1 Interaktion von zwei Dummyvariablen. 2 Interaktion einer Dummyvariablen mit einer kardinalskalierten Variablen

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1 Modelle mit Interationsvariablen I Modelle mit Interationsvariablen II In der beim White-Test verwendeten Regressionsfuntion y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x β 4 x β 5 x 1 x 2, ist anders als bei den bisher näher betrachteten polynomialen oder (semi-)log-modellen der marginale Effet einer Änderung von x 1 auf y y x 1 = β 1 + 2β 3 x 1 + β 5 x 2 nicht nur von der betrachteten Stelle x 1 des 1. Regressors, sondern auch vom Wert x 2 des 2. Regressors abhängig! Ursächlich hierfür ist die Verwendung des Produts x 1 x 2 als unabhängige Variable. Man bezeichnet solche Produte als Interationsvariablen oder Interationsterme. Wir betrachten nun die folgenden drei Fälle: 1 Interation von zwei Dummyvariablen 2 Interation einer Dummyvariablen mit einer ardinalsalierten Variablen 3 Interation von zwei ardinalsalierten Variablen Erinnerung: Dummyvariablen (auch 0,1-Indiatorvariablen genannt, im Folgenden auch mit d statt x bezeichnet) sind Regressoren, die nur die Werte 0 und 1 annehmen. Der Wert 1 einer Dummyvariablen d i ennzeichnet bei einem betrachteten Datenpunt i in der Regel das Vorhandensein eines gewissen Charateristiums/einer gewissen Eigenschaft bzw. die Zugehörigeit zu einer gewissen Gruppe. Der Wert 1 eines Produts d i d li von zwei Dummyvariablen d und d l tritt also bei den Datenpunten i auf, bei denen beide Charateristia bzw. Gruppenzugehörigeiten gleichzeitig vorliegen. Öonometrie (SS 2014) Folie 325 Öonometrie (SS 2014) Folie 326 Interation von zwei Dummyvariablen I Interationsvariablen zu 2 Dummyvariablen sind also beispielsweise dann in ein Modell aufzunehmen, wenn der Effet der Zugehörigeit zu einer Gruppe nicht unabhängig vom Vorliegen eines weiteren Charateristiums ist. Beispiel: Betrachte das Modell y i = β 0 + β 1 d 1i + β 2 d 2i + u i, i {1,..., n}, z.b. zu einer Stichprobe von Monatseinommen (y i ) von 30-jährigen Frauen (d2i = 1) und Männern (d 2i = 0) mit aademischem Grad (d1i = 1) und ohne aademischen Grad (d 1i = 0). In dieser Spezifiation ist das Basiseinommen (Absolutglied) für Männer (β0) und Frauen (β 0 + β 2) unterschiedlich, aber der Effet eines abgeschlossenen Studiums für Männer und Frauen gleich (β1). Interation von zwei Dummyvariablen II Die Einführung einer zusätzlichen Interationsvariablen d 1i d 2i ist hier gleichbedeutend damit, dass für Männer und Frauen das Basiseinommen (Absolutglied) und der Effet des aademischen Grades unterschiedlich sein önnen: y i = y i = β 0 + β 1 d 1i + β 2 d 2i + β 3 d 1i d 2i + u i { β 0 + β 1 d 1i + u i, falls i männlich (β 0 + β 2 ) + (β 1 + β 3 )d 1i + u i, falls i weiblich In diesem Modell ann man mit (jeweils) einem t-test überprüfen, ob das Basiseinommen geschlechtsabhängig ist (H1 : β 2 0), der Effet des aademischen Grades geschlechtsabhängig ist (H1 : β 3 0). Mit einem F -Test (H 1 : (β 2, β 3 ) (0, 0) ) ann außerdem (gemeinsam) überprüft werden, ob das Geschlecht in dem Modell irgendeinen Einfluss auf das Monatseinommen hat. Öonometrie (SS 2014) Folie 327 Öonometrie (SS 2014) Folie 328

