Wie viele Ankreuzmöglichkeiten gibt es insgesamt? Bei wie vielen dieser Möglichkeiten gibt es 8 Treffer?

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1 Kombinatorik Beispiel : Multiple-Choice-Klausur 16 Fragen Je 4 Antwortalternativen ( eine ist richtig ) Zufälliges Ankreuzen? Wahrscheinlichkeit für mindestens 8 Treffer? Mögliche Lösungsstrategie : Wie viele Ankreuzmöglichkeiten gibt es insgesamt? Bei wie vielen dieser Möglichkeiten gibt es 8 Treffer? Quotienten bilden Wie viele Möglichkeiten? Kombinatorik 11 QM1_14 1

2 Beispiel : Aufteilen von Vpn auf Gruppen 20 Vpn Aufzuteilen in 2 Gruppen zu Vpn haben kritisches, nicht sichtbares Merkmal A? Wie wahrscheinlich sind 8 A-Vpn in Gruppe 1? Mögliche Lösungsstrategie : Wie viele Möglichkeiten der Verteilung gibt es? Bei wie vielen kommen 8 A-Vpn in Gruppe 1? Quotienten bilden Wie viele Möglichkeiten? Kombinatorik Beispiel : Lotto 6 aus 49? Wie wahrscheinlich sind 5 Richtige? Vorgehen entsprechend 11 QM1_14 2

3 Notationen n! := 1 2 (n 1) n für natürliches n ( n Fakultät ) Dabei : 0! := 1 1! = 1 2! = 1 2 = 2 3! = = 6 4! = = 24 5! = = 120 : Anzahl Möglichkeiten : Anzahl der Möglichkeiten Ist G endliche Menge, so heißt die Anzahl der Elemente von G auch die Mächtigkeit von G Abkürzung : G Ist A = {2, 3, 5}, so A = 3 11 QM1_14 3

4 Produktmengen Sind A und B Mengen, so heißt A B := { (a, b) a A, b B } auch Cartesisches Produkt von A und B Die Elemente (a, b) von A B heißen Paare Gleichzeitiges Werfen eines Würfels und einer Münze? Beschreibung der mögichen Ergebnisse? A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( Würfelergebnisse ) B = {W, Z} ( Münzenergebnisse ) Ergebnisse des zusammengesetzten Versuchs : A B mit Würfel ( a, b ) Münze ( 2, Z) : Würfel : 2 Münze : Z? Ergebnisse der zusammengesetzten Versuchs? Äquivalent : A B =? 11 QM1_14 4

5 Ist A = m und B = n, so A B = m n Begründung am Beispiel Würfel und Münze : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( Würfelergebnisse ) B = {W, Z} ( Münzenergebnisse ) Veranschaulichung des Cartesischen Produkts B Z W A o entspricht ( 2, Z ) Offenbar : A B = 6 2 = 12 Bekannt : Koordinatensystem als Veranschaulichung von R R y (3, 2) 1 1 x 11 QM1_14 5

6 Ist A = m und B = n, so A B = m n Begründung am Beispiel Würfel und Münze : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( Würfelergebnisse ) B = {W, Z} ( Münzenergebnisse ) Systematische Herstellung der Möglichkeiten durch sukzessives Auswahlverfahren (1) (2) W Z W Z W Z W Z W Z W Z (3) (1) : Wahl des ersten Elements a von ( a, b ) A B 6 Möglichkeiten (2) : Wahl des zweiten Elements b von ( a, b ) A B Jeweils 2 Möglichkeiten (3) : Fertig entspricht ( 2, Z ) Offenbar : Wahlmöglichkeiten insgesamt : 6 2 = 12 : Beachte : jeweils Multiplikation 11 QM1_14 6

7 Ist A = m und B = n, so A B = m n Kurz, allgemein : Es gibt m Möglichkeiten für a Für jede davon : n Möglichkeiten für b Also : m n Möglichkeiten für ( a, b ) Produkte von mehr als zwei Mengen A B C := { (a, b, c) a A, b B, c C } Elemente (a, b, c) heißen Tripel Entsprechend A B C D Elemente (a, b, c, d) heißen Quadrupel Etc etc Mit dem Latein am Ende? Elemente von A 1 A 2 A n heißen n-tupel Statt Quintupel also auch 5-Tupel Ist (a 1,, a n ) n-tupel, so heißen die a i Komponenten Die dritte Komponente von (1, 9, 7, 1) ist 7 11 QM1_14 7

8 Statt A A A ( n Mal ) auch : A n Viermalige Durchführung eines Wahrnehmungsexperiments Einzelergebnisse jeweils + oder? Beschreibung der Ergebnisse der Gesamtversuchs? A = {+, } Gesamtergebnisse : A 4 ( a 1, a 2, a 3, a 4 ) Versuch (+,,, +) : + bei Versuch 1, bei Versuch 2,? Gesamtergebnisse? Würfeln mit drei Würfeln ( verschiedenfarbig )? Beschreibung der möglichen Ergebnisse? A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( ein Würfel ) Gesamtergebnisse : A 3 ( 2, 5, 2 ) : 1 Würfel : 2, 2 Würfel : 5, 3 Würfel : 2? Gesamtergebnisse? 11 QM1_14 8

9 A = m, B = n, C = k A B C = m n k Auswahl eines (a, b, c) in 3 Schritten Möglichkeiten m jeweils n jeweils k Insgesamt also m n k Möglichkeiten Analog für mehr als drei Faktoren Spezialfall Ist A = n, so A k = n k 11 QM1_14 9

10 Wichtige Technik in der Kombinatorik : Finde geeignete Kodierung Übersetze dadurch neue Probleme in bekannte Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Würfeln mit drei Würfeln? Übersetzung wie oben : ( mit A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ) Die Möglichkeiten entsprechen genau den Elementen von A 3 Möglichkeiten = A 3 = A 3 = 6 3 = 216 Entscheidend : die richtige Kodierung Möglichkeiten bei 4-maligem Wahrnehmungsexperiment? Dabei : Möglichkeiten bei einmaliger Durchführung : +, Möglichkeiten = 2 4 = 16 Sprechweise : Elemente von A k heißen auch k-tupel aus A Schreibweise : ( 3 Würfel, mit A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ) Möglichkeiten bei drei Würfeln 3-Tupel aus A hier : genaue Entsprechung ( bijektiv ) Wegen der genauen Entsprechung : gleiche Anzahlen 11 QM1_14 10

11 Beispiel allgemein : Gegeben : Versuch mit n möglichen Ergebnissen Ergebnisse zusammengefasst in Menge G Versuch wird k Mal durchgeführt? Ergebnisse des Gesamtversuchs? Geeignete Kodierung : Ergebnisse des Gesamtversuchs k-tupel aus G Gesamtergebnisse = G k = n k Gegeben ist eine Urne U mit n Kugeln Es wird k Mal mit Zurücklegen gezogen Reihenfolge wird dabei berücksichtigt? Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? Abgekürzt : k ZmZmR k Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge(berücksichtigung) 11 QM1_14 11

12 ? Ergebnisse bei k ZmZmR aus Urne U mit n Kugeln? U wird aufgefasst als Menge der Kugeln also U = n Finde geeignete Kodierung! Möglichkeiten k-tupel aus U Übersetzung : j-te Komponente = Kugel des j-ten Zugs (2, 4, 1, 2) : 1 Zug : 2, 2 Zug : 4, 3 Zug : 1, 4 Zug : 2 Anzahl Möglichkeiten = n k Weiteres Beispiel Gegeben : b Buntstifte und f Fächer? Möglichkeiten, die Buntstifte auf die Fächer zu verteilen? Es können mehrere Buntstifte in das gleiche Fach kommen Fächer können auch leer bleiben Geeignete Kodierung? Menge der Fächer : F Verteilmöglichkeiten b -Tupel aus F j-te Komponente : Fach für den j-ten Buntstift (4, 3, 4, 5) : 1 Stift : 4 Fach, 2 Stift : 3 Fach, etc Verteilmöglichkeiten = F b = f b 11 QM1_14 12

13 Beispiel : Wie groß ist die Mächtigkeit der Potenzmenge? Ist A eine Menge, so ist die Potenzmenge von A die Menge aller Teilmengen von A Bezeichnung : P(A) Formal : P(A) := { B B A } A = {a, b} P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}} A = {a} P(A) = {, {a}} A = P(A) = { }? Wie groß ist P(A), wenn A = n? Finde geeignete Kodierung! Elemente von A ordnen Teilmengen B von A n-tupel aus {0, 1} j-te Komponente des n-tupels : j-tes Element von A in B? Ist A = {1, 2, 3, 4, 5}, so : {1, 3, 4} (1, 0, 1, 1, 0) (0, 0, 0, 0, 0) Teilmengen von A = n-tupel aus {0, 1} = 2 n 11 QM1_14 13

