Das Computeralgebrasystem des TI-92 Plus - eine Einführung

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1 Alexander Lichti, André Saeckel Das Computeralgebrasystem des TI-92 Plus - eine Einführung 1.Einleitung Computeralgebra ist der Teil der Informatik, der sich mit der Erstellung, Analyse, Implementierung und Anwendung algebraischer Algorithmen befaßt. Als am Markt etabliertes, leicht zu handhabendes und weit verbreitetes Computeralgebrasystem (CAS) bietet sich die in der TI Baureihe von Texas Instruments implementierte Variante von Derive für viele Interessentengruppen an. Hier sind insbesondere Schüler, Studenten und Wissenschaftler gemeint, die die Vorteile eines leistungsfähigen CAS mit der Portabilität eines normalen Taschenrechners kombiniert sehen wollen. Da die Bedeutung von algebraischen Berechnungen in Zukunft weiter zunehmen wird, ist es für den Anwender wichtig zu wissen, was die einzelnen CAS zu leisten vermögen. Als bekannteste rechnergestützte CAS sind zu nennen: Mathematica Maple V Derive Axiom Macsyma MuPAD Nun verfügt nicht jeder über einen Zugang zu beispielsweise Mathematica, daher sollen im weiteren die Fähigkeiten und Grenzen vom TI-92 aufgezeigt werden.

2 Merkmale: Batterien: 4 x AA Speicherkapazität: œ 256 kb RAM (gesamt) œ 188 kb RAM (verfügbar) œ 702 kb*** Flash-ROM (verfügbar): Größe (H x B x T): 127 x 216 x 38 mm Gewicht: 590 g Laden neuer Software-Versionen und Anwendungen zur Aktualisierung möglich Erlaubt die Verbindung mit TI-89, TI-92 Plus, Voyage 200, CBL II, CBR und dem Computer Pull-Down- Menü Text- und Dateneditor "Pretty Print"-Option zeigt Ein- und Ausgabe in mathematischer Schreibweise Erweiterung für Assemblerprogrammierung Katalog eingebauter Funktionen: Der Katalog bietet Syntax-Anzeigen für alle Befehle und Funktionen Split Screen Modus: Durch die Teilung des Bildschirms können zwei Anwendungen gleichzeitig betrachtet werden Implementierte Programmbibliotheken bieten: œ ComputerAlgebraSystem (CAS) Funktionen œ Mathematische Funktionen œ Wissenschaftliche Funktionen œ Statistische Funktionen œ Matrizen Funktionen œ Programmierung œ Viele Geometrieanwendungen optional möglich Aufgaben von Computeralgebrasystemen Steigende Bedeutung algebraischer Berechnungen: 1. Vorbereitung effizienter numerischer Berechnungen 2. theoretische Zwecke (Theorembeweise) 3. liefern im Gegensatz zur Numerik exakte Ergebnisse Prinzip: "Äquivalenzumformer" "symbolischer Text" > "äquivalenter symbolischer Text"

3 Beispiele: Äquivalente Umformung von Polynomen Implementierung\Einleitung\einleitung.sav Ausmultiplizieren: expand[ ( x - 1 ) ^ 10 ] Faktorisieren: factor[ ( 1 10*x + 45*x^2 120*x^ *x^4 252*x^ *x^6 120*x^7 + 45*x^6 120*x^7 + 45*x^8 10*x^9 + x^10 ] Anmerkungen: Die Beispiele der einzelnen Abschnitte wurden als Rom-Abbild abgespeichert. Es wird in den einzelnen Abschnitten auf die jeweiligen Dateien verwiesen. Bsp.: Implementierung\Einleitung\einleitung.sav Laden der jeweiligen Rom-Abbilder mittels rechter Maustaste und Load state image. Ein Durchblättern sämtlicher Terme mittels einer Funktion erschien den Autoren nicht geeignet, da im Funktionsausgabebildschirm des TI-92 überlange Terme abgeschnitten werden. Die Groß und Kleinschreibung für Funktionsbefehle ist nicht einheitlich. Der TI-92 ist nicht case-sensitive, doch wird im folgenden auf die in der Bedienungsanleitung verwendete Schreibweise Bezug genommen. Wichtige Tastenkombinationen für die weitere Benutzung: Enter Näherungsweise Berechnung eines Resultats 2nd Apps Wechsel der Ausgabebildschirme on Abbruch einer Berechnung Kontrast heller/dunkler 2nd Var-Link Anzeige und Verwaltung( löschen, umbenennen etc) sämtlicher belegten Variablen und Funktionen

