WACHSTUM VON POPULATIONEN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "WACHSTUM VON POPULATIONEN"

Transkript

1 WACHSTUM VO POPULATIOE I II Exponenielles Wachsum Logisisches Wachsum Bei auseichenden Resoucen und fehlende Einwikung duch naüliche Feinde ode sonsige Einflußgößen, die das Wachsum beschänken, komm es in Populaionen zu fogesezem Ansieg de Zahl de Individuen. Veschiedene Modelle vesuchen die zeiliche Enwicklung quaniaiv zu efassen. Das einfachse Modell bei unbegenzen Resoucen is das exponenielle Wachsum. I Exponenielles Wachsum Chaakeisisch fü das exponenielle Wachsum is die Eigenschaf, dass de Zuwachs imme popoional zu vohandenen Populaion efolg. Mahemaisch läss sich dieses Wachsum auch als eine geomeische Reihe bescheiben, wenn es sich dabei um diskee Schie handel, ode duch eine Exponenialfunkion im koninuielichen Fall bzw. bei genügend goße Anzahl von Individuen. De koninuieliche Fall is mahemaisch einfache zu handhaben als de diskee Fall. Das mahemaische Modell des exponeniellen Wachsums is, wie die meisen Modelle, naülich nu eine Idealisieung, die in diese veeinfachen A in de au so nich vewiklich is. Exponenielles Wachsum sez voaus, dass es keine Begenzung duch Resoucen und Raum gib. Diese Fodeung is in de au naülich im Allgemeinen nich efüll, zumindes nich übe längee Zeiäume hinweg. Wesenlich alledings is, dass jede Populaion das Poenial fü exponenielles Wachsum ha, dahe is dieses Modell auch so wichig! Exponenielles Bevölkeungswachsum is ein wichige Schlüsselfako in de Evoluion, in dem es übe die Selekion zu evoluionäen Veändeungen komm. Übe kuze Zeiäume kann die Resoucenfage alledings seh wohl uneheblich sein und dann is übe diesen Abschni hinweg exponenielles Wachsum asächlich möglich. Das Wachsum von Bakeien, Insekenplagen (Heuschecken), wuchendes Unkau und nich zulez das Bevölkeungswachsum von homo sapiens sind dafü beispielhaf. Fü EW müssen folgende Modellannahmen efüll sein:. Abgeschlossene Populaion, kein Ausausch mi andeen Populaionen und keine Wandeungsbewegungen. 2. onsane Gebuen- und Sebeae, unbegenze Resoucen. 3. eine geneische Suku. Die achkommen sind wie die Vofahen, alle Individuen vemehen sich in de gleichen Weise. 4. eine Alessuku und keine Gößensuku. 5. oninuieliches Wachsum ohne Zeilücken- aus einem Individuum geh in eine besimmen Zeispanne ein weiees Individuum mi gleichen Eigenschafen hevo, aus diesem wiedeum ein weiees in eine ebenso langen Zeispanne usw. Beispiel. Bakeienpopulaion () als geomeische Reihe; Aus eine Bakeie geh innehalb von Sunde duch Zelleilung eine weiee Bakeie hevo. Wie goß is die Anzahl von Bakeien nach 24 Sunden, wenn wi von eine einzigen Bakeie zu Beginn ausgehen? Wachsumsmodelle /5

2 () 2 () 2 2 (2) (23) Bakeien. (24) () () 2 ) Zu beücksichigen is bei allen diesen Beispielen, wie gezähl und wie die Indizieung vewende wid: () seh fü die Anzahl de Bakeien zu Beginn des beacheen Zeiaumes, also zu Zei in diesem Beispiel bzw. zu Beginn de esen Sunde. () heiß nach de vollen esen Sunde bzw. zu Beginn de zweien Sunde, (2) nach de vollen zweien Sunde usw. (23) heiß demnach nach Ablauf de vollen 23. Sunde, also zu Beginn de 24. Sunde. Im allgemeinen Spachgebauch bedeue nach Sunde dahe nach Ablauf de esen vollen Sunde usw. Die Anwo laue dahe: ach 24 Sunden ( Zu Beginn de 25. Sunde) sind (24) Bakeien vohanden. Zu Scheibweise: (), (),, X(), X (), X, X zu Zei seh fü die Anzahl Individuen Beispiel 2. Bakeienpopulaion; Aus Bakeie geh innehalb von 3 Sunden eine weiee Bakeie hevo. Wie goß is ihe Anzahl nach Tag, wenn von Bakeien zu Zei ausgegangen wid? (). 2 (3) 2 (2 x ). 2 (6) 4 (2 x 2). 2 2 (24) Allgemein: (). 2 /3, ()..wenn von Vedoppelungszeien ausgegangen und in Sunden angegeben wid. De Exponen /3 beücksichig, dass die Vedoppelungsschie nu alle 3 Sunden efolgen. Die angefühen Gleichungen können als Exponenialfunkion geschieben weden, in dem die Basis 2 duch die Basis e esez wid: 2 e ln(2) ; 2 e,693 ().e.693./3, bzw. () ().e.693./3 Allgemeine Fom: () ().e. (2) Wachsumsmodelle 2/5

3 In halblogaihmische Dasellung is die Exponenialfunkion eine Geade: ln () ln () +. (3) Ininsische Wachsumsae De Paamee wid als die ininsische Wachsumsae bezeichne, seine Einhei is [ - ], die anschauliche Bedeuung is die eine Ändeungsae po Individuum (Zuwachs in de Zeieinhei po Individuum). Es handel sich dabei einfach um die Ableiung de Funkion (3) nach de Zei: d ln ( ) ach de eenegel is: d ln x d ln x dx dx x dx Auf die Wachsumsae angewende: d ln ( ) d ( ) d ( ) Gleichung (4) is eine Diffeenialgleichung und Gleichung (2) is die zugehöige inegiee Fom. Vedoppelungszei D ; ach de Vedoppelungszei D is die zu Zei vohandene Populaion auf das Doppele angewachsen: D ( ) () e ( D D ) 2 () (4) 2() () e D ln(2) D (5) Replikaionsae R R e, (Anzahl de achkommen + ) po Tag, bzw. allgemein po Zeieinhei; seh fü das Individuum aus denen die achkommen hevogehen. Replikaion Vevielfäligung. R e. ; Vosich bei den Einheien, und müssen einheienkompaibel sein!! Wachsumsmodelle 3/5

4 Is z.b.,69 d -, dann is die Replikaionsae R e,69., d.h. R 2 po Tag, aus einem Individuum geh ein weiees hevo, in Summe sind also nach einem Tag 2 Individuen vohanden. Zu Übung Beispiel 3. In eine Bakeienkulu vedoppel sich im Zeiabsand von 5 Sunden die Anzahl de Individuen. Wie goß is die Wachsumsae, in [h - ], in [d - ]? Beispiel 4. ach 5,5 Tagen weden in eine Bakeienkulu 52 Individuen gezähl. Zu Beginn de Beobachung waen nu 65 Individuen in de Schale. Welchen We ha die Vedoppelungszei? Tab.: Schäzwee fü und Vedoppelungszeien uneschiedliche Oganismen (Goelli, 2) Spezies Gewöhnliche [d/.] Vedoppelungszei ame [Tage] T-Phage Vius 3, 3,3 min Escheichia voli Bakeium 58,7 7 min Paamecium caudaum Poozoe,59,5 Sd Tibolium casaneium Mehlkäfe, 6,9 Tage Raus nowegivus Baune Rae,48 46,8 Tage Bos auus Rind,,9 Jahe Avicennia maina Mangove,55 3,5 Jahe Das einfache Modell des exponeniellen Wachsums mi de Wachsumsae als Paamee ha den acheil, dass es in diese A in de au nich exisie. Oganismen weden geboen, leben eine gewisse Zeispanne, in de sie sich vemehen (ode auch nich), um abschließend zu seben. Realiäsnähee Modelle müssen dahe Gebusaen und Todesaen beücksichigen. In eine Populaion is die Ändeungsae de Anzahl de Individuen maßgeblich. Mi Gebuenae und Sebeae seh in einem einfachen Zusammenhang: is die Diffeenz aus Gebuenae Sebeae: d ( ) ( ) b + d b + d (6) b d Gebuenae Sebeae, im allgemeinen is d <, dahe Wachsumsae (ininsic ae of incease); b + d. In de Lieau finde man häufig b - d; diese Scheibweise is angebach, wenn von eine posiiven Sebeae ausgegangen wid, was mahemaisch naülich nich ganz koek is. Wachsumsmodelle 4/5

