Kapitel 2: Modellierung. Programmieren in Haskell 1

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1 Kapitel 2: Modellierung Programmieren in Haskell 1

2 Eine Formelsprache für Musik Programmieren in Haskell 2

3 Formeln, die Musik bedeuten Note 0 (1/4) -- Viertelnote tiefes C Note 24 (1/1) -- ganze Note c Pause (1/16) -- Sechzehntelpause Note 24 (1/4) :*: Note 26 (1/4) :*: Note 28 (1/4) -- Anfang der C-Dur Tonleiter Note 24 (1/4) :+: Note 28 (1/4) :+: Note 31 (1/4) -- C-Dur Akkord Tempo 40 m -- Musik m als Adagio Tempo 100 m -- Musik m als Presto Instr Oboe m -- Musik m von Oboe gespielt Instr VoiceAahs m -- Musik m gesummt Programmieren in Haskell Modellierung: Eine Formelsprache für Musik 3

4 Formeltypen infixr 7 :*: infixr 6 :+: type GanzeZahl = Int -- Ganze Zahlen und Brueche setzen wir type Bruch = Rational -- als gegeben voraus. type Ton = GanzeZahl type Dauer = Bruch data Instrument = Oboe HonkyTonkPiano Cello VoiceAahs deriving Show data Musik = Note Ton Dauer Pause Dauer Musik :*: Musik Musik :+: Musik Instr Instrument Musik Tempo GanzeZahl Musik deriving Show Programmieren in Haskell Modellierung: Eine Formelsprache für Musik 4

5 Abkürzungen gp = Pause (1/1) hp = Pause (1/2) vp = Pause (1/4) ap = Pause (1/8) sp = Pause (1/16) adagio = 70; andante = 90; allegro = 140; presto = 180 Programmieren in Haskell Modellierung: Eine Formelsprache für Musik 5

6 Halbtöne ce = 0; cis = 1; des = 1 de = 2; dis = 3; es = 3 eh = 4; eis = 5; fes = 4 ef = 5; fis = 6; ges = 6 ge = 7; gis = 8; as = 8 ah = 9; ais = 10; be = 10 ha = 11; his = 12 c u = Note (ce+24) u; d u = Note (de+24) u e u = Note (eh+24) u; f u = Note (ef+24) u g u = Note (ge+24) u; a u = Note (ah+24) u h u = Note (ha+24) u; c u = Note (ce+36) u Programmieren in Haskell Modellierung: Eine Formelsprache für Musik 6

7 C-Dur Tonleiter / Dur-Dreiklang cdurtonika = c (1/1) :+: e (1/1) :+: g (1/1) cdurskala = Tempo allegro( c (3/8) :*: d (1/8) :*: e (3/8) :*: f (4/8) :*: g (1/8) :*: a (1/4) :*: h (1/8) :*: c (1/2)) durdreiklang t = Note t (1/1) :+: Note (t+4) (1/1) :+: Note (t+7) (1/1) Programmieren in Haskell Modellierung: Eine Formelsprache für Musik 7

8 Umkehrung / Transponierung umk ((Note t d) :+: n2 :+: n3) = n2 :+: n3 :+: (Note (t+12) d) transponiere i (Pause d) = Pause d transponiere i (Note t d) = Note (t+i) d transponiere i (m1 :*: m2) = (transponiere i m1) :*: (transponiere i m2) transponiere i (m1 :+: m2) = (transponiere i m1) :+: (transponiere i m2) transponiere i (Instr y m) = Instr y (transponiere i m) transponiere i (Tempo n m) = Tempo n (transponiere n m) gdurtonika = transponiere 7 cdurtonika Programmieren in Haskell Modellierung: Eine Formelsprache für Musik 8

9 Gesetz Transponierung / Dur-Dreiklang transponiere i (durdreiklang t) = durdreiklang(t+i) Zur Überprüfung rechnen wir beide Seiten mittels der Definition von transponiere und durdreiklang aus und erhalten beide Male Note (t+i) (1/1) :+: Note (t+4+i) (1/1) :+: Note (t+7+i) (1/1) Programmieren in Haskell Modellierung: Eine Formelsprache für Musik 9

10 Verschiedenes wdh m = m :*: m ad_infinitum m = m :*: ad_infinitum m einsatz d m = (Pause d) :*: m Programmieren in Haskell Modellierung: Eine Formelsprache für Musik 10