14 Lexikographische Reihenfolge Nützliches Hilfsmittel, auch zur Kontrolle : Systematisches Auflisten aller Möglichkeiten ( dann : Zählen )? Geeignete Systematik? Wie im Lexikon Voraussetzung : Einzelelemente müssen geordnet sein ( werden ) 4 ZmZmR aus A = {a, b, c} Geeignete Kurznotation wählen : abac für (a, b, a, c) Ergebnis der lexikographischen Anordnung ( spaltenweise ) aaaa abaa acaa baaa bbaa bcaa caaa cbaa ccaa aaab abab acab baab bbab bcab caab cbab ccab aaac abac acac baac bbac bcac caac cbac ccac aaba abba acba baba bbba bcba caba cbba ccba aabb abbb acbb babb bbbb bcbb cabb cbbb ccbb aabc abbc acbc babc bbbc bcbc cabc cbbc ccbc aaca abca acca baca bbca bcca caca cbca ccca aacb abcb accb bacb bbcb bccb cacb cbcb cccb aacc abcc accc bacc bbcc bccc cacc cbcc cccc Tatsächlich : 81 = 3 4 Möglichkeiten 11 QM1_14 14

15 Gleich wahrscheinliche Ergebnisse Situation : Versuch mit endlich vielen möglichen Ergebnissen Alle Ergebnisse werden als gleich wahrscheinlich angesehen Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses dann : günstige Ergebnisse Ergebnisse insgesamt Beispiel : Einmal Würfeln Mögliche Ergebnisse : 1, 2, 3, 4, 5, 6 Gleichwahrscheinlichkeit sei plausibel Mögliches Ereignis : Gerade Zahl Günstige Ergebnisse : 2, 4, 6 Wahrscheinlichkeit für Gerade Zahl : günstige Ergebnisse Ergebnisse insgesamt = 3 6 = QM1_14 15

16 Modell der Gleichwahrscheinlichkeit etwas formaler Unterscheide : Ergebnisse und Ereignisse Beispiel : Würfeln Ergebnisse : 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ereignis beispielsweise : Gerade Zahl Ereignisse bestehen aus Ergebnissen Menge aller Ergebnisse : Meist Ω Würfelbeispiel : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Identifiziere Ereignisse mit Teilmengen von Ω nämlich mit denen aus den jeweils günstigen Ergebnissen Gerade Zahl entspricht dann A = {2, 4, 6} Bei Gleichwahrscheinlichkeit aller Ergebnisse dann : Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A : P( A ) = günstige Ergebnisse Ergebnisse insgesamt = A Ω 11 QM1_14 16

17 W : Wahrscheinlichkeit Beispiel : Prüfung, 5 Prüflinge 3 Prüfungsthemen Wahl des Prüfungsthemas : Karte ziehen? W, dass alle das gleiche Thema bekommen? Finde geeignete Formalisierung! Menge der Themen : G = {1, 2, 3} Prüfungsmöglichkeiten durch 5 ZmZmR aus G Ω = G 5, Ω = G 5 = 3 5 = 243 Ereignis A : Alle bekommen das gleiche Thema Formal : A = { (1, 1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2, 2), (3, 3, 3, 3, 3) } P( A ) = A Ω = = = 1 81 Modell der Gleichwahrscheinlichkeit angemessen? Bei verschiedenfarbigen Karten wohl nicht! 11 QM1_14 17

18 Permutationen Sei G endliche Menge, G = n, k n Eine k-permuation aus G ist ein k-tupel ( g 1,, g k ) aus G mit g i g j für alle i j ( 3, 5, 1, 2 ) ist eine 4-Permutation aus {1, 2, 3, 4, 5, 6} Gegeben ist eine Urne U mit n Kugeln Es wird k Mal ohne Zurücklegen gezogen Reihenfolge wird dabei berücksichtigt? Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? Abgekürzt : k ZoZmR k Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge(berücksichtigung) Finde wieder geeignete Kodierung! Zugmöglichkeiten k-permutationen aus U ( 2, 3, 1 ) : 1 Zug : 2, 2 Zug : 3, 3 Zug : 1 Kodierung bekannt von ZmZmR, nur ohne Wiederholungen Zugmöglichkeiten = k-permutationen aus U 11 QM1_14 18

19 ? k-permutationen =? G endliche Menge, G = n, k n Erzeugen der k-permutationen mit Entscheidungsbaum G = {a, b, c, d}, k = 2 a b c d b c d a c d a b d a b c entspricht ( c, d ) Bei der 2 Wahl : Wahlmöglichkeiten verschieden, aber Zahl der Möglichkeiten gleich ( 3 ) Insgesamt 4 3 = 12 Möglichkeiten 11 QM1_14 19

20 ? k-permutationen =? G endliche Menge, G = n, k n Erzeugen der k-permutationen mit Entscheidungsbaum in k Schritten 1 : 1 Komponente n Möglichkeiten 2 : 2 Komponente jeweils (n 1) Möglichkeiten 3 : 3 Komponente jeweils (n 2) Möglichkeiten k : k Komponente jeweils (n (k 1)) Möglichkeiten Anzahl der Möglichkeiten insgesamt : n (n 1) (n 2) (n (k 1)) Umformung : n (n 1) (n 2) (n (k 1)) (n k) (n (k + 1)) 1 (n k) (n (k + 1)) 1 Das ist n! (n k)! 11 QM1_14 20

21 k-permutationen aus G mit G = n : n! ( n k )! G = 4, k = 2 k-permutationen : 4! (4 2)! = = 3 4 = 12 Formel bequeme Schreibweise als Rechenvorschrift weniger geeignet 3 ZoZmR aus Urne mit 7 Elementen Möglichkeiten : 7! (7 3)! = = köpfiger Verein, zu bilden : 3-köpfiger Vorstand verschiedene Ämter? mögliche Vorstände? Übersetzung : 3 ZoZmR aus 7 Mitgliedern mögliche Vorstände : QM1_14 21

22 Spezialfall k = n Die n-permutationen aus G mit G = n heißen auch einfach Permutationen ( von G ) Permutationen : Mögliche Reihenfolgen der Elemente von G Permutationen von G mit G = n : n! Begründung wie bei k-permutationen ( nur einfacher ) Die allgemeine Formel stimmt : n! (n n)! = n! 0! = n! 1 = n! Die Definition 0! = 1 erweist sich als sinnvoll Klausur aus 5 Aufgaben? Reihenfolgen der Bearbeitung? Die Reihenfolgen sind gerade die Permutationen der Aufgaben Reihenfolgen der Bearbeitung : 5! = QM1_14 22

23 Urne U mit Kugeln 0,, 9 ( Ziffern ) 3 ZmZmR ( zufällig ) Ergebnis : 3-stellige Zahl ( wie 385, 121, 007, )? W einer Zahl ohne Ziffernwiederholung? Geeignete Modellierung Setze U = { 0, 1,, 9 } Ω = U 3, Ω = 10 3 = 1000 Annahme der Gleichverteilung sei angemessen Verschiedene Ziffern : Ereignis A Elemente von A sind gerade die 3-Permutationen aus U P( A ) = A Ω = = 72? W, dass mindestens 2 Ziffern gleich sind? 1 P( A ) = 28 Gegenereignisse 11 QM1_14 23

24 Kombinationen Sei G endliche Menge, G = n, k n Eine k-elementige Teilmenge von G heißt auch k-kombination aus G Gegeben ist eine Urne U mit n Kugeln Es wird k Mal ohne Zurücklegen gezogen Reihenfolge wird nicht berücksichtigt? Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? Abgekürzt : k ZoZoR k Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge(berücksichtigung) Finde wieder geeignete Kodierung! Zugmöglichkeiten k-kombinationen aus U Teilmenge der gezogenen Kugeln Zugmöglichkeiten = k-kombinationen aus U Im Ergebnis dasselbe wie Ziehen aller Kugeln auf einmal 11 QM1_14 24

25 Erinnerung : Bei Mengen spielt die Reihenfolge keine Rolle { a, b, c, d } = { d, b, a, c } ( = { d, b, d, c, a } etc ) Lexikographische Auflistung der 3-Kombinationen aus { a, b, c, d, e } Elemente sind schon in natürlicher Weise geordnet Geeignete Kurznotation vereinbaren : abe statt { a, b, e } Elemente einer Teilmenge in natürlicher Ordnung notieren Auflistung : abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde 11 QM1_14 25

