Byzantinische Einigung im Full-Information-Modell in O(log n) Runden

Transkript

1 Byzatiische Eiigug im Full-Iformatio-Modell i O(log ) Rude Martia Hüllma Uiversität Paderbor (martiah@upb.de) Zusammefassug. Byzatiische Eiigug stellt ei grudlegedes Problem im Bereich verteilter Systeme dar ud ist daher Gegestad vieler Arbeite. I dieser Ausarbeitug werde zuächst eiige wichtige Modelle ud Resultate dieser Arbeite vorgestellt. De Hauptteil dieser Ausarbeitug bildet das Vorstelle des vo Be-Or et al. [3] etwickelte Protokolls zur byzatiische Eiigug. Dieses ist ei radomisiertes Protokoll, welches im sychroe Full-Iformatio-Netzwerk aus Spieler, vo dee weiger als ( 1 ε) Spieler uehrlich sid, ierhalb vo 4 erwartet O(log ) Rude byzatiische Eiigug erreicht. 1 Eileitug Motivatio Aufbau der Arbeit Überblick über Arbeite im Bereich der byzatiische Eiigug Modelle Determiistische Protokolle Radomisierte Protokolle Protokolle i asychroe Netzwerke Verwadte Probleme BA-Protokoll vo Be-Or et al Feiges Protokoll ud Idee der Lösug Graded Broadcast Vorstellug des Protokolls Korrektheit des vorgestellte Protokolls Ausblick Literaturverzeichis

2 2 Martia Hüllma 1 Eileitug 1.1 Motivatio Ma versetze sich ca. 500 Jahre i eie Nacht vor eier große Schlacht im byzatiische Reich zurück. Byzaz steht bereits kurz vor seiem Utergag ud i diese Zeite ist ei Teil der Geeräle (möglicherweise sogar auch der Oberbefehlshaber) der Legioe der byzatiische Armee korrupt. I der besagte Nacht vor der Schlacht habe sich die Legioe i ihre Lager zurückgezoge. Eie Kommuikatio uter de Geeräle ist ur durch Nachrichteüberlieferug mittels eies Bote möglich. Das Problem ist allerdigs, dass die Geeräle icht wisse, wer korrupt ist, soder lediglich darüber iformiert sid, dass weiger als 1/3 der Geeräle korrupt sid. Währed der Nacht vor der Schlacht erhält u jeder der Geeräle vo eiem Bote die Nachricht des Oberbefehlshaber am ächste Morge direkt azugreife oder aber sich zuächst zurückzuziehe. Bei eiem korrupte Oberbefehlshaber ist es u möglich, dass dieser eiige Geeräle die Nachricht schickt azugreife, adere wiederum aber die Nachricht, sich zurückzuziehe. Greife u eiige Legioe der loyale Geeräle a ud adere ziehe sich zurück, so köe diese zum Sturz gebracht werde. Aus diesem Grud ist es für die loyale Geeräle ratsam, de überbrachte Befehl icht direkt auszuführe. Auch ei Nachfrage bei adere Geeräle zum Verifiziere des übermittelte Befehls ist icht ubedigt hilfreich, da ja icht bekat ist, welche der Geeräle die Wahrheit sage. Ebefalls wäre die Strategie der loyale Geeräle, immer azugreife (uabhägig vo überlieferte Nachrichte), kei sivolles Vorgehe. Die Geeräle beötige also eie Möglichkeit sich trotz korrupter Geeräle auf eie gemeisame Etscheidug zu eiige. Sie beötige byzatiische Eiigug. Nicht ur vor 500 Jahre, soder auch heute och fidet das Problem der byzatiische Eiigug i verschiedee Bereiche Awedug. So ist byzatiische Eiigug z. B. ei grudlegedes Problem im Bereich des verteilte Reches. Statt der Geeräle, sid hier Prozessore gegebe, vo dee ei Teil fehlerhaft ist (z. B. durch Ausfall oder adere Hardware-Fehler bedigt). Zwische jedem Prozessorpaar bestehe eie Pukt-zu-Pukt-Verbidug, sodass jeder Prozessor a alle adere Prozessore Nachrichte schicke ka. Im allgemeie Problem der byzatiische Eiigug hat u jeder dieser Prozessore eie Eigabewert ud die korrekt arbeitede Prozessore solle sich auf eie gemeisame Ausgabewert eiige. D. h. jeder Prozessor soll eie Ausgabewert bereche sodass die beide folgede Eigeschafte gelte (eie formale Defiitio folgt i Kapitel 3): Alle korrekt arbeitede Prozessore bereche de gleiche Ausgabewert. We alle korrekt arbeitede Prozessore de gleiche Eigabewert habe, so bereche sie auch alle de gleiche Ausgabewert.

3 Byzatiische Eiigug im Full-Iformatio-Modell i O(log ) Rude Aufbau der Arbeit Zuächst wird i Kapitel 2 ei Überblick über Arbeite im Bereich der byzatiische Eiigug gegebe. Hierzu werde zuächst die am häufigste verwedete Modelle vorgestellt. Im Aschluss dara werde i Abschitt 2.2 ud 2.3 wichtige Ergebisse uter Verwedug determiistischer ud aschließed uter Verwedug radomisierter Protokolle vorgestellt. Daraufhi werde i Abschitt 2.4 kurz eiige Ergebisse zum Problem der byzatiische Eiigug i asychroe Netzwerke vorgestellt. Im letzte Abschitt vo Kapitel 2 wird och eimal auf eie Zusammehag zwische dem Problem der byzatiische Eiigug ud zwei weitere hierzu verwadte Probleme (Commo-Coi-Problem ud Leader-Electio-Problem) eigegage. Kapitel 3 bildet de Hauptteil dieser Arbeit. I diesem wird das vo Be-Or et al. [3] eigeführte BA-Protokoll vorgestellt. Dieses erreicht uter Spieler, vo dee weiger als ( 1 4 ε) Spieler uehrlich sid, im sychroe Full-Iformatio-Modell mit o-adaptivem Geger ierhalb vo erwartet O(log ) Rude byzatiische Eiigug. Vor der Vorstellug dieses Protokolls wird i Abschitt 3.1 zuächst desse grudlegede Idee aufgezeigt ud i Abschitt 3.2 das Graded-Broadcast-Protokoll eigeführt. Mit diese Voraussetzuge ka u das BA-Protokoll vo Be-Or et al. behadelt werde. Hierfür wird dieses i Abschitt 3.3 zuächst algorithmisch beschriebe ud erläutert, woraufhi i Abschitt 3.4 desse Korrektheit ud Laufzeit achgewiese wird. Das letzte Kapitel bildet mit eiige weiterführede Amerkuge ud Fragestelluge de Abschluss dieser Arbeit. 2 Überblick über Arbeite im Bereich der byzatiische Eiigug Das Problem der byzatiische Eiigug ist seit seier Eiführug im Jahr 1980 durch Pease et al. [21] Gegestad eier Vielzahl vo Arbeite. I diesem Kapitel wird daher ei Überblick über betrachtete Modelle ud wichtige Ergebisse gegebe. Hiervor sei zuächst eimal kokret erwäht, was ei Protokoll ist: Als Protokoll bezeichet ma eie Algorithmus, der die Kommuikatio zwische de Prozessore (im Folgede auch Spieler geat) regelt ud de korrektarbeitede Prozessore (ehrliche Spieler) vorschreibt, welche Nachrichte sie schicke solle. Die fehlerhafte Prozessore (uehrliche Spieler) müsse sich dabei icht a das Protokoll halte. Isbesodere führt ei Protokoll selbst ichts aus, soder alle Aktioe werde vo de Spieler ausgeführt. Sofer icht aders agegebe bezeichet im Folgede stets die Azahl aller Spieler ud t die Azahl der uehrliche Spieler.