5 Eigenlich ände sich nich allzu viel, die Populaion als Einhei beache ha fü den Beobache eine Wachsumsae, die sich linea aus de Gebuenae und de Sebeae zusammensez. Beispiel 5. Paamecium eil sich une günsigen Bedingungen in Sunden. Ein einzelnes Individuum bekomm also 3 Babies in 22 Sunden - im Sinne eine Gebuenae anselle eine Replikaionsae. Zu beechnen sind Wachsumsae, Gebuenae und Sebeae une de Annahme: a) kein Individuum sib b) 5% de Individuen seben bei de Teilung c) % de Individuen seben bei de Teilung ad a) ach 22 Sunden sind aus einem Paamecium 4 hevogegangen. Einheienkonfome Angabe in Tagen: 22h,97d () ().e.,97 4.e.,967 ln(4)/,967,523 d - Replikaionsae R e. ; R 4,537 Individuen po Tag Die Wachsumsae beäg,52 Individuen po Tag und po Individuum (vgl. Gl. 4). In diesem speziellen Fall ohne Todesfälle is die Wachsumsae gleich de Gebuenae! Es is uneheblich fü die Besimmung von, b und d in welchen Zeiäumen geechne wid. Im voliegenden Fall wude die Siuaion nach 2 Teilungszyklen als Zeiaum gewähl, genauso gu kann nu ein Teilungszyklus ode beliebig viele Teilungszyklen beache weden. ad b) Aus 2 Individuen gehen 2 Individuen hevo. Die Wachsumsae beäg dahe. Die Gebuenae bleib gleich b,52 d, die Sebeae d is gleich hoch wie die Gebuenae d,52 ad c) Gehen wi von Bakeien aus, so sib eines vo ode bei de Teilung, aus den eslichen 9 gehen 8 Bakeien aus einem Teilungszyklus hevo. Wi beachen dazu nu den Zusand nach de esen Teilung, d.h. nach Sunden bzw.,4583 Tagen: (,4583) ().e., e.,4583 ln(8/)/,4583,2825 d - un sez sich die Wachsumsae addiiv aus Gebuenae plus Sebeae zusammen. Beachen wi zunächs nu Gebuen, dann gehen aus Bakeien 2 hevo, wie beeis oben beechne: b,523 Wachsumsmodelle 5/5

6 Beachen wi nu Sebefälle, dann bleiben von Bakeien 9 übig. Dami kann nun die Sebeae beechne weden: (,4583) ().e d., e.,4583 d ln(9/)/,4583 d Zu beachen is, das die Sebeae negaiv is!! b + d,523,2299,2824 also exak das Egebnis, das die voheige Rechnung egab. De Beweis läss sich duch achechnen auch noch andes zeigen: b +d ach einem Teilungszyklus: ln(8/)/,4583 ln(2/)/, ln(9/)/,4583 ln(8/) ln(2/) + ln(9/) Auflösen de Logaihmen: ln(8) ln() ln(2) ln() + ln(9) ln() ln(8) ln(2) + ln(9) - ln() ln(8) ln(2.9/) ln(8) q.e.d. Vaiaionen des einfachen exponeniellen Wachsumsmodells a) oninuieliches vs. diskees Bevölkeungswachsum Die Populaionszahl kann als geomeische Reihe angeschieben weden, mi einem jählichen Zuwachs, de diskeen Wachsumsae d (beache den Uneschied zu ininsichen Wachsumsae) + ( + d ) λ + d + λ Allgemein: λ e ln(λ) Wachsumsmodelle 6/5

7 Gebuen und Todesfälle een in Populaionen meisens nich gleich veeil übe die Zei auf. Häufig sind Gebuen zu besimmen Zeien gepuls, wähend Todesfälle ehe gleichmäßig übe das Jah veeil aufeen. Insgesam kann zwa übe einen längeen Zeiaum hinweg eine exponenielle Enwicklung de Populaion beobache weden, de zeiliche Velauf im Deail is abe gekennzeichne duch Spizen wähend de Häufung de Gebuen und koninuieliche Abnahme wähend eines Jahes gefolg von eine weieen Spize göße als die vohegehende. Die Zeifunkion sieh in de gaphischen Dasellung daduch wie ein Sägebla aus (Abb., nach Goelli). Abb: Diskees Populaionswachsum. Gebuenpuls zu Beginn eines Jahes gefolg von gleich bleibende Sebeae wähend des Jahes. b) Umwelsochasiziä (Zufällige Umweleinflüsse, Envionmenal sochasiciy) Fü goße Populaionen und zeilich konsane Gebuenaen und Sebeaen is das koninuieliche Modell une Umsänden eine gue äheung. Dieses Modell is deeminisisch, das Egebnis häng nu von den Eingangsgößen ab, es gib keine saisischen Schwankungen. In de au sind Gebuenae und Sebeae abe saisischen Schwankungen unewofen, die nich vohesagba sind. Diese Vaiabiliä, die mi de Vaiabiliä von Umwelpaameen zusammenhäng (z.b. gue und schleche Jahe), wid dahe als Umwel-Sochasiziä (Umwelauschen) bezeichne. e (7) Zu Vohesage von wid fü ein Duchschniswe vewende. is dahe aufgund de Fehlefopflanzung mi beächlichen Unsicheheien behafe. Die Vaianz von is gegeben duch: σ σ e ( e ) (8) Wachsumsmodelle 7/5

8 Die Vaianz von als quaniaives Maß fü die Unsichehei de Vohesage nimm mi de Zei zu. Ähnlich wie bei Weevohesagen weden auch Vohesagen in de Ökologie imme unsichee je weie sie in die Zukunf eichen (Abb.2., nach Goelli). Abb.2: Exponenielles Wachsum modulie duch zufällige Umweleinflüsse. In diesem Beispiel schwank die Wachsumsae zufällig wähend de Zei. 2;.5; σ ². c) Demogaphische Sochasiziä In eine Populaion sind Gebu und Tod nich koninuieliche sonden diskee Eeignisse, die sequeniell aufeinande folgen. Die Reihenfolge is abe keinesfalls fesgeleg, sonden igendwie veeil. So kann in eine Populaion im Duchschni auf 2 Gebuen (G) Todesfall (T) kommen. Die pefeke (deeminisische) Reihenfolge wüde dann so aussehen:.ggtggtggtggtggt.in de Realiä is die Reihenfolge von G und T abe seh vaiabel, z.b. können zufällig 3 Todesfälle hineeinande aufeen, ewa GTTTGTGGGGTTGGTGGTGT Im Modell de demogaphischen Sochasiziä häng die Wahscheinlichkei von Gebu ode Tod von den elaiven Gößen von G und T ab: p(gebu) b/(b+d); p(tod) d/(b+d); In eine Schimpansenpopulaion sei b.55 und d.5,.5, die Vedoppelungszei 3.86 Jahe. p(b).524; p(d).476 (zu beachen p(b) + p(d) ). Die Wahscheinlichkei eine Gebu is nu leich höhe als die Wahscheinlichkei eines Todesfalls, die Populaion nimm also im Duchschni zu. Bei kleinen Populaionen is nun die Vohesage de Populaionsenwicklung seh unsiche. Auch bei posiivem beseh ein Risiko auszuseben, vo allem bei kleinen Populaionen. Die Wahscheinlichkei auszuseben häng seh von de Göße de noch vohandenen Respopulaion ab: Wachsumsmodelle 8/5

