Fit für die Oberstufe Teil II - Gleichungen

Transkript

1 Gleichungen gibt es in verschiedenen Varianten: lineare und quadratische Gleichungen. Müssen zwei Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein, ergibt sich daraus ein Gleichungssystem. Lineare Gleichungen (1 Variable)* Wir betrachten zunächst nur Gleichungen mit einer Variablen (früher: Unbekannten) und Zahlen. Ziel ist, für die Variable eine Lösung zu bestimmen, sodass die Gleichung gilt. Die Bestimmung der Variablen geschieht durch Umformung der Gleichung. Diese können einfach, aber auch etwas anspruchsvoller sein einfach: anspruchsvoller: Strategie: 3x + 63 = x 4(3 7x) = 8 + 3x 1) Klammern auflösen 3 x = 10 : 3 15x 1 + 8x = 8 + 3x zsf. ) Zusammenfassen x = 34 43x 1 = 8 + 3x 3x + 1 3) Sortieren IL = { 34} 40x = 40 : 40 4) durch Koeffizient teilen x = 1 5) IL angeben IL = {1} Übungen: Innermathematisch: a) 4x + 7 = 9x 3 b) 10x + 11 = 7x + 17 c) 33a + 4 = 36a 8 d) 3(x + ) = 4(x + 7) e) 0,5(a + 0,5) = 1 4 (4a + 8) f) 3 x = 1 6 x 1 6 g) 5x (x + 4) = 17 4x² h) (3x + 4)(4x + 3) = (x + 6)(6x + ) a) Ein Dreieck mit der Grundseite g = 5cm hat einen Flächeninhalt A = 35cm². Berechne die Höhe des Dreiecks. b) Ein Kegel mit der Oberfläche 0 = 34π cm² hat einen Radius r = 5cm. Berechne die Höhe des Kegels. c) Ein 4cm hohes Trapez hat einen Flächeninhalt A = 56cm². Berechne die Länge der Seite c, wenn die parallele Seite a 6cm lang ist. Lineare Gleichungen ( Variablen) Es gibt auch Gleichungen mit zwei Variablen, z.b. 3x y = 5. Diese Gleichung lässt sich in die uns bekannte Form y = 3x 5 umformen. Dann folgt: Jede Lösung besteht aus einem Zahlenpaar, es gibt unendlich viele Lösungen und die graphische Darstellung der Lösung ist eine Gerade (vgl. Wdhg. Lineare Funktion).

2 Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen bestehen aus einem quadratischen, linearen und absoluten Glied. Ziel ist, für die Variable Lösung(en) zu bestimmen, sodass die Gleichung gilt. (Achtung: Quadratische Gleichungen können zwei Lösungen haben!) Quadratische Gleichungen können verschiedene Strukturen haben, wobei das quadratische Glied manchmal erst durch Ausklammern offensichtlich wird. Je nach Struktur bieten sich verschiedene Lösungsverfahren an (es muss nicht immer die pq-formel sein): I) quadratisches Glied=0 II) Binomische Formel=0 III) quadrat. & lin. Glied=0 x = 51 (x 6) = 0 x² 3x = 0 x = 56 x 6 = x(x 3) = 0 x 1 = 16; x = 16 x 1 = 6 x 1 = 0; x = 3 IL = { 16; 16} IL = {6} IL = {0; 3} IV) Klammer Klammer=0 V) allg. quadrat. Gleichung=0 VI) quadrat. Gleichung 0 (x + 5)(x 3) = 0 x² + 6x + 5 = 0 (x + 3) = 4 x 1 = 5; x = 3 x 1; = 6 ± 6 5 Rückführen auf Bekanntes! IL = { 5; 3} x 1; = 3 ± 3 5 (x + 3) 4 = 0 x 1; = 3 ± 4 x² + 6x + 5 = 0 x 1 = 5; x = 1 mit pq-formel lösbar IL = { 5; 1} Übungen: Innermathematisch: a) x² 169 = 0 b) x² = 9x² c) 3x² 18x = 0 d) (x + 5) = 10x e) x² + 6x 4 = 0 f) 79 3x² 9x = 4 g) x³ x² x = 0 h) (6x 1)(5x + 3) = 3(x 1) i) 5 x² x = 0 a) Ein Kegel hat die Oberfläche O = 108π cm², die Länge der Seitenkante der Mantelfläche beträgt 4cm. Berechne den Radius des Zylinders. b) Die Fläche eines Kreises beträgt A = 36π cm². Berechne den Radius.

3 Lineares Gleichungssystem Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Zum Lösen eines LGS hast du drei Verfahren kennen gelernt: das Additions-, Gleichsetzungs- sowie das Einsetzungsverfahren. Bei der Lösung sind folgende Fälle möglich: genau 1 Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Additionsverfahren Geeignet, wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen umgeformt sind/leicht umgeformt werden können. y = 3x 6 y = 4x + 7 Geeignet, wenn eine Gleichung nach einer Variablen umgeformt und der Koeffizient 1 ist oder diese Form leicht erreicht werden kann. 3y 6x = 4 y = 3x Geeignet, wenn die Koeffizienten vor den Variablen verschieden sind. 3x + y = 4 x 1,5y = 8 Gleichungen 1 & II gleichsetzen: y = y 3x 6 = 4x + 7 3x 6 = x = x x = 13 einsetzen in Gl. I (oder II): y = 3 ( 13) 6 = 45 Probe: Lösungen in II einsetzen 45 =? 4 ( 13) + 7 (wahr) Lösung: IL = {( 13 45)} Gleichung II in I einsetzen: 3 (3x ) 6x = 4 9x 6 6x = 4 3x 6 = x = 10 : 3 x = x = 3 1 in II einsetzen: 3 y = = 8 Probe: Lösungen in I einsetzen: Lösung: IL = {3 1 8)} 3 3 I II 9x + 3y = 1 4x 3y = 16 3 I I + II + 3y = 1 9x 5x = 4 Mit Gleichung II folgt: 5x = 4 x = 4 5 x = y = 4 5 y = = 6 5 in I einsetzen: Probe: Lösungen in I einsetzen: Lösung: IL = { )} Übungen: Entscheide vor dem Rechnen, welches Lösungsverfahren eine möglichst einfache und schnelle Berechnung der Variablen ermöglicht. Löse anschließend die Gleichungssysteme.,5x 8 = y a) 5x + 3y = 41 b) 3x +,5y = 3,75 + 3y = 1,9 c),4x 3x 1,5y = 17,5 3x + 6y = 19,5 d) 3x = 9 y y = 3x