4 4 Martia Hüllma 2.1 Modelle Die i de Arbeite zu Probleme der byzatiische Eiigug betrachtete Modelle uterscheide sich im meist i de folgede Aspekte: sychroe vs. asychroe Netzwerke adaptiver vs. o-adaptiver Geger Full-Iformatio vs. private Kommuikatioskaäle ud i der Rechekraft beschräkter Geger Ei sychroes Netzwerk ist ei idealisiertes Netzwerk, i dem eie gemeisame Uhr Rude vorgibt, mit dee das Verschicke vo Nachrichte geregelt wird. So werde i eiem sychroe Netzwerk Nachrichte jeweils am Ede eier Rude verschickt ud zu Begi der ächste Rude übermittelt. I eiem asychroe Netzwerk higege, liegt keie gemeisame Uhr vor. Hierdurch ka jede Kommuikatio eie beliebige ud ubekate Zeitspae eiehme. I de hier betrachtete Modelle werde Fehler im System durch eie Geger modelliert, der eiige Spieler des Systems besticht. Dabei uterscheidet ma zwische eiem adaptive ud eiem o-adaptive Geger. Noadaptive Geger besteche eie Teil der Spieler vor Begi des Protokolls. Im Gegesatz dazu besteche adaptive Geger die Spieler währed der Ausführug des Protokolls. Nebe diese Pukte, gehört auch die Rechekraft des Gegers zu de Modell-Eigeschafte. Im Full-Iformatio-Modell hat der Geger ubeschräkte Rechekraft ud volle Iformatio über de Zustad aller Spieler ud der Kommuikatio zwische diese. So ka im Full-Iformatio-Modell der Geger alle Kommuikatioskaäle abhöre, die icht korrupte Spieler köe jedoch ur die Nachrichte lese, die ihe gesedet wurde. Ferer ka der Geger vor dem Sede seier Nachricht(e) i eier Rude die i der aktuelle Rude vo de adere Spieler gesedete Nachrichte eisehe ud auf Grudlage desse seie Nachricht(e) schicke. Im Gegesatz dazu stehe Modelle, i dee die Kommuikatioskaäle zwische de Spieler verschlüsselt (somit also privat) sid ud Eischräkuge bzgl. der Rechekraft des Gegers getroffe werde. 2.2 Determiistische Protokolle Eie Frage, die im Hiblick auf Systeme aus mehrere Spieler mit als erstes aufkomme mag, ist, wie viele Spieler uehrlich sei dürfe, sodass deoch byzatiische Eiigug erreicht werde ka. De Ateil r vo Spieler, sodass ei Ateil vo weiger als r uehrliche Spieler vom Protokoll toleriert werde, bezeichet ma auch als Fehlerrate des Protokolls. Aalog bezeichet ma die Azahl t vo Spieler, sodass weiger als t uehrliche toleriert werde als zugelassee Fehlerrate. Pease et. al. [21] habe gezeigt, dass diese

5 Byzatiische Eiigug im Full-Iformatio-Modell i O(log ) Rude 5 im sychroe Modell bei 1/3 liegt ud hierfür auch ei Protokoll agegebe. Diese Ergebisse sid allerdigs icht direkt auf das asychroe Modell übertragbar. Fischer et al. [12] habe gezeigt, dass es (sogar bei ur eiem uehrliche Spieler) im asychroe Modell kei determiistisches BA-Protokoll gibt. Zu asychroe Protokolle folgt i Abschitt 2.4 mehr. Nebe der Frage ach der zugelassee Fehlerrate vo BA-Protokolle, stellt auch die Frage ach der Komplexität vo diese eie iteressate Problemstellug dar. Die Komplexität vo Protokolle lässt sich uter verschiedee Maße agebe. I de meiste Arbeite werde folgede Komplexitäts-Maße verwedet: Kommuikatioskomplexität: Hiermit wird die Zeit bezeichet, die für das Versede aller Nachrichte währed des Protokolls beötigt wird. Rudekomplexität (ur i sychroe Modelle): Hiermit wird bezeichet, wie viele Rude ei Protokoll bis zu seier Termiierug beötigt. Eie Rude beihaltet dabei das Verschicke aller Nachrichte aller Spieler. Ma beachte hierbei, dass es bei Protokolle i. A. möglich ist mehrere Subprotokolle parallel auszuführe, ohe dass dadurch die Rudekomplexität beeiflusst wird. Sofer icht aders agegebe, ist im Folgede uter Laufzeit oder Komplexität eis Protokolls desse Rudekomplexität zu verstehe. Pease et al. [21] habe ei determiistisches Protokoll für byzatiische Eiigug vorgestellt, das eie Rudekomplexität vo t + 1 Rude aufweist. Das Problem bei diesem Protokoll ist allerdigs, dass es eie Kommuikatioskomplexität hat, die expoetiell i der Azahl der Spieler ist. Dieses lässt sich allerdigs verbesser: Garay ud Moses [15] habe ei BA-Protokoll agegebe, das auch t + 1 Rude beötigt, dafür allerdigs ur eie polyomielle Kommuikatioskomplexität besitzt. A diesem Pukt mag schell die Frage aufkomme, ob es möglich ist BA- Protokolle zu kostruiere, die weiger als t + 1 Rude beötige. Fischer ud Lych [13] habe hierzu gezeigt, dass kei determiistisches Protokoll existiert, das weiger als t + 1 Rude beötigt. Eie Möglichkeit diese Schrake zu uterbiete stellt die Verwedug vo radomisierte Protokolle dar. 2.3 Radomisierte Protokolle Be-Or, Rabi ud Bracha [4, 2] gehörte mit zu de erste, die radomisierte BA-Protokolle utersucht habe. Sie setze dabei eie gemeisame Müze (Commo Coi) voraus, was i viele radomisierte Protokolle der Fall ist. Diese Müze ka währed jeder Rude geworfe werde ud gibt eie zufällige Wert aus {0, 1} zurück, der für alle Spieler eisehbar ist. Hierzu hat Rabi [22] gezeigt, dass sich uter Verwedug eier (abgeschwächte Versio) eier gemeisame Müze i O(1) zusätzliche Rude byzatiische Eiigug erreiche lässt. Um u eie effizietes radomisiertes BA-Protokoll