9 P(Ausseben) (d/b) () ; Im Beispiel de Schimpansen is fü () 5 die Aussebe-Wahscheinlichkei,9%, bei Schimpansen abe beeis 38,6%!! II Logisisches Wachsum Das soeben behandele Modell des exponeniellen Wachsums beücksichig nich die Rückkoppelung de Bevölkeungsdiche auf das weiee Wachsum, wie es abe in de au pakisch übeall de Fall is. In de Ökologie gab es zu diese Fage zwei Denkschulen: Eine Schule (Andewaha & Bich, 954) popagiee im Pinzip ein exponenielles Wachsumsmodell, das in meh ode wenige unegelmäßigen Absänden imme wiede duch kaasophale Eeignisse abup beende wid. ach dem efolgen Massenseben beginn dann ein eneue Zyklus mi exponeniellem Wachsum. Wesenlich in diese Vosellung is, dass de Auslöse des kaasophalen Eeignisses, das zum Ende des exponeniellen Wachsums füh, von de Populaionsdiche unabhängig is. Es gib also keine Rückkoppelung. Die zweie, inzwischen allgemein akzepiee, Denkschule sieh in de zunehmenden Populaionsdiche eine negaive Rückkoppelung auf die Wachsumsae duch Reduzieung de Gebuenae ode Ehöhung de Sebeae ode eine ombinaion davon. Annahmen fü logisisches Wachsum:. Abgeschlossene Populaion, kein Ausausch mi andeen Populaionen und keine Wandeungsbewegungen. 2. eine geneische Suku. Die achkommen sind wie die Vofahen, alle Individuen vemehen sich in de gleichen Weise. 3. eine Alessuku und keine Gößensuku. 4. oninuieliches Wachsum ohne Zeilücken- aus einem Individuum geh in eine besimmen Zeispanne ein weiees Individuum mi gleichen Eigenschafen hevo, aus diesem wiedeum ein weiees in eine ebenso langen Zeispanne usw. 5. onsane Umwelkapaziä (Caying capaciy). Die Vefügbakei de Resoucen is zeilich konsan. 6. Lineae Dicheabhängigkei: Die Gebuen- und Sebeae, bzw. die Wachsumsae, nehmen linea mi de Diche (Anzahl de Individuen) ab Annahmen () bis (4) sind gleich wie bei exponeniellem Wachsum. Abb: Lineae Abhängigkei de Gebuenae und Sebeae von. Umwelkapaziä b Sebeae (d), d d +c d Gebuenae (b), b b -a () Wachsumsmodelle 9/5

10 d ( b d) b b a d d + c d d d ( b a d c ) ( b d ( a + c) ) ( b d ) b d a + c b d d a + c (9) b d Umwelkapaziä, caying capaciy b d a + c () heiß Umwelkapaziä. achdem a, b, c, d jeweils onsane sind, is auch konsan. is die maximale Populaionsgöße, die in eine Umgebung sabil exisieen kann. Alle limiieenden Fakoen sind daune subsumie. eingesez in (9) egib die logisische Wachsumsgleichung. d () Das ese Mal (sowei bekann) wude diese Gleichung von Vehuls 838 aufgesell. De Tem (-/) is de nich genuze Aneil de Umwelkapaziä. Lösung de logisischen Gleichung miels Paialbuchzelegung: Die allgemeine Fom de Gleichung is: d 2 + Die quadaische Gleichung -²/ + ha die Lösungen und 2 Wachsumsmodelle /5

11 2 + ( )( ) ( ) d dahe is ( )( ) ( ) Lösung mi Tennung de Vaiablen: d ( )( ) Paialbuchzeliegung: ( )( ) d Die Inegaion liefe: ln ln + c ln + c Ce Ce Ce ; C e c Ce (3) Besimmung von C aus de Randbedingung fü, () füh zu Lösung C Einsezen in (3) + [( ) / ] e [( ) / ] e, bzw. (4) Wachsumsmodelle /5

12 Abb: Beechnungsbeispiele fü uneschiedliche Wee von, und 2 2 (,,, ) : + e 5 (,.2,, 2) (,.2,, ) (,.2,, 5 ) Unabhängig von den Anfangsbedingungen wid imme de sabile Endzusand mi ( ) eeich. Bei kleinen Anfangspopulaionen is de unee Teil de uve duch vowiegend exponenielles Wachsum besimm. Je kleine die anfängliche opfzahl de Populaion umso meh is die Wachsumskuve enlang de Zeiachse nach echs veschoben, ohne Ändeung de uvenfom abgesehen vom kleineen Sapunk. Bei Ausgangspopulaionen > nimm zu Beginn die Populaion ab und nähe sich fü goße de Umwelkapaziä. Diese Fall is in diese Fom in de au nich gegeben, is abe eine Populaion beeis bei ihe Umwelkapaziä angelang, dann füh eine Veingeung de Umwelkapaziä zu eine Abnahme de Populaion in de dagesellen Weise. Abb: Abhängigkei de Wachsumsae von de Zei.8 d (,.2,, ) Wachsumsmodelle 2/5

13 Das Populaionswachsum d/ eeich das Maximum bei /2, fü Wee von > /2 geh das Wachsum in weiee Folge asympoisch gegen ull. Abb: Abhängigkei de Wachsumsae po Individuum von de Zei.5.4 d (,.2,, ) (,.2,, ) Fü kleine Populaionen ( << ) is zu Beginn de zeilichen Enwicklung die Wachsumsae po Individuum annähend konsan, im dagesellen Beispiel annähend bei.2. Diese, gewissemaßen nomiee Wachsumsae, geh mi zunehmende Populaion auf ull zuück. Dami komm das weiee Wachsum zum Eliegen. Im Falle eines exponeniellen Wachsums bleib diese Wachsumsae zeilich konsan. In de Abbildung is dieses duch die sichliee blaue Linie bei.2 dagesell. Das Wachsum po Individuum (/.d/) häng linea von de Individuenzahl ab: Abb: (a) Abhängigkei des Populaionswachsums von de Populaionsgöße und (b) lineae Abhängigkei des Populaionswachsums po Individuum (/.d/ von de Individuenzahl (a) (b) d (,.2,, ) d (,.2,, ) (,.2,, ) (,.2,, ) 2 5 (,.2,, ) 2 Wachsumsmodelle 3/5

14 Vaiaionen des logisischen Wachsums Zeivezögeung (Time lag) Das Modell nimm eine unmielbae Rückkoppelung des Zuwachses auf die Wachsumsae an, siehe Dgl (). In de au is abe die Rückkoppelung fas imme zeivezöge zum Zuwachs: Eine Vogelpopulaion nimm in eine Bupeiode zu, in de nächsen Bupeiode abe wik sich es die höhee Populaionsdiche aus usw. Zeivezögeung τ: d τ τ (4) Vehalen diese zeivezögeen Diffeenialgleichung wid besimm duch.τ () - Zeivezögeung τ (2) /, die Anwozei de Populaion Fallunescheidung: () < τ <.368 langsame Ansieg bis zu (2).368 <.τ <.57 gedämpfes Übeschwingen (3).τ >.57 Übeschwingen mi sabile Peiodiziä um ohne Einsellung eines sabilen Gleichgewichspunkes Die Ampliude nimm mi.τ zu, une Umsänden kann bei seh goßen Ampliuden duch das Uneschwingen auch Ausseben eineen. Peiodenzyklus is imme ungefäh 4τ, unabhängig von. Diskees Bevölkeungswachsum (+) () + d. () (- () /) d diskees Wachsumsae, z.b. x% po Jah Die inhäene Zeivezögeung τ, d besimm die Dynamik des Sysems: () d < 2. gedämpfes Einschwingen auf (2) 2. < d < Sabile Peiodiziä um (3) < d < 2.57 omplexe Peiodiziä (4) d > 2.57 Apeiodisches chaoisches Zeivehalen Wachsumsmodelle 4/5

15 Abb: Diskees logisisches Wachsum; < 2.: Gedämpfes Einschwingen auf Umwelkapaziä 6 j : + j+ j j j j Abb: Diskees logisisches Wachsum; 2. < < 2.449: Sabile Peiodiziä um die Umwelkapaziä : 2.3 j : + j+ j j 6 j j Abb: Diskees logisisches Wachsum; > 2.57: Apeiodisches, chaoisches zeiliches Vehalen de Populaionsdynamik.. : 3. : + j+ j j j 6 j j Wachsumsmodelle 5/5

Kapitelübersicht. Kapitel. Die Bewertung von Anleihen und Aktien. Bewertung von Anleihen und Aktien. einer Anleihe

Kapitelübersicht. Kapitel. Die Bewertung von Anleihen und Aktien. Bewertung von Anleihen und Aktien. einer Anleihe 5-0 5- Kapiel 5 Die Beweung von Anleihen und Akien Kapielübesich 5. Definiion und Beispiel eine Anleihe ( Bond ) 5. Beweung von Anleihen 5.3 Anleihenspezifika 5.4 De Bawe eine Akie 5.5 Paameeschäzungen

Mehr

Kapitelübersicht. Kapitel. Kapitalwert und Endwert. 4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Barwert. 4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Barwert

Kapitelübersicht. Kapitel. Kapitalwert und Endwert. 4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Barwert. 4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Barwert -0 - Kapiel Kapialwe und Endwe Kapielübesich. De Ein-Peioden-Fall. De Meh-Peioden-Fall. Diskonieung. Veeinfachungen.5 De Unenehmenswe.6 Zusammenfassung und Schlussfolgeungen -. De Ein-Peioden-Fall: Endwe