4 Lösungen: Lineare Gleichungen Innermathematisch a) 4x + 7 = 9x 3 10 = 5x x = IL = {} b) 10x + 11 = 7x x = 6 x = IL = {} c) 33a + 4 = 36a 8 3a = 1 a = 4 IL = { 4} d) 3(x + ) = 4(x + 7) 3x + 6 = 4x + 8 = x IL = { } e) 0,5(a + 0,5) = 1 (4a + 8) a + 0,5 = a + 0,5 = IL = { }!!!!! 4 f) 3 x = 1 6 x x = x = 11 5 IL = { 1 5 } g) 5x (x + 4) = 17 4x² 5x (4x + 16x + 16) = 17 4x² 5x 4x² 16x 16 = 17 4x² 11x = 33 x = 3 IL = { 3} h) (3x + 4)(4x + 3) = (x + 6)(6x + ) 1x² + 9x + 16x + 1 = 1x² + 4x + 1x + 1 x = 0 IL = {0} a) A = g h 35cm² = 5cm h 70² = 5cm h : 5 h = 14cm b) O = π r (r + s) 34π = π 5(5 + s) 34π = 5π + 5πs 9π = 5πs : 5π 5π s = 9 5 c) A = (a+c) h (6 + c) 4 56 = 11 = 4 + 4c 4 88 = 4c c =

5 Lösungen: Quadratische Gleichungen Innermathematisch: a) x 169 = 0 IL = { 13; 13} b) x = 9x 16 = x 8 = x x = oder x = IL = { ; } c) 3x 18x = 0 3x(x 18) = 0 x = 0 oder x = 18 IL = {0; 18} d) (x + 5) = 10x x + 10x + 5 = 10x x = 11 x = 11 oder x = 11 IL = { 11; 11} e) x + 6x 4 = 0 x 1; = 3 ± 3 4 x 1; = 3 ± 13 IL = { 3 13; } f) 79 3x 9x = 4 3x 9x + 75 = 0 x + 3x 5 = 0 : ( 3) x 1; = 3 ± 3 ² ( 5) x 1; = 3 ± IL = ; = g) x 3 x x = 0 x(x x ) = 0 x = 0 oder x x = 0 IL = { 1; } x 1; = 1 ± 1 ² + x 1; = 1 ± 9 4 x 1; = 1 ± 3 h) (6x 1)(5x + 3) = 3(x 1) 30x + 18x 5x 3 = 3x 3 30x + 10x = 0 10x(3x + 1) = 0 x = 0 oder 3x + 1 = 0 IL = 1 3 ; 0 x = 1 3 i) 5 x x + 3 = 0 10 x² 4 5 x = 0 x 1; = 5 ± 5 x 1; = 5 ± 1 5 IL = 1 5 ; a) O = πr + πrs 108π = πr² + 4πr : π 108 = r² + 4r 108 r + 4r 108 = 0 pq Formel r 1; = ± ( 108) r 1; = ± 11 r = 8,58 oder r = 1,58 (n. d. ) b) A = π r 36π = πr : π 36 = r r = 6 oder r = 6 (n. d. )

6 Lösungen: Gleichungssysteme,5x 8 = y a) 5x + 3y = 41 Lösung nach dem Einsetzungsverfahren: 5x + 3 (,5x 8) = 41 5x + 7,5x 84 = 41 1,5x = 15 x = 10 x = 10 einsetzen in Gleichung I ergibt: y =, = 3 IL = {(10 3)} 3x +,5y = 3,75 b) 3x 1,5y = 17,5 Lösung nach dem Additionsverfahren I I + II +,5y = 3,75 3x y = 6,5 y = 6,5 in I (oder II) einsetzen: 3x +,5 6,5 = 3,75 x + 16,5 = 3,75 16,6 3x = 7,5 : 3 x =,5 IL = {(,5 6,5)},4x + 3y = 1,9 c) 3x + 6y = 19,5 Zunächst Vorbereitung für Additionsverfahren: I ( ) 4,8x 6y = 5,8 II 3x + 6y = 19,5 I + II II I: ( 1,8) II 1,8x = 6,3 3x + 6y = 19,5 x = 3,5 3x + 6y = 19,5 x = 3,5 in II liefert: 3 3,5 + 6 y = 19,5 10,5 + 6y = 19,5 6y = 9 : 6 y = 1,5 IL = {(3,5 1,5)} d) 3x = 9 5 y y = 3x Lösung nach dem Geleichsetzungsverfahren 9 5 y + 6 = 48 1y + 1y 5 13,8y = ,8y = 46,8 : 13,8 y = 78 3 y = 78 in I liefert: 3 3x = x = : 3 x = 10 3 IL =