6 6 Martia Hüllma azugebe, geügt es also ei effizietes Protokoll für eie gemeisame Müze (Commo-Coi-Protokoll) zu etwerfe. Beispielsweise habe Feldma ud Micali [11] ei Commo-Coi-Protokoll mit eier erwartete kostate Rudeazahl vorgestellt. Dieses Protokoll wurde allerdigs uter recht starke Eischräkuge etworfe: Es wurde vorausgesetzt, dass die Kommuikatios-Kaäle zwische de Spieler privat sid oder alle Spieler (auch die uehrliche Spieler) beschräkte Rechekraft besitze ud Kryptographie im Netzwerk existiert. Verzichtet ma auf private Kommuikatios-Kaäle, so lässt sich für das Full-Iformatio-Netzwerk mit o-adaptivem Geger ei radomisiertes Protokoll mit erwarteter Rudekomplexität vo Θ(t/ log ) agebe (Chor ud Coa [7]). Eie weitere Möglichkeit eie gemeisame Müze zu kostruiere habe Feige, Russell ud Zuckerma [9, 23] vorgestellt. Dere Protokoll arbeitet im Full-Iformatio-Netzwerk, hat eie erwartete Komplexität vo log + O(1) Rude ud toleriert t < /(2+ε) (für jedes ε > 0) uehrliche Spieler. Hierbei wurde allerdigs die Aahme getroffe, dass ei zuverlässiger Broadcast- Kaal existiert. Bis zur Etwicklug des radomisierte Protokolls vo Be-Or et al. [3], desse Vorstellug Hauptgegestad dieser Arbeit ist, war Chor ud Coas Protokoll das beste bekate Protokoll i dem besagte Modell. Dieses hat eie erwartete Komplexität vo O(log ) Rude ud toleriert t < ( 1 4 ε) uehrliche Spieler (für jedes ε > 0). Dieses Ergebis ist allerdigs och icht optimal. I eier spätere Arbeit habe Goldwasser et al. [14] ei weiteres radomisiertes Protokoll für das sychroe Full-Iformatio-Netzwerk mit o-adaptivem Geger vorgestellt, welches zwar die gleiche erwartete Rudekomplexität wie das vo Be-Or et al. vorgestellte BA-Protokoll besitzt, aber t < ( 1 3 ε) uehrliche Spieler toleriert ud somit eie bessere Fehlerrate aufweist. Eie weitere Frage a dieser Stelle ist, ob uter Verwedug vo Radomisierug Protokolle mit eier höhere Fehlertoleraz als /3 (wie bei determiistische Protokolle) existiere. Hierzu habe (wie auch zu determiistische Protokolle) Karli ud Yao [19] gezeigt, dass byzatiische Eiigug ohe weitere Aahme auch uter Verwedug vo Radomisierug icht möglich ist, sofer /3 oder mehr Spieler uehrlich sid. Eie der verbreitetste Modelle zur Verbesserug der Fehlertoleraz vo BA- Protokolle, ist die Verwedug vo Modelle mit digitale Sigature ud Public-Key Ifrastrukture (PKI). Bei diese Modelle wird implizit ageomme, dass der Geger beschräkte Rechekraft hat, damit er die Sigature icht fälsche ka. So hat Bracha [5] z. B. ei Protokoll agegebe, das t /(2 + ε) (für jedes ε > 0) uehrliche Spieler zulässt ud erwartet O(log ) Rude beötigt, dafür allerdigs implizit eie vertraueswürdige Dealer voraussetzt. (Ei Dealer ist hierbei ei dedizierter Spieler.) Auch Touegs Protokoll [24] lässt t < /2 uehrliche Spieler zu ud setzt eie vertraueswürdige Dealer voraus, hat dafür aber eie erwartet kostate Rudeazahl. Waider [25] hat basiered auf [5, 10] gezeigt, dass der Dealer i Brachas

7 Byzatiische Eiigug im Full-Iformatio-Modell i O(log ) Rude 7 Protokoll durch eie Ω(t)-Rude Phase ersetzt werde ka, die vor dem eigetliche Begi des Protokolls ausgeführt wird ud eie Broadcast-Kaal aimmt. Die Rudekomplexität ach dieser Phase beträgt darüberhiaus auch ur och O(1). Eie Ausweg zum Voraussetze eies vertraueswürdige Dealers oder eier Vor-Phase habe Fitzi ud Garay [16] gefude: Sie habe (basiered auf [24, 20, 6]) ei authetifiziertes BA-Protokoll agegebe, das t < /2 uehrliche Spieler zulässt, eie erwartet kostate Rudeazahl hat ud keie vertraueswürdige Dealer oder eie zusätzliche Phase vor Begi des Protokolls voraussetzt. 2.4 Protokolle i asychroe Netzwerke Bisher wurde i diesem Kapitel der Fokus auf Protokolle i sychroe Netzwerke gelegt. Durch Asychroität werde grudlegede Schwierigkeite beim Etwurf vo Protokolle verursacht. Es ka im asychroe Modell z. B. icht direkt i eiem Protokoll zwische uehrliche ud mometa ur icht aktive Spieler uterschiede werde, da die Spieler hier zu beliebige Zeitpukte Nachrichte verschicke köe. Wie obe bereits erwäht habe Fischer et al. [12] gezeigt, dass es sogar bei ur eiem uehrliche Spieler im asychroe Modell kei determiistisches BA-Protokoll gibt. Be-Or ud Bracha [2, 4] ware die erste, die ei radomisiertes BA-Protokoll für das asychroe Modell agegebe habe (mit Fehlertoleraz t < /3). Allerdigs wies dieses Protokoll im Erwartugswert eie Rudeazahl, die expoetiell i der Azahl der Spieler ist, auf. Über 22 Jahre hi wurde für dieses Problem kei Protokoll gefude, was eie subexpoetielle Rudekomplexität besitzt, bis Kapro et al. [18] ei BA-Protokoll im asychroe Full-Iformatio-Modell vorgestellt habe, das eie polylogarithmische Rudekomplexität besitzt ud bis zu zulässt. 2.5 Verwadte Probleme 6+ε (für jedes ε > 0) uehrliche Spieler Nebe dem obe bereits erwähte Commo-Coi-Problem, stellt auch das Leader-Electio-Problem ei zur byzatiische Eiigug verwadtes Problem dar. Das Ziel bei eiem Leader-Electio-Protokoll ist es, dass sich die Spieler auf eie (ehrliche) Aführer uter alle Spieler eiige solle. Hat ma ei Leader-Electio-Protokoll gegebe, so lässt sich aus diesem auch leicht ei Commo-Coi-Protokoll kostruiere, idem ma de ausgewählte Aführer eie Müze werfe lässt ud das Ergebis dieses Wurfs a alle adere Spieler weiterleitet. Wie obe bereits erwäht, lässt sich ach Rabi [22] aus eiem Commo-Coi-Protokoll wiederum auch ei BA-Protokoll mit zusätzlich O(1) Rude kostruiere. Auf der adere Seite lässt sich mit Hilfe eies BA-Protokolls aber auch ei Leader-Electio-Protokoll kostruiere. Eies der bekateste Leader-Electio-Protokolle ist das vo Feige et al. [9]

8 8 Martia Hüllma vorgestellte Protokoll. 3 BA-Protokoll vo Be-Or et al. I diesem Kapitel wird ei sychroes Full-Iformatio-Modell mit oadaptivem Geger vorausgesetzt. D. h. der Geger hat ubeschräkte Rechekraft ud vollstädige Iformatio über de Zustad aller Spieler ud der Kommuikatio zwische diese. Die Kommuikatio zwische de Spieler geschieht über Pukt-zu-Pukt-Verbiduge zwische diese. Darüberhiaus existiert kei Broadcast-Kaal ud auch keie Verschlüsselug. Für dieses Modell wird im Folgede das vo Be-Or et al. [3] etwickelte radomisierte Protokoll vorgestellt, welches ierhalb vo erwartet O(log ) Rude bei eier Fehlerrate vo 1 4 byzatiische Eiigug erreicht. Hierfür wird i Abschitt 3.1 die grobe grudlegede Idee hiter diesem Protokoll erläutert. Dieses geschieht mit Hilfe eier kurze Vorstellug vo Feiges [9] Commo-Coi-Protokoll. Im Aschluss dara wird i Abschitt 3.2 das Graded-Broadcast-Protokoll defiiert ud ei kokretes Graded-Broadcast- Protokoll agegebe, welches i dem BA-Protokoll vo Be-Or et al. verwedet wird. Dieses wird schließlich i Abschitt 3.3 vorgestellt ud i Abschitt 3.4 desse Korrektheit ud Laufzeit bewiese. Vor diese Abschitte wird aber zuächst och der Begriff des BA-Protokolls eimal formal defiiert: Defiitio 1 (BA-Protokoll). Sei P ei Protokoll über Spieler P 1,..., P. Jeder Spieler P i starte mit eiem Eigabebit b i ud gebe am Ede des Protokolls ei Bit d i aus. P ist ei Protokoll zur byzatiische Eiigug (BA- Protokoll), we gilt: 1. Eiigug: Für je zwei ehrliche Spieler P i ud P j gilt: d i = d j 2. Gültigkeit: We für alle ehrliche Spieler P i ud P j gilt: b i = b j = b, da gilt für alle ehrliche Spieler P i : d i = b 3. Termiierug: Das Protokoll P termiiert mit Wahrscheilichkeit Feiges Protokoll ud Idee der Lösug Wie i Abschitt 2 bereits erwäht, hat Rabi [22] gezeigt, wie sich mit Hilfe eies Commo-Coi-Protokolls i ur O(1) zusätzliche Rude ei BA- Protokoll kostruiere lässt. Um ei BA-Protokoll mit eier erwartete Komplexität vo O(log ) Rude zu kostruiere, geügt es daher, stattdesse ei Commo-Coi-Protokoll mit dieser Komplexität zu kostruiere. Auf diesem Ergebis beruht auch das vo Be-Or et al. vorgestellte BA-Protokoll, was im Folgede vorgestellt wird. (Somit ist das vorgestellte Protokoll geau

