Schülerbuchseite 8 11

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1 Scülerbucseite 8 I Sclüsselkonzept: Ableitung Funktionen Seite 8 Die andere Person muss nict notwendig dieselbe Strecke gefaren sein, nur weil sie denselben Farpreis bezalt at. Es gibt versciedene Verbindungen, die 9 kosten. Mit diesem kann die zentrale Eigenscaft einer Funktion beleuctet werden. Die Zuordnung Farpreis Verbindung ist nict eindeutig und somit keine Funktion. Seite 0 a) f ( ) = _ ; f (0,) = 0; f (78) = 0,8; 78 g ( ) = 7; g (0,) =,8; g (78) = 5; ( ) = ; (0,),; (78) = b) D f = R \{0}; D g = R; D = [ ; ) c) Der Punkt P ( ) liegt auf den Grapen von f, g und ; der Punkt Q (5,5 8) liegt auf dem Grapen von g. a) f ( ) = 9; f (0,) = 0,999; f (78) = 7 55; D f = R; b) g ( ) = 0,5; g (0,) = 0 ; g (78) = _ 8 0,0; D g = R \{ }; c) ( ) _ ; (0,) 0 ; (78) = 9 77 ; D = R \{} Der Punkt P ( ) liegt auf den Grapen von f und g. Der Punkt Q (5,5 8) liegt auf keinem der Grapen. a) b = _ 0 a. Möglice Funktionswerte: f () = 5; f (5) = ; f (0) =. b) D = (0; ) c) 0 8 b a) Falsc, da einem -Wert genau ein -Wert zugeordnet wird. b) War, da eine Gerade eine Funktion ist. c) Falsc, da z. B. die Parallele = den Grapen der Funktion f () = in zwei Punkten scneidet. d) War, da jedem -Wert genau ein -Wert zugeordnet wird. 7 a) Die Zuordnung Scülernummer Körpergröße in cm ist eine Funktion, da zu jedem Scüler (also zu jeder Scülernummer) genau eine Körpergröße geört. b) Die Zuordnung Höe (in m) Wegkilometer ist keine Funktion, weil man sic z. B. bei Kilometer und bei Kilometer 8 auf 000 m Höe befinden könnte. Somit könnte dem Wert 000 der Definitionsmenge kein eindeutiger Wert zugeordnet werden. Seite 8 a) Der Ball wurde in einer Höe von,8 m abgeworfen b) D f = ( 0; ) c) Die maimale Höe des Balles betrug ca., m. d) D f = ( 0;, ,5 + 0 ) Die maimale Höe des Balles betrug ca. 0,5 m +. a I Sclüsselkonzept: Ableitung L

2 Scülerbucseite 9 a) V (r) = _ π r r ; r 0,5,5,5 V,57,0,9,70 5,70 8,97 r,5,5 5 5,5 V,5 7,9 8, 8,8 75,9 0,00 b) D V = (0; ) V 8 0 Das Volumen des Kegels ist für etwa r =,9 cm am größten. 0 a) f (r) = 500 _ π r b) r 5 58,9 9,7 7, 9,9, r ,,,8,9, r c) r = 5, = _ 500 π 5 g (r) = π r + 0 r Der berfläceninalt beträgt für r = 5 50 π + 00 cm 57,08 cm. a) Individuelle Lösung. Beispiel: Mit einer 0 m langen Scnur soll ein Recteck mit den Seitenlängen a und b (in m) gelegt werden. Dabei soll a öcstens 7 m lang sein. Geben Sie die Funktion a b an. r b) Individuelle Lösung. Beispiel: Bestimmen Sie eine Funktion, die jeder Zal die Hälfte der Quadratwurzel zuordnet. c) Individuelle Lösung. Beispiel: Der Eintrittspreis für Gruppen in einem Museum wird so bestimmt: Für die Fürung pauscal 0 und für jede Person 5. Bestimmen Sie eine Funktion, mit der der Eintrittspreis bestimmt werden kann. a) Wält man den Koordinatenursprung auf der Farban in der Mitte der beiden Pfeiler, so lässt sic das Spannseil mit dem Grapen der Funktion f: mit f () = 0, bescreiben. Hierbei ist (in m) der orizontale Abstand zum gewälten Koordinatenursprung und = f () die Höe (in m) über der Farban. b) f (00),97; f (00),89; f (500),0 c) D f = ( 995,5; 995,5) Differenzenquotient Mittlere Änderungsrate Seite Die Grafik gibt einen scnelleren Überblick über das Gesamtgesceen im betracteten Zeitraum; allerdings kann man den Anstieg der Bevölkerungszal leict überscätzen, wenn man nict den verscobenen Nullpunkt der -Acse übersiet. Der Tabelle kann man leicter die genauen Zalen entnemen, insbesondere kann man die Änderung der Bevölkerungszal in Zenjareszeiträumen berecnen. Seite a) 0 b) 0,0 7 c) 5000 d) 0,0000 L I Sclüsselkonzept: Ableitung