2 Interation einer ardinalsalierten mit einer Dummyvariablen I Eine Interationsvariable zu einer ardinalsalierten und einer Dummyvariablen ist dann in ein Modell aufzunehmen, wenn der Effet einer ardinalsalierten Variablen nicht unabhängig vom Vorliegen eines bestimmten Charateristiums bzw. der Zugehörigeit zu einer bestimmten Gruppe ist. Beispiel: Betrachte das Modell y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 d 2i + u i, i {1,..., n}, z.b. zu einer Stichprobe von Monatseinommen (y i ) von Männern mit (d2i = 1) und ohne (d 2i = 0) aademischen Grad mit einer Anzahl von x1i Jahren an Berufserfahrung. In dieser Spezifiation ist das Basiseinommen (Absolutglied) der Nichtaademier (β0) und der Aademier (β 0 + β 2) unterschiedlich, aber der Effet eines Jahres Berufserfahrung für Nichtaademier und Aademier gleich (β 1). Öonometrie (SS 2014) Folie 329 Interation einer ardinalsalierten mit einer Dummyvariablen II Die Einführung einer zusätzlichen Interationsvariablen x 1i d 2i sorgt hier dafür, dass für Nichtaademier und Aademier das Basiseinommen (Absolutglied) und der Effet der Berufserfahrung unterschiedlich sein önnen: y i = y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 d 2i + β 3 x 1i d 2i + u i { β 0 + β 1 x 1i + u i, falls i Nichtaademier (β 0 + β 2 ) + (β 1 + β 3 )x 1i + u i, falls i Aademier Auch in diesem Modell ann man mit (jeweils) einem t-test überprüfen, ob das Basiseinommen vom Vorhandensein eines aademischen Grads abhängt (H 1 : β 2 0), der Effet der Berufserfahrung für Nichtaademier und Aademier unterschiedlich ist (H 1 : β 3 0). Mit einem F -Test (H 1 : (β 2, β 3 ) (0, 0) ) ann außerdem wiederum (gemeinsam) überprüft werden, ob das Vorhandensein eines aademischen Grads in dem Modell irgendeinen Einfluss auf das Monatseinommen hat. Öonometrie (SS 2014) Folie 330 Interation von zwei ardinalsalierten Variablen I Eine Interationsvariable zu zwei ardinalsalierten Variablen ist dann in ein Modell aufzunehmen, wenn der Effet einer ardinalsalierten Variablen nicht unabhängig vom Wert einer anderen ardinalsalierten Variablen ist. Beispiel: Betrachte das Modell y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + u i, i {1,..., n}, z.b. zu einer Stichprobe von Monatseinommen (y i ) von Männern mit einer Anzahl von x1i Jahren an Berufserfahrung und einer Ausbildungszeit von x2i Jahren. In dieser Spezifiation ist der Effet eines (zusätzlichen) Jahres an Berufserfahrung unabhängig von der Ausbildungszeit gleich β 1 und der Effet eines (zusätzlichen) Jahres an Ausbildungszeit unabhängig von der Berufserfahrung gleich β 2. Öonometrie (SS 2014) Folie 331 Interation von zwei ardinalsalierten Variablen II Die Einführung einer zusätzlichen Interationsvariablen x 1i x 2i sorgt hier dafür, dass der Effet eines (zusätzlichen) Jahres an Berufserfahrung bzw. Ausbildungszeit jeweils abhängig vom Niveau der anderen Variablen sein ann. Für die Regressionsfuntion zum Modellansatz gilt nämlich: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 1 x 2 y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + β 3 x 1i x 2i + u i, y x 1 = β 1 + β 3 x 2 sowie i {1,..., n}, y x 2 = β 2 + β 3 x 1 In diesem Modell ann mit einem t-test überprüft werden, ob tatsächlich eine signifiante Interation vorliegt und der Effet eines (zusätzlichen) Jahres an Berufserfahrung bzw. Ausbildungszeit jeweils abhängig vom Niveau der anderen Variablen ist. Öonometrie (SS 2014) Folie 332

