Kryptographie Reine Mathematik in den Geheimdiensten

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1 Kryptographie Reine Mathematik in den Geheimdiensten Priska Jahnke 10. Juli 2006

2 Kryptographie Reine Mathematik in den Geheimdiensten Kryptographie (Kryptologie) = Lehre von den Geheimschriften Kaufleute, Caesar, Karl der Große, Marie-Antoinette,... Geheimdienste (BND, NSA,...) Internet, Banken, Firmen...

3 Symmetrische Verschlüsselung Sender und Empfänger einigen sich auf einen gemeinsamen Schlüssel und ein Verfahren. A B C Y Z

4 Symmetrische Verschlüsselung: Häufigkeitsanalyse Abgefangene Nachricht: # Häufigste Buchstaben: E, N Noch häufig: I, S, R, A, T Eher selten: X, Y, Q

5 Symmetrische Verschlüsselung: Häufigkeitsanalyse Abgefangene Nachricht: E N E E E # N E E E N Häufigste Buchstaben: E, N Noch häufig: I, R, S, A, T Eher selten: X, Y, Q

6 Symmetrische Verschlüsselung: Häufigkeitsanalyse Abgefangene Nachricht: E I N I E E E I # N I S E E I E N Häufigste Buchstaben: E, N Noch häufig: I, S, R, A, T Eher selten: X, Y, Q

7 Symmetrische Verschlüsselung: Häufigkeitsanalyse Abgefangene Nachricht: E I N I G E G E H E I # M N I S V O L L E Z E I C H E N Häufigste Buchstaben: E, N Noch häufig: I, S, R, A, T Eher selten: X, Y, Q

8 Symmetrische Verschlüsselung: Schematisch

9 Symmetrische Verschlüsselung Es gibt sichere symmetrische Verfahren: Die Enigma, eine Rotor Chiffre (1926) DES (Data Encryption Standard), 70er von IBM entwickelt AES, IDEA,...

10 Die Enigma

11 Asymmetrische Verschlüsselung Plan: Ich will bei der Firma Jumbu 1 einen Klingelton für mein Handy über das Internet kaufen. Unverschlüsselter Datenverkehr ist problematisch: Jemand könnte meine Kontodaten mithören. Jemand könnte mitschneiden, ohne zu bezahlen. 1 Name geändert

12 Asymmetrische Verschlüsselung Also verschlüsselter Datenverkehr. Wie das? Erst zu Jumbu fahren, um einen Schlüssel zu holen? Wo sitzt Jumbu? Den Schlüssel über das Internet senden? Und wenn das mitgehört wird? War dann nicht alles umsonst?

13 Public Key Idee: Teil vom Schlüssel ist öffentlich, Teil geheim. öffentlicher Teil: reicht zum Verschlüsseln, aber nicht zum Entschlüsseln, geheimer Teil: braucht man zum Entschlüsseln. Wie soll das gehen?

14 Asymmetrische Verschlüsselung: Schematisch

15 RSA (Rivest, Shamir, Adleman, 1977) Grundgedanke: Es ist leicht, Zahlen miteinander malzunehmen, aber schwer, sie (in Primzahlen) zu faktorisieren. 67 und 83 sind Primzahlen, ihr Produkt ist 5561 (Taschenrechner) ist Produkt von zwei Primzahlen. Welche sind das?

16 RSA Verfahren Jumbu wählt zwei große Primzahlen p und q und berechnet n = p q. Jumbo wählt noch eine bestimmte Zahl e. Jumbu macht n und e ÖFFENTLICH, hält p und q GEHEIM. Will man Jumbu eine verschlüsselte Nachricht zukommen lassen (Kreditkartennummer), verschlüsselt man mit n und e. Zum Entschlüsseln braucht man p und q.

17 RSA Verfahren: Genauer Sei NR die Kreditkartennummer. Unser Computer berechnet Chiffre(NR) = Rest bei Teilen von (NR) e durch n. Jumbu hat e so gewählt, daß es ein d gibt mit 1 = Rest bei Teilen von d e durch (p 1) (q 1). Jumbu berechnet NR = Rest bei Teilen von (Chiffre(NR)) d durch n.

18 RSA Verfahren: Mathematisch Es gilt 1. Chiffre(NR) (NR) e mod n; 2. de 1 mod (p 1)(q 1). Damit Chiffre(NR) d ((NR) e ) d (NR) ed NR mod n nach dem Satz von Euler, da ϕ(pq) = (p 1)(q 1).

19 RSA: Fazit Jumbu berechnet NR mit d zurück. Diese Zahl kann nur ausrechnen, wer p und q kennt. Sicherheit des Verfahrens: Man kann n nicht schnell in Faktoren zerlegen.

20 Faktorisierung Wie faktorisieren wir eine Zahl n? Durch probieren: Ist sie durch 3 teilbar? ist sie durch 5 teilbar? Ist sie durch 7 teilbar? Brauchen dazu Liste alle Primzahlen n, davon gibt es für große n π( n n) ln n, für n = etwa π( ) 60.

21 Nachteil von RSA RSA ist langsam. Tatsächlich wird symmetrisch verschlüsselt (DES). Nur der Schlüsselaustausch funktioniert mit Public Key Verfahren.

22 Schlüsselaustausch Idee: Alle verschlüsseln mit demselben symmetrischen Verfahren. Die genaue Verschlüsselung hängt von einem Anfangswert ( Schlüssel ) ab, wie des Codebuch im Beispiel, oder die Stellung der Rotoren bei Enigma. Nur dieser Schlüssel wird mit Public Key Verfahren gesendet.

