b) Sie sind in der Lage, Experimente mit dem PASCO System durchzuführen, die Daten zu exportieren und in Excel auszuwerten und darzustellen.

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1 Das ist das Paradebeispiel eines schwingenden, schwach gedämpften Systems. waren vor der Erfindung des Quarz Chronometers die besten Zeitgeber in Taschenuhren. Als Unruh bestimmten sie die Dauer einer Sekunde. Jeder Stossdämpfer eines Fahrzeugs ist ein (sehr stark gedämpftes). Mit n lassen sich aber auch die Massen von Kosmonauten auf der ISS bestimmen. Eine Personenwaage funktioniert da nicht mehr. Abbildung 1: In einer mechanischen Uhr sorgt eine Spiralfeder (Drehfeder) als Zeitgeber für eine periodische Schwingung. Bei Stossdämpfern sorgen Spiralfedern in Kombination mit hydraulischen oder pneumatischen Dämpfern für ein angenehmes und sicheres Fahrverhalten. 1) Lernziele a) Sie kennen das Federgesetz (Hook sche Gesetz) und wissen, dass die Kraft einer Feder proportional und entgegengesetzt zur Auslenkung (Stauchung) der Feder ist. b) Sie sind in der Lage, Experimente mit dem PASCO System durchzuführen, die Daten zu exportieren und in Excel auszuwerten und darzustellen. c) Sie können die Federkonstante eines s statisch und dynamisch, d.h. aus der Schwingungsperiode, bestimmen. d) Sie kennen die Ursache der Dämpfung des s und können die Dämpfungskonstante für zwei verschiedene bestimmen. e) Sie können die Federkonstante k aus der kinetischen Energie beim Nulldurchgang und der potentiellen Energie der Feder beim Umkehrpunkt der Masse bestimmen. f) Sie können bei bekannter Federkonstante k eine unbekannte Masse durch die Messung der Schwingungsdauer bestimmen. CH 9471 Buchs 1/12

2 2) Aufgaben (siehe Punkt 5) a) Bestimmen Sie die Federkonstante der Feder durch Messung der Auslenkung der Feder für verschiedene Massen und bestimmen Sie durch lineare Regression in Excel aus der Steigung dieser Messreihe die Federkonstante des s. b) Bestimmen Sie die Federkonstante des s durch Messung der Periode der Pendelschwingung und der schwingenden Masse des nahezu ungedämpften Pendels (ohne Aluminiumblech). Vergleichen Sie den Wert mit dem Wert aus a). c) Bestimmen Sie die Dämpfungskonstante und die Periode des nahezu ungedämpften (ohne Alublech) und des schwach gedämpften Pendels (mit Alublech). Vergleichen Sie die die Perioden und die Dämpfungskonstanten. Was fällt ihnen auf? d) Bestimmen sie bei bekannter Federkonstante k eine unbekannte Masse durch die Messung der Schwingungsdauer. e) Optional: Bestimmen Sie die Federkonstante des nahezu ungedämpften s über die Bestimmung der potentiellen Energie am Umkehrpunkt und der kinetischen Energie am Nulldurchgang. Vergleichen Sie den erhaltenen Wert mit dem Wert aus a). 3) Theorie a) Das Federgesetz oder Hooke sche Gesetz Eine Spiralfeder verhält sich in weiten Bereichen der Auslenkung linear. Das bedeutet, dass die Auslenkung proportional zur Kraft ist, die auf die Feder wirkt. Eine solche Feder nennt man auch linearer Feder. Abbildung 2: Auslenkung eines s (links) und Kräftegleichgewicht am (rechts) CH 9471 Buchs 2/12

3 Eine Masse an einer Feder ist im statischen Kräftegleichgewicht, wenn die Gewichtskraft gerade so gross ist wie die entgegengerichtete Federkraft. Die beiden Kräfte heben sich auf und die resultierende Kraft auf die Masse ist null. Aus diesem Grund ist die Masse dann auch nicht beschleunigt. Hängt man doppelt so viel Gewicht an eine Feder, so ist ihre Auslenkung auch doppelt so gross. Die Federkraft zeigt immer in die entgegen gerichtete Richtung wie die Auslenkung (Verschiebung) der Feder. Diese Beobachtungen führten zum Hooke schen Gesetz: HOOKE SCHES GESETZ Dabei ist x die Auslenkung der Feder von der Nulllage in Meter [m] und die Federkonstante in [N/m]. Als Graph ergibt sich eine Gerade mit der Steigung durch den Koordinatenursprung. Dieses Gesetz gilt nicht für sehr starke Auslenkungen (elongation) oder Stauchungen (compression). Wir werden daher darauf achten, dass wir die Feder nicht zu stark dehnen oder zusammenpressen, so dass wir immer im linearen Bereich der Federkennlinie sind. Abbildung 3: Linearer Bereich einer Spiralfeder. Nur bei nicht zu starker Auslenkung verhält sich die Feder linear, d.h. nach dem Hooke schen Gesetz (By Svjo Own work, CC BY SA 3.0, CH 9471 Buchs 3/12