3 Beispiel: Modelle mit Interationen I Im Lohnhöhenbeispiel wurde bisher als Modell Lohnhöhe i = β 0 + β 1 Ausbildung i + β 2 Alter i + u i angenommen, mit dem folgenden Schätzergebnis (unter Annahme homosedastischer Störgrößen): lm(formula = Lohnhöhe ~ Ausbildung + Alter) (Intercept) e-06 *** Ausbildung ** Alter * Residual standard error: on 17 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 17 DF, p-value: Öonometrie (SS 2014) Folie 333 Beispiel: Modelle mit Interationen II Die Schätzung bei Hinzunahme einer Interationsvariablen für die Regressoren Ausbildung und Alter ergibt (unter Annahme homosedatischer Störgrößen): lm(formula = Lohnhöhe ~ Ausbildung + Alter + I(Ausbildung * Alter)) (Intercept) * Ausbildung Alter * I(Ausbildung * Alter) Residual standard error: on 16 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 3 and 16 DF, p-value: Öonometrie (SS 2014) Folie 334 Beispiel: Modelle mit Interationen III Auch die Verwendung robuster Standardfehler ( V hc1 ( β)) ändert die Schätzergebnisse nicht wesentlich: t test of coefficients: (Intercept) ** Ausbildung Alter * I(Ausbildung * Alter) Die Berechnung der Varianzinflationsfatoren offenbart das entstandene Multiollinearitätsproblem: > library(car) > vif(lm(lohnhöhe~ausbildung+alter+i(ausbildung*alter))) Ausbildung Alter I(Ausbildung * Alter) Beispiel: Modelle mit Interationen IV Betrachte nun die folgende Ergänzung des Datensatzes um die Dummyvariablen Weiblich (mit Wert 1 für weibliche und 0 für männliche Betriebsangehörige) sowie Stamm (mit Wert 1 für Beschäftigte mit über 25 Jahren Betriebszugehörigeit, 0 sonst) zum Lohnhöhenbeispiel: i Lohnhöhe y i Ausbildung x 1i Alter x 2i Weiblich d 3i Stamm d 4i i Lohnhöhe y i Ausbildung x 1i Alter x 2i Weiblich d 3i Stamm d 4i Öonometrie (SS 2014) Folie 335 Öonometrie (SS 2014) Folie 336

4 Beispiel: Modelle mit Interationen V Eine erste Modellschätzung mit der zusätzlichen Dummyvariablen Stamm ergibt: lm(formula = Lohnhöhe ~ Ausbildung + Alter + Stamm) (Intercept) e-05 *** Ausbildung * Alter Stamm Residual standard error: on 16 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 3 and 16 DF, p-value: Beispiel: Modelle mit Interationen VI Eine Modellschätzung mit der zusätzlichen Dummyvariablen Weiblich ergibt: lm(formula = Lohnhöhe ~ Ausbildung + Alter + Weiblich) (Intercept) e-07 *** Ausbildung ** Alter ** Weiblich ** Residual standard error: on 16 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 3 and 16 DF, p-value: 5.128e-06 Öonometrie (SS 2014) Folie 337 Öonometrie (SS 2014) Folie 338 Beispiel: Modelle mit Interationen VII Eine Modellschätzung mit den zusätzlichen Dummyvariablen Stamm und Weiblich ergibt: lm(formula = Lohnhöhe ~ Ausbildung + Alter + Weiblich + Stamm) (Intercept) e-06 *** Ausbildung * Alter * Weiblich ** Stamm Residual standard error: 184 on 15 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: 0.76 F-statistic: on 4 and 15 DF, p-value: 2.7e-05 Beispiel: Modelle mit Interationen VIII Variante I: Hinzufügen der Interation von Weiblich und Stamm: lm(formula = Lohnhöhe ~ Ausbildung + Alter + Weiblich + Stamm + I(Weiblich * Stamm)) (Intercept) e-07 *** Ausbildung *** Alter ** Weiblich * Stamm I(Weiblich * Stamm) ** Residual standard error: on 14 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 25.7 on 5 and 14 DF, p-value: 1.375e-06 Öonometrie (SS 2014) Folie 339 Öonometrie (SS 2014) Folie 340

