Fakultät für Physik der LMU

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1 Fakultät für Physik der LMU Nachholklausur zur Vorlesung E1: Mechanik für Studenten der Physik für das Lehramt an Gymnasien und im Nebenfach (6 ECTS) Wintersemester 2012/13 Prof. Dr. Joachim O. Rädler Name: Vorname: Matrikelnummer: Übungsgruppe: Studiengang: Fachsemester: Die erreichte Punktzahl soll mit Matrikelnummer im Internet veröffentlicht werden Bitte beachten Sie folgende Informationen: Die Bearbeitungszeit beträgt 180 Minuten Bitte nicht mit Bleistift oder Rotstift schreiben Bitte jedes abgegebene Blatt mit Namen und Matrikelnummer beschriften Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner (nicht graphisch programmierbar) Erreichte Punktzahl (von 100) Bonus Σ

2 Aufgabe 1: Affentheater (16 Punkte) Ein Jäger zielt aus einer Entfernung d = 200m auf einen Affen, der an einem Ast hängt. Sein Schwerpunkt befindet sich h = 30m über dem Boden. In dem Moment, in dem der Jäger schießt, lässt der Affe den Ast los. Das Geschoss des Jägers bewege sich mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 324 km. Vernachlässigen Sie die Größe des Affen. h a) Bestimmen Sie die Trajektorie r(t) = (x(t), y(t)) des Geschosses in Abhängigkeit von den Parametern α, d und v 0. (5P) b) Bestimmen Sie die Bahnkurve y(x) des Geschosses. (5P) c) An welchem Punkt des gezeichneten Koordinatensystems wird der Affe getroffen? (6P) 1

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4 Aufgabe 2: Volltreffer (16 Punkte) Ein Wagen (Masse m 1 ) wird mithilfe einer gespannten Feder (Federkonstante D) beschleunigt. Er fährt geradlinig und reibungsfrei auf eine an einem masselosen Faden (Länge L) hängende Zielscheibe (Masse m 2 ) zu. Die Zielscheibe soll im Folgenden als Punktmasse behandelt werden. a) Mit welcher Geschwindigkeit v 1 fährt der Wagen, wenn die Feder um x gespannt war? (3P) b) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Zielscheibe nach dem vollkommen elastischen Stoß durch den Wagen? Betrachten Sie hierzu den Grenzfall m 1 m 2. (6P) c) Unter welcher Voraussetzung an v 1 schafft die Zielscheibe einen Überschlag mit gespanntem Faden? (7P) 3

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6 Aufgabe 3: Unter Strom (12 Punkte) Eine ideale Flüssigkeit der Dichte ρ strömt durch eine sich verengende Röhre mit senkrechten Steigrohren an vier Stellen. a) Wie schnell strömt das Wasser unter Röhre II, wenn es bei Steigröhre I mit v 1 fließt? (3P) b) Zeichnen Sie in die Skizze qualitativ die Höhe des Wasserstandes in den Steigrohren II, III und IV ein. Die Rohrquerschnitte A 1, A 3 und A 4 seien gleich. (3P) c) Berechnen Sie quantitativ die Höhenunterschiede h II, h III und h IV des Wasserstandes zur Referenzlinie als Funktion von v 1, A 1 und A 2. (6P) 5

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8 Aufgabe 4: Feder, Faden und physikalisches Pendel (20 Punkte) Ein Federpendel mit Federkonstante D und ein Fadenpendel mit einem masselosen Faden der Länge L sollen synchronisiert werden. Beide Kugeln haben dieselbe Masse M. a) Stellen Sie die Differenzialgleichung für das Federpendel auf. Lösen Sie diese durch Ansatz einer Cosinusfunktion und geben Sie die Kreisfrequenz ω der Schwingung an. (8P) b) Wie lautet die Kreisfrequenz ω für das Fadenpendel mit Punktmasse im Schwerefeld mit Erdbeschleunigung g (in Kleinwinkelnäherung)? (4P) c) Welche Fadenlänge muss bei gegebener Federkonstante D gewählt werden, damit die Kreisfrequenzen gleich sind? (2P) d) Betrachten wir nun die gleiche Situation für Kugeln mit endlichem Radius R. Ändert sich die Kreisfrequenz des Federpendels (J/N)? Bei welchem Kugelradius schwingt das Fadenpendel bei gleicher Fadenlänge (bis zum Mittelpunkt der Kugel) um 1 Prozent langsamer als das Federpendel? (6P) Mgd Hinweis: Die Kreisfrequenz des physikalischen Pendels ist ω = S, wobei d I S der Abstand des Aufhängepunkts vom Schwerpunkt und I das Trägheitsmoment bezüglich des Aufhängepunkts ist. Das Trägheitsmoment einer homogenen Vollkugel beträgt I K = 2 5 MR2. 7