4 b) Ein schwingendes (ungedämpftes) Pendel Wird die Masse ausgelenkt, so beginnt das vertikale mit einer definerten Periode und einer Amplitude zu schwingen. cos cos 2 Die Periode ist umso länger, je grösser die Masse ist. Die Periode ist umso kleiner, je steifer die Feder ist, d.h. je grösser die Federkonstante ist. Der Zusammenhang ist durch folgende Gleichung gegeben: (1) Abbildung 4: Die Auslenkung (Elongation) eines Federpendes beschreibt eine harmonische Schwingung mit der Amplitude A und der Kreisfrequenz als Funktion der Zeit t. Der Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz (rad/s), der Frequenz (1/s) und der Periode (s) ist aus der Kreisbewegung bekannt und gegeben durch: 2 (2) Damit lässt sich die Federkonstante aus der Messung der Periode und der Messung der Masse bestimmen. CH 9471 Buchs 4/12

5 (3) Die Periode einer Schwingung lässt sich durch die Bestimmung der Nulldurchgänge oder der Peaks der Schwingung bestimmen. c) Ein schwingendes, gedämpftes vertikales Wäre ein ungedämpft, so würde es einmal angeregt für alle Zeiten mit unverminderter Auslenkung schwingen. Dies passiert in der Realität aber nicht. Irgendwo geht immer Energie verloren, z.b. durch Reibung. Daher verringert sich die Auslenkung (Elongation) des s und der im gespeicherten Energie mit der Zeit. In unserem Fall ist der dominante Anteil der Dämpfung durch die Luftreibung gegeben. Daneben gibt es noch innere Reibung im Metall der Feder selbst. Die Luftreibung (viskose Reibung) macht sich als ein charakteristisches, exponentielles Abklingen der Elongation als Funktion der Zeit bemerkbar. Verbindet man die Maxima der Elongation als Einhüllende der Schwingung, so erhält man eine exponentielle Kurve. Die Elongation der gedämpften Schwingung lässt sich als Funktion der Zeit wie folgt schreiben: cos Dabei bedeuten: A: Amplitude der Schwingung (m) : Dämpfungskonstante (1/s) / : Kreisfrequenz des gedämpften Systems (1/s 2 ) Der Cosinus Term stellt die periodische Oszillation dar und die e Funktion realisiert die Wirkung der Dämpfung. CH 9471 Buchs 5/12

6 Elongation y(t) Abbildung 5: Auslenkung des schwach gedämpften s als Funktion der Zeit t. d) Potentielle und kinetische Energie Beim ungedämpften geht keine Energie verloren. Nach dem Energieerhaltungssatz ist dann die Gesamtenergie, also die Summe von potentieller und kinetischer Energie zu jeder Zeit konstant. const. Die kinetische Energie ist gegeben durch: (4) Die potentielle Energie ist die in der Feder gespeicherte Federenergie. Sie ist gegeben durch: (5) Wählen wir als Zeitpunkt gerade den Nulldurchgang des s, so ist die Auslenkung zu diesem Zeitpunkt gerade null, d.h. 0. Das bedeutet, die Feder hat in der Ruhelage keine potentielle Energie gespeichert, was auch einleuchtend ist. Die Gesamtenergie steckt in der Bewegungsenergie der Masse, also in der kinetischen Energie. CH 9471 Buchs 6/12

7 Wählen wir als zweiten Zeitpunkt gerade den Umkehrpunkt der Masse, wo die Geschwindigkeit der Masse verschwindet, so verschwindet dort auch der Anteil der kinetischen Energie. Zu diesem Zeitpunkt ist die Gesamtenergie in der elastischen Energie der Feder gespeichert, denn die kinetische Energie ist null. Somit bekommen wir: Oder anders ausgedrückt: Damit können wir die Federkonstante bei bekannter maximaler Auslenkung und bei bekannter Geschwindigkeit beim Nulldurchgang auch bestimmen durch: (6) 4) Versuchsaufbau Der Versuchsaufbau besteht aus einem vertikalen an einem fixen Galgen. Die schwingende Masse kann einfach ausgetauscht werden, indem die Masse über einen Befestigungshaken mit der Feder verbunden wird. Die Elongation der Masse lässt sich für die statischen Messungen durch einen Metallmassstab relativ zur Nulllage der Feder bestimmen. Die Nulllage kann mit einer Referenzmarke versehen werden. Für die dynamische (d.h. zeitlich abhängige Messung) setzen wir einen Ultraschallsensor und einen Mess PC mit dem PASCO System ein. Der Ultraschallsensor misst den relativen Abstand zur schwingenden Masse durch die Bestimmung der Laufzeit von Ultraschallpulsen vom Sensor zur Masse und zurück. Bei bekannter Schallgeschwindigkeit (340 m/s) kann damit der Abstand zum Sensor relativ genau bestimmt werden. Übrigens: Fledermäuse setzen genau diese Technik ein, um sich zu orientieren und Abstände zu messen. CH 9471 Buchs 7/12