5 Beispiel: Modelle mit Interationen IX Beispiel: Modelle mit Interationen X Breusch-Pagan-Test (nach Koener) im ursprünglichen Modell: studentized Breusch-Pagan test data: lm(lohnhöhe ~ Ausbildung + Alter) BP = , df = 2, p-value = Breusch-Pagan-Test (nach Koener) im Modell mit Dummyvariablen: studentized Breusch-Pagan test data: lm(lohnhöhe ~ Ausbildung + Alter + Weiblich + Stamm) BP = , df = 4, p-value = Breusch-Pagan-Test (nach Koener) im Modell mit Dummyvariablen und Interationsterm: studentized Breusch-Pagan test data: lm(lohnhöhe ~ Ausbildung + Alter + Weiblich + Stamm + I(Weiblich * Stamm)) BP = , df = 5, p-value = Variante II: Hinzufügen der Interation von Weiblich und Ausbildung: lm(formula = Lohnhöhe ~ Ausbildung + Alter + Weiblich + Stamm + I(Weiblich * Ausbildung)) (Intercept) e-07 *** Ausbildung *** Alter ** Weiblich Stamm I(Weiblich * Ausbildung) ** Residual standard error: on 14 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 5 and 14 DF, p-value: 4.073e-06 Öonometrie (SS 2014) Folie 341 Öonometrie (SS 2014) Folie 342 Beispiel: Modelle mit Interationen XI Variante III: Hinzufügen der Interation von Weiblich und Ausbildung sowie von Weiblich und Alter : lm(formula = Lohnhöhe ~ Ausbildung + Alter + Weiblich + Stamm + I(Weiblich * Ausbildung) + I(Weiblich * Alter)) (Intercept) e-05 *** Ausbildung ** Alter ** Weiblich Stamm I(Weiblich * Ausbildung) I(Weiblich * Alter) Beispiel: Modelle mit Interationen XII Die Berechnung der Varianzinflationsfatoren offenbart erneut ein Multiollinearitätsproblem: > vif(lm(lohnhöhe~ausbildung+alter+weiblich+stamm+ + I(Weiblich*Ausbildung)+I(Weiblich*Alter))) Ausbildung Alter Weiblich Stamm I(Weiblich * Ausbildung) I(Weiblich * Alter) Die Hinzunahme von Interationstermen (und anderen in den Regressoren nichtlinearen Variablen) lässt insgesamt eine sehr flexible Modellbildung zu. Die Schätzungenauigeiten (z.b. Standardfehler) werden aber (insbesondere wie im Beispiel bei Schätzung auf Basis leiner Datensätze) mit zunehmender Variablenanzahl tendenziell immer größer! Residual standard error: on 13 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.891, Adjusted R-squared: F-statistic: on 6 and 13 DF, p-value: 1.448e-05 Öonometrie (SS 2014) Folie 343 Öonometrie (SS 2014) Folie 344

6 Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) 5 Nichtlineare Regressionsfuntionen Nichtlinearität in den Regressoren Nichtlinearität in einer Variablen Modelle mit Interationen Struturbruchmodelle Öonometrie (SS 2014) Folie 345 Struturbruchmodelle I Ein Spezialfall von Modellen mit Dummyvariablen insbesondere auch in Interationstermen sind sogenannte Struturbruchmodelle. Als Struturbruch wird eine (abrupte) Änderung der Parameterstrutur (im Ganzen oder in Teilen) bezeichnet. Struturbruchmodelle erlauben diese Änderung der Parameterstrutur im Rahmen des formulierten Modells. Die Änderung eines oder mehrerer Regressionsparameter ann dabei zum Beispiel beim Wechsel zwischen verschiedenen Gruppen des Datensatzes oder insbesondere bei Zeitreihendaten beim Wechsel zwischen verschiedenen Zeiträumen auftreten. Wird die mögliche Änderung der Parameter nicht in einem entsprechenden Struturbruchmodell zugelassen, sondern stattdessen von onstanten Parametern