Mehr

Grundbegriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung. r = r dt

Grundbegriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung. r = r dt Gundbegiffe Geschwindigkei und Beschleunigung Die Geschwindigkei eines Köpes is ein Maß fü seinen je Zeieinhei in eine besimmen Richung zuückgelegen Weg. Sie is, wie de O, ein Veko und definie duch die

Mehr

Unternehmensbewertung mit dem WACC-Verfahren bei konstantem Verschuldungsgrad *

Unternehmensbewertung mit dem WACC-Verfahren bei konstantem Verschuldungsgrad * . Einleiung In einem viel beacheen Beiag haben Miles und Ezzell eine einfache omel fü den beim WACC-efahen heanzuziehenden Diskonieungszins hegeleie. Dabei unesellen die Auoen unsichee zukünfige Cash lows

Mehr

arqus Arbeitskreis Quantitative Steuerlehre www.arqus.info Diskussionsbeitrag Nr. 113 Sven Arnold / Alexander Lahmann / Bernhard Schwetzler

arqus Arbeitskreis Quantitative Steuerlehre www.arqus.info Diskussionsbeitrag Nr. 113 Sven Arnold / Alexander Lahmann / Bernhard Schwetzler aqus Abeiskeis Quaniaive Seuelehe www.aqus.info iskussionsbeiag N. 113 Sven Anold / Alexande Lahmann / Benhad Schwezle Tax Shield, Insolvenz und Zinsschanke Janua 211 aqus iskussionsbeiäge zu Quaniaiven

Mehr

Zeitabhängige Felder, Maxwell-Gleichungen

Zeitabhängige Felder, Maxwell-Gleichungen Zeiabhängige Felde, Mawell-Gleichungen Man beobache, dass ein eiabhängiges Magnefeld ein elekisches Feld eeug. Dies füh.. u eine Spannung an eine Dahschleife (ndukion). mgekeh beobache man auch: ein eiabhängiges

Mehr

Kapitel 11 Produktion, Sparen und der Aufbau von Kapital

Kapitel 11 Produktion, Sparen und der Aufbau von Kapital apiel 11 Produkion, Sparen und der Aufbau von apial Vorbereie durch: Florian Barholomae / Sebasian Jauch / Angelika Sachs Die Wechselwirkung zwischen Produkion und apial Gesamwirschafliche Produkionsfunkion:

Mehr

Zinsprognose anhand der Zinsstruktur

Zinsprognose anhand der Zinsstruktur GERHARD-FÜRS-PREIS Dipl-Volkswi Chisian Pigosch Zinspognose anhand de Zinssuku Die Vosellung de im Rahmen des Gehad-Füs-Peises des Saisischen Bundesames pämieen Abeien wid mi de Diplomabei von Dipl-Volkswi

Mehr

Zeit (in h) Ausflussrate (in l/h)

Zeit (in h) Ausflussrate (in l/h) Aufgabe 6 (Enwicklung einer Populaion): (Anforderungen: Inerpreaion von Schaubildern; Inegralfunkion in der Praxis) Von einer Populaion wird - jeweils in Abhängigkei von der Zei - die Geburenrae (in Individuen

Mehr

Abstand von 4,5 cm von der Mitte. Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit eines Punktes in diesem Abstand? (in km/h)

Abstand von 4,5 cm von der Mitte. Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit eines Punktes in diesem Abstand? (in km/h) Aufgaben zu Roaion 1. Die Spize de Minuenzeige eine Tuuh ha die Gechwindigkei 1,5-1. Wie lang i de Zeige?. Eine Ulazenifuge eeich 3 940 Udehungen po Minue bei eine Radiu von 10 c. Welchen Weg leg ein Teilchen

Mehr

Elektromagnetische Wellen

Elektromagnetische Wellen leomagneische Wellen In einem Wechselsomeis mi Spule und Kondensao (Schwingeis wechsel die negie peiodisch wischen -Feld im Kondensao und -Feld in de Spule. Spule und Kondensao sind geschlossen aufgebau

Mehr

Kondensator und Spule im Gleichstromkreis

Kondensator und Spule im Gleichstromkreis E2 Kondensaor und Spule im Gleichsromkreis Es sollen experimenelle nersuchungen zu Ein- und Ausschalvorgängen bei Kapaziäen und ndukiviäen im Gleichsromkreis durchgeführ werden. Als Messgerä wird dabei

Mehr

, die Anzahl der Perioden in einem Gitter wird im Folgenden mit m bezeichnet.

, die Anzahl der Perioden in einem Gitter wird im Folgenden mit m bezeichnet. .. Gie.. Baufomen Mi de Bezeichnun Gie is im Folenden eine Suku emein, bei de eine peiodische Ändeun des Bechunsindex enlan eine Raumichun volie. Gie weden in Halbleielasen vo allem in zwei Baufomen einesez.

Mehr

5.5. Anwendungsaufgaben aus der Physik

5.5. Anwendungsaufgaben aus der Physik .. Anwendungsaufgaben aus de Physik Aufgabe 1: Kinemaik Skizzieen Sie die Geschwindigkeis-Zei- und Weg-Zei Diagamme im Beeich < < 1 s und sellen Sie die Funkionsgleichungen fü v() und s() auf. a) Ein Köpe

Mehr

Mathematik für Ingenieure 2

Mathematik für Ingenieure 2 Mahemaik fü Ingenieue Eemweaufgaben (Opimieung une Nebenbedingungen) Eemweaufgaben - Einfühung In de Pais een häufig Pobleme auf, bei denen es daauf ankomm, einen opimalen We zu besimmen; z. B. den maimalen

Mehr

Einführung in die Physik I. Kinematik der Massenpunkte. O. von der Lühe und U. Landgraf

Einführung in die Physik I. Kinematik der Massenpunkte. O. von der Lühe und U. Landgraf Einfühung in die Phsik I Kinemaik de Massenpunke O. on de Lühe und U. Landgaf O und Geschwindigkei Wi beachen den O eines als punkfömig angenommenen Köpes im Raum als Funkion de Zei Eindimensionale Posiion

Mehr

Es können nur Schwarz-Weiß-Bilder erkannt werden. Am Ende wird kein Gleichgewichtszustand (der Ausgabeneuronen) erreicht.

Es können nur Schwarz-Weiß-Bilder erkannt werden. Am Ende wird kein Gleichgewichtszustand (der Ausgabeneuronen) erreicht. Neuonale Neze, Fuzzy Conol, Geneische Algoihmen Pof. Jügen Saue 0. Aufgabenbla mi Lösungen. Nennen Sie eine ypische Anwendung von Hopfield-Nezen. Museekennung 2. Welche Einschänkungen gib es hiefü? Es

Mehr

Elektrostatik. Arbeit und potenzielle Energie

Elektrostatik. Arbeit und potenzielle Energie Elektostatik. Ladungen Phänomenologie. Eigenschaften von Ladungen 3. Käfte zwischen Ladungen, quantitativ 4. Elektisches Feld 5. De Satz von Gauß 6. Potenzial und Potenzialdiffeenz i. Abeit im elektischen

Mehr

Experimentalphysik II (Kip SS 2007)

Experimentalphysik II (Kip SS 2007) peimenalphsik II Kip SS 7 Zusavolesungen: Z-1 in- und mehdimensionale Inegaion Z- Gadien Divegen und Roaion Z-3 Gaußsche und Sokessche Inegalsa Z-4 Koninuiäsgleichung Z-5 lekomagneische Felde an Genflächen

Mehr

C Die Gleichung. Passive Netzwerke Differentialgleichungen H. Friedli. Darstellung der passiven Bauelemente Widerstand Kondensator Spule

C Die Gleichung. Passive Netzwerke Differentialgleichungen H. Friedli. Darstellung der passiven Bauelemente Widerstand Kondensator Spule Passive Neweke Diffeenialgleichungen H. Fiedli Dasellung de passiven auelemene Widesand Kondensao Spule du U R I( ) I U& di( ) ( ) U L L I& d d Mi diesen Definiionen lassen sich alle passiven Kombinaionen

Mehr

Inhalt der Vorlesung A1

Inhalt der Vorlesung A1 PHYSIK A S 03/4 Inhalt de Volesung A. Einfühung Methode de Physik Physikalische Gößen Übesicht übe die vogesehenen Theenbeeiche. Teilchen A. Einzelne Teilchen Bescheibung von Teilchenbewegung Kineatik:

Mehr

d zyklische Koordinaten oder Terme der Form F(q, t) dt

d zyklische Koordinaten oder Terme der Form F(q, t) dt 6 Woche.doc, 3.11.10.5 "Reep" u Lösung von Bewegungspoblemen mi Hilfe de Lagange- Gleichungen II.. Beispiele 1. Wähle geeignee ( Zwangbedingungen, Smmeie) veallgemeinee Koodinaen ( 1,,..., f ) n (, ) n.

