Darstellung eines VAR(p)-Prozesses als VAR(1)-Prozess

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1 Darstellung eines VAR(p)-Prozesses als VAR(1)-Prozess Definiere x t = Y t Y t 1. Y t p+1 Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

2 Darstellung eines VAR(p)-Prozesses als VAR(1)-Prozess Dann gilt: F = x t = Fx t 1 + u t 0 0, Φ 1... Φ p 1 Φ p I p 0 p 0 p 0 p I p 0 p 0 p I p 0 p, Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

3 Beispiele VAR(2)-Prozess ( Φ1 Φ 2 ) F = I 2 0 2, VAR(3)-Prozess F = Φ 1 Φ 2 Φ 3 I I Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

4 Stationaritätsbedingung F ist eine pm Matrix Alle Eigenwerte der Matrix F sind betragsmäßig kleiner als 1. Dann gilt: Sind die Fehler normalverteilt, so ist der VAR(1)- Prozess streng stationär Sind die Fehler nicht normalverteilt, aber gilt E(u t ) = 0 und Var (u t ) = Σ, so ist der VAR(1)- Prozess schwach stationär Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

5 Bestimmen des Erwartungswertes Erwartungswert µ = E(Y t ) eines stationären Prozesses, erfüllt folgendes Gleichungssystem: E(Y t ) = Φ 1 E(Y t 1 ) Φ p E(Y t p ) + c + E(u t ). Daher gilt: µ = Φ 1 µ Φ p µ + c, µ Φ 1 µ... Φ p µ = c, (I Φ 1... Φ p )µ = c, µ = (I Φ 1... Φ p ) 1 c. Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

6 Bestimmen des Erwartungswertes Bei einem stationären VAR(p)-Modell hat die Matrix A = I Φ 1... Φ p vollen Rang und ist daher invertierbar. Eigenwerte von A von 0 verschieden. In diesem Fall sind alle Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

7 2.5 Schätzung in EViews Darstellung eines VAR(1)-Modells als Gleichungssystem: Y 1t = Φ 11 Y 1,t 1 + Φ 12 Y 2,t Φ 1m Y m,t 1 + c 1 + u 1t, Y 2t = Φ 21 Y 1,t 1 + Φ 22 Y 2,t Φ 2m Y m,t 1 + c 2 + u 2t,. Y mt = Φ m1 Y 1,t 1 + Φ m2 Y 2,t Φ mm Y m,t 1 + c m + u mt. Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

8 Schätzung in EViews Das sind m Regressionsmodelle mit identischen Prädiktoren. Φ 11, Φ 12,..., Φ 1m (1. Zeile von Φ) und c 1 kommen nur im ersten Regressionsmodell vor. Φ j1, Φ j2,..., Φ jm (j.te Zeile von Φ) und c j kommen nur im j.ten Regressionsmodell vor. Getrennte OLS-Schätzung aus den einzelnen Zeilen zulässig, da die Prädiktoren identisch sind. Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

9 Schätzung eines VAR(p)-Modells in EViews Darstellung eines VAR(p)-Modells als Gleichungssystem möglich. Das sind m Regressionsmodelle mit identischen Prädiktoren. Jeweils die j.te Zeile von Φ 1, Φ 2,..., Φ p sowie c j kommen nur im j.ten Regressionsmodell vor. Getrennte OLS-Schätzung aus den einzelnen Zeilen zulässig, da die Prädiktoren identisch sind. Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

10 EViews Exercise - Case Study Industrial Production Industrial production - quarterly data for various European countries from 1970:1 to 2001:4; consider France (ip-fra), Germany (ip-deu), and Spain (ip-esp) - estimate various trivariate VAR(p)- models for relative growth rate (r-fra, r-deu, r-esp) Estimate VAR(1) model Estimate VAR(p) model with increasing p Discuss where to find the coefficients Discuss stationarity of estimated model Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

11 Auswerten der OLS-Residuen Für jedes der m Regressionsmodelle gibt es OLS-Residuen, z.b. VAR(1)-Modell: û jt = Y jt ˆΦ j1 Y 1,t 1 ˆΦ j2 Y 2,t 1 ˆΦ jm Y m,t 1 ĉ j, t = 2, 3, Diese OLS-Residuen sind nützlich zur: Schätzung von Σ durch empirische Kovarianzmatrix der Residuen: ˆΣ jk = 1 N N t=2 û jt û kt. Residuendiagnose Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

12 EViews Exercise - Case Study Industrial Production Industrial production - quarterly data for various European countries from 1970:1 to 2001:4; consider France (ip-fra), Germany (ip-deu), and Spain (ip-esp) - estimate various trivariate VAR(p)- models for relative growth rate (r-fra, r-deu, r-esp) Discuss residual diagnostics (in particular remaining auto- and crosscorrelation) Discuss choosing the model order using AIC and SC Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