ausgegangen, handelt es sich im Fall eines tatsächlich vorliegenden Struturbruchs um eine Annahmeverletzung, welche die Schätzergebnisse (des dadurch fehlspezifizierten Modells) oft unbrauchbar macht. Öonometrie (SS 2014) Folie 346 Struturbruchmodelle II Zur Formulierung eines einfachen Struturbruchmodells mit zwei Phasen (1) und (2) oder Gruppen (1) und (2) seien die Indizes {1,..., n} der n Datenpunte gemäß der beiden Phasen/Gruppen durch die Mengen partitioniert. I (1) {1,..., n} und I (2) = {1,..., n}\i (1) Die möglichen Parameterunterschiede in den beiden Phasen/Gruppen önnen offensichtlich durch eine getrennte Schätzung der beiden Regressionsmodelle und y i = β (1) 0 + β (1) 1 x 1i β (1) K x Ki + u i, i I (1), y i = β (2) 0 + β (2) 1 x 1i β (2) K x Ki + u i, i I (2), berücsichtigt werden. (Die Rangbedingung an die Regressormatrix muss für beide Modelle erfüllt bleiben, insbesondere folgen hieraus Mindestgrößen von I (1) und I (2)!) Struturbruchmodelle III Mit einer die Gruppen-/Phasenzugehörigeit beschreibenden Dummyvariablen { 0 falls i I (1) d i := 1 falls i I (2) lassen sich die beiden Einzelschätzungen alternativ jedoch auch ein in einem (größeren) Struturbruchmodell der Gestalt y i = β (1) 0 +δ 0d i +β (1) 1 x 1i +δ 1 d i x 1i +...+β (1) K x Ki +δ K d i x Ki +u i, i {1,..., n}, mit 2K + 2 Regressionsparametern subsummieren, wobei zwischen den Parametern dann die Beziehung δ = β (2) β (1) bzw. β (2) = β (1) + δ für {0,..., K} gilt. Öonometrie (SS 2014) Folie 347 Öonometrie (SS 2014) Folie 348

7 Struturbruchmodelle IV Struturbruchmodelle V Aus den Ergebnissen einer OLS-/KQ-Schätzung des Struturbruchmodells lassen sich dann mit t-tests bzw. F -Tests Rücschlüsse auf das (tatsächliche) Vorliegen von Parameterunterschieden ziehen. Relevant sind hierbei insbesondere t-tests auf Signifianz einzelner Parameter δ, {0,..., K}, also H 1 : δ 0, sowie F -Tests auf Signifianz von mindestens einem der Parameter δ0, δ 1,..., δ K, also H 1 : δ 0 für mind. ein {0,..., K}, denn wegen der bereits sizzierten Parameterzusammenhänge gilt δ = 0 β (1) = β (2) für alle {0,..., K}. Je nachdem, ob von homosedastischen oder heterosedastischen Störgrößen ausgegangen werden soll, sind die entsprechenden Darstellungen der jeweiligen Tests zu verwenden. Für die Durchführung des F -Tests auf Signifianz von mindestens einem der Parameter δ 0, δ 1,..., δ K besteht bei Annahme homosedastischer Störgrößen die Möglicheit, das ursprüngliche Modell y i = β 0 + β 1 x 1i β K x Ki + u i ohne die Struturbruchomponente einmal für den Gesamtdatensatz (i {1,..., n}) als restringiertes Modell sowie zusätzlich jeweils einmal für die Phasen/Gruppen (i I(1) bzw. i I (2) ) (als insgesamt unrestringiertes Modell) zu schätzen und die (Gesamt-)Summen der Residuenquadrate in der entsprechenden Darstellung der F -Statisti aus Folie 236 einzusetzen. (Beispiel: Übungsblatt) Zu beachten ist dabei, dass die übrigen Ergebnisse dieser Hilfsregressionen nur teilweise sinnvoll zu interpretieren sind! Öonometrie (SS 2014) Folie 349 Öonometrie (SS 2014) Folie 350 Struturbruchmodelle VI Beispiel: Struturbruchmodell I Struturbruchmodelle sind auch für omplexere Situation onstruierbar, insbesondere wenn mehr als zwei Gruppen/Phasen betrachtet werden sollen. Dazu ist dann eine allgemeinere Partitionierung der