Mehr

6.6 Frequenzgang ). (6.70) Man hat nur in der Übertragungsfunktion G(s) die komplexe Variable durch die rein imaginäre Variable s = jω. zu ersetzen.

6.6 Frequenzgang ). (6.70) Man hat nur in der Übertragungsfunktion G(s) die komplexe Variable durch die rein imaginäre Variable s = jω. zu ersetzen. 6.6 Fequenzgang Neben de Übeagungfunkion zu Becheibung de Signalübeagung in einem lineaen Übeagungglied im Bildbeeich wid in vechiedenen Teilgebieen de Elekoechnik noch eine andee Kennfunkion benuz, de

Mehr

4. Kippschaltungen mit Komparatoren

4. Kippschaltungen mit Komparatoren 4. Kippschalungen mi Komparaoren 4. Komparaoren Wird der Operaionsversärker ohne Gegenkopplung berieben, so erhäl man einen Komparaor ohne Hserese. Seine Ausgangsspannung beräg: a max für > = a min für

Mehr

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986 001 - hp://www.emah.de 1 Abirprüfng Baden-Würemberg 1986 Leisngskrs Mahemaik - Analysis Z jedem > 0 is eine Fnkion f gegeben drch f x x x e x ; x IR Ihr Schabild sei K. a Unersche K af Asympoen, Schnipnke

Mehr

9.Polarisation 9.1.Mathematische Beschreibung

9.Polarisation 9.1.Mathematische Beschreibung 9.Polaisaion 9.1.Mahemaische Bescheibung Polaisaion is nu möglich bei laealen Wellen (elekomagneische Wellen wie Lich, Rada, Mikowellen ec., Seilwellen), nich abe bei Longiudinalwellen wie in de Akusik.

Mehr

Stereo-Rekonstruktion. Stereo-Rekonstruktion. Geometrie der Stereo-Rekonstruktion. Geometrie der Stereo-Rekonstruktion

Stereo-Rekonstruktion. Stereo-Rekonstruktion. Geometrie der Stereo-Rekonstruktion. Geometrie der Stereo-Rekonstruktion Steeo-Rekonstuktion Geometie de Steeo-Rekonstuktion Steeo-Kalibieung Steeo-Rekonstuktion Steeo-Rekonstuktion Kameakalibieung kann dazu vewendet weden, um aus einem Bild Weltkoodinaten zu ekonstuieen, falls

Mehr

1. Mathematische Grundlagen und Grundkenntnisse

1. Mathematische Grundlagen und Grundkenntnisse 8 1. Mahemaische Grundlagen und Grundkennnisse Aufgabe 7: Gegeben sind: K = 1; = 18; p = 1 (p.a.). Berechnen Sie die Zinsen z. 18 1 Lösung: z = 1 = 5 36 Man beache, dass die kaufmännische Zinsformel als

Mehr

4.7. Prüfungsaufgaben zum beschränkten Wachstum

4.7. Prüfungsaufgaben zum beschränkten Wachstum .7. Prüfungsaufgaben zum beschränken Wachsum Aufgabe : Exponenielle Abnahme und beschränkes Wachsum In einem Raum befinden sich eine Million Radonaome. Duch radioakiven Zerfall verminder sich die Zahl

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 www.mahe-aufgaben.com Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (7 Punke) Das Schaubild P einer Polynomfunkion drien Grades ha den Wendepunk W(-/-) und

Mehr

Motivation. Finanzmathematik in diskreter Zeit

Motivation. Finanzmathematik in diskreter Zeit Moivaion Finanzmahemaik in diskreer Zei Eine Hinführung zu akuellen Forschungsergebnissen Alber-Ludwigs-Universiä Freiburg Prof. Dr. Thorsen Schmid Abeilung für Mahemaische Sochasik Freiburg, 22. April

Mehr

Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik Versuch 5. Matrikelnummer:... ...

Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik Versuch 5. Matrikelnummer:... ... FH D FB 3 Fachhochschule Düsseldorf Universiy of Applied Sciences Fachbereich Elekroechnik Deparmen of Elecrical Engineering Prakikum Grundlagen der Elekroechnik Versuch 5 Name Marikelnummer:... Anesa

Mehr

Kapitel : Exponentielles Wachstum

Kapitel : Exponentielles Wachstum Wachsumsprozesse Kapiel : Exponenielles Wachsum Die Grundbegriffe aus wachsum 1.xmcd werden auch hier verwende! Wir verwenden im Beispiel 2 auch fas die gleiche Angabe wie in Beispiel 1 - lediglich eine

Mehr

Messwertaufnahme und Messwertverarbeitung mit dem PC

Messwertaufnahme und Messwertverarbeitung mit dem PC Phsikalisches Gundpakikum Vesuch 2 Vesuchspookolle Ralf Elebach Messweaufnahme und Messweveabeiung mi dem P ufgaben. Messung und Besimmung de Ladezeikonsane beim ufladen eines Kondensaos. 2. Messung und

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL)

Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) Gewöhnliche Differenialgleichungen (DGL) Einführende Beispiele und Definiion einer DGL Beispiel 1: 1. Die lineare Pendelbewegung eines Federschwingers führ uner Zuhilfenahme des Newonschen Krafgesezes

Mehr

Einführung in die Finanzmathematik - Grundlagen der Zins- und Rentenrechnung -

Einführung in die Finanzmathematik - Grundlagen der Zins- und Rentenrechnung - Einfühung in die Finanzmathematik - Gundlagen de ins- und Rentenechnung - Gliedeung eil I: insechnung - Ökonomische Gundlagen Einfache Vezinsung - Jähliche, einfache Vezinsung - Untejähliche, einfache

Mehr

Integralrechnung III.Teil

Integralrechnung III.Teil Inegalechnung III.eil 1 Inegalechnung III.eil ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle Inegalechnung III.eil Inhalsvezeichnis 1. Mielwee peiodische Signale 1.1 Deiniion des aihmeischen Mielwees 1. Deiniion des

Mehr

Mathematik III DGL der Technik

Mathematik III DGL der Technik Mahemaik III DGL der Technik Grundbegriffe: Differenialgleichung: Bedingung in der Form einer Gleichung in der Ableiungen der zu suchenden Funkion bis zu einer endlichen Ordnung aufreen. Funkions- und

Mehr

I MECHANIK. 1. EINFÜHRUNG Grundlagen, Kinematik, Dynamik (Wiederholung der Schulphysik)

I MECHANIK. 1. EINFÜHRUNG Grundlagen, Kinematik, Dynamik (Wiederholung der Schulphysik) Physik EI1 Mechnik - Einfühung Seie I MECHNIK 1. EINÜHRUNG Gundlgen, Kinemik, Dynmik (Wiedeholung de Schulphysik) _Mechnik_Einfuehung1_Bneu.doc - 1/9 Die einfühenden Kpiel weden wi zunächs uf dem Niveu

Mehr

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008 Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) 151 Einleiung Inflaion und Arbeislosigkei in den Vereinigen Saaen, 1900-1960 In der beracheen Periode war in den USA eine niedrige Arbeislosigkei ypischerweise von hoher

Mehr

2 Mechanik des Massenpunkts und starrer Körper

2 Mechanik des Massenpunkts und starrer Körper 8 Mechanik des Massenpunks und sae Köpe MEV Mechanik des Massenpunks und sae Köpe Bewegung In diese Kapiel geh es u Bewegung: Geschwindigkei, Beschleunigung, Roaion ec Und zwa nu u den Velauf de Bewegung,

Mehr

1. Übung. 2. Übung. 2 = 12h = Wahrer Ortsmittag

1. Übung. 2. Übung. 2 = 12h = Wahrer Ortsmittag 1. Übung 1. Schi: Wann is Miag? Mie zwischen den beiden Messungen besimmen: 14h 44 19 + 17h 02 09 31h 46 28 31h 46 28 2 15h 53 14 Wahe Osmiag 2. Schi: Weil Miag is sind wi auf dem selben Längengad wie