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10 Aufgabe 5: Mondkanone (12 Punkte) Schon Jules Verne hatte die Idee, ein Raketengeschoss auf direktem Weg von der Erde auf den Mond zu schießen. a) Bestimmen Sie durch Integration die Arbeit, die erforderlich ist, einen Körper gegen die Gravitationskraft von der Erdoberfläche ins Unendliche zu bringen. Wie groß ist die Fluchtgeschwindigkeit (Geschwindigkeit, die ein Geschoss bei senkrechtem Abschuss mindestens benötigt, um dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen)? (5P) b) Berechnen Sie den Bahndrehimpuls des Mondes. (Kreisförmige Umlaufbahn mit T M = 27, 32 Tagen angenommen) (5P) c) Ändert sich der Drehimpuls des Systems Erde-Geschoss-Mond, wenn ein Geschoss von der Erde zum Mond fliegt? Warum? (2P) Konstanten: Erdmasse M E = 5, kg, Mondmasse M M = 7, kg Erdradius R E = 6371km, Mondradius R M = 1738km 11 m3 Gravitationskonstante G = 6, , Mittlerer Abstand Erde-Mond: d = km kgs 2 9

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12 Aufgabe 6: Kurze Fragen (12 Punkte) a) Erläutern Sie anhand einer Skizze (Mond, Erde, Wasser) das Phänomen von Ebbe und Flut und benennen Sie die verantwortlichen Kräfte (4P) b) Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der Amplitude A(t) eines schwach gedämpften harmonischen Oszillators. Schätzen Sie aus der Skizze die Güte Q des von Ihnen gezeichneten Oszillators ab. (4P) c) Zur Einsteinschen Relativitätstheorie findet sich neben dem Zwillingsparadoxon auch das Stab-Scheune-Paradoxon: Sieben Schwaben möchten einen Stab der Länge L in eine Scheune der Länge S mit S < L einlagern. Die Scheune hat eine vordere und eine hintere Tür. Einer von ihnen hat folgende Idee: Wenn wir schnell genug rennen und im richtigen Moment beide Türen gleichzeitig schließen, ist der Stab in der Scheune drin. 1. Welches Phänomen will sich der Schwabe zunutze machen? (2P) 2. Erklären Sie, welche Annahme des Schwaben (außer (1.)) zum Paradoxon führt. (2P) 11

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14 Aufgabe 7: Es kräht kein Hahn danach (10 Punkte) Ein masseloser Wetterhahn sitzt auf einem nicht ganz reibungsfreien Drehkreuz, an dessen Stäben homogene Scheiben mit jeweils der Masse M und Radius R befestigt sind. Der Schwerpunkt der Scheiben liegt jeweils im Abstand L zum Drehpunkt. Ein Lausbub schiesst mit einem Kaugummi (Masse m) auf eine der Scheiben. Das Kaugummi trifft senkrecht zur Scheibe und in deren Mitte mit der Geschwindigkeit v K auf. a) Welches Trägheitsmoment hat die gezeigte Anordnung bezüglich der Drehachse? Benutzen Sie den Zusammenhang I z = I x + I y für flache Körper, um das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe bezüglich einer Symmetrieachse in der Körperebene zu berechnen. I z ist dabei das Trägheitsmoment bezüglich einer Rotation um die Achse, die senkrecht zur Fläche steht und durch den Scheibenmittelpunkt verläuft. (3P) b) Welchen Bahndrehimpuls hat das Kaugummi bezüglich der Drehachse des Drehkreuzes. (2P) c) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich der Hahn nach dem Stoß? (2P) d) Der Bewegung wirkt eine Reibungsmoment entgegen, die proportional zur Winkelgeschwindigkeit ist D R = γω. Stellen Sie eine Differentialgleichung für den Winkel ϕ zur Ruhelage des Kreuzes auf. Lösen Sie diese Gleichung mithilfe des Ansatzes ϕ(t) = A e t /τ und berechnen Sie die Relaxationszeit τ. (3P) 13

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