Stochastische Modelle

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1 Klausur (Teilprüfung) zur Vorlesung Stochastische Modelle (WS04/05 Februar 2005, Dauer 90 Minuten) 1. Es sollen für eine Zufallsgröße X mit der Dichte Zufallszahlen generiert werden. (a) Zeigen Sie, dass F X (x) f X (x) e 2 x 1 2 e2x, falls x < e 2x, falls x 0 die Verteilungsfunktion definiert und skizzieren Sie F X (x)! (b) Benutzen Sie die Inversionsmethode, um aus einer Folge U 1, U 2,... auf [0, 1] gleichverteilter Zufallszahlen neue Zufallzahlen X 1, X 2,... zu gewinnen, die der Verteilung mit der obigen Dichte f X (x) genügen. (c) Geben Sie entsprechend Ihrer Transformationsvorschrift für die Realisierungen u 1 0, 45384, u 2 0, 7897 bzw. u 3 0, 5000 die zugehörigen Realisierungen x 1, x 2 bzw. x 3 an! Lösung: Schwerpunkt ist die Einbeziehung der Eigenschaften der Verteilung und insbesondere die Definitions- und Wertebereiche der Dichte- und Verteilungsfunktion. (a) Der Beweis muss über den Nachweis der Gültigkeit von f X (x) F X (x) erfolgen: 2 1 F X(x) 2 e2x e 2x, falls x < 0 0 ( 2) 1 2 e 2x e 2x, falls x 0 e 2 x f X (x) Die Skizze der Verteilungsfunktion muss die Symmetrie der Dichte zur Symmetrieachse Ordinate wiederspiegeln. Der Punkt (0; 1 2 ) muss geschnitten werden. Er ist ein Wendepunkt; bis zur Ordinate wächst der Anstieg, danach fällt er wieder. Die x-achse und die Parallele durch (0; 1) sind als Asymptoten zu nutzen. Die Verteilungsfunktion ist monoton wachsend! (b) Die Inversionsmethode geht von der Verteilungsfunktion aus; der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist zu unterteilen: 1 2ln(2u), falls 0 < u < 0, 5 x F 1 X (u) 1 2ln(2 2u), falls 0, 5 u < 1 Diese Vorschrift weist jeder Realisierung u n einen auf [0; 1] gleichverteilten Größe U eine Realisierung x n der Zufallsgröße X zu. 1

2 (c) Die Werte können an der Skizze überprüft werden! x 1 FX 1 1) FX 1 (0, 45384) 0, x 2 FX 1 2) FX 1 (0, 7897) 0, 433 x 3 FX 1 3) FX 1 (0, 5) 0 2. Zur Dimensionierung einer Telefonanlage wird der Strom der eingehenden Anrufe beobachtet. Eine Statistik der Anzahlen der Anrufe pro Minute ergab einen Mittelwert von 120. (a) Begründen Sie, warum die Poissonverteilung für die Anzahl der Anrufe im jeweiligen betrachteten Zeitraum das zutreffende Zufallsmodell ist! (b) Bestimmen Sie die erwartete mittlere Zahl der Anrufe in einer Stunde. (c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mehr als 2 Anrufe in einer Sekunde beobachtet? Lösung: Die Wahl einer vernünfigen Zeiteinheit ist wichtig, wobei Sekunden sicher naheliegend ist. (a) Die Überlagerung vieler, aber seltener Anrufe vom gleichen Anschluss führen zu den charakteristischen Merkmalen eines Poissonschen Stromes: Die mittleren Anzahlen der Anrufe sind proportional der Länge der betrachteten Zeitintervalle und die Anzahlen in disjunkten Zeitintervallen sind unabhängig. Damit ist die Poissonverteilung das einfachste und auch zutreffende Modell! (b) Pro Sekunde kommen im Mittel 2 Anrufe (λ 2). Für einen Zeitintervall von 2 Stunden ergeben sich somit im Mittel Anrufe. (c) Für die Anzahl N, die der Poissonverteilung mit dem Parameter λ 2 gehorcht, ergibt sich: P (N > 2) 1 P (N 2) 2 λ λk 1 e k! k0 1 e 2 ( ) 1 0, , 3233 Von den Aufgaben 3 und 4 ist eine auszuwählen und zu bearbeiten. 3. In einem Maschinenbaubetrieb soll ein numerisches Bearbeitungszentrum modelliert werden. Der Übergang von der Serienfertigung zur flexiblen Kundenauftragsbearbeitung erfordert eine Zufallsmodellierung. Ein erster Ansatz soll mittels Markowscher Ketten gemacht werden: Die Bearbeitung der Aufträge erfolgt immer in zwei festen zeitlichen Schritten. Die anfallenden Aufträge gehören zu zwei Klassen, die damit zusammenhängen, welche Werkzeuge und Spannvorrichtungen benötigt werden. Wechselt die Klasse, ist ein Zusatzschritt zum Wechseln der Vorrichtungen und Werkzeuge zu beachten. Die Dauer aller Schritte ist gleich und werde hier als Zeiteinheit verwendet. Eine Statistik der Aufträge ermittelte Zuordnungsanteile von 40% und 60%. Man modelliere den Fall, dass sich die Klassen des jeweils nächsten Auftrages entsprechend diesen Anteilen zufällig ergeben. 2