26 ? k-kombinationen aus G? ( G = n ) Anzahl sei x? Neue Frage : k-permutationen? Antwort bekannt : n! / (n k)! Trotzdem : Neue Antwort finden! Herstellung der k-permutationen in zwei Schritten 1 Wahl der k Elemente der Permutation ( ohne Ordnung ) x Möglichkeiten 2 Wahl einer Reihenfolge der gewählten Elemente Jeweils k! Möglichkeiten k-permutationen : x k! Gleichsetzen : x k! = n! (n k)! Auflösen : x = n! k! (n k)! 11 QM1_14 26

27 Sei G endliche Menge, G = n, k n Die Anzahl der k-kombinationen aus G ist dann n! k! (n k)! 3 ZoZoR aus Urne mit 5 Kugeln n = 5, k = 3 5! 3! (5 3)! = 5! 3! 2! = = = 10 Kürzungsoperationen möglichst ökonomisch! Die Zahlen ( ) n k := n! k! (n k)! heißen auch Binomialkoeffizienten Sprechweise : n über k Binomialkoeffizient kein n!!! 11 QM1_14 27

28 Eigenschaften der Binomialkoeffizienten ( ) n k = ( n ) n k ( n ) n k = = n! (n k)! (n (n k))! n! (n k)! k! = n! k! (n k)! = ( ) n k ( ) n 0 = ( ) n n = 1 ( ) n 0 = n! 0! (n 0)! = n! 1 n! = 1 Insbesondere : ( ) 0 0 = 1 ( ) n 1 = ( ) n n 1 = n ( ) n 1 = n! 1! (n 1)! = n! 1 (n 1)! = n 11 QM1_14 28

29 Eigenschaften anschaulich : ( ) n k = ( n ) n k Gegeben G mit G = n Mit Komplementbildung : k-elementige Teilmengen (n k)-elementige Teilmengen Mit G = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } : A = { 1, 3, 4, 6 } A c = { 2, 5 } k-elementige Teilmengen = (n k)-elementige Teilmengen ( ) n 0 = ( ) n n = 1 Es gibt eine Teilmenge mit 0 Elementen ( ) Es gibt eine Teilmenge mit n Elementen ( G selber ) ( ) n 1 = n Entsprechung : Elemente 1-elementige Teilmengen a { a } 11 QM1_14 29

30 Binomische Formeln? ( a + b ) n =? (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb = a 3 + a 2 b + a 2 b + ab 2 + a 2 b + ab 2 + ab 2 + b 3 = a a 2 b + 3 ab 2 + b 3 Schritte : Alles ausmultiplizieren Faktoren in Produkten umordnen Gleiche Summanden zusammenfassen Ausmultiplizieren : 3 ursprüngliche Faktoren (a + b) Jeder davon liefert entweder a oder b Alle entstehenden Produkte haben 3 Faktoren ( a oder b ) 11 QM1_14 30

31 ? ( a + b ) n =? Lösung : ( a + b ) n als Produkt von n Faktoren (a + b) ausschreiben Ausmultiplizieren Ergebnis : Summe von Produkten aus Faktoren a, b Jedes Produkt hat n solche Faktoren Faktoren in den Produkten umordnen Alle Produkte haben die Form a k b nk ( k = 0,, n ) Gleiche Summanden a k b nk zusammenfassen? Wie oft kommt a k b nk vor? Möglichkeiten, aus den n Faktoren (a + b) diejenigen k auszuwählen, die a liefern a k b nk kommt ( ) n k Mal vor ( a + b ) n = n k=0 ( ) n a k b nk k 11 QM1_14 31

32 ( a + b ) n = n k=0 ( ) n a k b nk k n = 0 ( a + b ) 0 = 0 k=0 ( ) 0 a k b 0k = k ( ) 0 a 0 b 0 = = 1 0 n = 1 ( a + b ) 1 = = 1 k=0 ( ) 1 0 ( ) 1 a k b 1k k a 0 b 10 + ( ) 1 a 1 b 11 1 = 1 1 b + 1 a 1 = b + a = a + b n = 2 ( a + b ) 2 = = 2 k=0 ( ) 2 0 ( ) 2 a k b 2k k a 0 b 20 + ( ) 2 a 1 b ( ) 2 a 2 b 22 2 = 1 1 b a b + 1 a 2 1 = b ab + a 2 = a ab + b 2 11 QM1_14 32

33 ( a + b ) n = n k=0 ( ) n a k b nk k n = 5 ( a + b ) 5 = = 5 k=0 ( ) 5 a k b 5k k ( ) ( ) ( ) a 0 b 50 + a 1 b 51 + a 2 b ( ) ( ) ( ) a 3 b 53 + a 4 b 54 + a 5 b = 1 1 b a b a 2 b a 3 b a 4 b a 5 1 = a a 4 b + 10 a 3 b a 2 b ab 4 + b 5 ( a b ) n = ( a + (b) ) n 11 QM1_14 33

34 Pascalsches Dreieck Übersichtliche Anordnung der Binomialkoeffizienten k : 0 n : Jeder Koeffizient ist Summe der darüberliegenden 11 QM1_14 34

35 Nochmal : Mächtigkeit der Potenzmenge? Wie viele Teilmengen besitzt eine Menge der Mächtigkeit n? Beantwortung in zwei Schritten : Wie viele Teilmengen der Mächtigkeit k gibt es? Dabei : k = 0, 1,, n Aufsummieren dieser Anzahlen Hier ist zu summieren! Aufteilung aller Möglichkeiten in disjunkte Klassen Lösung also : Teilmengen mit Mächtigkeit k : ( ) n k Summieren : n k=0 ( ) n k = n k=0 ( ) n 1 k 1 nk = ( ) n = 2 n k 11 QM1_14 35

36 n-tupel aus { 0, 1 } mit genau k Einsen? Finde geeignete Kodierung! n-tupel mit k Einsen k-elementige Teilmengen von {1,, n} Teilmenge : Stellen der Einsen ( 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0 ) { 2, 5, 6 } Kodierung ist ( umgekehrt ) schon bekannt n-tupel mit k Einsen = ( ) n k 6-köpfiger Verein braucht 2-köpfigen Vorstand Vorstände ganz gleichberechtigt? Möglichkeiten? ( ) 6 2 = 6! 2! (6 2)! = 6! 2! 4! = = QM1_14 36

37 Gegeben : 3 M(änner), 4 F(rauen)? Möglichkeiten einer 4-köpfigen Delegation mit 2 F? Delegationsmitglieder sind gleichberechtigt Lösung im Überblick : Einteilung der Möglichkeiten in disjunkte Klassen definiert durch die Anzahl der F Ermittlung der Möglichkeiten in den einzelnen Klassen Aufsummieren dieser Zahlen Lösung konkret : Klassen gegeben durch 2, 3, 4 F? Teilproblem : Möglichkeiten mit genau k Frauen? 11 QM1_14 37

38 ? Teilproblem : Möglichkeiten mit genau k Frauen? k = 2 Lösung in zwei Schritten : Wahl von 2 F ( aus 4 ) ( ) 4 Möglichkeiten : 2 Wahl von ( 4 2 ) = 2 M ( aus 3 ) ( ) 3 Möglichkeiten : 2 Jede F-Wahl kann mit jeder M-Wahl kombiniert werden Gesamtmöglichkeiten : ( ) ( ) = 6 3 = 18 Entsprechend für k = 3 : Gesamtmöglichkeiten : ( ) ( ) = 4 3 = 12 Entsprechend für k = 4 : Gesamtmöglichkeiten : ( ) ( ) = 1 1 = 1 11 QM1_14 38

39 Zurück zur Lösung : 3 disjunkte Klassen von Möglichkeiten 2, 3 oder 4 F jeweilige Möglichkeiten : 18 ( 2 F ), 12 ( 3 F ), 1 ( 4 F ), Möglichkeiten insgesamt : Summieren = 31 Alternativlösung über das Gegenteil : Gegenteil von 2 F : < 2 F Hier : 1 F ( da insgesamt 3 M ) Möglichkeiten mit 1 F : 4 Möglichkeiten für irgendeine Delegation : ( ) 7 4 = 35 Möglichkeiten mit 2 F : 35 4 = QM1_14 39

40 Hypergeometrische Verteilung Standardbeispiel : Urne mit n Kugeln ( rot oder blau ) Davon : m rot und n m blau k ZoZoR ( oder : auf einmal k Kugeln ziehen )? W für r rote Kugeln? ( 0 r k ) Voraussetzung : Alle Möglichkeiten gleich wahrscheinlich Kugeln seien physikalisch nicht wesentlich verschieden W dann über Quotienten günstige Möglichkeiten Möglichkeiten insgesamt Möglichkeiten insgesamt = ( ) n k? günstige Möglichkeiten =? 11 QM1_14 40

