von Symbolen, etwa Π = {P 0,...,P n } oder Π = {P 0,P 1,... } 5

6 Formeln der Aussagenlogik Atomare Aussagen (Atome, Aussagenvariablen) Abzählbare Menge von Symbolen, etwa Π = {P 0,...,P n } oder Π = {P 0,P 1,... } Definition: Menge For Π der Formeln über Π: Die kleinste Menge mit: For Π und For Π Π For Π Wenn F,G For Π, dann auch F,(F G),(F G),(F G),(F G) Elemente von For Π. 6

7 Terminologie Eine Formel F, die als Teil einer Formel G auftritt, heißt Teilformel von G. Die binäre Relation Teilformel: G Teilformel F gdw.: G ist eine Teilformel von F ist eine noethersche partielle Ordnung auf For Π. 7

8 Strukturelle Induktion Beweise durch strukturelle Induktion: Zu zeigen: Alle Formeln haben Eigenschaft p Für alle F For Π, p(f) gilt Induktionsbasis: Wir beweisen, dass p(a) für alle atomaren Formeln gilt. Beweise p( ), p( ) und p(q) für die Aussagenvariable Q. 8

9 Strukturelle Induktion Beweise durch strukturelle Induktion: Zu zeigen: Alle Formeln haben Eigenschaft p Für alle F For Π, p(f) gilt Induktionsbasis: Wir beweisen, dass p(a) für alle atomaren Formeln gilt. Beweise p( ), p( ) und p(q) für die Aussagenvariable Q. Induktionsvoraussetzung: Sei F eine Formel (die nicht atomar ist) Annahme: alle Teilformeln von F, die nicht gleich F sind, haben Eigenschaft p. 9

10 Strukturelle Induktion Beweise durch strukturelle Induktion: Zu zeigen: Alle Formeln haben Eigenschaft p Für alle F For Π, p(f) gilt Induktionsbasis: Wir beweisen, dass p(a) für alle atomaren Formeln gilt. Beweise p( ), p( ) und p(q) für die Aussagenvariable Q. Induktionsvoraussetzung: Sei F eine Formel (die nicht atomar ist) Annahme: alle Teilformeln von F, die nicht gleich F sind, haben Eigenschaft p. Induktionsschritt: Zeige, dass auch F Eigenschaft p hat. Beweis durch Fallunterscheidung: Fall 1: F = G. Induktionvoraussetzung: p(g) gilt. Folgere, dass p(f) gilt. Fall 2: F = G H. Induktionvoraussetzung: p(g), p(h) gelten. Folgere, dass p(f) gilt. Fall 3: F = G H. Induktionvoraussetzung: p(g), p(h) gelten. Folgere, dass p(f) gilt. Fall 4: F = G H. Induktionvoraussetzung: p(g), p(h) gelten. Folgere, dass p(f) gilt. Fall 5: F = G H. Induktionvoraussetzung: p(g), p(h) gelten. Folgere, dass p(f) gilt. 10

11 Syntax: Beispiel Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens?, wurde ein 100 Jähriger gefragt. Ich halte mich streng an die Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe, verzichte ich auf Eiscreme. Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann rühre ich Fisch nicht an. 11

12 Beispiel 1 Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. B F 12

13 Beispiel 1 Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. B F Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe, verzichte ich auf Eiscreme. F B E 13

14 Beispiel 1 Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. B F Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe, verzichte ich auf Eiscreme. F B E Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann rühre ich Fisch nicht an. E B F 14

15 Beispiel 1 B F F B E E B F 15

16 Beispiel 1 B F F B E E B F Wir möchten wissen, welche Menüs solche Diätregeln erfüllen. z.b.: kein Bier, Fisch und Eiscreme erfüllt 3. Diätregel nicht! Bier, Fisch, keine Eiscreme erfüllt alle Diätregeln 16

17 Beispiel 1 B F F B E E B F Wir möchten wissen, welche Menüs solche Diätregeln erfüllen. z.b.: Formalisierung: kein Bier, Fisch und Eiscreme erfüllt 3. Diätregel nicht! Bier, Fisch, keine Eiscreme erfüllt alle Diätregeln B falsch, F wahr, E wahr B wahr, F wahr, E falsch 17

