Michelson Interferometer Brechzahlbestimmung

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1 O07 Michelson Interferometer Brechzahlbestimmung In diesem Versuch wird zunächst ein Michelson-Interferometer aufgebaut und mit diesem die Wellenlänge des verwendeten Laserlichtes gemessen. Das aufgebaute Interferometer wird dann zur Bestimmung der Brechzahl von Luft genutzt. 1. Theoretische Grundlagen 1.1 Interferenz von Licht Treffen zwei Wellen gleicher Frequenz bzw. Wellenlänge λ und (bei Transversalwellen) gleicher Polarisationsebene in einem Raumpunkt aufeinander, so addieren sich ihre Elongationen. Die Intensität der Überlagerungswelle in diesem Raumpunkt hängt vom dem Gangunterschied Δs der beiden Teilwellen ab. Für Δs = k λ, k = 1, 2, 3,... (1) ergibt sich maximale Verstärkung (konstruktive Interferenz, Bild 1a), für Δs = 2k+1 2 λ k = 1, 2, 3,... (2) Bild 1a: konstruktive Interferenz maximale Abschwächung (destruktive Interferenz). Bei gleicher Amplitude der Teilwellen tritt im Bild 1b vollständige Auslöschung ein. Das Auftreten solcher Interferenzerscheinungen auch bei Licht ist neben der Polarisierbarkeit der entscheidende experimentelle Hinweis für die Annahme einer Wellennatur des Lichtes. Bild 1b: destruktive Interferenz 1.2 Kohärenz von Licht Zeitlich stabile Interferenzmuster können nur beobachtet werden, wenn die Phasendifferenz zwischen beiden Teilwellen in jedem Raumpunkt zeitlich konstant ist. In diesem Fall werden die Teilwellen als räumlich kohärent bezeichnet. Ist die Phasendifferenz in je zwei verschiedenen Raumpunkten, die von einer Welle getroffen werden, zeitlich konstant, so heißt die Welle zeitlich kohärent. Zeitliche Kohärenz liegt vor bei einem kontinuierlichen, unendlich langen Wellenzug mit konstanter Frequenz. Eine zeitlich und räumlich annähernd kohärente Lichtquelle ist ein Laser, der praktisch kontinuierliche Lichtwellen aussendet (stimulierte Emission). Thermisch erzeugtes Licht von der Sonne oder einer Glühlampe hingegen, ist sowohl zeitlich als auch räumlich inkohärent. Das von den verschiedenen Atomen solcher Lichtquellen in statistisch verteilter Weise ausgesandte Licht besteht aus einzelnen Wellenzügen endlicher Länge sowie ohne fester Phasenbeziehung untereinander (spontane Emission). Ihre typische Dauer ist von der Größenordnung 10-8 Sekunden. 2017

2 Aus der Größe der Lichtgeschwindigkeit erhält man als typische Länge eines solchen Wellenzuges 3m (Kohärenzlänge). Bei natürlichem Licht können deshalb nur dann Interferenzerscheinungen beobachtet werden, wenn jeder einzelne Wellenzug z. B. durch teilweise Reflexion aufgespalten wird und nach verschiedenen Laufstrecken die entstandenen Teilstrahlen wieder überlagert werden. Ein Interferenzmuster entsteht, wenn der Wegunterschied Δs der Teilstrahlen klein gegenüber der Kohärenzlänge ist. Der Kontrast in dem Interferenzmuster wird kleiner, je größer der Wegunterschied ist. 1.3 Interferometer Interferometrie ist eine Methode zur Messung von Längenänderungen oder Brechungsindizes. Sie wird angewendet, wenn die herkömmlichen mechanischen oder optischen Messmittel nicht mehr ausreichen, um den Anforderungen an Genauigkeit und Empfindlichkeit gerecht zu werden. Interferometrische Messungen beruhen auf folgendem Prinzip: Der von einer Lichtquelle kommende Strahl wird durch einen Strahlenteiler (halbdurchlässiger Spiegel) in zwei Teilstrahlen aufgespalten. Bei einem dieser Teilstrahlen wird nun die optische Weglänge, d. h. das Produkt aus Brechzahl und geometrischem Weg geändert. Er erfährt dabei eine Phasenverschiebung gegenüber dem ungestörten Strahl, mit dem er schließlich wieder überlagert wird. Aus dieser Phasenverschiebung folgt eine Änderung des Interferenzbildes, aus der sich dann eine der beiden Größen, die Brechzahl oder der geometrische Weg ermitteln lässt, wenn jeweils die andere Größe bekannt ist. Wird z. B. die Brechzahl konstant gehalten, so sind Differenzen des geometrischen Weges Bild 2: Strahlengang Michelson-Interferometer bestimmbar, z. B. die Ausdehnung von Materialien, die Krümmung von Oberflächen, die Dicke von Schichten usw. Messungen dieser Art werden vornehmlich mit dem Michelson-Interferometer vorgenommen. Wird der geometrische Weg konstant gehalten, so sind Brechungsindizes oder aber auch Größen und Einflüsse, die den Brechungsindex verändern, zu ermitteln, z. B. Druck, Temperatur sowie Dichteänderung. Bild 2 zeigt den Strahlengang bei einem Michelson-Interferometer. Der Strahlenteiler spaltet den einfallenden Lichtstrahl in zwei Teilstrahlen auf. Nach der Reflexion der Teilstrahlen an den Spiegeln S 1 bzw. S 2 treffen beide wieder auf den Strahlenteiler und werden von diesem (teilweise) auf eine Projektionswand reflektiert. Der Gangunterschied Δs zwischen den beiden auf die Projektionswand treffenden Teilstrahlen hängt von den Abständen der beiden Spiegel zum Strahlteiler ab: Δs = 2 (l 2 l 1 ) (3) Der Faktor2 kommt hinzu, weil jeder Weg doppelt durchlaufen wird