41 ? günstige Möglichkeiten =? Günstige Möglichkeit hier : r rote und k r blaue Kugeln Herstellung dieser Möglichkeiten in zwei Schritten Wahl von r roten Kugeln ( aus m ) ( ) m Möglichkeiten : r Wahl von k r blauen Kugeln ( aus n m ) ( ) n m Möglichkeiten : k r Jede Wahl kann mit jeder kombiniert werden günstige Möglichkeiten : ( ) ( ) m n m r k r W für r rote Kugeln : ( ) ( ) m n m r k r ( ) n k 11 QM1_14 41

42 n Kugeln, m rot ( Rest blau ), k ZoZoR, Möglichkeiten gleichwahrscheinlich W für r rote Kugeln in der Ziehung : ( ) ( ) m n m r k r ( ) n k n = 12, m = 8, k = 6 W für r = 4 rote Kugeln ( ) ( ) ( ) = 12 6 ( ) ( ) ( ) = = 5 11 = 4545 W für r = 1 rote Kugel ( ) ( ) ( ) = 12 6 ( ) ( ) ( ) =?? 12 6 Geht auch nicht : 6 1 = 5 blaue Kugeln aus 4 ziehen? Herleitung war zu oberflächlich 11 QM1_14 42

43 Definitionserweiterung : ( ) n k := 0 für ganzes k mit k < 0 oder k > n Dann : n = 12, m = 8, k = 6 W für r = 1 rote Kugel ( ) ( ) ( ) = 12 6 ( ) ( ) ( ) = = 0 6 Passt! Definitionserweiterung vermeidet lästige Fallunterscheidungen 11 QM1_14 43

44 Lotto : 6 aus 49 Zusatzzahl wird nicht berücksichtigt? Wie wahrscheinlich sind r Richtige? ( r = 0, 1,, 6 )? Wo liegt der Zufall? Im Tipp?? In der Ziehung! Voraussetzung : Alle Ziehungen sind gleich wahrscheinlich Plausibel (? ) Korrekte Art der Problemstellung : Der Tipp liegt vor ( 6 Zahlen ) Die Kugeln werden zufällig gezogen? W, dass r von den 6 getippten Zahlen gezogen werden =? 11 QM1_14 44

45 ? W, dass r von den 6 getippten Zahlen gezogen werden =? Hilfsvorstellung : Die getippten Zahlen sind rot, die anderen blau ( ätherisch ) Frage dann :? W für r rote Kugeln bei 6 ZoZoR Zurückführung des Problems auf das Standardbeispiel mit n = 49, m = 6, k = 6 Lösung : Die W für r Richtige ist ( ) ( ) r 6 r ( ) = 49 6 ( ) ( ) 6 43 r 6 r ( ) 49 6 r = 6 ( ) ( ) ( ) = = QM1_14 45

46 Allgemeine Situation : n Kugeln ( rot oder blau ) Davon : m rot und n m blau k ZoZoR ( oder : auf einmal k Kugeln ziehen ) Neue Sichtweise : Die Zahl R der gezogenen roten Kugeln ist Zufallsvariable Abkürzung : Zva Diese Zva hat eine Verteilung Beschreibung der Verteilung durch ihre W-Funktion : f R f R gibt für jedes mögliche r die W P( R = r ) an Hier also : f R ordnet r die W für Ziehung mit r roten Kugeln zu Die W-Funktion ist hier gegeben durch f R (r) = ( ) ( ) m n m r k r ( ) ( r = 0,, k ) n k 11 QM1_14 46

47 Ist n > 0, 0 m, k n, und ist die Verteilung einer Zva R durch die W-Funktion f R mit f R (r) = ( ) ( ) m n m r k r ( ) n ( r = 0,, k ) k gegeben, so heißt die Verteilung von R auch hypergeometrische Verteilung mit den Parametern n, m, k Abkürzung für diese Verteilung : H(n, m, k) Abkürzung dafür, dass R diese Verteilung hat : R H(n, m, k) Ist R Zahl der Richtigen im Lotto 6 aus 49, so gilt R H(49, 6, 6) Gegeben : 3 M(änner), 5 F(rauen) Durch Losen wird eine 4-köpfige Delegation gebildet Ist R die Zahl der F in der Delegation, so gilt R H(8, 5, 4) 11 QM1_14 47

48 Die H(49, 6, 6)-Verteilung Lotto, 6 aus 49 R : Zahl der Richtigen R H(49, 6, 6) Verteilung von R über die W-Funktion Exakte Werte : hier ungekürzt, gleicher Nenner r P(R = r) exakt P(R = r) gerundet / / / / / / / / P(R = r) r 11 QM1_14 48

49 Lotto, 6 aus 49? W für mindestens 3 Richtige? Anders formuliert : P( R 3 ) =? R 3 setzt sich zusammen aus R = 3, R = 4, R = 5, R = 6 Möglichkeiten sind disjunkt Wn addieren sich P( R 3 ) = P( R = 3 ) + P( R = 4 ) + P( R = 5 ) + P( R = 6 ) = = QM1_14 49

50 Die H(8, 5, 4)-Verteilung Auslosen einer Delegation von 4 aus 3 M und 5 F R : Zahl der F R H(8, 5, 4) Verteilung von R über die W-Funktion Exakte Werte : hier ungekürzt, gleicher Nenner r P(R = r) exakt P(R = r) gerundet 0 0/ / / / / /70 1 P(R = r) r 11 QM1_14 50

51 Elementare W-Theorie Ziel : Etwas vereinfachte Theorie endlicher W-Räume Formalisierung des Konzeptes Wahrscheinlichkeit Grundbegriffe : Grundgesamtheit, Ergebnisse Ereignisse W-Maße Ergebnisse sind die möglichen Ausgänge eines Versuchs oder Zufallsexperiments In adäquater Genauigkeit beschrieben Ohne irrelevante Aspekte Würfel zeigt eine 6 IA irrelevant : Würfel fällt auf die-und-die Stelle des Tisches Die Grundgesamtheit ist die Menge der möglichen Ergebnisse Symbol meist Ω Ω : zunächst immer mit endlicher Mächtigkeit 12 QM1_14 51

52 Würfeln Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Würfeln mit zwei Würfeln ( unterscheidbar ) Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } (2, 5) : Erster Würfel : 2, zweiter Würfel : 5 Zufälliges Ziehen eines Studierenden Elementarbaustein für das Ziehen einer Stichprobe Dazu : M : Menge der Männer, F : Menge der Frauen G = M F Ω = G 12 QM1_14 52

53 Zufälliges Ziehen von 2 Studierenden aus G = M F Stichprobe vom Umfang 2? Ω =? Wie wird gezogen? ZmZmR Ω = G G ZoZmR Ω = G G \ { (g, g) g G } ZoZoR Ω = { A A G, A = 2 } Roulette Ω = { 0, 1,, 36 } 12 QM1_14 53

54 Ereignisse? Worauf sollen sich Wn beziehen? Gerade Zahl beim Würfeln Rouge beim Roulette 4 Richtige im Lotto 2 Männer beim Ziehen einer 2-er Stichprobe aus G = M F Diese Beispiele : keine Ergebnisse Sinnvoll : Einführung eines adäquaten Begriffs Begriff des Ereignisses geeignete Formalisierung? 12 QM1_14 54

55 Formalisierung des intuitiven Begriffs Ereignis Bei Ereignissen : Passende und nicht passende Ergebnisse Gerade Zahl beim Würfeln 2 passt, 5 passt nicht 2 Männer bei 2 ZoZmR aus G = M F ( Max, Moritz ) passt, ( Fritz, Heidi ) passt nicht Zusammenfassung der passenden Ergebnisse zu einer Teilmenge von Ω Würfeln, Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Gerade Zahl { 2, 4, 6 } Würfeln mit 2 Würfeln, Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 2 Augensumme 5 { (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) } 12 QM1_14 55

56 Zufälliges Ziehen eines Studierenden, Ω = G = M F Ziehen einer Frau F Zufälliges Ziehen von 2 Studierenden aus G = M F Ziehen von 2 Männern? ZmZmR, Ω = G G Ziehen von 2 Männern M M ZoZoR, Ω = { A A G, A = 2 } Ziehen von 2 Männern { A A M, A = 2 } Roulette Rouge { 1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36 } Manque { 1, 2,, 18 } 12 QM1_14 56

57 Bisher : natürliche Zuordnung : Ereignisse Teilmengen von Ω Präzisierender Schritt : Ereignisse sind Teilmengen von Ω Bei endlichen Grundgesamtheiten sogar ( etwas vereinfachend ) : Alle Teilmengen von Ω sind Ereignisse Ereignisse und Teilmengen von Ω sind dasselbe Sprechweise : Ereignis A tritt ein heißt : Für das Ergebnis ω des Versuchs gilt ω A Würfeln, A = {2, 4, 6} ( Gerade Zahl ) Ergebnis ist 2 A tritt ein Ergebnis ist 5 A tritt nicht ein 12 QM1_14 57