9 Byzatiische Eiigug im Full-Iformatio-Modell i O(log ) Rude 9 geomme ei Commo-Coi-Protokoll, ka (auf Grud vo Rabis Ergebis) aber deoch als BA-Protokoll bezeichet werde.) Eie Frage, die a dieser Stelle aufkomme mag, ist, warum hierfür icht das Commo-Coi-Protokoll vo Feige [9] oder Russell ud Zuckerma [23] verwedet werde ka, welches im sychroe Full-Iformatio-Modell eie erwartete Komplexität vo O(log ) Rude besitzt. Der Grud hierfür ist, dass i diese Protokolle ei Broadcast-Kaal vorausgesetzt wird, der i dem vo Be-Or et al. (ud somit auch hier) betrachtete Modell icht gegebe ist. (Durch eie Broadcast-Kaal wird dem Empfäger eier Nachricht garatiert, dass jeder adere Spieler im Netzwerk die gleiche Nachricht empfage hat. Bei Pukt-zu-Pukt-Verbiduge, wie sie hier betrachtet werde, ist diese Garatie allerdigs icht mehr gegebe.) I dem BA-Protokoll vo Be-Or et al. köe (ud werde) aber deoch Idee vo Feiges Protokoll verwedet. Aus diesem Grud wird die Arbeitsweise vo Feiges [9] Commo- Coi-Protokoll hier kurz erläutert: Zu Begi des Protokolls ist jeder Spieler aktiv. I Rude 1 wählt jeder Spieler zufällig gleichverteilt eie vo O( log ) Werte. Diese Schritt ka ma sich auch als zufälliges Werfe vo Bälle i O( log ) verschiedee Körbe vorstelle. Die Spieler, die ihre Ball i de Korb geworfe habe, der am Ede die weigste Bälle ethält (der Lightest Bi ), bleibe i der ächste Rude aktiv, alle adere scheide aus. Diese Rude wird u rekursiv mit de och verbleibede Spieler wiederholt. Da davo ausgegage wird, dass die Spieler die Bälle zufällig gleichverteilt werfe, verbleibe ach eier Rude mit Spieler im Erwartugswert och O(log ) Spieler. Auf diese Weise ka ach log rekursive Wiederholuge dieser Rude ei Aführer ausgewählt wird, der schließlich eie Müze wirft ud das Ergebis des Wurfs a alle adere Spieler schickt. Der etscheidede Pukt hierbei ist, dass aufgrud der Tatsache, dass die vo de Spieler (zufällig) geworfee Bälle ahezu gleichverteilt auf die Körbe verteilt sid, der Lightest Bi eie geüged große Ateil a ehrliche Spieler ethält ud uter dieser Voraussetzug am Ede des Protokolls ei ehrlicher Spieler ausgewählt werde ka. Somit ka Feiges Protokoll auch als eie Möglichkeit, eie kleiere Teilmege vo Spieler (ei Komitee), die eie geüged große Ateil a ehrliche Spieler ethält, auszuwähle, betrachtet werde. Gerade diese Idee wird auch bei dem Protokoll vo Be-Or et al. verwedet. Hier wird durch verschiedee Techike erreicht, dass die Spieler sich auf eie gemeisame kleie Teilmege vo O(log ) Spieler eiige, i dee sich geüged viele ehrliche Spieler befide. Da zur Eiigug auf eie gemeisame Mege i Feiges Protokoll allerdigs ei Broadcast-Kaal vorausgesetzt wird, der hier icht gegebe ist, wird dieser implemetiert wird, wofür allerdigs wiederum byzatiische Eiigug beötigt wird. Diese Idee mag sich zuächst weig sivoll ahöre, da ma somit

10 10 Martia Hüllma wieder beim Ursprugsproblem der byzatiische Eiigug agekomme ist. Der Trick hierbei ist allerdigs, eie abgeschwächte Versio des Broadcastigs zu verwede (das Graded Broadcastig), wodurch das Problem der byzatiische Eiigug über Spieler auf selbiges über O(log ) Spieler reduziert werde ka. Über O(log ) Spieler ka da jeweils mittels eies geeigete determiistische Protokolls ierhalb vo O(log ) Rude byzatiische Eiigug erreicht werde. 3.2 Graded Broadcast I eiem Graded-Broadcast-Protokoll wird zusätzlich ei dedizierter Spieler, der Dealer D, ageomme, der eie ihm zuvor bekate Nachricht a alle adere Spieler sede soll. Am Ede des Protokolls gibt jeder Spieler icht ur eie Wert aus, de er für de vom Dealer gesedete Wert hält, soder zusätzlich eie weitere Wert, der agibt, wie überzeugt er vo der Echtheit dieses Wertes ist. Dabei soll gewährleistet sei, dass we der Dealer ehrlich ist, so soll auch jeder ehrliche Spieler die vo D geschickte (gleiche) Nachricht erhalte. Zusätzlich soll garatiert sei, dass sogar bei eiem uehrliche Dealer die Überzeuguge zweier ehrlicher Spieler sich um höchstes 1 uterscheide ud zwei ehrliche Spieler de gleiche Wert ausgebe, we sie eie positive Überzeugug habe. Defiitio 2 formalisiert dieses. Defiitio 2 (Graded-Broadcast-Protokoll). Ei Protokoll P wird als Graded-Broadcast-Protokoll bezeichet, we zu Begi vo diesem ei dedizierter Spieler D, der Dealer, eie Wert v besitzt ud am Ede des Protokolls jeder Spieler P i ei Paar (v i, c i ) (mit c i {0, 1, 2} für alle i []) ausgibt, sodass die folgede Bediguge erfüllt sid: 1. Akzeptaz vo gute Werte: Ist der Dealer D ehrlich, so gilt für alle ehrliche Spieler P i : v i = v ud c i = 2 2. Semi-Eistimmigkeit: Für je zwei ehrliche Spieler P i ud P j gilt: c i c j 1 3. Kosistez: Für je zwei ehrliche Spieler P i ud P j gilt: c i, c j > 0 v i = v j (I Defiitio 2 stehe die Variable v i für value ud c i für cofidece.) Das Protokoll Gradecast (Protokoll 1) stellt ei Beispiel für ei Graded- Broadcast-Protokoll dar (was i Lemma 1 gezeigt wird). Bei Eigabe eies Wertes v (der Wert, de der Dealer verteile soll) gibt dieses zwei Vektore (v, c) zurück, wobei v i ud c i jeweils die Ausgabe vo Spieler P i sid.