3 Bei einer ebenen einfallenden Welle und vollkommen senkrecht zueinander justierten Spiegeln erwartet man auf der Projektionswand je nach Phasendifferenz gleichmäßig Helligkeit oder Dunkelheit. Tatsächlich beobachtet man ein Streifensystem oder ein System konzentrischer Ringe. Die Erklärung hierfür folgt im Abschnitt 1.4. Bei der Verschiebung eines Spiegels um ein Viertel der Wellenlänge ändert sich der Gangunterschied um λ/2, aus maximaler Dunkelheit auf dem Schirm wird maximale Helligkeit bzw. umgekehrt. Wird der Spiegel S 2 verschiebbar auf einen Feinstelltrieb montiert und damit über eine Strecke von mehreren Wellenlängen bewegt, so kann aus der Verschiebungsstrecke Δl und der Anzahl Z der auf der Projektionswand auftretenden Helligkeitsmaxima (oder minima) die Wellenlänge bestimmt werden: Z λ = 2 Δl (4) 1.4 Interferenzstreifen und ringe Bei den bisherigen Betrachtungen gingen wir von ideal ebenen Wellen und ideal justierten optischen Komponenten aus. In der Praxis ist dies jedoch nicht realisierbar. Zwei Teilstrahlen, die auf dem Schirm (xy - Ebene) in Bild 3 interferieren, mögen in der xz-ebene jeweils unter dem gleichen Winkel α gegen die z-achse verlaufen. Beide Wellen haben die gleiche Feldstärkenamplitude E 0, die gleiche Wellenlänge, die gleiche Polarisation und eine Phasendifferenz Δφ. Die Beträge der zugehörigen Wellenvektoren k i (i=1, 2) sind: k i = 2π λ (5) In einem beliebigen Raumpunkt mit Ortsvektor r lauten die Beträge der elektrischen Feldstärke Bild 3: Zur Entstehung der Interferenzstreifen E 1 = E 0 sin(ωt k 1 r) E 2 = E 0 sin(ωt k 2 r + Δφ) (6) (ω : Kreisfrequenz der Welle) Die Intensität I auf dem Schirm ist die auftreffende Energie je Flächen- bzw. Zeiteinheit. Mit Gleichung (6) gilt dann: I(r) = c ε 0 E 2 = c ε 0 (E 1 + E 2 ) 2 I(r) = c ε 0 2E 02 sin (ωt k 1 +k 2 2 r + Δφ ) cos 2 (k 2 k 1 r Δφ ) 2 (7) 2 (ε 0 : elektrische Feldkonstante, c : Lichtgeschwindigkeit) Der Differenzvektor Δk = k 2 k 1 ist parallel zur x-achse. Bei kleinem α ist Δk = 2 k 1 α (8) - 3 -