3 (a) Geben Sie die Zustände (mit Beschreibung der zugeordneten Informationen zu Auftragsklasse und Schritt) und den Übergangsgraphen der Markowschen Kette an! (b) Berechnen Sie die stationären Zustandswahrscheinlichkeiten! (c) Wie hoch ist die durchschnittliche Auslastung des Bearbeitungszentrums, wenn die Wechselschritte als Leerzeit gewertet werden? (d) Geben Sie ausgehend von den bereits berechneten stationären Wahrscheinlichkeiten auch die durchschnittliche Auslastung an, wenn die normale Bearbeitung 5 Zeitschritte statt 2 Zeitschritte erfordert! Lösung: Ansatzpunkt sind die Überlegungen, was kann man bei einem Zeitschritt im Bearbeitungszentrum beobachten. Ein Zeitschritt ist gleichzeitig die Zeiteinheit für die Auslastungsbetrachtungen! (a) Zur Zustandsdifferenzierung muss die Information zur Auftragsklasse und zur Art des Bearbeitungsschrittes herangezogen werden. Es sind 2 mal 3, also 6 Zustände notwendig, für jede Auftragsklasse i die Zustände Wechseln (j 1), 1. Bearbeitungsschritt (j 2) und 2. Bearbeitungsschritt (j 3). Werden nur die Informationen Wechseln und Bearbeiten, also wird nur mit 4 Zuständen gearbeitet, ist bei der anschließenden Auslastungsbetrachtung die unterschiedliche Zustandsdauer zu beachten! Nach Beendigung der jeweiligen 2. Bearbeitungsschritte erfolgt entsprechend der Wahl einer neuen Auftragsklasse eine Verzweigung zum Zustand des 1. Bearbeitungsschrittes der gleichen Klasse zum Wechsel(Einrichtungsschritt)-Zustand der anderen Klasse. Die Zuordnungsanteile werden entsprechend jeweils als Übergangswahrscheinlichkeiten verwendet, z.b. vom Zustand (i,j)(1,3) in den Zustand (2,1) mit p (1,3)(2,1) 0, 6. Analog wäre p (1,3)(1,2) 0, 4 bzw. p (2,3)(2,2) 0, 6 und p (2,3)(1,1) 0, 4. Die anderen Übergänge bedeuten keinen Klassenwechsel, es ist also p (1,1)(1,2) p (1,2)(1,3) p (2,1)(2,2) p (2,2)(2,3) 1. Für weitere Übergänge sind die Wahrscheinlichkeiten Null und somit hierfür keine gerichteten und bewerteten Kanten in den Markow-Übergangsgraphen zu zeichnen! (b) Es ist das folgende lineare Gleichungssystem zu lösen: P (1,1) 0, 4P (2,3) P (1,2) 0, 4P (1,3) + P (1,1) P (1,3) P (1,2) P (2,1) 0, 6P (1,3) P (2,2) 0, 6P (2,3) + P (2,1) P (2,3) P (2,2) sowie der Normierungsbedingung Die Lösung lautet: i1,2 j1,2,3 P (i,j) 1 P (1,1) P (2,1) 3 0, 0968 P (1,2) P (1,3) 5 0, 1613 P (2,2) P (2,3) 15 0,