58 Besondere Ereignisse Ω tritt immer ein Ω heißt das sichere Ereignis tritt nie ein heißt das unmögliche Ereignis Sonderfall : Einelementige Ereignisse Würfeln : {6} ( Es fällt eine 6 ) Unterscheide : Ergebnis 6 Ereignis {6} Unterscheidung hier etwas künstlich Einelementige Ereignisse heißen auch Elementarereignisse 12 QM1_14 58

59 Ereignisraum Fasse alle Ereignisse zu einer Menge zusammen Resultat : P( Ω ) P( Ω ) heißt auch Ereignisraum oder Ereignisalgebra ( Voraussetzung : Ω ist endlich )? Anzahl der Ereignisse? Ist Ω = n, so P( Ω ) = 2 n Würfeln ( Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ) Ergebnisse : 6 Ereignisse : 2 6 = QM1_14 59

60 Ereignisse und Mengenoperationen Mengenoperationen mit Ereignissen neue Ereignisse Möglichkeit des Rechnens mit Ereignissen Daher die Bezeichnung Ereignisalgebra für P( Ω ) Durchgehendes Beispiel : 2 ZmZmR aus G = M F Ω = G 2 P 1 : erste gezogene Person, P 2 : zweite gezogene Person A = M G ( P 1 ist M(ann) ) B = G F ( P 2 ist F(rau) ) 12 QM1_14 60

61 Mengenoperation? Ereignis A B? A B tritt ein, wenn für Ergebnis ω gilt : ω A B wenn also ω A oder ω B ( oder beides ) wenn also A eintritt oder B eintritt ( oder beides ) A B : A tritt ein oder B tritt ein ( oder beides ) Oder hier nicht ausschließend 2 ZmZmR aus G = M F, A = M G, B = G F A B = ( M G ) ( G F ) P 1 ist M oder P 2 ist F ( oder beides ) A B tritt ein bei den Ergebnissen ( Max, Moritz ), ( Petra, Erna ), ( Pierre, Joelle) A B tritt nicht ein beim Ergebnis ( Nastasja, Ivan ) 12 QM1_14 61

62 Mengenoperation? Ereignis A B? A B tritt ein, wenn für Ergebnis ω gilt : ω A B wenn also ω A und ω B wenn also A eintritt und B eintritt A B : A tritt ein und B tritt ein 2 ZmZmR aus G = M F, A = M G, B = G F A B = ( M G ) ( G F ) = M F P 1 ist M und P 2 ist F A B tritt ein beim Ergebnis ( Eusebius, Genoveva ) A B tritt nicht ein bei den Ergebnissen ( Pere, Pau ), ( Daisy, Mary ), ( Mercedes, Ramón) 12 QM1_14 62

63 Mengenoperation c? Ereignis A c? A c tritt ein, wenn für Ergebnis ω gilt : ω A c wenn also ω / A wenn also A nicht eintritt A c : A tritt nicht ein 2 ZmZmR aus G = M F, A = M G A c = ( M G ) c = F G P 1 ist nicht M ( also : P 1 ist F ) A c tritt ein bei den Ergebnissen ( Bertha, Martha ), ( Julia, Romeo ) A c tritt nicht ein bei den Ergebnissen ( Hans, Hans ), ( Romeo, Julia ) 12 QM1_14 63

64 Mengenoperation \? Ereignis A \ B? A \ B tritt ein, wenn für Ergebnis ω gilt : ω A \ B wenn also ω A, aber nicht ω B wenn also A eintritt, aber B nicht eintritt A \ B : A tritt ein, B jedoch nicht 2 ZmZmR aus G = M F, A = M G, B = G F A \ B = ( M G ) \ ( G F ) = M M P 1 ist M, P 2 aber nicht F ( also : P 1 und P 2 sind M ) A \ B tritt ein beim Ergebnis ( Hans, Franz ) A \ B tritt nicht ein bei den Ergebnissen ( Eugen, Lisa ), ( Anna, Anna ), ( Papagena, Papageno) 12 QM1_14 64

65 Ausschließendes Oder? Wie ist ausschließendes Oder zu formulieren? Beispielsweise so : ( A B) \ ( A B ) A oder B tritt ein, nicht aber beide Also : Genau eines der Ereignisse A, B tritt ein 2 ZmZmR aus G = M F, A = M G, B = G F ( A B)\( A B ) = ( ( M G ) ( G F ) )\( M F ) P 1 ist M oder P 2 ist F, aber nicht beides ( A B) \ ( A B ) tritt ein bei den Ergebnissen ( Hermann, Heinrich ), ( Gerda, Gerda ) ( A B) \ ( A B ) tritt nicht ein bei den Ergebnissen ( Hermann, Hilde ), ( Hilde, Hermann ) 12 QM1_14 65

66 Aussagen über Ereignisse in Mengensprache Beispiele hier : Experiment Würfeln mit 2 Würfeln Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 2 S : Abkürzung für Augensumme A B = A und B können nicht beide eintreten In diesem Fall heißen A und B auch disjunkt A : S > 8 und B : 1 Würfel zeigt 1 sind disjunkt A B = Ω Es tritt immer ( mindestens ) eines der Ereignisse A, B ein Für A : S > 4 und B : S < 9 gilt A B = Ω 12 QM1_14 66

67 A B? Bedeutung? Wenn A eintritt, so gilt für Ergebnis ω : ω A Wegen A B gilt dann auch ω B Es tritt also auch B ein A B : Wenn A eintritt, so tritt auch B ein Für A : 1 Würfel 5 und B : S 4 gilt A B Noch ein Beispiel mit zwei Würfeln G = { 2, 4, 6 }, U = { 1, 3, 5 } A : S ist gerade G U A c Wenn 1 Würfel : gerade Zahl und 2 Würfel : ungerade Zahl so gilt : Augensumme nicht gerade 12 QM1_14 67

68 Gegenereignisse Ist A Ereignis, so heißt A c auch Gegenereignis von A Wegen (A c ) c = A ist A auch Gegenereignis von A c Sprechweise auch : A und A c sind Gegenereignisse Eigenschaften von Gegenereignissen : A A c = A A c = Ω Es tritt immer genau eines der Ereignisse A, A c ein Ein Würfel, G = { 2, 4, 6 }, U = { 1, 3, 5 } Das Gegenereignis von G ist U Zwei Würfel, G = { 2, 4, 6 }, U = { 1, 3, 5 } Das Gegenereignis von G {1, 2, 3, 4, 5, 6} ist U {1, 2, 3, 4, 5, 6} 12 QM1_14 68

69 Disjunkte Zerlegungen Sind A 1,, A n, A Ω, so heißt ( A 1,, A n ) disjunkte Zerlegung von A, falls (i) A i A j = für i j (ii) A 1 A 2 A n = A Abkürzung : dz ( A, A c ) ist dz von Ω A Ω ( A \ B, A B ) ist dz von A A B 12 QM1_14 69

70 ( A \ B, B \ A, A B ) ist dz von A B A B ( A, B \ A ) ist noch eine dz von A B A B 6 ZoZoR aus G ( 10 Personen, davon 5 F(rauen) ) Ω = { A A G, A = 6 } B j : j gezogene Personen sind F ( j = 0, 6 ) ( B 0,, B 6 ) ist dz von Ω B 0 = B 6 = Auch ( B 1,, B 5 ) ist dz von Ω 12 QM1_14 70

71 Erinnerung : Funktionen Eine Funktion f : D W ordnet jedem Element des Definitionsbereichs D eindeutig ein Element des Wertebereichs W zu Statt Funktion auch Abbildung Beispiel : f : R R mit f(x) = x 2 f(x) 1 1 x Kurzschreibweise auch : f : x x 2 Voraussetzung : Definitions- und Wertebereich sind klar auch bei konkreten Werten : = 4 Genauer Wertebereich nicht so wichtig, solange passend bei x x 2 Wertebereich auch [ 0, ) statt R 12 QM1_14 71

72 W-Maße Ist Ω endliche Grundgesamtheit, so heißt eine Funktion P : P( Ω ) R ein W-Maß auf Ω, falls folgende Bedingungen erfüllt sind : (i) P(A) 0 für alle A Ω (ii) P(Ω) = 1 (iii) P(A B) = P(A) + P(B) falls A B = (i) : Positivität, (ii) : Normierung, (iii) : Additivität (i), (ii), (iii) : W-Axiome Idealer Würfel, Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Durch P(A) := A / Ω wird ein W-Maß definiert Axiome nachprüfen! P( Gerade Zahl ) = P({2, 4, 6}) = 3/6 = 1/2 Dies W-Maß trifft die Intuition Allgemein bei gleichwahrscheinlichen Ergebnissen P(A) := A / Ω liefert plausibles W-Maß Gleichverteilung 12 QM1_14 72