4 Außerdem beobachtet man auf der Prokektionswand nur einen zeitlichen Mittelwert der Intensität. Da der sin-term in Gleichung (7) im zeitlichen Mittel den Wert ½ besitzt, erhält man I(x) = c ε 0 E 02 cos ( Δk 2 x Δφ 2 ). (9) Längs der x-achse ist wegen des cos-faktors die Intensität periodisch moduliert. Auf dem Schirm beobachtet man ein Streifenmuster. Handelt es sich bei den beiden Teilwellen nicht um ebene Wellen, sondern um Kugelwellen, so entsteht auf dem Schirm ein Muster aus konzentrischen Interferenzringen. 1.5 Brechung des Lichtes Die Brechung des Lichtes an Grenzflächen ist erklärbar mit der Wellentheorie von Huygens. Bild 4 zeigt eine ebene Welle, die auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien zuläuft. Die Phasengeschwindigkeit im oberen Medium beträgt c, im unteren c mit c <c. Die Schnittpunkte der ebenen Wellenflächen mit der Grenzfläche sind Zentren Huygensscher Elementarwellen, deren Einhüllende die neue Laufrichtung ergibt. Rechts sind die wesentlichen Punkte und Strecken ohne die Wellenfläche noch einmal gezeichnet. Trifft eine Wellenfront im Punkt C auf die Grenzfläche, so vergeht noch die Zeit t = Bild 4: Brechung einer ebenen Welle an einer Grenzfläche Für die Dreiecke ABC und BCD gilt Damit ergibt sich sin ε = AB = c t CB CB AB/c, bis auch das rechte Ende der Wellenfront am Punkt B die Grenzfläche trifft. Inzwischen hat die Kugelwelle, die von C ausging, den Weg CD = c t zurückgelegt. sin ε = CD = c t CB CB sin ε sin ε = c c (10) Der Quotient zwischen der Lichtgeschwindigkeit c 0 im Vakuum und der Lichtgeschwindigkeit c in Materie wird üblicherweise als Brechzahl oder Brechungsindex n des betreffenden Materials bezeichnet: n = c 0 c (11) Mit Hilfe des Brechungsindex nimmt die Gleichung (10) die Form des Snelliusschen Brechungsgesetzes an: sin ε sin ε = n n = konst. (12) - 4 -

5 Messung des Brechungsindex Um den Brechungsindex n der Luft zu messen, wird eine evakuierbare Kammer mit planparalleler Begrenzung aus Glas in den Strahlengang des Interferometers gebracht. Der Brechungsindex n eines Gases ist näherungsweise linear vom Druck p abhängig. Bei Druck p=0 liegt absolutes Vakuum vor, so dass n=1 ist. Man kann daher schreiben: n(p) = n(p = 0) + Δn p mit n(p = 0) = 1 (13) Δp Im Folgenden wird zunächst die Bestimmung des Differenzenquotienten Δn = n(p+δp) n(p) Δp Δp (14) aus den Messdaten beschrieben. Die optische Weglänge d in der evakuierbaren Kammer ist das Produkt aus der geometrischen Länge s der Kammer und des druckabhängigen Brechungsindex n(p) der Luft in der Kammer d = n(p) s. (15) Zu beachten ist, dass der Weg durch die Reflexion an dem Spiegel zweimal vom Licht durchlaufen wird. Somit wird durch Variation des Drucks in der Kammer um den Wert Δp die optische Weglänge um Δd geändert: Δd = n(p + Δp) s n(p) s. (16) Auf einer Projektionsfläche beobachtet man die Änderung des Ringmusters mit der Änderung des Drucks (die Mitte des Interferenzringmusters zeigt abwechselnd maximale und minimale Intensitäten). Vom Anfangsdruck p 0 in der evakuierten Kammer ausgehend beobachtet man bei langsamer Erhöhung des Drucks Z-mal die Wiedereinstellung der Ausgangsposition des Interferenzmusters bis zum Erreichen des Enddruckes (Luftdruck) p L. Eine Wiederholung der Maxima (bzw. Minima) entspricht einer Änderung der optischen Weglänge um λ. Zwischen dem Druck p und p + p ändert sich daher die optische Weglänge um Δd = (Z(p + Δp) Z(p)) λ. (17) Aus den Gleichungen (16) und (17) und unter Berücksichtigung, dass die Kammer zweimal vom Licht durchlaufen wird, folgt: n(p + Δp) = (Z(p + Δp) Z(p)) λ und mit Gleichung (14) ergibt sich 2s Δn = ΔZ λ Δp Δp 2s (18) Gemessen wird der Druck nach jeweils einer Verschiebung der Maxima, die erhaltenen Messwerte werden als Funktion Z = f(p) dargestellt, es ergibt sich eine lineare Kurve mit dem Anstieg ΔZ/Δp