13 Impuls response function A stationary VAR(1)-process Y t has a representation as a weighted sum of past shocks u t, u t 1, u t 2,...: Y t 2 µ = Φ(Y t 3 µ) + u t 2, Y t 1 µ = Φ(Y t 2 µ) + u t 1, Y t µ = u t + Φ(Y t 1 µ) = u t + Φu t 1 + Φ 2 (Y t 2 µ) = u t + Φu t 1 + Φ 2 u t 2 + Φ 3 (Y t 3 µ) =.... Therefore: Y t µ = u t + Φu t 1 + Φ 2 u t Φ s u t s Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

14 Impuls response function Due to stationarity: Φ s 0 (all eigenvalues smaller than 1), hence the influence of old shocks decreases Extension to VAR(p)-Models: Y t µ = u t + Ψ [1] u t 1 + Ψ [2] u t Ψ [s] u t s +..., where Ψ [s] is a mxm matrix depending on Φ 1,..., Φ p (e.g. Ψ [s] = Φ s for a VAR(1) model). Ψ [s] describes how a shock at time t influences future deviations of Y t+s from µ (this response to a shock is independent of t) Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

15 Impulse response function Interpretation of the coefficients of Ψ [s] : The element Ψ [s] ij measures how a shock in the jth time series Y jt of order 1 effects deviations of the ith time series Y i,t+s from the long rum mean after s periods. Impulse response function: plotting Ψ [s] ij for a fixed combination of (i, j) over s - Reaction of time series i to a shock in time series j There are, in total, m 2 impulse response functions Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

16 Granger Kausalität Bivariates VAR(2)-Modell in Gleichungsschreibweise: Y 1t = Φ 1,11 Y 1,t 1 + Φ 2,11 Y 1,t 2 + Φ 1,12 Y 2,t 1 + Φ 2,12 Y 2,t 2 + c 1 + u 1t, Y 2t = Φ 1,21 Y 1,t 1 + Φ 2,21 Y 1,t 2 + Φ 1,22 Y 2,t 1 + Φ 2,22 Y 2,t 2 + c 2 + u 2t. Wenn Y 1,t 1 und Y 1,t 2 zur Vorhersage von Y 2t hilfreich ist (Φ 1,21 0, Φ 2,21 0), dann heisst Y 2t durch Y 1t im Sinne von Granger verursacht. Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

17 Granger Kausalität Allgemein sagt man, daß Y jt nicht durch Y kt im Sinne von Granger verursacht wird, wenn die Koeffizienten von Y k,t 1 und Y k,t p in der j.ten Zeile des VAR(p)-Modells 0 sind: Φ j,1k =... = Φ j,pk = 0 Nach der OLS-Schätzung eines VAR(p)-Modells, kann diese Nullhypothese für jedes k j mittels eines statistischen Tests geprüft werden. Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

18 EViews Exercise - Case Study Industrial Production Industrial production - quarterly data for various European countries from 1970:1 to 2001:4; consider France (ip-fra), Germany (ip-deu), and Spain (ip-esp) Estimate a trivariate VAR(p)-model for relative growth rate (r-fra, r-deu, r-esp) Discuss Granger Causality Test for various model orders Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

19 EViews Exercise - Case Study Austrian Stock Exchange Stock exchange data - weekly data from January 7, 1986 to September 22, 1992; consider Leykam (log(p-lkm)), Wienerberger (log(p-wie)), Veitascher (log(p-vei)) Estimate a trivariate VAR(p)-model for relative growth rate (r-lkm, r-wie, r-vei) Discuss Granger Causality Test for various model orders Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

20 Vorhersage mit VAR(1)-Prozessen Wegen gilt: Y t+1 µ = Φ(Y t µ) + u t+1, u t+1 Normal (0, Σ) E(Y t+1 Y t ) = µ + Φ(Y t µ). Zwei Informationsquellen zur Vorhersage: langfristiges Niveau (stationärer Erwartungswert µ) aktuelle Abweichungen der beobachteten Werte Y t vom langfristigen Niveau µ Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

21 Vorhersage mit VAR(1)-Prozessen Der Informationswert der aktuellen Abweichungen der beobachteten Werte Y t vom langfristigen Niveau µ nimmt mit steigendem Vorhersagehorizont ab: E(Y t+l Y t ) = µ + Φ l (Y t µ). Wegen der Stationarität geht Φ l gegen 0, und die Vorhersage nähert sich µ. Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

22 EViews Exercise - Case Study Industrial Production Industrial production - quarterly data for various European countries from 1970:1 to 2001:4; consider France (ip-fra), Germany (ip-deu), and Spain (ip-esp) - estimate various trivariate VAR(p)-models for relative growth rate defined by dlog(ip-fra), dlog(ip-deu), dlog(ip-esp) Discuss forecasting to the relative change rate Discuss forecasting of the original time series Sylvia Frühwirth-Schnatter Econometrics III WS 2012/

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