4 2. Numerik Allgemeine Merkmale: Keine Typvereinbarungen für Variable oder Funktion (integer, real, array, ) soweit möglich, exakte Ergebnisse Beispiele: Implementierung\Einleitung\numeric.sav 1/3 + 2/7 3^ ! im Scientific-Modus dargestellt, da ganzzahlige Werte im Speicher nur mit einer Länge von bis zu 614 Stellen gespeichert & angezeigt werden. Beliebige Genauigkeit mit dem Befehl round(term, Stellen) möglich factor ( ) beliebige Genauigkeit erreichbar round (Sqrt( 10 ), 10 ) MATH/Number-Menü (Genauigkeit wird bei Gleitkomma mit max. FLOAT 12 Stellen angezeigt. Bei Überschreitung wird auf eine max. dreistellige Exponentenschreibweise gerundet. Einzustellen unter MODE Display Digits. Voreinstellung: FLOAT6) NORMAL: kann das Ergebnis nicht durch die im Display Digits-Modus eingestellt werden, schaltet TI-92 Automatisch von NORMAL auf SCIENTIFIC SCIENTIFIC: E x 10^4

5 es existiert eine Vielzahl numerischer Funktionen Beispiele: [A[ hier ist eine Berechenung mit einer Grenze über 10^3 nicht empfehlenswert. Bei einer Berechnung mit 10^6 eine Wartezeit von mehr als 10 Minuten. csolve(x^5+x+1=0,x) Beim Versuch, die Aufgabe nur mit solve zu lösen, würde der TI 92 plus die komplexen Ergebnisse nicht mitberechnen. Direkte Zuweisung der Intervallgrenzen für die nachfolgende Graphik: -5 xmin 5 xmax Auch möglich unter Window die Intervallgrenzen für x einzugeben. Voreinstellungen bei (x,y-min,max,-10,10). DrawFunc ( x^3 2*x^2 + 2 ) Mit der Tastenfolge 2nd, APPS ist es nun möglich, zwischen dem Home- & Graphenbildschirm hin & her zu switchen. Desweiteren kann man unter Mode/Splitscreen/Left-Right einen geteilten Bildschirm einstellen. Der dicke Rahmen zeigt an, in welchen Bildschirm man sich befindet. fmin(x^3-2*x^2+2,x) x>1 Bei TI92 wird an der Stelle des Minimums der Funktion nur der x-wert ausgegeben. weitere Beispiele 2.4^45 ( 24 * 10 ^-1 )^45 round(ans(1),10) Für numerische Darstellung von Brüchen kann die Funktion approx() oder die Tastenkombination Enter benutzt werden. Die Anzeige des Ergebnisses wird in diesem Fallbeispiel von der Einstellung im Display Digits (Anzeigestellen) beeinflusst.

6 3. Computeralgebra Einige Beispiele: Implementierung/Computeralgebra/Computeralgebra.sav Summen und Grenzwerte QAQ limit( sin( x )/ x, x, 0 ) Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen sowie Ungleichungen solve( x^2+2x-7=0,x ) solve( a*x + y = 0 and 2x +(1-a)*y =1, { x, y }) solve( x^2 2 = 0,x) x> 0 Listen [1, 2, 3, 4,5 ]! ->Fakultät wird auf alle Listenelemente angewandt ln(ans(1)) ->Logarithmus wird auf alle Listenelemente angewandt ans(i) liefert das Ergebniss einer vorheringen Operationn aus dem Speicher an der Stelle i. Bei der Anzeige der Ergebnisse in numerischer Darstellung muss die Tastenkombination Enter benutzt werden. Transformationsregeln Define f(x)=x^2 f(3)+f(a+b) Globale Wertzuweisung auch für Variablen mittels define Define a=3 a^3

7 Lokale Wertzuweisung für Variablen und Funktionen innerhalb von Programmen mittels local möglich Integration œx^n, x ) œorj[a[a[[ d((ans(1)),x) œsin( sin( x ) ), x, 0, 1 ) 4. Graphik 2D-Graphik Polynome Implementierung/Graphik/Polynom.sav Define f(x)=a*x^3 + 3x^2-2 Define d1f= d (f(x),x) Define d2f= d (d1f,x) d1f d2f 1 D DrawFunc f(x) DrawFunc d1f DrawFunc d2f CyclePic pol,21,.5,1,1 Animation liegt schon fertig berechnet vor. RclPic polges