Mehr

Thema : Rendite und Renditemessung

Thema : Rendite und Renditemessung Thema : Rendie und Rendiemessung Lernziele Es is wichig, die Zeigewichung der Rendie als ennzahl zu versehen, den Unerschied zwischen einer koninuierlichen und einer diskreen erzinsung zu begreifen und

Mehr

Fachrichtung Mess- und Regelungstechniker

Fachrichtung Mess- und Regelungstechniker Fachrichung Mess- und egelungsechniker 4.3.2.7-2 chüler Daum:. Tiel der L.E. : Digiale euerungsechnik 3 2. Fach / Klasse : Arbeiskunde, 3. Ausbildungsjahr 3. Themen der Unerrichsabschnie :. -Kippglied

Mehr

Latente Wärme und Wärmeleitfähigkeit

Latente Wärme und Wärmeleitfähigkeit Versuch 5 Laene Wärme und Wärmeleifähigkei Aufgabe: Nehmen Sie für die Subsanz,6-Hexandiol Ersarrungskurven auf und ermieln Sie daraus die laene Wärme beim Phasenübergang flüssig-fes sowie den Wärmedurchgangskoeffizienen

Mehr

Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl

Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl Typ A: Separierbare Differenialgleichungen I Gegeben sei die Differenialgleichung y () = f () g(y) in einem Bereich D der (, y) Ebene. Gil g(y) 0, so lassen sich die Variablen und y rennen: y () g(y) =

Mehr

Astroteilchenphysik I

Astroteilchenphysik I Asoeilchenphysik I Winesemese 2012/1 Volesung # 2, 25.10.2012 Guido Dexlin, Insiu fü Expeimenelle Kenphysik Fühes Univesum - Hubble-Expansion - Uknall: Gundlagen - Expansionsdynamik: a & Zusandsgleichungen

Mehr

Aufbau von faserbasierten Interferometern für die Quantenkryptografie

Aufbau von faserbasierten Interferometern für die Quantenkryptografie Aufbau von faserbasieren nerferomeern für die uanenkrypografie - Gehäuse, Phasensabilisierung, Fasereinbau - Maserarbei im Sudiengang Elekroechnik und nformaionsechnik Veriefungsrichung Phoonik an der

Mehr

VU Quantitative BWL. 1.Teil: Produktion und Logistik [Stefan Rath] 2.Teil: Finanzwirtschaft [Tomáš Sedliačik] Quantitative BWL: Finanzwirtschaft

VU Quantitative BWL. 1.Teil: Produktion und Logistik [Stefan Rath] 2.Teil: Finanzwirtschaft [Tomáš Sedliačik] Quantitative BWL: Finanzwirtschaft VU Quanave BWL.Tel: odukon und Logsk [Sefan Rah] 2.Tel: Fnanzwschaf [Tomáš Sedlačk] Quanave BWL: Fnanzwschaf Ogansaosches De LV beseh aus zwe Telen:. Tel: odukon und Logsk [4.0.203 22..203] Sefan Rah Insu

Mehr

Übung zur Einführung in die VWL / Makroökonomie. Teil 7: Das IS-LM-Modell

Übung zur Einführung in die VWL / Makroökonomie. Teil 7: Das IS-LM-Modell Begische Univesität Wuppetal FB B Schumpete School of Economics and Management Makoökonomische Theoie und Politik Übung zu Einfühung in die VWL / Makoökonomie Teil 7: Das IS-LM-Modell Thomas Domeatzki

Mehr

DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN

DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN Skrium zum Fach Mechanik 5Jahrgang HTL-Eisensad DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN DilIngDrGüner Hackmüller 5 DilIngDrGüner Hackmüller Alle Reche vorbehalen

Mehr

6 5 6 5 6 6 4 1 4 1 9 3 9 3-5 6 5 6-6 6-1 4 1 4-3 9 3 9 7 7-7 7 - - - Meine Foschemappe zu Name: Beabeitungszeitaum: vom bis zum Augabe 1 Schau di die Augaben genau an und echne sie aus. Finde viele weitee

Mehr

Flip - Flops 7-1. 7 Multivibratoren

Flip - Flops 7-1. 7 Multivibratoren Flip - Flops 7-7 Mulivibraoren Mulivibraoren sind migekoppele Digialschalungen. Ihre Ausgangsspannung spring nur zwischen zwei fesen Weren hin und her. Mulivibraoren (Kippschalungen) werden in bisabile,

Mehr

Signal- und Systemtheorie for Dummies

Signal- und Systemtheorie for Dummies FB Eleroechni Ewas Signal- und Sysemheorie or Dummies Version - Juli Oh No!!!! Pro. Dr.-Ing. ajana Lange Fachhochschule Merseburg FB Eleroechni Pro. Dr.-Ing. ajana Lange Signal- und Sysemheorie or Dummies

Mehr

Über eine ziemlich allgemeine Zahlenfolge und eine ziemlich allgemeine Funktion

Über eine ziemlich allgemeine Zahlenfolge und eine ziemlich allgemeine Funktion Übe eine ziemlich allgemeine Zahlenfolge und eine ziemlich allgemeine Funktion Beat Jaggi, beat.jaggi@phben.ch Abstact Ausgehend von einem veallgemeineten Mittelwet wid eine Zahlenfolge definiet, die eine

Mehr

= 7,0 kg), der sich in der Höhe h = 7,5 m über B befindet, ist durch ein Seil mit dem Körper K 2

= 7,0 kg), der sich in der Höhe h = 7,5 m über B befindet, ist durch ein Seil mit dem Körper K 2 59. De Köpe K ( 7,0 kg), de ich in de öhe h 7,5 übe B befinde, i duch ein Seil i de Köpe K (,0 kg) ebunden. Die Köpe ezen ich zu Zei 0 au de Ruhe heau in Bewegung. K gleie eibungfei auf eine chiefen Ebene

Mehr

9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION

9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion 9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION 9.. Eponenialfunkion (a) Definiion Im Abschni Zinseszinsrechnung konne die Berechnung eines Kapials K n nach n Perioden der

Mehr

Das makroökonomische Grundmodell

Das makroökonomische Grundmodell Univesität Ulm 89069 Ulm Gemany Dipl.-WiWi Sabina Böck Institut fü Witschaftspolitik Fakultät fü Mathematik und Witschaftswissenschaften Ludwig-Ehad-Stiftungspofessu Wintesemeste 2008/2009 Übung 3 Das

Mehr

Computer-Graphik II. Kompexität des Ray-Tracings. G. Zachmann Clausthal University, Germany cg.in.tu-clausthal.de

Computer-Graphik II. Kompexität des Ray-Tracings. G. Zachmann Clausthal University, Germany cg.in.tu-clausthal.de lausthal ompute-aphik II Komplexität des Ray-Tacings. Zachmann lausthal Univesity, emany cg.in.tu-clausthal.de Die theoetische Komplexität des Ray-Tacings Definition: das abstakte Ray-Tacing Poblem (ARTP)

Mehr

Laborpraktikum Sensorik. Versuch. Füllstandssensoren PM 1

Laborpraktikum Sensorik. Versuch. Füllstandssensoren PM 1 Otto-von-Gueicke-Univesität Magdebug Fakultät fü Elektotechnik und Infomationstechnik Institut fü Miko- und Sensosysteme (IMOS) Labopaktikum Sensoik Vesuch Füllstandssensoen PM 1 Institut fü Miko- und

Mehr

Wechselspannung. Zeitlich veränderliche Spannung mit periodischer Wiederholung

Wechselspannung. Zeitlich veränderliche Spannung mit periodischer Wiederholung Elekrische Schwingungen und Wellen. Wechselsröme i. Wechselsromgrößen ii.wechselsromwidersand iii.verhalen von LC Kombinaionen. Elekrischer Schwingkreis 3. Elekromagneische Wellen Wechselspannung Zeilich

Mehr

5. Flipflops. 5.1 Nicht-taktgesteuerte Flipflops. 5.1.1 NOR-Flipflop. Schaltung: zur Erinnerung: E 1 A 1 A 2 E 2.

5. Flipflops. 5.1 Nicht-taktgesteuerte Flipflops. 5.1.1 NOR-Flipflop. Schaltung: zur Erinnerung: E 1 A 1 A 2 E 2. AO TIF 5. Nich-akgeseuere Flipflops 5.. NO-Flipflop chalung: E A zur Erinnerung: A B A B 0 0 0 0 0 0 0 E 2 A 2 Funkionsabelle: Fall E E 2 A A 2 0 0 2 0 3 0 4 Erklärungen: Im peicherfall behalen die Ausgänge