8 Abbildung 6: Aufbau des s mit Mess PC. Legende: 1. Spiralfeder 2. Masse mit Dämpfelement 3. Ultraschallsensor (PASCO) 4. Mess PC zur Datenerfassung und Auswertung. PASCO stellt ein Messprogramm zur Verfügung, in welchem die Daten einfach erfasst und dargestellt werden können. Das Messprogramm federpendel.db stellt direkt die Elongation und die Geschwindigkeit der schwingenden Masse der verschiedenen Experimente als Funktion der Zeit dar. Mit einem Cursor Tool können Zeitwerte und Werte für die Elongation oder die Geschwindigkeit ausgelesen werden. CH 9471 Buchs 8/12

9 Abbildung 7: PASCO Ultraschall Sensor Abbildung 8: Darstellung der Elongation x(t) und der Geschwindigkeit v(t) des gedämpften s mit dem PASCO System. Über die Cursor Funktion können sowohl Elongationen x, Geschwindigkeiten v als auch Nulldurchgänge der Zeitachse bestimmt werden. CH 9471 Buchs 9/12

10 5) Messungen und Messresultate 5.1 Bestimmung der Federkonstanten durch statische Messung Bestimmen Sie die Federkonstante k der Feder durch Messung der Auslenkung der Feder für verschiedene Massen 1 5 a) Berechnen Sie die Federkraft aus dem Gleichgewicht zwischen Federkraft und Gewichtskraft mit 9.81 als Erdbeschleunigung. Verwenden Sie folgende Massen 400 g, 500 g, 600 g, 700 g, 800 g b) Tragen Sie die Messwerte, in eine Excel Tabelle ein und stellen Sie die Federkraft als Funktion der Elongation dar. Gemäss Hooke schem Gesetz sollte dies eine Gerade sein. Beschriften Sie die Achsen und geben Sie die Einheiten an. Machen Sie eine Überschrift. c) Bestimmen Sie durch lineare Regression in Excel aus der Steigung dieser Messreihe die Federkonstante des s. Stellen Sie die Regressionsgerade in der gleichen Grafik dar. 5.2 Bestimmung der Federkonstanten durch dynamische Messung Bestimmen Sie die Federkonstante k des s durch Messung der Periode der Pendelschwingung und der schwingenden Masse des nahezu ungedämpften Pendels (ohne Alublech). a) Messen Sie dafür mit dem PASCO System mindestens 10 Oszillationen der Schwingung. b) Bestimmen Sie mit dem Cursor Tool die Zeiten der ersten 10 Maxima der Schwingung. c) Tragen Sie diese Werte in eine Tabelle in Excel ein und berechnen Sie damit den Mittelwert der Periode. d) Bestimmen Sie mit der Gleichung (3) aus der Periode und der angehängten Masse die Federkonstante des s. e) Vergleichen Sie die den Wert mit dem Wert aus 5.1. CH 9471 Buchs 10/12

11 5.3 Bestimmung der Dämpfungskonstanten Bestimmen Sie die Dämpfungskonstante und die Periode des schwach gedämpften Pendels (mit Alublech). a) Messen Sie die Nulllage (Ruhelage) des s und notieren Sie diesen Wert in Excel. b) Messen Sie mindestens 20 Oszillationen des schwach gedämpften s mit dem PASCO System. c) Tragen Sie die Positionen,, der ersten 10 positiven Maxima der Elongation in eine Excel Tabelle ein und stellen Sie die Einhüllende als Funktion der Zeit t dar. d) Ziehen Sie von den Maxima die Nulllage des Pendels ab: Δ e) Fitten Sie Exponentialfunktion an diese Daten Δ (exponentielle Trendlinie in Excel), stellen Sie die Trendlinie mit den Daten in einer Grafik dar und notieren Sie den Koeffizienten. f) Berechnen Sie in einer weiteren Spalte den natürlichen Logarithmus der Elongation ln und stellen Sie in einem weiteren Graphen als Funktion der Zeit dar. g) Bestimmen Sie durch lineare Regression in Excel aus der negativen Steigung dieser Messreihe die Dämpfungskonstante des s. Stellen Sie die Regressionsgerade in der gleichen Grafik dar und vergleichen Sie den Wert von mit jenem von (e). h) Berechnen Sie aus den Positionen der Maxima den Mittelwert der Periode. Vergleichen Sie diesen Mittelwert der Periode mit der Messung aus Bestimmung einer unbekannten Masse Bestimmen sie bei bekannter Federkonstante eine unbekannte Masse durch die Messung der Schwingungsdauer. CH 9471 Buchs 11/12

12 5.5 Potentielle und Kinetische Energie (optional) a) Bestimmen Sie die Federkonstante des nahezu ungedämpften s über die Bestimmung der potentiellen Energie am Umkehrpunkt und der kinetischen Energie am Nulldurchgang. b) Messen Sie mit dem Cursor die Geschwindigkeit bei den ersten 3 Nulldurchgängen und bilden Sie einen Mittelwert. c) Messen Sie mit dem Cursor die maximale Elongation der ersten drei Schwingungspeaks und bilden Sie den Mittelwert. d) Berechnen Sie aus diesen Werten und der Masse die Federkonstante mittels Gleichung (6). e) Vergleichen Sie den erhaltenen Wert mit dem Wert aus 5.1 CH 9471 Buchs 12/12