8 Logarithmusfunktionen Implementierung/Graphik/Ln-Funktion.sav Define h(x)= ln(a*x+b)^2*sin(x) Define d1f= d (h(x),x) Define d2f= d (d1f,x) d1f d2f 1 D 2 E DrawFunc h(x) DrawFunc d1h DrawFunc d2h 3D-Graphik Implementierung/Graphik/graph3d.sav Implementierung/Graphik/graph3d_seite.sav Implementierung/Graphik/graph3d_contour.sav Implementierung/Graphik/graph3d+contour.sav Erstellung einer 3D Graphik anhand eines Beispiels: o Mode / Graph / 3d o Eingabe der Funktion im Menü Y( : o Sin(x y) o o )Coordinate=Rect, Axes=Box, Labels=On, Style=Hidden Surface (H\H ƒ H\H ƒ H\H ƒ [PLQ [PD[ \PLQ \PD[ ]PLQ 1, zmax=+1, xgrid=20, ygrid=20, ncontour=5 o 5 o Drehen der Graphik durch Cursortasten oder durch genaue Eingabe der Winkelansicht, hier: o (eye =-96, eye =90, eye =2 o 5 o Ausgabe der Contour der Graphik unter o )Style=Contour Levels

9 o MODE / Splitscreen = LEFT-RIGHT o Split 1 App = Graph o Split 2 App = Graph o Number of Graphs = 2 o Graph 2 = 3D Oder mittels setmode Funktion im Vorfeld: o setmode ({ split screen, Left-Right, Split 1 App, Graph, Split 2 App, Graph, Number of Graphs, 2, Graph2, 3d Mit 2nd Apps ist es nun möglich, zwischen den beiden Bildschirmen zu switchen und jeden getrennt voneinander, wie man es im Vollmodus gewöhnt ist,- zu bearbeiten. Animationsgraphik Implementierung/Graphik/animation.sav Zu animierende Funktion: a*sin(x*y) Programm erzeugt alle zur Animation nötige Bilder und speichert diese ab. Danach werden die Bilder für die Animation nacheinander abgespielt. In diesem Beispiel muss die Funktion immer wieder neu berechnet werden, daher längere Berechnungsphase. :Schl() :Prgm :Local i,d :setmode( Graph, 3D ) :setgraph( axes, axes ) :-60 H\H :-43 H\H :2 H\H :0 [PLQ :3 [PD[ :0 \PLQ :3 \PD[ :-2 ]PLQ :2 ]PD[ :a*sin(x*y) ]x,y) :for i,1,10,1 :i/10 D :StoPic #( pics &string(i)) :Endfor :CyclePic pics,10,.2,25,-1 :EndPrgm

10 5. Spezielle Anwendungen 5.1 Lineare Gleichungssysteme Implementierung/Spezielle Anwendungen/LGS.sav eine Lösung solve ( x + 3y z = 4 and -2x + y + 3z = 9 and 4x + 2y + z = 11, { x, y, z } ) unendlich viele Lösungen solve ( x + 2y z = 4 and 2x + 5y + 2z = 9 and x + 4y + 7z = 6, { x, y, z } ) Der TI92 plus gibt hier für eine Variable einen symbolischen aus. Bei älterer ROM-Version kann er aber auch eine Null für die erste Variable ausgeben. Keine Lösung solve ( -2y + z = -4 and 2x + y z = -2 and 4x z = -4, {x, y, z } ) Gibt symbolischen Wert false zurück. true wird zurückgegeben, wenn jeder reelle Wert die Gleichung/Ungleichung erfüllt. Bsp: x=x 5.2 Kurvendiskussion von Funktionenscharen (Polynom 2. Grades) Definition Define f(x)=ax^2 + bx + c Globale Zuweisung von a, b, c.3 D.5 E 1 F lokale Zuweisung von Parametern innerhalb von Funktionen und Programmen mittels local möglich

11 f(x) f(3) Löschen der Zuweisung für a, b, c DelVar a, b, c Ableitung Define d1f=d(f(x),x) d1f Define d2f=d(d1f,x) d2f Ableitung mittels konkreter Zuweisung.3 D.5 E 1 F d1f Graphische Darstellung DrawFunc f(x) DrawFunc d1f DrawFunc d2f

12 5.3 Funktionenscharen bei Parameteränderung Implementierung/spezielle Anwendungen/Polynom.sav Ein Polynom 2. Grades Define f(x)=a*x^2+b*x+c 0.5 E 1 F f(x) Für f(x) soll eine Animation erstellt werden. Hierfür soll der Parameter a von 0 bis 2 im Abstand 0.1 laufen. In der Funktion schleife() wird für das Polynom f(x) für jeden Wert von a ein Bild erzeugt und abgespeichert. Das dauert recht lange, da das Polynom jedes Mal komplett neu berechnet und dargestellt werden muss. Anschließend werden alle erstellten Bilder für die Animation verwandt. :schleife() :Prgm :Local i,d :setmode( Graph, function ) :-3 [PLQ :3 [PD[ :-1.5 \PLQ :!0 \PD[ :a*x^2+b*x+c \[ :for i,1,20,1 :i/10 D :StoPic #( pics &string(i)) :Endfor :CyclePic pics,10,.5,5,1 :EndPrgm