Klausur Algorithmentheorie

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1 Prof. Dr. G. Schnitger Frankfurt, den M. Poloczek Klausur Algorithmentheorie WS 2010/2011 Name: Vorname: Geburtsdatum: Studiengang: BITTE GENAU LESEN Die Klausur besteht aus 4 Aufgaben, in denen maximal 100 Punkte erreicht werden können. Die Klausur ist mit Sicherheit bestanden, wenn zusammen mit der Bonifikation aus den Übungen mindestens 50 Punkte erreicht werden. Bitte schreibe oben auf jede Seite in Blockschrift Namen und Matrikelnummer. Überprüfe, ob die Klausur aus insgesamt 11 durchnummerierten Seiten besteht. Bitte benutze die Rückseiten. Weitere Blätter sind ggf. erhältlich. Schreibe nicht mit Bleistift. Ein DIN A4 Blatt mit Notizen ist das einzige zugelassene Hilfsmittel. Bitte beschreibe stets kurz Deinen Lösungsansatz. Eine umgangssprachliche, aber strukturierte Beschreibung von Algorithmen ist völlig ausreichend. Werden zu einer Aufgabe zwei Lösungen angegeben, so gilt die Aufgabe als nicht gelöst. Entscheide Dich also immer für eine Lösung. Die Klausur dauert 180 Minuten. Der Termin für die Einsichtnahme ist Mittwoch, der 20. April von 9:00-10:00 Uhr im SR 307.! VIEL ERFOLG! 1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 4a 4b 4c Σ bestanden nicht bestanden Bonifikation Σ 1

2 AUFGABE 1 Sortieren a.) Beschreibe einen möglichst schnellen Algorithmus, der den k-kleinsten Schlüssel aus einer nicht-sortierten Folge von n Zahlen bestimmt. (Eine Laufzeitanalyse ist nicht verlangt.) b.) Wir erhalten k aufsteigend sortierte Folgen mit je n Zahlen. Entwirf einen möglichst schnellen Algorithmus, der die k Folgen zu einer einzigen, aufsteigend sortierten Folge mischt. Beschreibe deinen Algorithmus und analysiere seine Laufzeit. 2

3 c.) Das Aufrufprotokoll einer populären Webseite erfasst von jedem Besucher den Zeitpunkt des Aufrufs der Seite und den Moment, zu dem der Besucher die Seite verlässt. Sei n die Zahl der Besucher im Laufe eines Tages, seien(a i,w i ) die Ankunfts- bzw. die Weggehzeiten des iten Besuchers. Für eine statistische Auswertung soll die maximale Zahl M von Besuchern, die gleichzeitig auf der Seite waren, bestimmt werden. Beschreibe einen Algorithmus, der die maximale Besucherzahl M in Zeit O(n log(n)) bestimmt. Benutze dabei Pseudocode, beschreibe kurz die Idee Deines Algorithmus und begründe, warum die gestellte Aufgabe richtig gelöst und die Zeitschranke eingehalten wird. 3

4 AUFGABE 2 Graphalgorithmen Gegeben sei der folgende Graph. a.) Gib an, in welcher Reihenfolge die Kanten von Kruskals Algorithmus ausgewählt werden. Gib den resultierenden minimalen Spannbaum an. b.) Gib an, in welcher Reihenfolge die Knoten vom Algorithmus von Dijkstra abgearbeitet werden, wenn a zum Startknoten gemacht wird. Gib den resultierenden Baum der kürzesten Wege an. 4

5 c.) Gegeben sei ein Rechnernetzwerk N = (V,E), das aus einer Menge V von Rechnern und einer Menge E von Verbindungen zwischen den Rechnern besteht. Jeder Verbindung {u,v} von Rechnern u und v ist eine Zuverlässigkeit z u,v mit 0 z u,v 1 zugeordnet: Wir interpretieren z u,v als die Wahrscheinlichkeit, dass die Verbindung {u,v} nicht versagt. Die Zuverlässigkeit eines Weges definieren wir als das Produkt der Zuverlässigkeiten der Kanten des Weges. Entwirf einen möglichst effizienten Algorithmus, der Wege größter Zuverlässigkeit von einem ausgezeichneten Rechner s V zu allen anderen Rechnern bestimmt. Bestimme die Laufzeit Deines Verfahrens für n Rechner und m Verbindungen. 5

6 AUFGABE 3 Entwurfsmethoden a.) Die natürlichen Zahlen x 1,...,x n sowie die natürliche Zahl B sind gegeben. Es ist zu entscheiden, ob es eine Teilmenge S {1,...,n} mit i S x i = B gibt. Beschreibe einen Algorithmus, der dieses Problem in Zeit O(n B) löst. Welche Teilprobleme löst Dein Algorithmus und welche Rekursionsgleichung benutzt Du? 6

7 b.) Theo besitzt einige karibischen Inseln I 1,...,I n. Einige dieser Inseln sind durch Brücken verbunden: Wenn die Inseln I a und I b durch eine Brücke verbunden sind, dann bezeichnet Länge(a,b) = Länge(b,a) die Länge dieser Brücke. Die Scheu vor langen Brücken hat Theo zwar abgelegt, trotzdem möchte er nicht mehr als k Brücken überqueren, um von seiner Hauptinsel s zur jeweiligen Zielinsel zu gelangen. Entwirf einen möglichst schnellen dynamischen Programmieralgorithmus, der für jede Insel I j einen Weg mit den folgenden Eigenschaften bestimmt: (1) Der Weg führt von der Hauptinsel s zur Insel I j und überquert höchstens k Brücken. (2) Der Weg ist ein kürzester Weg unter allen Wegen mit Eigenschaft (1). Zeige die Korrektheit Deines Verfahrens und bestimme seine Laufzeit. 7

8 AUFGABE 4 NP Vollständigkeit a.) Zeige oder widerlege: Alle Sprachen in P gehören auch zur Klasse NP. b.) Zeige: Wenn K eine NP-vollständige Sprache ist und wenn K P L gilt, dann ist L eine NP-harte Sprache. Transitivität kann angenommen werden: Wenn L 1 P L 2 und L 2 P L 3 für Sprachen L 1,L 2 und L 3 gilt, dann gilt auch L 1 p L 3. 8

9 c.) Im Problem VC ist ein Graph G = (V,E) und eine Zahl k N gegeben. Es ist zu entscheiden, ob es eine Menge W V von k Knoten gibt, so dass alle Kanten e E mindestens einen Endpunkt in W besitzen. In der Vorlesung wurde gezeigt, dass VC ein NP-vollständiges Problem ist. Im Problem Hitting Set sind ein Universum U, Teilmengen S 1,...,S m U und eine Zahl k N gegeben. Es ist zu entscheiden, ob es eine Teilmenge T U mit T k gibt, so dass T jede Teilmenge S i in mindestens einem Element schneidet. Zeige die Reduktion VC P Hitting Set. 9

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