73 Flächenanalogie Hilfreich : Vorstellung der Ereignisse als Teilflächen einer Gesamtfläche Ω Ω A B W-Maß hat dann die Eigenschaften eines Flächenmaßes 3 Axiom : P(A B) = P(A) + P(B) falls A B = Ω A B W-Maße verhalten sich ähnlich wie Flächenmaße In Mathematik ( Maßtheorie ) einheitliche Behandlung 12 QM1_14 73

74 Bemerkungen W-Maß als Funktion passt als Formalisierung zu Jedes Ereignis hat eine Wahrscheinlichkeit Verzicht auf Definition von Wahrscheinlichkeit Nur Formulierung von Eigenschaften, denen ( hoffentlich ) jeder zustimmen kann ( der an Wn glaubt ) Frage Gibt es Wn ( Wo? ) bleibt unberührt Definition ohne quantitative Festlegungen Solche Festlegungen müssen bei Anwendungen gemacht werden W-Modelle für gegebene Bereiche W-Modell für Würfeln : Gleichverteilung? Richtig für einen bestimmten konkreten Würfel? Völlige Symmetrie? Unwuchten?? Richtig?? oder besser : Angemessen? Gleichverteilungsmodell richtig für idealen Würfel Wo gibt es den? Im Ideenhimmel? Richtigkeit hier tautologisch Idealer Würfel durch Gleichverteilung definiert 12 QM1_14 74

75 Statistiker haben die W von zu berechnet Suggeriert grobes Missverständnis Statistiker können gar nichts ausrechnen außer für ideale Situationen oder ( konkrete Situationen ) unter Modellannahmen die mehr oder weniger plausibel sind W für 6 Richtige im Lotto ist 1/ Stimmt für die ideale Lottotrommel ( wo ist die? ) wenn es keine prophetischen Fähigkeiten gibt Aufgabe der Statistik : Entscheidung zwischen verschiedenen W-Modellen Ist dieser Würfel fair oder nicht? Kann das Gleichverteilungsmodell verworfen werden? Für unendliche Grundgesamtheiten ist Definition des W-Maßes zu modifizieren 12 QM1_14 75

76 Frequentistische W-Interpretation W ist Grenzwert relativer Häufigkeiten ( rh ) Frage : W der 6 beim Würfeln? Es wird 180 Mal gewürfelt Kumulative Bildung der rh der 6 Anfang der Daten : Würfe 6en Kumulierte rh Dezimal 5 2 2/ / / /20 1 Konvergenz : rh n 1/6 = QM1_14 76

77 Konvergenz der rh : Empirische Tatsache? Konvergenz kann auch in W-Theorie bewiesen werden Rechtfertigung der frequentistischen Interpretation!! Genauer hinsehen! Aussage der W-Theorie etwa : Konvergenz tritt auf mit Wahrscheinlichkeit 1 Zirkel! Trotzdem : Intutition von W als Grenzwert von rh ist naheliegend Oft nützlich bei der Plausibilisierung neuer Konzepte 12 QM1_14 77

78 W-Räume Eine Grundgesamtheit Ω mit einem W-Maß P heißt auch Wahrscheinlichkeitsraum ( W-Raum ) Formale Schreibweise : < Ω, P > Ist das W-Maß P eines W-Raums < Ω, P > gegeben durch P(A) = A Ω, so heißt < Ω, P > auch Laplaceraum Modell der Gleichwahrscheinlichkeit der Ergebnisse Idealer Würfel Zufälliges Stichprobenziehen Annahme eines Laplaceraums ist im Einzelfall zu prüfen 12 QM1_14 78

79 Folgerungen aus den Axiomen Ist (A 1, A n ) dz von A so gilt : P(A) = n i=1 P(A i ) Zunächst n = 2 A = A 1 A 2 mit A 1 A 2 = Axiom (iii) : P(A) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) Nun : n = 3, (A 1, A 2, A 3 ) ist dz von A (= A 1 A 2 A 3 ) Ω A 1 A 3 A 2 ((A 1 A 2 ), A 3 ) ist dz von A P(A) = P(A 1 A 2 ) + P(A 3 ) ( hier : n = 2 ) (A 1, A 2 ) ist dz von A 1 A 2 P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) ( schon gezeigt ) P(A) = P(A 1 A 2 ) + P(A 3 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) Analog : Von n = 3 zu n = 4 zu n = 5 12 QM1_14 79

80 P(A) + P(A c ) = 1 (A, A c ) ist dz von Ω A Ω Wn von Gegenereignissen addieren sich zu 1 P(A) 1 für alle A P(A) + P(A c ) = 1 und P(A c ) 0 ( Ax (i) ) P(A c ) = 1 P(A) P( ) = 0 = Ω c! Umkehrung muss nicht gelten : Aus P(A) = 0 folgt nicht A = 12 QM1_14 80

81 Aus A B folgt P(A) P(B) B A Ω (A, B \ A) ist dz von B Ω P(A) + P(B \ A) = P(B) Wegen P(B \ A) 0 : P(A) P(B) 12 QM1_14 81

82 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) A B Zerlege geeignet! (A \ B, A B) ist dz von A (B \ A, A B) ist dz von B (A \ B, B \ A, A B) ist dz von A B P(A B) = P(A \ B) + P(B \ A) + P(A B) = P(A \ B) + P(A B) + P(B \ A) + P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) P(A) + P(B) P(A 1 A 2 A n ) P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ) Induktiv, nächster Schritt ( 2 3 ) beispielsweise P(A 1 A 2 A 3 ) = P((A 1 A 2 ) A 3 ) P(A 1 A 2 ) + P(A 3 ) P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) 12 QM1_14 82

83 W-Funktionen? Wie gibt man ein W-Maß an? Eine Möglichkeit : Auflistung der Werte : A P(A) für alle Ereignisse A Aufwändig und umständlich! Beim Würfel : 2 6 = 64 Einzelangaben Zur Rekonstruktion aller Wn : Kenntnis der Wn der Elementarereignisse genügt : Ist A = { ω 1, ω 2,, ω k }, so gilt : ( {ω 1 }, {ω 2 },, {ω k } ) ist dz von A P(A) = P({ω 1 }) + P({ω 2 }) + + P({ω k }) Zusammenfassung dieser Wn aller Elementarereignisse 12 QM1_14 83

84 Zusammenfassung der Wn aller Elementarereignisse : Ist < Ω, P > (endlicher) W-Raum, so heißt die Funktion f : Ω R mit f( ω) := P({ω}) für alle ω Ω auch die zu P gehörende Wahrscheinlichkeits-Funktion Abkürzung für Wahrscheinlichkeitsfunktion : W-Funktion Ist f die zu P gehörende W-Funktion, so gilt für alle A Ω : P(A) = ω A f(ω) P({ω}) = P(A) f(ω) = ω A ω A Angabe eines W-Maßes auf Ω mit Ω = n : mit Hilfe der W-Funktion f durch n Einzelangaben f(ω) Zur Vollständigkeit : ω f(ω) = 0 ( leere Summe ) 12 QM1_14 84

85 2 reale Würfel 36 Angaben statt 2 36 = Ist < Ω, P > Laplaceraum, so ist f 1 Ω ( konstant ) Eigenschaften von W-Funktionen Ist f W-Funktion zum W-Maß P auf Ω, so gilt : (i) f(ω) 0 für alle ω Ω (ii) f(ω) = 1 ω Ω (i) : f(ω) = P({ω}) 0 (ii) : f(ω) = P(Ω) = 1 ω Ω Die beiden Eigenschaften charakterisieren W-Funktionen vollständig Konstruktion eines W-Maßes aus der erhofften W-Funktion 12 QM1_14 85

86 Ist f : Ω R Funktion auf endlichem Ω mit (i) f(ω) 0 für alle ω Ω (ii) f(ω) = 1, ω Ω so wird durch die Vorschrift P(A) := ω A f(ω) für alle A Ω ein W-Maß P auf Ω definiert, dessen W-Funktion f ist Zeige : a) P ist W-Maß ( Axiome nachprüfen ) b) W-Funktion von P ist dann f ( klar ) Gegeben : 55 Studierende ( Ω ), einmal zufällig Ziehen Aber : 10 kommen nur jedes zweite Mal? Geeignetes W-Maß? Konstruktion über die W-Funktion f W-Funktion für regelmäßigen Teilnehmer : x W-Funktion für unregelmäßigen Teilnehmer dann : x/2 Wegen (ii) muss gelten 1 = ω Ω f(ω) = 45 x + 10 x 2 Also 50 x = 1 oder x = 1/50 12 QM1_14 86