23 Diffie Hellman (1976) Ein Verfahren zum Schlüsselaustausch stammt von Diffie und Hellman, funktioniert ähnlich wie der RSA. Eine neuere Variante des Diffie Hellman benutzt elliptische Kurven.

24 Elliptische Kurven Elliptische Kurven sind spezielle (algebraische) Kurven: Gerade y Kreis y Elliptische Kurve y x x x y = x x 2 + y 2 = 1 y 2 = x(x 1)(x + 2)

25 Elliptische Kurven Idee: Man kann Punkte auf der elliptischen Kurve addieren : Wir wählen zwei Punkte P und Q auf der Kurve. Wir suchen einen dritten Punkt P Q auf der Kurve, den man aus P und Q ausrechnen kann. Wie geht das?

26 Additionsgesetz auf elliptischen Kurven y x Graph der elliptischen Kurve y 2 = x(x 1)(x + 2)

27 Additionsgesetz auf elliptischen Kurven y Q P x Wähle Punkte P und Q.

28 Additionsgesetz auf elliptischen Kurven y S Q P x Gerade PQ trifft in drittem Punkt S.

29 Additionsgesetz auf elliptischen Kurven y S Q P x P Q Spiegelung von S an der x Achse P Q.

30 Additionsgesetz auf elliptischen Kurven y Q P x P Q Addition von Punkten auf der Kurve.

31 Additionsgesetz auf elliptischen Kurven y P x Addition desselben Punktes (Fall P = Q).

32 Additionsgesetz auf elliptischen Kurven y S P x Tangente an P.

33 Additionsgesetz auf elliptischen Kurven y S P x P P = 2P Spiegelung von S an der x Achse P P = 2P.

34 Additionsgesetz auf elliptischen Kurven y P x P P = 2P Addition ( Verdoppelung ) von P.

35 Diffie Hellman basierend auf elliptischen Kurven Jumbu wählt einen Startpunkt P auf der Kurve und eine große Zahl r. Jumbu macht P ÖFFENTLICH und hält r GEHEIM.

36 Diffie Hellman basierend auf elliptischen Kurven Jumbu wählt einen Startpunkt P auf der Kurve und eine große Zahl r. Jumbu macht P ÖFFENTLICH und hält r GEHEIM. Will man mit Jumbu Daten austauschen, wählt der eigene Computer eine GEHEIME große Zahl s und bittet Jumbu um einen Schlüselaustausch.

37 Diffie Hellman basierend auf elliptischen Kurven Jumbu wählt einen Startpunkt P auf der Kurve und eine große Zahl r. Jumbu macht P ÖFFENTLICH und hält r GEHEIM. Will man mit Jumbu Daten austauschen, wählt der eigene Computer eine GEHEIME große Zahl s und bittet Jumbu um einen Schlüselaustausch. Jumbu verschlüsselt P mit r und sendet JumbuChiffre(P). Wir verschlüsseln P mit s und senden CompChiffre(P).

38 Diffie Hellman basierend auf elliptischen Kurven Jumbu wählt einen Startpunkt P auf der Kurve und eine große Zahl r. Jumbu macht P ÖFFENTLICH und hält r GEHEIM. Will man mit Jumbu Daten austauschen, wählt der eigene Computer eine GEHEIME große Zahl s und bittet Jumbu um einen Schlüselaustausch. Jumbu verschlüsselt P mit r und sendet JumbuChiffre(P). Wir verschlüsseln P mit s und senden CompChiffre(P). Jumbu verschlüsselt CompChiffre(P) erneut mit r zu Chiffre(P); wir verschlüsseln JumbuChiffre(P) mit s, erhalten auch Chiffre(P).

39 Diffie Hellman basierend auf elliptischen Kurven Genauer: Sei P der öffentliche Startpunkt auf der Kurve. Getrennte Berechnung: Jumbu: Wir: JumbuChiffre(P) = rp CompChiffre(P) = sp Wir tauschen die Punkte aus. Getrennte Berechnung: Jumbu: Wir: Chiffre(P) = r(compchiffre(p)) = rsp Chiffre(P) = s(jumbuchiffre(p)) = srp = rsp

40 Diffie Hellman basierend auf elliptischen Kurven Beide haben denselben Punkt Chiffre(P), der nun als Startpunkt für ein symmetrisches Verfahren benutzt wird (DES,...). Warum ist das sicher? Aus P und rp kann man nicht r berechnen (Diskretes Logarithmus Problem). Einzige Möglichkeit: Probieren. Deshalb müssen r und s groß genug sein. Ohne r oder s kann man nicht rsp aus sp, rp und P bestimmen.

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42 Weiterführende Literatur zum Thema 1. A. Beutelspacher, J. Schwenk, K.-D. Wolfenstetter: Moderne Verfahren der Kryptographie, Viehweg, 6. Aufl J. Buchmann: Einführung in die Kryptographie, Springer N. Koblitz: Algebraic Aspects of Cryptography, Springer R. Matthes: Algebra, Kryptologie und Kodierungstheorie, Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag K. Schmeh: Kryptografie und Public-Key-Infrastrukturen im Internet, dpunkt.verlag GmbH Heidelberg J. Silverman, J. Tate: Rational points on elliptic curves, Springer A. Werner: Elliptische Kurven in der Kryptographie, Springer

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