Beobachtungen {1,..., n} in M Teilmengen I (1),..., I (M) mit den Eigenschaften M I (j) = {1,..., n} und I (j) I (l) = für j l j=1 durchzuführen. Während wir Struturbruchmodelle als Spezialfall von Modellen mit Dummyvariablen betrachten, werden (in der Literatur) gelegentlich auch Modelle mit Dummyvariablen als spezielle Struturbruchmodelle aufgefasst. Für ein Modell, welches im Lohnhöhenbeispiel unterschiedliche Parameter für männliche und weibliche Betriebsangehörige zulässt, erhält man: lm(formula = Lohnhöhe ~ Weiblich + Ausbildung + I(Weiblich * Ausbildung) + Alter + I(Weiblich * Alter)) (Intercept) e-06 *** Weiblich Ausbildung ** I(Weiblich * Ausbildung) Alter *** I(Weiblich * Alter) Residual standard error: on 14 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 5 and 14 DF, p-value: 4.056e-06 Öonometrie (SS 2014) Folie 351 Öonometrie (SS 2014) Folie 352

8 Beispiel: Struturbruchmodell II Eine Schätzung des Struturbruchmodells unter Annahme heterosedastischer Störgrößen (und Verwendung von V hc1 ( β)) liefert: t test of coefficients: (Intercept) e-06 *** Weiblich Ausbildung ** I(Weiblich * Ausbildung) * Alter *** I(Weiblich * Alter) Zum Niveau α = 0.05 ist nun wenigstens der Koeffizient zur Interation von Weiblich mit Ausbildung, zum Niveau α = 0.10 darüberhinaus der zur Interation von Weiblich mit Alter signifiant von Null verschieden. Beispiel: Struturbruchmodell III Obwohl unter Annahme homosedatischer Störgrößen ein einziger der Struturbruchparameter δ signifiant (α = 0.05) von Null verschieden ist, erhält man zum F -Test für die (gemeinsame) Nullhypothese H 0 : δ 0 = δ 1 = δ 2 = 0 das Ergebnis (Befehl linearhypothesis im R-Paet car): Linear hypothesis test Hypothesis: Weiblich = 0 I(Weiblich * Ausbildung) = 0 I(Weiblich * Alter) = 0 Model 1: restricted model Model 2: Lohnhöhe ~ Weiblich + Ausbildung + I(Weiblich * Ausbildung) + Alter + I(Weiblich * Alter) Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) *** Öonometrie (SS 2014) Folie 353 Öonometrie (SS 2014) Folie 354 Beispiel: Struturbruchmodell IV Eine Durchführung des F -Tests unter Annahme heterosedastischer Störgrößen (bei Verwendung von V hc1 ( β)) liefert ein ähnliches Resultat: Linear hypothesis test Hypothesis: Weiblich = 0 I(Weiblich * Ausbildung) = 0 I(Weiblich * Alter) = 0 Model 1: restricted model Model 2: Lohnhöhe ~ Weiblich + Ausbildung + I(Weiblich * Ausbildung) + Alter + I(Weiblich * Alter) Note: Coefficient covariance matrix supplied. Res.Df Df F Pr(>F) *** Beispiel: Struturbruchmodell V Dass die einzelnen t-tests die jeweilige Nullhypothese nicht ablehnen önnen, scheint zumindest teilweise durch ein Multiollinearitätsproblem im Struturbruchmodell begründet zu sein, für die Varianz-Inflations-Fatoren erhält man: Weiblich Ausbildung I(Weiblich * Ausbildung) Alter I(Weiblich * Alter) Nicht uninteressant ist das Resultat des Breusch-Pagan-Tests (nach Koener) im Struturbruchmodell, bei dem die Regressoren des Struturbruchmodells auch für die Hilfsregression verwendet werden: studentized Breusch-Pagan test data: fit BP = , df = 5, p-value = Die Evidenz für heterosedatische Störgrößen ist also im Struturbruchmodell erheblich schwächer als im urspünglichen Modell. Öonometrie (SS 2014) Folie 355 Öonometrie (SS 2014) Folie 356

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