18 Beispiel 1 B F F B E E B F Wir möchten wissen, welche Menüs solche Diätregeln erfüllen. z.b.: Formalisierung: 0:falsch,1:wahr A : {B,F, E} {0,1} kein Bier, Fisch und Eiscreme A(B) = 0, A(F) = 1, A(E) = 1 erfüllt 3. Diätregel nicht! Bier, Fisch, keine Eiscreme A(B) = 1, A(F) = 1, A(E) = 0 erfüllt alle Diätregeln 18

19 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik: Modelle (Strukturen) Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)? Deduktionsmechanismus: Ableitung neuer wahrer Formeln 19

20 Semantik der Aussagenlogik Aussagenvariablen für sich haben keine Bedeutung. Hierfür müssen Wertebelegungen (Valuationen) zur Verfügung stehen. 1 Symbol für den Wahrheitswert wahr 0 Symbol für den Wahrheitswert falsch Eine Valuation (Wertebelegung, Interpretation, Struktur, Modell) ist eine Abbildung A : Π {0,1} 20

21 Beispiel 1 B F F B E E B F Π = {B,F, E} Mögliche Interpretation (Wertebelegung): A(B) = 1, A(F) = 0, A(E) = 1 A(B) = 1: Ich habe Bier A(F) = 0: Ich habe kein Fisch A(E) = 1: Ich habe Eiskreme 21

22 Beispiel 1 B F F B E E B F Π = {B,F, E} Mögliche Interpretation (Wertebelegung): A(B) = 1, A(F) = 0, A(E) = 1 Auswertung von Formeln: A ( B F) = A ( B) A (F) = A(B) A(F) = ( 1 0) = (0 0) = 1 22

23 Wahrheitstafel für die logischen Operatoren P P

24 Semantik der Aussagenlogik Auswertung von Formeln in einem Modell Sei A : Π {0,1} eine Π-Valuation. A : For Π {0,1} wird induktiv über Aufbau von F wie folgt definiert: A ( ) = 0 A ( ) = 1 A (P) = A(P) A ( F) = 1 A (F) A (F op G) = B op (A (F), A (G)) B op (x,y) berechnet entsprechend der Wahrheitstafel für op z.b. : B (0,1) = (0 1) = 1;B (1,0) = (1 0) = 0 Wir schreiben normalerweise A statt A und op statt B op. 24

25 Modell einer Formel Definition: Interpretation A ist Modell einer Formel F For Π, falls A (F) = 1. Notation: A = F Beispiel: A : Π(= {B, F, E}) {0, 1} mit: A(B) = 1, A(F) = 0, A(E) = 1 Da A( B F) = 1, ist A ein Modell der Formel B F A = B F 25

26 Modell einer Formelmenge Definition: Interpretation A ist Modell einer Formelmenge M For Π, falls Notation: A = M A (F) = 1 für alle F M Beispiel 1: A : {B, F, E} {0, 1} mit A(B) = 1, A(F) = 0, A(E) = 1 Da A( B F) = 1; A(F B E) = 1; A(E B F) = 1, ist A ein Modell der Formelmenge M = { B F, F B E, E B F } 26

27 Modell einer Formelmenge Definition: Interpretation A ist Modell einer Formelmenge M For Π, falls Notation: A = M A (F) = 1 für alle F M Beispiel 1: A : {B, F, E} {0, 1} mit A(B) = 1, A(F) = 0, A(E) = 1 Da A( B F) = 1; A(F B E) = 1; A(E B F) = 1, ist A ein Modell der Formelmenge { B F, F B E, E B F) Beispiel 2: A : {B, F, E} {0, 1} mit A (B) = 0, A (F) = 0, A (E) = 1 Da A ( B F) = A (B) A (F) = ( 0 0) = (1 0) = 0 ist A kein Modell der Formelmenge { B F, F B E, E B F) 27

28 Gültigkeit und Erfüllbarkeit Definition: F gilt in A (oder A ist Modell von F) gdw. A(F) = 1. Notation: A = F Definition: F ist (allgemein-) gültig (oder eine Tautologie) gdw.: A = F, für alle A : Π {0,1} Notation: = F Definition: F heißt erfüllbar gdw. es A : Π {0, 1} gibt, so dass A = F. Definition: F heißt unerfüllbar (oder eine Kontradiktion) gdw. F nicht erfüllbar ist. 28