11 Bruder Jakob phrase1 = c (1/4) :*: d (1/4) :*: e (1/4) :*: c (1/4) phrase2 = e (1/4) :*: f (1/4) :*: g (1/2) phrase3 = g (1/8) :*: a (1/8) :*: g (1/8) :*: f (1/8) :*: e (1/4) :*: c (1/4) phrase4 = c (1/4) :*: (transponiere (-12) (g (1/4))) :*: c (1/2) strophe = wdh phrase1 :*: wdh phrase2 :*: wdh phrase3 :*: wdh phrase4 endlos = ad_infinitum strophe bruderjakob = Tempo andante (Instr VoiceAahs (einsatz (0/1) endlos :+: (einsatz (2/1) (transponiere 12 endlos)) :+: (einsatz (4/1) endlos) :+: (einsatz (6/1) endlos ))) Programmieren in Haskell Modellierung: Eine Formelsprache für Musik 11

12 Bruder Jakob: Text Bruder Jakob, Bruder Jakob Schläfst du noch? Schläfst du noch? : Hörst du nicht die Glocken? : Ding dang dong, ding dang dong. Programmieren in Haskell Modellierung: Eine Formelsprache für Musik 12

13 Typen als Hilfsmittel der Modellierung Programmieren in Haskell 13

14 Fehlerhafte Formeln Note 3/4 ce Pause (1/2 :*: 1/4) Pause Cello Instr (Cello :+: Oboe) cdurtonika Tempo Oboe 100 c :+: e :+: g Programmieren in Haskell Modellierung: Typen als Hilfsmittel der Modellierung 14

15 Einige Typen ce, cis, des, de, dis, es, eh, eis, fes, ef, fis :: Ton ges, ge, gis, as, ah, ais, be, ha, his :: Ton gp, hp, vp, ap, sp :: Musik cdurtonika :: Musik adagio, andante, allegro, presto :: GanzeZahl Programmieren in Haskell Modellierung: Typen als Hilfsmittel der Modellierung 15

16 Funktionstypen c, d, e, f, g, a, h, c :: Dauer -> Musik umk, wdh, ad_infinitum :: Musik -> Musik transponiere :: GanzeZahl -> Musik -> Musik transponiere 7 :: Musik -> Musik Programmieren in Haskell Modellierung: Typen als Hilfsmittel der Modellierung 16

17 Die Rolle der Abstraktion in der Modellierung Programmieren in Haskell 17

18 Abstrakte Noten tritonus_f_1 = Note ef (1/1) :+: Note ha (1/1) tritonus t d = Note t d :+: Note (t+6) d tritonus_f_1 :: Musik tritonus :: Ton -> Dauer -> Musik c u = Note (ce+24) u c :: Dauer -> Musik data Musik = Note Ton Dauer... Note :: Ton -> Dauer -> Musik Programmieren in Haskell Modellierung: Die Rolle der Abstraktion in der Modellierung 18

19 Modellierung in der molekularen Genetik Programmieren in Haskell 19

20 Nukleotide und Aminosäuren data Nucleotide = A C G T deriving (Eq, Show) data AminoAcid = Ala -- Alanin Arg -- Arginin Asn -- Asparagin Asp -- Aspartat Cys -- Cystein Gln -- Glutamin... Trp -- Tryptophan Tyr -- Tyrosin Val -- Valin Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 20

21 Kettenmoleküle A:C:C:A:G:A:T:T:A:T:A:T:..., oder Met:Ala:Ala:His:Lys:Lys:Leu:... Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 21

22 Polymorpher Listentyp data [a] = [] -- leere Kette a:[a] -- (:) verlaengert Kette von a s um ein a. Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 22

23 Molekulare Sequenzen, Triplets type DNA = [Nucleotide] type Protein = [AminoAcid] type Codon = (Nucleotide, Nucleotide, Nucleotide) Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 23

24 Watson-Crick-Komplement wc_complement A = T wc_complement T = A wc_complement C = G wc_complement G = C Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 24

25 DNA-Doppelstrang type DNA_DoubleStrand = (DNA,DNA) -- als Paar zweier Einzelstraenge type DNA_DoubleStrand = [(Nucleotide,Nucleotide)] -- als Kette von Watson-Crick-Paaren dnads_exmpl1 = ([A,C,C,G,A,T],[T,G,G,C,T,A]) dnads_exmpl2 = [(A,T),(C,G),(C,G),(G,C),(A,T),(T,A)] Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 25

26 Syntax und Semantik incorrectdoublestrand = ([A,C,C,G,A,T],[T,G,G,C,A,T,C]) Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 26