Mehr

Vorlesung 3 ERNEUERBARE RESSOURCEN. 1. Bioökonomische Grundbegriffe. 2. Ökonomische Modelle der optimalen Erntepolitiken. 2.1 Der Fall freien Zugangs

Vorlesung 3 ERNEUERBARE RESSOURCEN. 1. Bioökonomische Grundbegriffe. 2. Ökonomische Modelle der optimalen Erntepolitiken. 2.1 Der Fall freien Zugangs Vorlesung 3 ERNEUERBARE RESSOURCEN 1. Bioökonomische Grundbegriffe 2. Ökonomische Modelle der opimalen Ernepoliiken 2.1 Der Fall freien Zugangs 2.2 Ineremporale Allokaion erneuerbarer Ressourcen 1 ERNEUERBARE

Mehr

F63 Gitterenergie von festem Argon

F63 Gitterenergie von festem Argon 1 F63 Gitteenegie von festem Agon 1. Einleitung Die Sublimationsenthalpie von festem Agon kann aus de Dampfduckkuve bestimmt weden. Dazu vewendet man die Clausius-Clapeyon-Gleichung. Wenn außedem noch

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe. (8 Punke) Die Abbildung zeig das Schaubild einer Funkion h mi der Definiionsmenge [-7 ; 4]. Die Funkion H is eine Sammfunkion

Mehr

4.7. Exponential- und Logarithmusfunktionen

4.7. Exponential- und Logarithmusfunktionen ... Eonenialfunkionen Definiion:.. Eonenial- und Logarihmusfunkionen Die Funkion f() = c a mi D = R, c und a R + \{}heiß Eonenialfunkion zur Basis a. Die Eonenialfunkion zur Basis a = e mi der Eulerschen

Mehr

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff Die Bioverfügbarkei is eine Messgröße dafür, wie schnell und in welchem Umfang ein Arzneimiel resorbier wird und am Wirkor zur Verfügung seh. Zur Messung der Bioverfügbarkei wird die Wirksoffkonzenraion

Mehr

Unverbindliche Musterberechnung für den Wealthmaster Classic Plan von

Unverbindliche Musterberechnung für den Wealthmaster Classic Plan von Unvebindliche Mustebeechnung fü den Wealthmaste Classic Plan von Die anteilsgebundene Lebensvesicheung mit egelmäßige Beitagszahlung bietet Ihnen die pefekte Kombination aus de Sicheheit eine Kapitallebensvesicheung

Mehr

Finanzmathematik II: Barwert- und Endwertrechnung

Finanzmathematik II: Barwert- und Endwertrechnung D. habl. Bukhad Uech Beufsakademe Thüge Saalche Sudeakademe Sudeabelug Eseach Sudebeech Wschaf Wschafsmahemak Wesemese 004/0 Fazmahemak II: Bawe- ud Edweechug. Bawee ud Edwee vo Zahlugsehe. Effekve Jaheszssaz

Mehr

Musterlösung Klausur Mathematik (Wintersemester 2012/13) 1

Musterlösung Klausur Mathematik (Wintersemester 2012/13) 1 Mustelösung Klausu Mathematik Wintesemeste / Aufgabe : 8 Punkte Fü die Nahfage Dp nah einem Podukt als Funktion seines Peises p sollen folgende Szenaien modelliet weden:. Wenn de Peis um einen Euo steigt,

Mehr

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R.

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R. Abiuraufgaben Grundkurs 9 Bayern Analysis I I.). Die Abbildung zeig den Graphen G f einer ganzraionalen Funkion f drien Grades mi dem Definiionsbereich D f R. Die in der Abbildung angegebenen Punke P(

Mehr

Kosten der Verzögerung einer Reform der Sozialen Pflegeversicherung. Forschungszentrum Generationenverträge Albert-Ludwigs-Universität Freiburg

Kosten der Verzögerung einer Reform der Sozialen Pflegeversicherung. Forschungszentrum Generationenverträge Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Kosen der Verzögerung einer Reform der Sozialen Pflegeversicherung Forschungszenrum Generaionenverräge Alber-Ludwigs-Universiä Freiburg 1. Berechnungsmehode Die Berechnung der Kosen, die durch das Verschieben

Mehr

Probeklausur 1. Thema Nr. 1 (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeiten!

Probeklausur 1. Thema Nr. 1 (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeiten! Universiä Regensburg, Winersemeser 3/4 Examenskurs Analysis (LGy) Dr. Farid Madani Probeklausur Thema Nr. (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeien! Aufgabe (5 Punke). Man

Mehr

Abiturprüfung 2015 Grundkurs Biologie (Hessen) A1: Ökologie und Stoffwechselphysiologie

Abiturprüfung 2015 Grundkurs Biologie (Hessen) A1: Ökologie und Stoffwechselphysiologie Abitupüfung 2015 Gundkus Biologie (Hessen) A1: Ökologie und Stoffwechselphysiologie Veteidigungsstategien von Pflanzen BE 1 Benennen Sie die esten dei Tophieebenen innehalb eines Ökosystems und bescheiben

Mehr

Lösung: 1. Für das Volumen gilt die Formel: V = r 2. π. h = 1000 [cm 3 ]. 2. Für die Oberfläche gilt die Formel: O = 2. r 2. π + 2. r. π. h.

Lösung: 1. Für das Volumen gilt die Formel: V = r 2. π. h = 1000 [cm 3 ]. 2. Für die Oberfläche gilt die Formel: O = 2. r 2. π + 2. r. π. h. Analysis Anwendungen Wi 1. Das Konsevendosen-Poblem Ein Konsevendosenhestelle will zylindische Dosen mit einem Inhalt von einem Lite, das sind 1000 cm 3, hestellen und dabei möglichst wenig Mateial vebauchen.

Mehr

( ) ( ) ( ) 2. Bestimmung der Brennweite. Abbildungsgleichung. f b = + = + b g

( ) ( ) ( ) 2. Bestimmung der Brennweite. Abbildungsgleichung. f b = + = + b g 3..00 Volesun - Bestimmun de Bennweite B G F F Aildunsleichun f ; f wid fest ewählt; wid so lane eändet, is Bild schaf auf Mattscheie escheint. ( ) ( ) ( ) ( ) f f. Methode ( ) ( ) f ± Die folenden Folien

Mehr

Einführung in die Physik I. Wärme 3

Einführung in die Physik I. Wärme 3 Einfühung in die Physik I Wäme 3 O. von de Lühe und U. Landgaf Duckabeit Mechanische Abeit ΔW kann von einem Gas geleistet weden, wenn es sein olumen um Δ gegen einen Duck p ändet. Dies hängt von de At

Mehr

( ) ( ) 5. Massenausgleich. 5.1 Kräfte und Momente eines Einzylindermotors. 5.1.1 Kräfte und Momente durch den Gasdruck

( ) ( ) 5. Massenausgleich. 5.1 Kräfte und Momente eines Einzylindermotors. 5.1.1 Kräfte und Momente durch den Gasdruck Pof. D.-Ing. Victo Gheoghiu Kolbenmaschinen 88 5. Massenausgleich 5. Käfte und Momente eines Einzylindemotos 5.. Käfte und Momente duch den Gasduck S N De Gasduck beitet sich in alle Richtungen aus und

Mehr

26 31 7 60 64 10. 16 6 12 32 33 9

26 31 7 60 64 10. 16 6 12 32 33 9 Lineare Algebra / Analyische Geomerie Grundkurs Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Aufgabe 4 Fruchsäfe in Berieb der Geränkeindusrie produzier in zwei Werken an verschiedenen Sandoren

Mehr

11. Flipflops. 11.1 NOR-Flipflop. Schaltung: zur Erinnerung: E 1 A 1 A 2 E 2. Funktionstabelle: Fall E 1 E 2 A 1 A 2 1 0 0 2 0 1 3 1 0 4 1 1

11. Flipflops. 11.1 NOR-Flipflop. Schaltung: zur Erinnerung: E 1 A 1 A 2 E 2. Funktionstabelle: Fall E 1 E 2 A 1 A 2 1 0 0 2 0 1 3 1 0 4 1 1 TONI T0EL. Flipflops. Flipflops. NO-Flipflop chalung: E A zur Erinnerung: A B A B 0 0 0 0 0 0 0 E 2 A 2 Funkionsabelle: Fall E E 2 A A 2 0 0 2 0 3 0 4 Beobachung: Das NO-Flipflop unerscheide sich von allen