11 Byzatiische Eiigug im Full-Iformatio-Modell i O(log ) Rude 11 Algorithm 1 Gradecast(v) 1: Schritt 1: 2: Dealer D: Verschicke v a alle Spieler P i 3: (Für Spieler P i bezeiche v i de vom Dealer empfage Wert.) 4: Schritt 2: 5: for all Spieler P i do 6: for all Spieler P j do 7: P i schicke v i a P j (P j erhalte v j i ) 8: ed for 9: ed for 10: Schritt 3: 11: for all Spieler P j do 12: if ( µ: für midestes t Spieler P i gilt: v j i 13: P j schicke µ a alle Spieler 14: else 15: P j schicke a alle Spieler 16: ed if 17: ed for = µ) the 18: Schritt 4: 19: for all Spieler P i do 20: for all im 3. Schritt empfagee Werte µ do 21: um µ := {P j P j hat i Schritt 3 de Wert µ a P i geschickt} 22: ed for 23: if ( µ : um µ 2t + 1) the 24: v i = µ, c i = 2 25: else if ( µ : 2t um µ t + 1) the 26: v i = µ, c i = 1 27: else if ( µ : um µ t) the 28: v i =, c i = 0 29: ed if 30: ed for 31: retur (v, c) Bevor gezeigt wird, dass das Protokoll Gradecast auch tatsächlich ei Graded-Broadcast-Protokoll ist, wird desse Arbeitsweise a eiem Beispiel veraschaulicht. Beispiel 1. Gegebe seie die Spieler P 1,..., P 9, vo dee die Spieler P 1,..., P 6 ehrlich ud die Spieler P 7, P 8 ud P 9 uehrlich seie. D. h. = 9, t = 3. Weiter sei P 9 der Dealer ud v = 0. Da der Dealer uehrlich ist, ka dieser i Schritt 1 beliebige Werte a die übrige Spieler schicke. Ageomme der Dealer schickt die i Tabelle 1 abgebildete Werte a die adere Spieler. (I dieser ud i Tabelle 2 ud 3 ethält der Eitrag a eier Stelle

12 12 Martia Hüllma (i, j) eier dieser Tabelle de Wert, de Spieler P i im gerade behadelte Schritt a Spieler P j geschickt hat.) v i P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P Tabelle 1. I Schritt 1 verschickte Werte I Schritt 2 schicke u alle ehrliche Spieler die i Schritt 1 erhaltee Nachricht a alle Spieler weiter. Alle uehrliche Spieler köe dabei irgedeie Wert a alle adere Spieler schicke. Tabelle 2 stellt eie mögliche Ausgag vo Schritt 2 dar. v j i P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P P P P P P P P P Tabelle 2. I Schritt 2 verschickte Werte v j i P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P P 2 P 3 P 4 P 5 P P P P Tabelle 3. I Schritt 3 verschickte Werte I Schritt 3 überprüft u jeder Spieler P i, ob es eie Wert µ gibt, sodass midestes 6 Spieler dem Spieler P i i Schritt 2 de Wert µ geschickt habe. D. h. es muss überprüft werde, ob i Spalte i ei Wert midestes 6 mal auftaucht. Dieses ist für Spalte 1 ud 6 der Fall. D. h. Spieler P 1 ud P 6 verschicke i Schritt 3 jeweils de Wert µ = 0 a alle adere Spieler. Alle adere (ehrliche) Spieler verschicke de Wert a alle adere Spieler. Die uehrliche Spieler P 7, P 8 ud P 9 schicke wieder irgedwelche Werte a die adere Spieler. Tabelle 3 stellt eie mögliche Ausgag vo Schritt 3 dar. Im 4. Schritt überprüft u jeder Spieler P i, welches der Wert µ ist, de er im 3. Schritt vo de meiste adere Spieler erhalte hat ud setzt davo abhägig die Werte v i ud c i. Tabelle 4 stellt dieses dar. Auch hier köe die uehrliche Spieler wieder was beliebiges ausgebe (daher sid die Eiträge bei diese i Tabelle 4 auch icht gefüllt). Wie sich leicht überprüfe lässt, sid i diesem Beispiel also die Bediguge für das Graded Broadcastig aus Defiitio 2 erfüllt.

13 Byzatiische Eiigug im Full-Iformatio-Modell i O(log ) Rude 13 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 um µ v i c i Tabelle 4. Ausgabe des Protokolls Nu wird allgemei, dass das Protokoll Gradecast ei Graded-Broadcast- Protokoll ist. Lemma 1. Das Protokoll Gradecast ist ei Graded-Broadcast-Protokoll, welches höchstes t < 1 3 uehrliche Spieler toleriert. ( gibt dabei die Azahl aller Spieler, über dee das Protokoll ausgeführt wird, a.) Beweis. Zuächst zu Pukt 1 vo Defiitio 2: Sei also der Dealer D ehrlich. D schickt somit im 1. Schritt alle Spieler P i die Nachricht v, d. h. v i = v für alle i []. Im 2. Schritt schicke somit alle t ehrliche Spieler de Wert v a alle adere Spieler. Das wiederum bedeutet, dass jeder Spieler im 3. Schritt t mal de Wert v erhält. Da ach Voraussetzug ur weiger als 1 3 uehrliche Spieler toleriert werde, gilt t 2t + 1. Somit ist für jede ehrliche Spieler um µ 2t + 1 für µ = v. Folglich gibt i Schritt 4 jeder ehrliche Spieler (v, 2) aus. Nu zu Pukt 2 aus Defiitio 2: Seie P i ud P j zwei ehrliche Spieler. Aahme: c i c j > 1. Da c i, c j {0, 1, 2}, gilt: c i c j = 2, was wiederum bedeutet, dass c i = 2 ud c j = 0 oder c i = 0 ud c j = 2 ist. O. B. d. A. ehme ma c i = 2 ud c j = 0 a. Aus c i = 2 folgt, dass um vi 2t + 1 ist. Da u höchstes t fehlerhafte Spieler dem Spieler P i de Wert v i geschickt habe köe, habe midestes t + 1 ehrliche Spieler dem Spieler P i de Wert v i geschickt. Das aber bedeutet, dass diese Spieler auch alle adere Spieler de Wert v i geschickt hat. Somit gilt für jede ehrliche Spieler P k : um vi t + 1, was c k 1 impliziert. Das stellt allerdigs eie Widerspruch zu c j = 0 dar. Also gilt für je zwei ehrliche Spieler P i ud P j : c i c j 1. Es bleibt u och Pukt 3 aus Defiitio 2 zu zeige: Seie dafür P i ud P j zwei ehrliche Spieler mit c i, c j > 0. Aahme: v i v j. Per Defiitio des Protokolls gilt da für Spieler P i : um vi t + 1. D. h. midestes t + 1 Spieler (ud somit midestes ei ehrlicher Spieler P k ) habe P i i Schritt 3 de Wert v i geschickt. Da P k i Schritt 3 de Wert v i verschickt hat, muss P k diese Wert i Schritt 2 vo midestes t adere Spieler erhalte habe. Vo diese müsse wiederum midestes 2t Spieler ehrlich sei (da es ur t fehlerhafte Spieler gibt). I Schritt 2 habe also midestes 2t ehrliche Spieler de Wert v i verschickt. Da v j v i ist, köe also höchstes t ehrliche Spieler de Wert v j i Schritt 2 verschickt habe. Isgesamt köe i Schritt 2 somit höchste 2t Spieler de Wert v j verschickt habe. Da 2t < t ist, hat i Schritt 3 kei ehrlicher Spieler de Wert µ = v j

