7. Funktionalgleichung der Zeta-Funktion

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1 Oo Forser: RZF 7 Funkionalgleichung der Zea-Funkion 7 Funkionalgleichung der Zea-Funkion 7 Saz (Poissonsche Summaionsformel Sei f : R C eine seig differenzierbare Funkion mi f(x O ( x für x Sei ˆf : R C die Fourier-Transformiere von f, dh ˆf( Dann gil f(n f(xe ix dx ˆf(n Beweis Sei F (x : f(x + n Dann is F : R C seig differenzierbar und periodisch mi der Periode Daher läss sich F in eine Fourier-Reihe enwickeln: F (x c n e inx Da F seig differenzierbar is, konvergier die Fourier-Reihe gleichmäig Aus c n folg deshalb c n F (xe inx dx k k+ k ˆf(n Wir erhalen k f(x + ke inx dx f(xe inx dx f(xe inx dx f(x + n ˆf(ne inx, woraus sich für x die Behaupung ergib Mischrif von Andreas Wadhwa Leze Änderung: 9-- 7

2 Oo Forser: RZF 7 Funkionalgleichung der Zea-Funkion 7 Beispiel einer Fourier-Transformaion Für f(x : e x is ˆf( e x e ix dx zu berechnen Zunächs is ˆf( e x dx u e x dx u x e d e u du e d Γ Sei jez Wegen e x ix e (x+i e is ˆf( e e (x+i dx (! xx+i e e x dx e Begründung von (!: Es is R e (x+i dx zx+i R+i +i e z dz, und der Cauchysche Inegralsaz angewende auf z e z längs des recheckigen Inegraionsweges + i i R + i R ergib R e x dx R+i +i R+i +i e z e z dz + e z dz R }{{}}{{} für R für R Es folg ˆf( e Beispiel also rivial f(, die Poissonsche Summaionsformel is in diesem 7

3 Oo Forser: RZF 7 Funkionalgleichung der Zea-Funkion 73 Hilfssaz Es sei f : R C eine seig differenzierbare Funkion mi f(x O ( x für x Für λ > sei ferner Dann gil f λ (x : f(λx ˆf λ ( λ ˆf ( λ Beweis ˆfλ ( f(λxe ix dx λ f(λxe i(λx λ d(λx ˆf ( λ λ 74 Saz (Funkionalgleichung der Thea-Reihe Sei Θ(x : e n x (x > Dann gil Θ(x Θ x x für alle x > Beweis Für f : R C, f (x : e x gil ˆf (x f (x, und für λ >, f λ (x : e xλ gil ˆf λ (x λ (xe x /λ Die Poissonsche Summaionsformel ˆf λ (n f λ (n ergib somi e nλ e n /λ, λ dh Θ(λ λ Θ λ 75 Corollar Für Θ(x e nx gil Θ(x O x für x Beweis lim x Θ(x 73

4 Oo Forser: RZF 7 Funkionalgleichung der Zea-Funkion 76 Saz Für s C mi Re s > gil ( ( Γ sζ(s s/ s/ n e n ( Bemerkung n e n : ψ( (Θ( Für gil dami ψ( O ( Daraus folg, dass das Inegral exisier Beweis Es is Γ ( s s/ e n, n, liefer ( s Γ s/ n s also d d d s/ e n d, ( ( s Γ ζ(s s/ s/ n d Die Subsiuion e n wobei sich die Verauschung von Inegraion und Summaion mi majorisierer Konvergenz und gerenner Berachung von und rechferigen läss d, 77 Saz (Funkionalgleichung (a Sei ξ(s : s/ Γ ( s ζ(s Diese zunächs in der Halbebene {Re s > } holomorphe Funkion läss sich zu einer in ganz C meromorphen Funkion forsezen Die forgeseze Funkion ha Pole erser Ordnung an den Sellen s und s und is sons holomorph Sie genüg der Funkionalgleichung ξ(s ξ( s (b Dadurch läss sich die Zeafunkion meromorph auf C forsezen Der einzige Pol is bei s Für ζ gil die Funkionalgleichung ζ( s ( s Γ(s cos ( s ζ(s 74

5 Oo Forser: RZF 7 Funkionalgleichung der Zea-Funkion Beweis Zu (a (b: Nach (a is s ( s ( s/ Γ ζ( s s/ Γ ζ(s, also ζ( s ( s s ζ(s s Γ Γ Wegen s + s Γ Γ und sin ( +s ( s ( s + Γ s Γ(s folg das Gewünsche Zu (a: Nach dem vorherigen Saz is ξ(s s/ ψ( d (Re s >, wobei ψ( n e n ( Θ( cos s Wir behandeln zunächs das Inegral s/ ψ( d Wegen ψ ( Θ ( Θ( ψ( + is s/ ψ( d (s / ψ ( s/ / ψ + ( / d d + ( (s / s/ d }{{} s s Für das erse Inegral führen wir die Subsiuion, d d Wir erhalen Insgesam folg d (s / ψ ( ξ(s s + + s (s / ψ( d ( s/ + ( s/ ψ( d 75

6 Oo Forser: RZF 7 Funkionalgleichung der Zea-Funkion Da ψ( für exponeniell gegen konvergier, exisier das Inegral für alle s C und sell dor eine holomorphe Funkion von s dar Dami is ξ meromorph forgesez Die Darsellung in ( is invarian gegenüber der Subsiuion s s Dami is der Saz bewiesen Dieser kunsvolle Beweis samm von Riemann 78 Saz (a ζ( k für alle naürlichen Zahlen k ζ(s ha keine weieren Nullsellen mi Re s < (b ζ( (c ζ( k B k k für k Insbesondere is ζ( Beweis Zu (a: Re( s < gil genau dann, wenn Re s > Die einzigen Nullsellen von ζ( s kommen von cos ( s Zu (b: Übung! Zu (c: Miels Funkionalgleichung und ζ(k ( k ( k (k! B k folg ζ( k ( k B k Γ(k cos(k ζ(k }{{}}{{} k (k! ( k 76