87 Häufigkeiten und Wn Zusammenhang für motivierende Argumentationen ( vage ) Grundlage : Frequentistische Intuition 6en bei 600-mal Würfeln? Ein Ereignis A hat W p Der Versuch wird sehr oft durchgeführt (N Mal )? Wie oft tritt A ein? ( ungefähr ) Eintreten von A : n rh also : n/n Frequentistische Interpretation n/n p n N p 6en bei 600-mal Würfeln : = QM1_14 87

88 Bedingte Wahrscheinlichkeiten W von positiver Diagnose bei Krankheit W von Krankheit bei positiver Diagnose 2 Würfel, A : Summe > 7, B : 1 Würfel : 3 P(A) = 15 36, P(B) = 1 6, P(A B) = 2 36? W von A unter B? Allgemein : Gegeben Ereignisse A, B mit P(B) > 0? W von A unter B?? Was soll das überhaupt heißen? Motivierung der Definition (!) mit frequentistischer Intuition Führe Versuch oft durch ( N-mal ) Betrachte nur die Ergebnisse, bei denen B eintritt Wie groß ist davon die rh von A? Diese rh sollte etwa die bedingte W sein 12 QM1_14 88

89 Versuch wird N-mal durchgeführt Auftreten von B : N P(B) Mal Darunter : Auftreten von A : N P(A B) Mal RH : N P(A B) N P(B) = P(A B) P(B) Würfelbeispiel : mal Würfeln Eintreten von B ( 1 Würfel : 3 ) : etwa P(B) = = 6000 Mal Dazu Eintreten von A ( Summe > 7 ) : etwa rh etwa P(A B) = = 1 3 ( = P(A B) P(B) = 2000 Mal ) 12 QM1_14 89

90 Sind A und B Ereignisse mit P(B) > 0, so heißt P(A B) := P(A B) P(B) auch bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B Definition in Harmonie mit frequentistischer Interpretation Bedingtheit hat allgemein nichts zu tun mit zeitlicher Reihenfolge mit Kausalität schon gar nicht In speziellen Fällen jedoch oft 2 Würfel, A : Summe > 7, B : 1 Würfel : 3 P(A) = 15 36, P(B) = 1 6, P(A B) = 2 36 P(A B) = 2/36 1/6 = 1 3 P(A) ändert sich bei Eintreten von B Es besteht eine Art Abhängigkeit zwischen A und B 12 QM1_14 90

91 Ist P(B) > 0, so gilt : (i) P(A B) 0 für alle A Ω (ii) P(Ω B) = 1 (iii) P(A 1 A 2 B) = P(A 1 B) + P(A 2 B) für A 1 A 2 = Kurz : P( B) ist ein W-Maß auf Ω P( B) ist Kurzschreibweise für : A P(A B) (i), (ii) : klar (iii) : Gilt A 1 A 2 =, so auch (A 1 B) (A 2 B) = ferner (immer) (A 1 A 2 ) B = (A 1 B) (A 2 B) A 1 Ω B A 2 P(A 1 A 2 B) = P((A 1 A 2 ) B) P(B) = P(A 1 B) + P(A 2 B) P(B) = P(A 1 B) P(B) + P(A 2 B) P(B) = P(A 1 B) + P(A 2 B) 12 QM1_14 91

92 P( A c B) = 1 P(A B) etc etc P( B) ist W-Maß P(A B) = P(A B) P(B) Ist ( B 1,, B J ) dz von Ω mit P(B j ) > 0 für alle j und A Ω, so gilt P(A) = J j=1 P(A B j ) P(B j ) Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ( A B 1,, A B J ) ist dz von A : Ω A Ω dz von Ω in die B j dz von A in die A B j P(A) = J j=1 P(A B j ) = J j=1 P(A B j ) P(B j ) P(A) ist gewichtetes Mittel der bedingten Wn P(A B j ) 12 QM1_14 92

93 2 Würfel B j : 1 Würfel zeigt j ( j = 1,, 6 ) A : Summe ist 10 1 Würfel gezinkt : P(B 1 ) = = P(B 5 ) = 1, P(B 6 ) = 5? P(A) =? (B 1,, B 6 ) ist dz von Ω = {1,, 6} 2 P(A B 1 ) = = P(A B 3 ) = 0 P(A B 4 ) = 1 6, P(A B 5) = 2 6, P(A B 6) = 3 6 P(A) = 6 j=1 P(A B j ) P(B j ) = 0 (1) + 0 (1) + 0 (1) (1) (1) (5) = 18 6 = 3 Vgl : 6/36 = 1/6 bei fairem 1 Würfel 12 QM1_14 93

94 Ist ( B 1,, B J ) dz von Ω mit P(B j ) > 0 für alle j und A Ω mit P(A) > 0, so gilt für alle k = 1,, J P(B k A) = P(A B k ) P(B k ) J P(A B j ) P(B j ) j=1 Satz von Bayes P(B k A) = P(B k A) P(A) = P(A B k ) P(B k ) J P(A B j ) P(B j ) j=1 Nenner ist P(A) ( totale W ) Änderung der a-priori-wahrscheinlichkeiten P(B k ) unter Zusatzinformation A zu a-posteriori-wahrscheinlichkeiten P(B k A) Interessante Frage in der Kognitionspsychologie? Verhalten sich Organismen gemäß Bayesformel? 12 QM1_14 94

95 2 Würfel B j : 1 Würfel zeigt j ( j = 1,, 6 ) A : Summe ist 10 1 Würfel gezinkt : P(B 1 ) = = P(B 5 ) = 1, P(B 6 ) = 5? P(B k A) =? (B 1,, B 6 ) ist dz von Ω = {1,, 6} 2 P(A B 1 ) = = P(A B 3 ) = 0 P(A B 4 ) = 1 6, P(A B 5) = 2 6, P(A B 6) = 3 6 P(A) = 3 P(B 2 A) = 0 3 = 0 P(B 5 A) = P(B 6 A) = (2/6) (1) 3 (3/6) (5) 3 = 1 9 = 5 6 A-posteriori-Wn P(B k A) : 0, 0, 0, Summe ist , 2 18, Vgl mit a-priori-wn! A-posteriori-Wn bei fairem erstem Würfel : P(B k A) : 0, 0, 0, 1 6, 2 6, QM1_14 95

96 Unabhängigkeit Motivierung der Definition Test auf Krankheit Versuch : Zufälliges Ziehen eines Probanden aus Gesamtpopulation A : Diagnose positiv, B : Proband krank Erwartung an guten Test : Bei Kranken erhöht sich die W einer positiven Diagnose im Vergleich zur Gesamtpopulation Formal : P(A B) > P(A) Dann besteht eine Art Abhängigkeit ( A von B ) Falls P(A B) = P(A) : Test ganz unbrauchbar A hängt überhaupt nicht von B ab Nahliegende Sprechweise : A ist von B unabhängig, falls P(A B) = P(A) 12 QM1_14 96

97 Intuitive Bedingung für Unabhängigkeit ( A von B ) : P(A) = P(A B) = P(A B) P(B) Umformung : P(A B) = P(A) P(B) Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, falls P(A B) = P(A) P(B) gilt Sind A und B unabhängig mit P(B) > 0, so gilt P(A) = P(A B) P(A B) = P(A B) P(B) = P(A) P(B) P(B) = P(A) ( Technische ) Defintion also in Einklang mit Motivation Unabhängigkeit ist symmetrisch! Nicht Unabhängigkeit und Disjunktheit verwechseln!! Keine ( allgemein ) falschen Assoziationen! ( Kausalität etc ) 12 QM1_14 97

98 2 faire Würfel, A : 1 Würfel : 3, B : Summe = 7? A, B unabhängig? P(A) = 1 6, P(B) = 1 6, P(A B) = 1 36 P(A) P(B) = = 1 36 = P(A B) A und B sind unabhängig 2 faire Würfel, A : 1 Würfel : 3, B : Summe = 8? A, B unabhängig? P(A) = 1 6, P(B) = 5 36, P(A B) = 1 36 P(A) P(B) = = = P(A B) A und B sind nicht unabhängig Hier : P(A B) = = P(A) 12 QM1_14 98

99 2 faire Würfel, A : 1 Würfel : < 5, B : 2 Würfel > 3? A, B unabhängig? P(A) = 4 6, P(B) = 3 6, P(A B) = P(A) P(B) = = = P(A B) A und B sind unabhängig Hier Sonderfall : A bezieht sich auf 1 Würfel, B auf 2 Würfel? Sind derartige Ereignisse immer unabhängig? Vermutung : Ja 12 QM1_14 99