14 14 Martia Hüllma verschickt, was zur Folge hat, dass i Schritt 4 für keie Spieler um vj > t gelte ka ud somit v j vo keiem ehrliche Spieler ausgegebe werde ka. Das stellt jedoch eie Widerspruch zur Aahme, dass v j die Ausgabe vo dem ehrliche Spieler P j ist. 3.3 Vorstellug des Protokolls Im Folgede wird für ei beliebiges aber festes ε > 0 ei BA-Protokoll BA ε kostruiert, welches (wie i Abschitt 3.4 gezeigt wird) uter Spieler, vo dee t < ( 1 4 ε) Spieler uehrlich sid, im sychroe Full-Iformatio- Modell mit o-adaptivem Geger ierhalb vo erwartet O( log ε ) Rude 2 byzatiische Eiigug erreicht. Das Protokoll BA ε besteht aus drei (acheiader auszuführede) Phase, welche i Abschitt 3.3 vorgestellt werde. (Da ε hier eie Kostate ist, hat das vorgestellte Protokoll isbesodere auch eie Laufzeit vo O(log ). Eie Laufzeitagabe vo O( log ε ) ethält allerdigs och Iformatio darüber, 2 iwiefer sich die Azahl der uehrliche Spieler auf die Laufzeit auswirke ka.) Kurz zusammegefasst arbeite die drei Phase wie folgt: I Phase 1 werde zuächst Komitees (Teilmege) aus de Spieler gebildet. (Hier ud a log im Folgede gilt a = 7 ε 2. Warum a gerade so gewählt ist, wird weiter ute erketlich.) Aschließed werde i Phase 2 die Komitees, die zu groß sid, elimiiert. Vo de übrige Komitees wird jeweils eie kleiere Kompositio (eie kleiere Teilmege des Komitees) gebildet ud sich aschließed auf eie dieser Kompositioe geeiigt. Mittels eies Leader-Electio-Protokolls wird i Phase 3 ei Aführer für die i Phase 2 ausgewählte Kompositio eies Komitees bestimmt. Dieser wirft schließlich eie Müze, desse Ergebis er a alle adere Spieler schickt. Im Folgede werde die drei Phase des Protokolls BA ε (mit ε > 0) detaillierter vorgestellt. Phase 1 Algorithmus 2 beschreibt die Arbeitsweise der erste Phase des hier vorgestellte BA-Protokolls. Wie bei Feiges Protokoll [9], wählt auch hier jeder Spieler i Schritt 1 zuächst eie zufällige Wert aus {1,..., a log } (Zeile 3). Für eie Wert C k {1,..., a log } bezeichet Komitee C k die Mege der Spieler P i, die i diesem Schritt B i = C k gewählt habe. Diese gewählte Wert verbreitet u jeder Spieler mittels des Protokolls Gradecast a jede adere Spieler (Zeile 5). D. h. jeder Spieler P j erhält vo jedem adere Spieler P i das Tupel (vj i, ci j ). (Die Werte vi j sid hierbei icht mit de Werte vj i i Schritt 2 des Protokolls Gradecast zu verwechsel.) Ei Tupel (vj i, ci j ) sagt dabei aus:

15 Byzatiische Eiigug im Full-Iformatio-Modell i O(log ) Rude 15 Spieler P j geht mit Überzeugug c i j {0, 1, 2} davo aus, dass der Spieler P i als Wert B i = vj i gewählt hat. Tabelle 5 stellt die i Schritt 1 am Ede der Ausführug der Protokolle Gradecast verschickte Nachrichte uter de Spieler aschaulich dar. Die i-te Zeile ethält dabei jeweils die Werte, die die Spieler (i de Spalte) währed der Ausführug vo Gradecast(B i ) erhalte habe. Für jede Wert C k, de ei Spieler P j als vj i währed der Ausführug vo Gradecast(B i ) erhält, berechet, Spieler P j i Schritt 2 die beide folgede Mege (Zeile 8 bis 13): Die Mege der Spieler, bei dee Spieler P j mit Überzeugug 2 davo ausgeht, dass sie zu Komitee C k gehöre (view j (C k )). Die Mege der Spieler, bei dee Spieler P j mit Überzeugug 1 oder 2 davo ausgeht, dass sie zu Komitee C k gehöre (view j (C k )). Zur Berechug dieser beide Mege betrachtet Spieler P j die Eiträge i der j-te Spalte i Tabelle 5. Dabei gilt für eie ehrliche Spieler P j ud ei Komitee C j : view j (C k ) view j (C k ). Nach Phase 1 hat also jeder Spieler P j für jedes Komitee C zwei Mege vo Spieler berechet, die P j (mit Überzeugug 1 oder 2) i Komitee C vermutet. Die Mege view j (C) wird im Folgede auch als (die vo Spieler P j berechete) Kompositio vo Komitee C bezeichet. Ma beachte dabei, dass für je zwei verschiedee ehrliche Spieler P j ud P j ud ei Komitee C k durchaus view j (C k ) view j (C k ) (ud auch view j (C k ) view j (C k )) gelte ka. Der Grud hierfür ist, dass ei uehrlicher Spieler verschiedee Werte a die adere Spieler schicke ka. Wie weiter ute och gezeigt wird, ka ei uehrlicher Spieler hierdurch icht zwei verschiedee ehrliche Spieler davo überzeuge, dass er sich i verschiedee Komitees befidet. P 1 P 2... P j... P P 1 (v 1 j, c 1 j) P 2 (v 2 j, c 2 j). P i (v i 1, c i 1) (v i 2, c i 2)... (v i j, c i j)... (v i, c i ). P (v j, c j ) Tabelle 5. Veraschaulichug zu Phase 1.. Bevor Phase 2 des hier vorgestellte BA-Protokolls beschriebe wird, beachte ma och folgede Defiitio:

16 16 Martia Hüllma Algorithm 2 ByzatieAgreemet Phase 1 1: Schritt 1: 2: for all Spieler P i do 3: Wähle B i [1,..., ] zufällig. a log 4: Schicke B i mittles Gradecast a alle adere Spieler P j. 5: (v i, c i ) Gradecast(B i) 6: ed for 7: Schritt 2: 8: for all Spieler P j do 9: for all C k S l=1 {vl j} do 10: view j(c k ) = {P i vj i = C k ad c i j = 2} 11: view j(c k ) = {P i vj i = C k ad c i j > 0} 12: ed for 13: ed for a log }. Defiitio 3 (akzeptiere, aehme). Sei j [] ud C k {1,..., Spieler P j akzeptiert eie Spieler P im Komitee C k, falls P view j (C k ) ist. P j immt eie Spieler P im Komitee C k a, falls P view j (C k ) ist. We ei Spieler P j eie Spieler P i eiem Komitee C k akzeptiert, so immt er ih auch im Komitee C k a. Eie Spieler i eiem Komitee akzeptiere, ka somit als eie Art Sicherheitsmechaismus betrachtet werde. Phase 2 Das Ziel vo Phase 2 ist es, dass die Spieler sich auf eie eizige kleie Teilmege eies Komitees eiige. Würde sich i Phase 1 alle Spieler auf die gleiche Kompositio jedes Komitees eiige, so köte die ehrliche Spieler uter diese Komitees eifach das Kleiste auswähle. Da i dem hier verwedete Modell allerdigs kei Broadcast-Kaal existiert, soder die Nachrichte mittels eies Graded-Broadcast-Protokolls verschickt wurde, ka es vorkomme, dass zwei Spieler eie uterschiedliche Auffassug davo habe, welche Spieler zur Kompositio eies Komitees C gehöre. Eie Möglichkeit de Spieler eie gemeisame Auffassug vo de Kompositioe der Komitees zu gebe, wäre ei BA-Protokoll über de Komitees auszuführe. Das Problem hierbei ist allerdigs, dass Komitees Θ() Spieler ethalte köe ud somit isgesamt kei BA-Protokoll mit ur O(log ) Rude kostruiert werde ka. Ei Ausweg aus dieser Situatio ist es, dass alle Spieler für jedes Komitee C etscheide, ob dieses zu groß ist ud somit disqualifiziert werde soll. Für eie derartige Etscheidug wird allerdigs wiederum ei BA-Protokoll über Θ() Spieler beötigt, was eie isgesamte Rudekomplexität vo O(log ) Rude umöglich mache würde. Aus dem Grud etscheide zuächst alle kleie Teilmege aller Spieler, ob sie das Komitee C (ierhalb dieser Teilmege) disqualifiziere wolle. Etscheidet eie solche Teilmege sich