29 Beispiele Die folgenden Formeln sind Tautologien: (1) (p p) ( p) (2) (p (p q)) q (3) (p q) p (p q) q (4) p (p q) q (p q) (5) (p q) [(q r) (p r)] (6) (((p q) (q r)) p) r 29

30 Beispiele Die folgenden Formeln sind Tautologien: (1) (p p) ( p) (2) (p (p q)) q (3) (p q) p (p q) q (4) p (p q) q (p q) (5) (p q) [(q r) (p r)] (6) (((p q) (q r)) p) r (1) (6) sind alle erfüllbar. 30

31 Beispiele Die folgenden Formeln sind erfüllbar, aber keine Tautologien (1) p (2) p (p q) (3) (p q) (p q) (4) p q 31

32 Beispiele Die folgenden Formeln sind unerfüllbar: (1) ((p p) ( p)) (2) (p (p q)) q (3) ((p q) p) (4) (p (p q)) (5) (p q) [(q r) (p r)] (6) (((p q) (q r)) p) r 32

33 Unerfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Theorem. F ist allgemeingültig gdw. F ist unerfüllbar. 33

34 Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik: Modelle (Strukturen) Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)? Deduktionsmechanismus: - Ableitung neuer wahrer Formeln - Überprüfen, ob eine Formel erfüllbar/unerfüllbar/ allgemeingültig ist oder nicht. 34

35 Erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Jede Formel F enthält endlich viele Aussagenvariablen. A(F) ist nur von den Werten dieser Aussagenvariablen abhängig. F enthält n Aussagenvariablen: 2 n Wertbelegungen notwendig um zu überprüfen, ob F erfüllbar/unerfüllbar/allgemeingültig ist oder nicht. Wahrheitstafel F allgemeingültig (Tautologie): A(F) = 1 für alle Wertbelegungen F erfüllbar: A(F) = 1 für zumindest eine Wertbelegung F unerfüllbar: A(F) = 0 für alle Wertbelegungen 35

36 Folgerung Definition: F impliziert G (oder G folgt aus F), gdw.: für alle A : Π {0,1} gilt: Wenn A = F, dann A = G. Notation: F = G 36

37 Folgerung Definition: F impliziert G (oder G folgt aus F), gdw.: für alle A : Π {0,1} gilt: Wenn A = F, dann A = G. Notation: F = G Beispiel: F = (A C) (B C) G = (A B) Überprüfe, ob F = G: A B C (A C) (B C) (A C) (B C) (A B)

38 Folgerung Definition: F impliziert G (oder G folgt aus F), gdw.: für alle A : Π {0,1} gilt: Wenn A = F, dann A = G. Erweiterung auf Formelmengen N in natürlicher Weise, z.b.: N = G gdw.: für alle A : Π {0,1} gilt: falls A = F, für alle F N, so A = G. Beispiel: N = {(A C), (B C)} G = (A B) Überprüfe, ob N = G A B C (A C) (B C) (A B)

39 Äquivalenz Definition: F und G sind äquivalent gdw.: für alle A : Π {0,1} gilt: A = F gdw. A = G. Notation: F G. Zwei Formeln sind logisch äquivalent, wenn sie in den gleichen Modellen wahr sind 39

40 Äquivalenz Definition: F und G sind äquivalent gdw.: für alle A : Π {0,1} gilt: A = F gdw. A = G. Notation: F G. Zwei Formeln sind logisch äquivalent, wenn sie in den gleichen Modellen wahr sind Beispiel: (P Q) ( Q P) (Kontraposition) 40

41 Wichtige Äquivalenzen Die folgenden Äquivalenzen sind für alle Formeln F,G,H gültig: (F F) F (F F) F (Idempotenz) (F G) (G F) (F G) (G F) (Kommutativität) (F (G H)) ((F G) H) (F (G H)) ((F G) H) (Assoziativität) (F (F G)) F (F (F G)) F (Absorption) (F (G H)) ((F G) (F H)) (F (G H)) ((F G) (F H)) (Distributivität) 41