100 Sind A und B unabhängig, so auch A und B c P(A B c ) =? A B ( A B, A B c ) ist dz von A P(A) = P(A B) + P(A B c ) P(A B c ) = P(A) P(A B) = P(A) P(A) P(B) = P(A) (1 P(B)) = P(A) P(B c ) Sind A, B unabhängig, so auch A c, B, ebenso A c, B c A, B vertauschen bzw iterieren 12 QM1_14 100

101 Sind A und B unabhängig, P(B) > 0, P(B c ) > 0, so gilt P(A B) = P(A) = P(A B c ) Dies zeigt nochmal die Angemessenheit der Begriffsbildung Diagnosebeispiel : A : Diagnose positiv, B : Proband krank Sind A, B unabhängig, so P(A B) = P(A B c ) Test dann in der Tat unbrauchbar Unabhängigkeit von mehr als 2 Ereignissen A, B, C heißen unabhängig, falls sie paarweise unabhängig sind und zusätzlich P( A B C ) = P(A) P(B) P(C) gilt Unabhängigkeit von 3 Ereignissen ist also mehr als paarweise Unabhängigkeit und auch mehr als Gültigkeit von P( A B C ) = P(A) P(B) P(C) Analog ( immer komplizierter ) : Unabhängigkeit von 4, 5, 6, Ereignissen 12 QM1_14 101

102 Zufallsvariable Oft interessiert bei einem Versuch nicht das genaue Ergebnis sondern nur ein bestimmter Aspekt 2 Würfel, interessant ist vielleicht nur die Augensumme Erfassen eines solchen Aspektes durch eine geeignete Abbildung 2 Würfel, es interessiert die Augensumme Geeignete Abbildung : X : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 2 { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } X((w 1, w 2 )) := w 1 + w 2 X((3, 5)) = 8 Verkürzende Schreibweise : X(3, 5) statt X((3, 5)) Streng genommen unkorrekt, aber praktisch 12 QM1_14 102

103 2 Würfel, interessant ist jetzt der 1 Würfel Geeignete Abbildung : X 1 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 2 { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } X 1 (w 1, w 2 ) := w 1 Oder : interessant ist der 2 Würfel Geeignete Abbildung : X 2 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 2 { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } X 2 (w 1, w 2 ) := w 2 Für viele Zwecke praktischer : Als Wertebereich von X 1, X 2, X gleich R nehmen Hier gilt übrigens : X = X 1 + X 2 Summe von Abbildungen ist wieder Abbildung Formale Definition : Sind X 1 und X 2 Abbildungen auf Ω mit Werten in den reellen Zahlen, so ist X 1 + X 2 die Abbildung auf Ω, die gegeben ist durch (X 1 + X 2 )(ω) := X 1 (ω) + X 2 (ω) Analog : Differenz, Produkt, X 2 1, etc etc 12 QM1_14 103

104 Population Ω von Männern und Frauen Zufälliges Ziehen einer Person Elementarbaustein des Stichprobenziehens Interessant ist vielleicht die Intelligenz der gezogenen Person Geeignete Abbildung : X : Ω R Person IQ X( Julius ) = 117 Interessant ist jetzt das Geschlecht der gezogenen Person Geeignete Abbildung : Y : Ω { m, w } Person Geschlecht Y ( Petra ) = w Vorteil derartiger Abbildungen Erfassung der relevanten Information bei Ignorierung der irrelevanten 12 QM1_14 104

105 Urbild Ist X : Ω Ω eine Abbildung und A Ω, so heißt die Menge X 1 (A) := { ω Ω X(ω) A } das Urbild von A unter X 2 Würfel, X : {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 R : Augensumme A = { 10, 11, 12 } Augensumme 10 X 1 (A) gibt Antwort auf die Frage : Welche Ergebnisse führen zu Augensummen 10? X 1 (A) = { (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } Zufälliges Ziehen einer Person aus Population Ω X : Intelligenz A = (100, ) überdurchschnittlich X 1 (A) gibt Antwort auf die Frage : Welche Personen sind überdurchschnittlich intelligent? X 1 (A) vielleicht : { Julius, Olga, Maria, Fritz, } 12 QM1_14 105

106 2 faire Würfel, X : {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 R : Augensumme A = { 10, 11, 12 } Augensumme 10? Wie wahrscheinlich ist eine Augensumme in A? ( also 10 ) Lösungsweg : Umformulierung : Welche Ergebnisse führen zu Summe 10? Antwort : (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) Also die Elemente von X 1 (A) Es sind also folgende Ereignisse gleich : Augensumme X liegt in A X 1 (A) Daher ist die W einer Augensumme in A gleich P(X 1 (A)) Lösung also : Die gesuchte W ist P(X 1 (A)) = 6 36 = 1 6 Entscheidend : das interessierende Ereignis ist X 1 (A) Davon ist die W zu bestimmen P(X 1 (A)) 12 QM1_14 106

107 Ist < Ω, P > ( endlicher ) W-Raum und X : Ω Ω eine Funktion mit Werten in einer Menge Ω, so heißt X auch Zufallsvariable ( auf Ω ) Abkürzung : Zva Zvan erfassen relevante Aspekte eines Zufallsergebnisses Zufällig ist das Ergebnis ω, X( ω ) dann aber nicht mehr Wn von Ereignissen, die sich auf eine Zva beziehen? Form solcher Ereignisse genauer : Gegeben ist ein A Ω Ereignis dann : Der Wert von X liegt in A Bezeichnung für dieses Ereignis : X A Bezeichnung der Wahrscheinlichkeit : P(X A) P(X A) = P(X 1 (A)) Weitere Schreibweisen : X 10 : Ereignis, dass X mindestens 10 ist P(X 10) : W davon Etc etc 12 QM1_14 107

108 Verteilung einer Zva Ist < Ω, P > (endlicher) W-Raum und X : Ω Ω eine Zva mit Werten in einer endlichen Menge Ω, so ist die durch die Vorschrift P X (A) := P(X 1 (A)) für A Ω auf P(Ω ) definierte Funktion P X ein W-Maß auf Ω Nachprüfen der Axiome P X (A) ist die W, dass X einen Wert in A annimmt Das W-Maß P X heißt auch Bildmaß von P ( unter X ) oder auch Verteilung von X Charakterisierung wie üblich durch die W-Funktion Die zu P X gehörende W-Funktion heißt auch W-Funktion von X Bezeichnung meist : f X 12 QM1_14 108

109 Eigenschaften der W-Funktion von X Ω erstmal immer endlich Ist < Ω, P > (endlicher) W-Raum mit W-Funktion f und X : Ω Ω Zva mit W-Funktion f X : Ω R, so gilt f X (x) = ω Ω X(ω)=x f(ω) für alle x Ω f X (x) = P X ({x}) = P(X 1 ({x})) und X 1 ({x}) = { ω Ω X(ω) {x}} = { ω Ω X(ω) = x} Ist f X die W-Funktion einer Zva X : Ω Ω, so gilt für alle A Ω die Beziehung P X (A) = x A f X (x) f X ist W-Funktion 12 QM1_14 109

110 Gegeben : Population Ω = { a, b, c, d, e, f, g, h } Interessant : Verteilung der Zva X : Augenfarbe Ω = { b, hb, db, hg, dg } braun, hell/dunkel-blau/grün Ungleiche Ziehungswahrscheinlichkeiten W-Maß P auf Ω gegeben durch W-Funktion f ω f(ω) X(ω) a 20 hb b 15 dg c 05 b d 10 hg e 15 b f 10 db g 10 hg h 15 dg Bestimme P X über f X! f X (b) = ω Ω X(ω)=b f X (hb) = ω Ω X(ω)=hb f X (db) = f(f) = 10 f(ω) = f(c) + f(e) = = 20 f(ω) = f(a) = 20 f X (hg) = f(d) + f(g) = = 20 f X (dg) = f(b) + f(h) = = QM1_14 110

111 Zusammenfassung der Werte von f X x f X (x) b 20 hb 20 db 10 hg 20 dg 30 Veranschaulichung der W-Funktion f X f X (x) b hb db hg dg x H := { hb, hg } Helle Augenfarbe P X (H) = x H f X (x) = f X (hb) + f X (hg) = = 40 Natürlich gleiches Resultat mit P X (H) = P(X 1 (H)) : X 1 (H) = { a, d, g } P({ a, d, g }) = f(a) + f(d) + f(g) = = QM1_14 111

112 Verteilung der Augensumme von 2 fairen Würfeln Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 2 P : Gleichverteilung, also f(ω) = 1/36 für alle ω Zva : X : Ω Ω = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } X(w 1, w 2 ) = w 1 + w 2 Bestimme P X über f X f X ( 4 ) = f(1, 3) + f(2, 2) + f(3, 1) = = 3 36 Insgesamt : x f X (x) Veranschaulichung : f X (x) 5/36 1/ x 12 QM1_14 112