17 Byzatiische Eiigug im Full-Iformatio-Modell i O(log ) Rude 17 dafür ei Komitee C icht zu disqualifiziere, so schlägt sie ebefalls och eie kleiere Kompositio für C vor. Abhägig vo de Etscheiduge aller dieser kleie Teilmege fällt da jeder Spieler die Etscheidug, ob er C disqualifiziert. Aschließed wählt jeder Spieler für jedes übrigbleibede ichtdisqualifizierte Komitee eie vo eier kleie Teilmege vorgeschlagee Kompositio für dieses Komitee. Für die edgültig ausgewählte Kompositio lässt sich da zeige, dass diese für alle ehrliche Spieler gleich ist. (Näheres hierzu weiter ute.) Die etsprechede Etscheiduge zur Disqualifikatio vo Komitees werde jeweils i zwei Arte Subprotokolle getroffe. Bevor diese geauer beschriebe werde, wird zuächst der Aufbau des Protokolls zu Phase 2 ud die Aufgabe der Subprotokolle beschriebe. Abbildug 3.3 stellt de Aufbau vo Phase 2 aschaulich dar. Das Hauptprotokoll zu Phase 2 besteht dabei aus drei Schritte. Im erste Schritt werde zuächst parallel die Subprotokolle P 1,..., P ausgeführt. Dabei ist ei a log Subprotokoll P i dafür zustädig zu etscheide, ob das Komitee C i disqualifiziert werde soll. Jedes dieser Subprotokolle P i besteht aus zwei Schritte, wobei im erste Schritt auch jeweils wieder parallel die Subprotokolle Pi 1,..., Pm i (mit m = ( ) 3 ) aufgerufe werde. Hierbei existiert für jede 4 a log 3 4 a log -elemetige Teilmege S j aller Spieler ei Protokoll P j i, i dem die Spieler der Teilmege S j etscheide solle, ob sie Komitee C i (ierhalb der Mege S j ) disqualifiziere. Phase 2 Schritt 1 Schritt 2 Schritt 3 P 1 Schritt 1 Schritt 2 P i... Schritt 1... Schritt 2 P c Schritt 1 Schritt 2 P P 1... P j i P 2 i... Pi m 1 1 P1 2 P j 1 P1 m i P... P j c 1 Pc 2 c... P m c Abb. 1. Struktur vo Phase 2 (c =, m = ` a log 3 a log ) 4 Im Folgede wird u zuächst die Arbeitsweise der Subprotokolle P j i (für

18 18 Martia Hüllma ei Komitee C i ud eie 3 4 a log -elemetige Teilmege S j {P 1, P 2,..., P }), aschließed die der Subprotokolle P i ud schließlich die des Hauptprotokolls zu Phase 2 erläutert. Algorithmus 3 defiiert die Arbeitsweise der Subprotokolle P j i. I Schritt 1 wird mittels eies determiistische BA-Protokolls (z. B. dem vo Chor ud Coa [7] vorgestellte Protokoll) ierhalb vo S j die Mege view Sj (C i ) berechet (Zeile 2). Dieses ist die Mege aller Spieler, die vo alle Spieler aus S j im Komitee C i akzeptiert wurde. Im Aschluss dara überprüft jeder eizele Spieler aus S j, ob die berechete Mege view Sj (C i ) zu groß ist ud disqualifiziert sie i diesem Fall für sich (d. h. setzt disq P,Sj (C i ) = 1, Zeile 7 bis 9). Hierbei beachte ma zwei Pukte: A dieser Stelle wurde das Komitee C i och icht komplett disqualifiziert, soder lediglich die Spieler P S j köe für sich die Etscheidug getroffe habe, C i zu disqualifiziere. Die Mege view Sj (C i ) sid icht zwiged für alle ehrliche Spieler aus S j gleich. Dieses ist erst da garatiert, we das zuvor ausgeführte BA- Protokoll erfolgreich verlaufe ist (was der Fall ist, we weiger als 1 3 aller Spieler, über dee das Protokoll ausgeführt wird, uehrlich sid). Verläuft das BA-Protokoll icht erfolgreich, so köe sich also auch isbesodere die Werte disq P,Sj (C i ) für die Spieler aus S j uterscheide. Im 2. Schritt wird u wieder ei determiistisches BA-Protokoll i S j ausgeführt, um die Mege comp P,Sj (C i ) für jede Spieler aus S j zu bereche (Zeile 8). Die Berechug dieser ist aalog zur Berechug der Mege view Sj (C i ). Die hier berechete Mege stellt u die Kompositio des Komitees C i dar, auf das sich die Spieler aus S j eiige (sofer C i icht disqualifiziert wird), welches also die Mege S j als Kompositio für C i vorschlägt. Im letzte Schritt des Subprotokolls P j i sedet u jeder ehrliche Spieler aus S j die zuvor berechete Werte a jede adere Spieler P k (Zeile 10 bis 13). Nu zur Arbeitsweise des Subprotokolls P i, welche durch Algorithmus 4 defiiert ist. Zuächst werde i Schritt 1 für alle 3 4a log -elemetige Teilmege S j vo Spieler die Subprotokoll P j i parallel ausgeführt. I diese habe die (ehrliche) Spieler der Teilmege jeweils Etscheiduge bzgl. der Disqualifikatio vo C i i S j getroffe ud eie Kompositio für C i vorgeschlage. Diese Iformatioe habe sie auch a alle adere Spieler gesedet. Nu müsse i Schritt 2 alle Spieler etscheide, wie sie mit de empfagee Nachrichte (der Spieler) der Mege S j umgehe, um daraus eie Etscheidug zu treffe, ob sie (für sich) das Komitee C i disqualifiziere. Bei dieser Etscheidug geht ei (ehrlicher) Spieler P k wie folgt vor: Hat eie 3 4a log - elemetige Teilmege S j vo Spieler (die P k im Komitee C i ageomme hat, d. h. S j view k (C i )) das Komitee C i bei der Durchführug das Subprotokoll P j i disqualifiziert, so disqualifiziert auch P k das Komitee C i für sich. Dabei hat eie Teilmege S j vo Spieler das Komitee C i disqualifiziert, we

19 Byzatiische Eiigug im Full-Iformatio-Modell i O(log ) Rude 19 midestes 1 2 a log Spieler aus S j im Subprotokoll P j i das Komitee C i i S j disqualifiziert (ud somit eie etsprechede Nachricht a alle adere Spieler geschickt) habe (Zeile 7 bis 9). Isgesamt arbeitet Phase 2 (Algorithmus 5) u uter Verwedug der gerade beschriebee Subprotokolle wie folgt: Zuächst werde für alle Komitees jeweils die Subprotokoll P 1,..., P parallel ausgeführt (Zeile 2). Hierach a log hat jeder Spieler zu jedem Komitee C i eie Etscheidug darüber getroffe, ob er das Komitee disqualifiziert. Aschließed speichert i Schritt 2 des Hauptprotokolls vo Phase 2 jeder Spieler P k für jedes Komitee ud jede 3 4a log -elemetige Teilmege S j view k (C i ), die C i icht disqualifiziert hat ud als Kompositio für C i die Mege D vorgeschlage hat, diese Mege i comp Pk,S j(c i) ab. Daraufhi wird i Schritt 2 des Hauptprotokolls vo Phase 2 für jede Spieler P k, jedes Komitee C i ud jede 3 4 a log -elemetige Teilmege S j view k (C i ) eie Kompositio für C i i comp Pk,S j (C i ) abgespeichert, auf die sich midestes 1 2 a log Spieler aus S j, die C i icht disqualifiziert habe, als Kompositio für C i geeiigt habe (Zeile 7). Falls jede solche Mege S j das Komitee C i disqualifiziert hat (oder keie eiheitliche Vorschlag für eie Kompositio vo C i hat), wird comp Pk,S j (C i ) = gesetzt (Zeile 9). I Schritt 3 wählt jeder Spieler P k als edgültige Kompositio vo fial_comp Pk (C i ) vo C i die größte der zuvor abgespeicherte Mege comp Pk,S j (C i ) (d. h. die größte der vo eier Teilmege S j vorgeschlagee Kompositio für C i, Zeile 15 bis 17). A dieser Stelle wird die größte Kompositio gewählt, um eie möglichst große Ateil vo ehrliche Spieler i der gewählte Kompositio zu garatiere. Zuletzt wählt u jeder Spieler P k die lexikographisch kleiste Kompositio fial_comp Pk (C i ) uter alle ichtdisqualifizierte Komitees (Zeile 18). Wie weiter ute i Lemma 2 gezeigt wird, sid die Mege fial_comp Pk (C i ) für alle ehrliche Spieler P k ud alle ichtdisqualifizierte Komitees gleich. Hierdurch wird garatiert, dass jeder ehrliche Spieler am Ede vo Phase 2 die gleiche edgültige Kompositio gewählt hat. Phase 3 I Phase 3 des BA-Protokolls wird ageomme, dass am Ede vo Phase 2 folgede Voraussetzuge gelte (welche i Abschitt 3.4 achgewiese werde): 1. Alle Spieler habe eie eiheitliche Meiug darüber, welche Komitees disqualifiziert wurde. 2. Je zwei ehrliche Spieler P j ud P j bereche für jedes icht disqualifizierte Komitee C die gleiche Mege fial_comp Pj (C). 3. Es wurde icht alle Komitees disqualifiziert. 4. Der Ateil der ehrliche Spieler i dem Komitee, auf das sich geeiigt wurde, ist größer als 2 3.