27 DNA-Polymerase dnapolymerase_sequenz = Met:Ala:Pro:Val:His:Gly:Asp:Asp:Ser... dnapolymerase :: DNA -> DNA_DoubleStrand dnapolymerase x = (x, complsinglestrand x) where complsinglestrand [] = [] complsinglestrand (a:x) = wc_complement a:complsinglestrand x Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 27

28 Ordentlich oder nicht? data Bool = True False -- die abstrakten Urteile Wahr und Falsch wellformeddoublestrand :: DNA_DoubleStrand -> Bool wellformeddoublestrand (x,y) = (x,y) == dnapolymerase x Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 28

29 Reparatur der Kopie exonuclease :: DNA_DoubleStrand -> DNA_DoubleStrand exonuclease ([],[]) = ([],[]) exonuclease ([],x) = ([],[]) -- Kopie wird abgeschnitten exonuclease (x,[]) = dnapolymerase x -- Kopie wird verlaengert exonuclease (a:x,b:y) = if b == ac then (a:x,b:y ) else (a:x,ac:y ) where ac = wc_complement a (x,y ) = exonuclease (x,y) exonuclease incorrectdoublestrand ==> ([A,C,C,G,A,T],[T,G,G,C,T,A]) dnacorr :: DNA_DoubleStrand -> DNA_DoubleStrand dnacorr (x,y) = dnapolymerase x Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 29

30 Genetischer Code gencode :: Codon -> AminoAcid gencode (A,A,A) = Lys; gencode (A,A,G) = Lys gencode (A,A,C) = Asn; gencode (A,A,T) = Asn gencode (A,C,_) = Thr gencode (A,G,A) = Arg; gencode (A,G,G) = Arg gencode (A,G,C) = Ser; gencode (A,G,T) = Ser gencode (A,T,A) = Ile; gencode (A,T,C) = Ile gencode (A,T,T) = Ile gencode (A,T,G) = Met gencode (C,A,A) = Glu; gencode (C,A,G) = Glu... Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 30

31 Translation ribosome :: DNA -> Protein ribosome (A:T:G:x) = Met:translate (triplets x) where triplets :: [a] -> [(a,a,a)] triplets [] = [] triplets (a:b:c:x) = (a,b,c):triplets x translate :: [Codon] -> Protein translate [] = [] translate (t:ts) = if aa == Stp then [] else aa:translate ts where aa = gencode t Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 31

32 Frames frames3 :: DNA -> [[Codon]] frames3 x = if length x < 3 then [[],[],[]] else [triplets x, triplets (tail x), triplets (tail(tail x))] where triplets :: [a] -> [(a,a,a)] triplets [] = [] triplets [_] = [] triplets [_,_] = [] triplets (a:b:c:x) = (a,b,c):triplets x findstartpositions :: [Codon] -> [[Codon]] findstartpositions [] = [] findstartpositions (c:x) = if c == (A,T,G) then (c:x):findstartpositions x else findstartpositions x Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 32

33 Open Reading Frames analyzeorfs :: DNA_DoubleStrand -> [[Protein]] analyzeorfs (strain,antistrain) = map (map translate) orfs where sixframes = frames3 strain ++ frames3 (reverse antistrain) orfs = map findstartpositions sixframes Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 33

34 Beispiele dna_seq3 = dnapolymerase [A,A,T,G,T,C,C,A,T,G,A,A,T,G,C] analyzeorfs dna_seq3 ==> [[], [[Met, Ser, Met, Asn], [Met, Asn]], [[Met]], [[Met, Asp, Ile]], [], []] Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 34

35 dna_seq4 = dnapolymerase [A,T,G,A,T,G,A,A,T,G,C,C,G,G,C,A,T,T,C,A,T,C,A,T] analyzeorfs dna_seq4 ==> [[[Met, Met, Asn, Ala, Gly, Ile, His, His], [Met, Asn, Ala, Gly, Ile, His, His]], [[Met, Pro, Ala, Phe, Ile]], [], [[Met, Met, Asn, Ala, Gly, Ile, His, His], [Met, Asn, Ala, Gly, Ile, His, His]], [[Met, Pro, Ala, Phe, Ile]], []] Programmieren in Haskell Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik 35

36 Anforderungen an Programmiersprachen Ein strenges, aber flexibles Typkonzept Ein hierarchisch organisierter Namensraum Methoden zum Nachweis von Programmeigenschaften Ein hohes Abstraktionsniveau Programmieren in Haskell 36