42 Wichtige Äquivalenzen Die folgenden Äquivalenzen sind für alle Formeln F,G,H gültig: ( F) F (F G) ( F G) (F G) ( F G) (Doppelte Negation) (De Morgan s Regeln) (F G) ( G F) (Kontraposition) (F G) ( F G) (Elimination Implikation) F G (F G) (G F) (Elimination Äquivalenz) 42

43 Wichtige Äquivalenzen Die folgenden Äquivalenzen sind für alle Formeln F,G,H gültig: (F G) F, falls G Tautologie (F G), falls G Tautologie (Tautologieregeln) (F G), falls G unerfüllbar (F G) F, falls G unerfüllbar (Tautologieregeln) 43

44 Wichtige Äquivalenzen mit / (A A) (A A) (Tertium non datur) (A ) A (A ) 44

45 Wichtige Äquivalenzen (Zusammengefasst) (F F) F (F F) F (Idempotenz) (F G) (G F) (F G) (G F) (Kommutativität) (F (G H)) ((F G) H) (F (G H)) ((F G) H) (Assoziativität) (F (F G)) F (F (F G)) F (Absorption) (F (G H)) ((F G) (F H)) (F (G H)) ((F G) (F H)) (Distributivität) ( F) F (Doppelte Negation) (F G) ( F G) (F G) ( F G) (De Morgan s Regeln) (F G) ( G F) (Kontraposition) (F G) ( F G) (Elimination Implikation) F G (F G) (G F) (Elimination Äquivalenz) 45

46 Substitutionstheorem Theorem. Seien F und G äquivalente Formeln. Sei H eine Formel mit (mindestens) einem Vorkommen der Teilformel F. Dann ist H äquivalent zu H, wobei H aus H hervorgeht, indem (irgend) ein Vorkommen von F in H durch G ersetzt wird. Beispiel: A B B A impliziert (C (A B)) (C (B A)) 46

47 Substitutionstheorem Theorem. Seien F und G äquivalente Formeln. Sei H eine Formel mit (mindestens) einem Vorkommen der Teilformel F. Dann ist H äquivalent zu H, wobei H aus H hervorgeht, indem (irgend) ein Vorkommen von F in H durch G ersetzt wird. Beweis: Strukturelle Induktion. 47

48 Substitutionstheorem Theorem. Seien F und G äquivalente Formeln. Sei H eine Formel mit (mindestens) einem Vorkommen der Teilformel F. Dann ist H äquivalent zu H, wobei H aus H hervorgeht, indem (irgend) ein Vorkommen von F in H durch G ersetzt wird. Beweis: Strukturelle Induktion. Induktionsbasis: Beweisen. dass das Theorem für alle atomaren Formeln gilt. Induktionsvoraussetzung: Sei H eine Formel (die nicht atomar ist) Annahme: Theorem gilt für alle Teilformeln von F, die nicht gleich F sind. Induktionsschritt: Beweis durch Fallunterscheidung: Fall 1: H = H 1. Induktionvoraussetzung: Theorem gilt für H 1. Folgere, dass Theorem auch für H gilt. Fall 2: H = H 1 op H 2. Induktionvoraussetzung: Theorem gilt für H 1, H 2. Folgere, dass Theorem auch für H gilt. 48

49 Ein zweiter Kalkül: Logische Umformung Definition: Äquivalenzumformung (Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch äquivalente Formel Anwendung des Substitutionstheorems 49

50 Ein zweiter Kalkül: Logische Umformung Definition: Äquivalenzumformung (Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch äquivalente Formel Anwendung des Substitutionstheorems Theorem Äquivalenzumformung bildet mit den aufgelisteten wichtigen Äquivalenzen einen vollständigen Kalkül: Wenn F und G logisch äquivalent sind, kann F in G umgeformt werden. 50

51 Allgemeingültigkeit/Folgerung Theorem. F = G gdw. = F G. Theorem. N {F } = G gdw. N = F G. Theorem. F G gdw. = F G. 51

52 Syntax und Semantik: Zusammenfassung Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge aller Formeln Strukturelle Induktion (Induktion über Formelaufbau) Semantik der Aussagenlogik: Wahrheit einer Formel in einem Modell Uniforme Notation Wahrheitstafelmethode Wichtige Äquivalenzen Äquivalenzumformung als Kalkül (Substitutionstheorem) Allgemeingültigkeit, Erfüllbarkeit, Unerfüllbarkeit 52

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