20 20 Martia Hüllma Algorithm 3 Byzatiische Eiigug Phase 2 Subprotocol P j i 1: Schritt 1: Führe ei determiistisches BA-Protokoll ierhalb vo S j aus, um zu bereche: 2: view Sj (C i) := T P k S j view k (C i) 3: for all Spieler P ( S j do 1 falls view Sj (C i) > a log 4: disq P,Sj (C i) = 0 falls view Sj (C i) a log 5: ed for 6: Schritt 2: 7: Führe ei determiistisches BA-Protokoll i S j aus, sodass am Ede jeder ehrliche Spieler P S j berechet: 8: comp P,Sj (C i) = T P k S j view k (C i) 9: Schritt 3: 10: for all ehrliche Spieler P S j do 11: for all Spieler P k do 12: P sede (S j, C i, disq P,Sj (C i), comp P,Sj (C i)) zu P k 13: ed for 14: ed for Algorithm 4 Byzatiische Eiigug Phase 2 Subprotokoll P i 1: Schritt 1: 2: for all S j {P 1,..., P }, S j = 3 a log do 4 3: Führe P j i aus 4: ed for 5: Schritt 2: 6: for all Spieler P k do «Pk erhält vo eier Mege S j S j view 7: if k (C i) mit S j 1 a log Nachrichte der Form (Sj, Ci, 1, ) 2 8: disq Pk (C i) = 1 9: ed if 10: ed for the Die Arbeitsweise vo Phase 3 wird i Algorithmus 6 beschriebe. Zuächst wird mittels eies Leader-Electio-Protokolls ei Aführer für das i Phase 2 bestimmte Komitee ausgewählt. Dieser wirft u eie Müze ud sedet das Ergebis des Wurfs a alle adere Spieler. Für das Leader-Electio-Protokoll ka z. B. das vo Feige [9] oder Russell ud Zuckerma [23] vorgestellte Protokoll verwedet werde. I diese wird zwar vo eiem Broadcast-Kaal ausgegage, welcher allerdigs mittels eies radomisierte BA-Protokolls implemetiert werde ka. Ei Beispiel für ei geeigetes radomisierte BA-Protokoll ist das vo Chor ud Coa [7] vorgestellte Protokoll, welches bei der hier verwedete Kompositio eies

21 Byzatiische Eiigug im Full-Iformatio-Modell i O(log ) Rude 21 Algorithm 5 Byzatiische Eiigug Phase 2 1: Schritt 1: 2: Führe alle Protokoll P 1,..., P parallel aus. a log 3: Schritt 2: 4: for all Spieler P k do 5: for all Komitee C i ud S j view k (C i) do Pk erhält vo eier Mege S j S j mit S 6: if j 1 a log «2 Nachrichte der Form (S j, C i, 0, D) 7: comp Pk,S j (C i) = D 8: else 9: comp Pk,S j (C i) = 10: ed if 11: ed for 12: ed for the 13: Schritt 3: 14: for all Spieler P k do 15: for all Komitees C i do 16: fial_comp Pk (C i) = arg max Sj { comppk,s j (C i) } 17: ed for 18: fial_comp Pk = lexikographisch kleiste Mege fial_compp k (Ci) uter alle icht disqualifizierte Komitees C i 19: ed for Komitees (die ja ur och O(log ) Spieler ethält) eie erwartete Rudekomplexität vo O( log log log ) Rude aufweist. Algorithm 6 Byzatiische Eiigug Phase 3(C) 1: leader LeaderElectio(C) 2: coi Ergebis eies Müzwurfs vo leader 3: for all Spieler P i do 4: leader sede coi a Spieler i 5: ed for 3.4 Korrektheit des vorgestellte Protokolls Zu Begi vo Phase 3 wurde ageomme, dass am Ede vo Phase 2 folgede Voraussetzuge gelte: 1. Alle Spieler habe eie eiheitliche Meiug darüber, welche Komitees disqualifiziert wurde. 2. Je zwei ehrliche Spieler P j ud P j bereche für jedes icht disqualifizierte Komitee C die gleiche Mege fial_comp Pj (C).

22 22 Martia Hüllma 3. Es wurde icht alle Komitees disqualifiziert. 4. Der Ateil der ehrliche Spieler i dem Komitee, auf das sich geeiigt wurde, ist größer als 2 3. Zum bessere Refereziere ud Lese werde die vier Voraussetzuge vo obe i Lemmata formuliert. Voraussetzug 1 ud 2 werde i Lemma 2, Voraussetzug 3 i Lemma 3 ud Voraussetzug 4 i Lemma 4 festgehalte. Lemma 2 (Eiigugs-Lemma). Am Ede vo Phase 2 gilt: 1. disq Pi (C) = 1 für eie ehrliche Spieler P i ud ei Komitee C disq Pj (C) = 1 für alle ehrliche Spieler P j 2. Für jedes Komitee C, das icht disqualifiziert wurde, gilt: fial_comp Pk (C) = fial_comp Pl (C) für alle ehrliche Spieler P k ud P l. Lemma 3. Am Ede vo Phase 2 existiert midestes ei Komitee, das icht disqualifiziert wurde. Lemma 4. Am Ede vo Phase 2 gilt: Höchstes 1 3 der Spieler der edgültige Kompositio, auf die sich die Spieler für das ausgewählte Komitee C i eiige (d. h. fial_comp Pk (C i ) für alle ehrliche Spieler P k ), ist uehrlich. Lasse sich diese Lemmata u zeige, so lässt sich auch folgedes Theorem, das die Korrektheit ud geforderte Laufzeit des agegebee BA-Protokolls garatiert, beweise: Theorem 1. Für jede Kostate ε > 0 existiert ei (explizites) Protokoll BA ε, das im sychroe Full-Iformatio-Netzwerk (mit o-adaptivem Geger) ierhalb vo O( log ε ) Rude eie byzatiische Eiigug erreicht, sofer weiger als ( ε) Spieler uehrlich sid. Bevor ei Beweis für Theorem 1 agegebe wird, werde erst Lemma 2, 3 ud 4 gezeigt. Hiervor müsse jedoch zuächst eiige Eigeschafte, die ach Phase 1 gelte (Lemma 5 ud 6), gezeigt werde. Lemma 5. Falls ei Spieler P view j (C) für ei Komitee C ud eie ehrliche Spieler P j ist, so ist P view k (C) für alle ehrliche Spieler P k. Beweis. Sei P i view j (C) für ei Komitee C ud eie ehrliche Spieler P j. Per Defiitio vo view j (C) gilt: vj i = C ud ci j = 2. Da Gradecast wie i Lemma 1 gezeigt ei Graded-Broadcast-Protokoll ist, gilt für jede ehrliche Spieler P k : c i k ci j 1, was ci k 1 impliziert. Somit gilt für jede ehrliche Spieler P k : P view k (C). Um vo eier gewisse Midestazahl vo ehrliche Spieler i eiem Komitee ausgehe zu köe, wird u gezeigt, dass jedes Komitee mit hoher Wahrscheilichkeit midestes 3 4a log ehrliche Spieler ethält. Lemma 6 formalisiert diese Behauptug. I dem Beweis zu diesem wird auch klar, warum a gerade als 7 ε gewählt wurde. 2