4 (c) Für die Auslastung wird eine Zufallsgröße Y mit der Verteilung P (Y 0) P (1,1) + P (2,1) 6 0, 1935 P (Y 1) P (1,2) + P (1,3) + P (2,2) + P (2,3) 25 0, 8065 verwendet. Hier entspricht EY P (Y 1) dem Zeitanteil, dass das Bearbeitungszentrum Bearbeitungsschritte durchführt, also der Auslastung. Bemerkung: Wenn mit der Markowschen Kette mit nur 4 Zuständen gearbeitet wird, ist eine Bewertung nicht so einfach, weil zunächst der Anteil der Bearbeitungszeit an der Gesamtzeit berechnet werden muss: (Zeitanteil in Bearbeitung) 2(P (1,2) + P (2,2) ) (P (1,1) + P (2,1) ) + 2(P (1,2) + P (2,2) ) (d) Zur Berechnung der neuen Auslastung könnte man eine neue Markowsche Kette mit analogen 12 Zuständen oder die Idee der obigen Bemerkung verwenden. Die Zeitdauer der Bearbeitung verlängert sich um den Faktor 2/5: (Zeitanteil in Bearbeitung) 2/5(P (1,2) + P (1,3) ) + P (2,2) + P (2,3) ) (P (1,1) + P (2,1) ) + 2/5(P (1,2) + P (1,3) ) + P (2,2) + P (2,3) ) 6 5/ / , Zur Kapazitätsplanung einer Verteilereinrichtung wird eine Voreinschätzung mittels einfacher stochastischer Modelle erwartet. Die folgenden Hauptkenngrößen wurden bereits ermittelt: Mittlere Anzahl ankommender Teile pro Stunde: 60 Mittlere Kapazität einer Verteilerlinie pro Stunde: 30 Teile Es sind zwar ausreichend Zwischenlagermöglichkeiten vorhanden, aber die Zwischenlagerung eingehender Aufträge verursacht doch erhebliche Zusatzkosten. Deshalb werden zwei Randbedingungen gesetzt: Nur maximal durchschnittlich 25% der Aufträge sollen zwischengelagert werden. Die Zwischenlagerzeit soll im Durchschnitt nicht länger als 1 Minute dauern. (a) Sie sollen drei Bedienungsmodelle parametrisieren, wobei die Anzahl der Verteilungslinien noch nicht festgelegt ist: Fall 1: Die Teile kommen in exponentialverteilten Abständen; die Linien haben eine exponentialverteilte Bedienungszeit. Fall 2: Die Teile kommen in festen Abständen; die Linien haben eine exponentialverteilte Bedienungszeit. Fall 3: Die Teile kommen in exponentialverteilten Abständen; die Linien haben eine feste Bedienungszeit. 4

5 Notieren Sie die Kendall-Symboliken der Modelle und geben Sie die Werte der Ankunfts- und Bedienungszeitparameter an. (b) Ermitteln Sie eine möglichst kleine Verteilerlinienanzahl, bei der alle drei Modellfälle die Randbedingungen erfüllen. Hinweis: Benutzen Sie die in der Vorlesung gegebenen Tabellen für die Bedienungssysteme bzw. fordern Sie diese von der Klausuraufsicht an. Lösung: Es werden die mittleren Pausenzeiten EA m A λ 1 1 min bzw. die mittlere Bedienungszeit EB m B µ 1 2 min (Einheit Minuten sinnvoll) benötigt. Damit wird der Parameter ρ λ/µ 2. Grundsätzlich ist die Existenzbedingung für die stationären Zustandswahrscheinlichkeiten ρ < s (s Anzahl der Bediener) zu erfüllen, also s 3. (a) Fall 1: M/M/s/, Parameter: λ 1/min und µ 0, 5/min Fall 2: D/M/s/, Parameter: feste Pausenzeit 1 min und µ 0, 5/min Fall 1: M/D/s/, Parameter: λ 1/min und feste Bedienungszeit B 2 min (b) Es gilt die zwei Ranbedingungen zu beachten: Randbedingung 1: Wartewahrscheinlichkeit p W 0, 25 Randbedingung 2: Mittlere stationäre Wartezeit EW m W 1min Zunächst stellt man fest, dass es in den Tabellen und zwischen den Tabellen Monotonieeigenschaften bezüglich der interessierenden Größen gibt. Zur Untersuchung ist die Tabelle des worst case (schlechteste Erfüllung der Randbedingungen in Abhängigkeit von Anzahl s und ρ/s) zu erkennen, nämlich die Tabelle für den Fall 1 (M/M/s/ ). Es wird außerdem der Vergleichswert m W /m B 0, 5 aus der Forderung der Randbedingung 2 benutzt. Für s 3 werden die Randbedingungen noch nicht erfüllt (p W kritisch), bei s 4 ist ρ/s 0, 5. Die Tabellenwerte für p W 0, 174 und m W /m B 0, 087 erfüllen die Randbedingungen. Deshalb ist s 4 die kleinste mögliche Verteilerlinienanzahl! 5

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