Mehr

8. Betriebsbedingungen elektrischer Maschinen

8. Betriebsbedingungen elektrischer Maschinen 8. Beriebsbedingungen elekrischer Maschinen Neben den Forderungen, die die Wirkungsweise an den Aufbau der elekrischen Maschinen sell, müssen bei der Konsrukion noch die Bedingungen des Aufsellungsores

Mehr

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponential- und Logarithmusfunktionen . ) Personen, Personen bzw. Personen ) Ewas weniger als Minuen. (Nach,... Minuen sind genau Personen informier.) ) Ja. Bereis um : Uhr sind (heoreisch) Personen informier. ) Informiere Miarbeierinnen und

Mehr

KOMPONENTENTAUSCH. Elmar Zeller Dipl. Ing (FH), MBA Quality-Engineering

KOMPONENTENTAUSCH. Elmar Zeller Dipl. Ing (FH), MBA Quality-Engineering KOMPONENTENTAUSCH Komponententausch Beim Komponententausch weden nacheinande einzelne Komponenten zweie Einheiten vetauscht und ih Einfluss auf das Qualitätsmekmal untesucht. Ziele und Anwendungsbeeiche:

Mehr

VOr OrT. Die IG BCE informiert über die Organisation vor Ort.

VOr OrT. Die IG BCE informiert über die Organisation vor Ort. VO OT Die IG BCE infomie übe die Oganisaion vo O. vo o Die IG BCE infomie übe die Oganisaion vo O. Die IG BCE is da, wo ihe Migliede leben und abeien. Du eine sake geweksaflie Veeung sowohl im Beieb als

Mehr

Grundbildung Nachholbildung Kauffrau/Kaufmann

Grundbildung Nachholbildung Kauffrau/Kaufmann Gundbildung Nachholbildung Kauffau/Kaufmann mit eidg. Fähigkeitszeugnis Inhaltsvezeichnis Ih Kusstat ist zu 100 % gaantiet. 1. Nachholbildung fü Ewachsene 4 2. Zulassungsbedingungen und Voaussetzungen

Mehr

Makroökonomie 1. Prof. Volker Wieland Professur für Geldtheorie und -politik J.W. Goethe-Universität Frankfurt. Gliederung

Makroökonomie 1. Prof. Volker Wieland Professur für Geldtheorie und -politik J.W. Goethe-Universität Frankfurt. Gliederung Makoökonomie 1 Pof. Volke Wieland Pofessu fü Geldtheoie und -politik J.W. Goethe-Univesität Fankfut Pof.Volke Wieland - Makoökonomie 1 Mundell-Fleming / 1 Gliedeung 1. Einfühung 2. Makoökonomische Analyse

Mehr

1 Lineare Bewegung der Körper

1 Lineare Bewegung der Körper Lineae Bewegung de Köpe.3 Regentopfen und Fallschimspinge (v 0 (t) = g v(t)) In beiden Fällen handelt es sich um Objekte, die aus goßen Höhen fallen und von dem duchfallennen Medium (Luft) gebemst weden.

Mehr

SS 2017 Torsten Schreiber

SS 2017 Torsten Schreiber SS 7 Tosten Scheibe 7 Eine Mati ist eine Kombination aus eine bestimmten nzahl von, die in Zeilen und Spalten unteteilt sind, die das eine Mati bestimmen, wobei jede die jede Komponente duch die zugehöige

Mehr

Leseprobe. Dietmar Mende, Günter Simon. Physik. Gleichungen und Tabellen. ISBN (Buch): ISBN (E-Book):

Leseprobe. Dietmar Mende, Günter Simon. Physik. Gleichungen und Tabellen. ISBN (Buch): ISBN (E-Book): Lesepobe Diema Mende, Güne Simon Physik Gleichungen und Tabellen ISBN (Buch): 978-3-446-43754-8 ISBN (E-Book): 978-3-446-43861-3 Weiee Infomaionen ode Besellungen une hp://www.hanse-fachbuch.de/978-3-446-43754-8

Mehr

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Aufgabe 9: Radioakiver Zerfall Beim radioakiven Zerfall einer Subsanz S 1 beschreib m 1 () die Masse der noch nich zerfallenen Subsanz zum Zeipunk mi

Mehr

Finanzmathematik Kapitalmarkt

Finanzmathematik Kapitalmarkt Finanzmathematik Kapitalmakt Skiptum fü ACI Dealing und Opeations Cetificate und ACI Diploma In Zusammenabeit mit den ACI-Oganisationen Deutschland, Luxemboug, Östeeich und Schweiz Stand: 02. Apil 2010

Mehr

Struktur und Verhalten I

Struktur und Verhalten I Kapiel 9 Srukur und Verhalen I Ganz allgemein gesag is das Thema dieses Kurses die Ersellung, Simulaion und Unersuchung von Modellen räumlich homogener dynamischer Syseme aus Naur und Technik. Wir haben

Mehr

1 Abtastung, Quantisierung und Codierung analoger Signale

1 Abtastung, Quantisierung und Codierung analoger Signale Abasung, Quanisierung und Codierung analoger Signale Analoge Signale werden in den meisen nachrichenechnischen Geräen heuzuage digial verarbeie. Um diese digiale Verarbeiung zu ermöglichen, wird das analoge

Mehr

3 Ebene elektromagnetische Wellen

3 Ebene elektromagnetische Wellen 3 bene elekomagneisce Wellen nscaulice Besceibung 6 3 bene elekomagneisce Wellen In diesem bscni weden ebene elekomagneisce Wellen in omogenen Medien beandel. Dabei sollen die fü die Besceibung elekomagneisce

Mehr

III.2 Radioaktive Zerfallsreihen

III.2 Radioaktive Zerfallsreihen N.BORGHINI Version vom 5. November 14, 13:57 Kernphysik III. Radioakive Zerfallsreihen Das Produk eines radioakiven Zerfalls kann selbs insabil sein und späer zerfallen, und so weier, sodass ganze Zerfallsreihen

Mehr

Die Schrödingergleichung für das Elektron im Wasserstoffatom lautet Op2 e2 Or. mit

Die Schrödingergleichung für das Elektron im Wasserstoffatom lautet Op2 e2 Or. mit 4 Stak-Effekt Als Anwendung de Stöungstheoie behandeln wi ein Wassestoffatom in einem elektischen Feld. Fü den nichtentateten Gundzustand des Atoms füht dies zum quadatischen Stak-Effekt, fü die entateten

Mehr

Physik. als Manuskript gedruckt

Physik. als Manuskript gedruckt Uniesiä e Bunesweh München Suiengang lie Coue an Counicaion Technology (B. Eng.) Pof. D. e. na. Klaus Uhlann Physik als Manuski geuck. EINFÜHRUNG 3. Poga un Mehoe e Physik 3. Physikalische Gößen, Gößengleichungen

Mehr

Fußball. Ernst-Ludwig von Thadden. 1. Arbeitsmarktökonomik: Ringvorlesung Universität Mannheim, 21. März 2007

Fußball. Ernst-Ludwig von Thadden. 1. Arbeitsmarktökonomik: Ringvorlesung Universität Mannheim, 21. März 2007 Fußball Enst-Ludwig von Thadden Ringvolesung Univesität Mannheim, 21. Mäz 2007 1. Abeitsmaktökonomik: 1 Ausgangsbeobachtung: Fußballspiele sind Angestellte wie andee Leute auch. Deshalb sollte de Makt

Mehr

Seminar Bewertungsmethoden in der Personenversicherungsmathematik

Seminar Bewertungsmethoden in der Personenversicherungsmathematik Seminar Bewerungsmehoden in der Personenversicherungsmahemaik Technische Reserven und Markwere I Sefanie Schüz Mahemaisches Insiu der Universiä zu Köln Sommersemeser 2010 Bereuung: Prof. Hanspeer Schmidli,

Mehr

Parameter-Identifikation einer Gleichstrom-Maschine

Parameter-Identifikation einer Gleichstrom-Maschine Paamete-dentifikation eine Gleichtom-Machine uto: Dipl.-ng. ngo öllmecke oteile de Paamete-dentifikationvefahen eduzieung de Zeit- und Kotenaufwand im Püfpoze olltändige Püfung und Chaakteiieung von Elektomotoen

Mehr