6 Der Brechungsindex kann dann unter Verwendung des Anstiegs ΔZ/Δp sowie des Luftdruckes p L nach Gleichung (13) bestimmt werden: n(p) = 1 + ΔZ Δp λ 2s p L. (19) 2. Versuch 2.1 Vorbetrachtung Aufgabe 1: Beschreiben Sie kurz wie Sie mit einem Michelson-Interferometer die Wellenlänge eines Lasers bestimmen können. Aufgabe 2: Welche Wellenlänge λ erhalten Sie, wenn der Gangunterschied an der Mikrometerschraube 5µm und die Anzahl der Umdrehungen dieser Schraube Z = 16 beträgt. 2.2 Versuchsdurchführung Verwendete Geräte Interferometer-Grundplatte, He-Ne-Laser mit =632,8 nm, Sockel (Linsenfüße), Irisblenden, Maßstab, Haftmagnet-Füße, Oberflächen-Planspiegel, Strahlenteiler, Linse f=50 mm, Vakuumpumpe, evakuierbare Kammer mit s=(50,0 0,5) mm, Druckmessgerät Versuchshinweise Aufgabe 1: Aufbau und Justierung eines Michelson-Interferometers Alle zur Durchführung der Versuche notwendigen Arbeitsschritte sind in der am Praktikumsplatz liegenden Justieranleitung enthalten. Aufgabe 2: Bestimmung der Wellenlänge des verwendeten Lasers Führen Sie die Messungen zur Wellenlängenbestimmung 10-mal entsprechend der Justieranleitung durch. Aufgabe 3: Bestimmung der Brechzahl von Luft (beim Luftdruck p L ) Führen Sie die Versuchsaufgabe entsprechend des Abschnitts 1.5 durch. Wiederholen Sie die Messung mindestens 2-mal. 2.3 Versuchsauswertung Aufgabe 1: Aufbau und Justierung eines Michelson-Interferometers Erläutern Sie aus der Durchführung der Aufgabe 1 gewonnene Erkenntnisse zu Einflüssen der Stellungen von Spiegel, Strahlenteiler und Linsen auf das Interferenzbild

7 Aufgabe 2: Bestimmung der Wellenlänge des verwendeten Lasers Bestimmen Sie die Wellenlänge entsprechend dem Abschnitt 1.3. Ermitteln Sie die Messunsicherheit für die Wellenlänge unter Verwendung der Standardabweichung für die gezählten Änderungen des Ringsystems. Aufgabe 3: Bestimmung der Brechzahl von Luft (beim Luftdruck p L ) Stellen Sie in einem Diagramm die erhaltenen Messwerte als Funktion Z = f(p) graphisch dar und ermitteln Sie aus der linearen Regression den Anstieg. Bestimmen Sie die Brechzahl von Luft mit Hilfe des Anstieges der Geraden. Tragen Sie die Fehlerbalken an und schätzen Sie die Messunsicherheit aus dem Diagramm ab. 3. Ergänzungen 3.1 Vertiefende Fragen Welche Interferenzerscheinungen zeigen sich an einer planparallelen und an einer keilförmigen Glasplatte? Wie kann man damit die Dicke von dünnen Schichten bestimmen? 3.2 Ergänzende Bemerkungen Der Versuch von Michelson und Morley ist eine der frühen experimentellen Stützen der speziellen Relativitätstheorie. Er widerlegte die Existenz eines Lichtäthers als materieller Träger der Lichtwellen. Wegen der Bewegung der Erde durch den vermuteten Äther sollten nämlich in den verschiedenen Teilwegen eines Michelson-Interferometers richtungsabhängige Laufzeiten auftreten. (Als Vergleich betrachte man die Geschwindigkeit eines Bootes, das in strömendem Wasser mit oder gegen diese Strömung fährt!). Durch Drehung des Interferometers müsste sich dann eine Veränderung des Interferenzmusters ergeben. Diese konnte jedoch im Experiment nicht nachgewiesen werden. Deshalb musste man die Äthertheorie fallen lassen. Eine experimentelle Alternative zu dem Feinstelltrieb bei der Wellenlängenbestimmung mit dem Michelson-Interferometer ist die Verwendung eines Piezo-Kristalls. Durch Anlegen einer Spannung an einen solchen Kristall kann dessen Länge geändert werden, so dass die Verschiebung des Spiegels beim Michelson-Interferometer auf elektrischem Weg erfolgen kann