3 Scülerbucseite 7 _ 0 a) 9 = 7_ 8 b) 0 _ 0 = 0_ = 0 _ 7 c) 9 7 = _ d) _ 0 = _ = b) 9 Q ( 9) Folgende Begriffe geören jeweils zusammen. Mittlere Änderungsrate der Wegstrecke und Durcscnittsgescwindigkeit Mittlere Änderungsrate der Gescwindigkeit und Durcscnittlice Bescleunigung Mittlere Änderungsrate der Füllmenge und Füllgescwindigkeit Mittlere Änderungsgescwindigkeit des Tankinalts und Durcscnittsverbrauc Seite m_ a) v m =,5 min b) v m_ m =,5 min f () = ² P ( ) 7 5 Diffquot. = 7 Der Differenzenquotient von f im Intervall I = [a, b] entsprict der Steigung der Geraden durc die Punkte P ( a f (a) ), Q ( b f (b) ). a) f () = ² P (0 0) Differenzenquotient = m = Q ( ) c) d) f () = ² P ( ) P ( ) Q ( ) Diffquot. = 0 f () = ² Q ( ) Diffquot. = I Sclüsselkonzept: Ableitung L

4 Scülerbucseite 7 8 Möglice Lösung: b) A) B) Ableitung Momentane Änderungsrate Seite 5 Es gibt zwei Messpunkte. Die Geräte registrieren jeweils, zu welcem Zeitpunkt das Auto das Messgerät passiert. Daraus wird berecnet, wie lange das Farzeug für die Messstrecke benötigt. Da man auc den Abstand der beiden Messgeräte, also die Länge der Messstrecke, kennt, kann man so die Durcscnittsgescwindigkeit zwiscen diesen beiden Punkten berecnen. Da die Mess punkte nae zusammenliegen, entsprict diese in etwa der Momentangescwindigkeit. Seite 7 a) f () = b) f () = 0,5 c) f () = 8 d) f () = e) f () = f) f () = 0 g) f () 0,5 ) f () = 0 C) a) A) f ( ) = B) f ( ) = C) f ( ) = D) f ( ) = L I Sclüsselkonzept: Ableitung

5 Scülerbucseite 7 9 D) s (t) = t s (t + ) s (t) Differenzenquotient: (t + ) = t _ t = + 8 t + t = 8 t + t 0 = Å; = 0,00Å: 8 Å + 0,00 = 8,00 t Å = 5; = 0,00Å: ,00 = 0,00 Die momentane Änderungsrate s (t) bescreibt die Gescwindigkeit des Körpers. a) Die Steigung des Grapen ist in den Punkten A und D positiv. b) C B A D Seite 8 5 a) f ( 0 ) = b) f ( 0 ) = c) f ( 0 ) = 0,5 d) f ( 0 ) = a) Die Steigung betrug um 0.5 Ur ca. 000 m_, um 0.5 Ur ca. 000 m_ und um.5 Ur ca. 000 m_. b) Die momentane Änderungsrate der Flugöe war etwa um 0.05 Ur am größten und etwa um.0 Ur am kleinsten. c) Die momentane Änderungsrate der Flugöe ist die Gescwindigkeit. 9 Der Grap der Funktion f mit f () = + 5 ist eine nac unten geöffnete Parabel, die gegen über der Normalparabel um 5 in -Rictung verscoben ist; der Sceitelpunkt liegt bei P (0 5). Da die Steigung des Grapen von f für < 0 positiv, für > 0 negativ und für = 0 ist, erält man a) f () < 0 b) f ( 5) > 0 c) f (00) < 0 d) f (0) = 0. 0 a) Man kann keine eindeutige Tangente im Punkt P zeicnen, weil der Grap dort einen Knick at. f ( + ) f () ( + ) b) > 0: = ( + ) + _ = 0,:,, + _ 0,0 0, = 0, = 0, = 0,00:,00,00 + 0, ,00 = 0,00 = 0,00 Für > 0 get der Differenzenquotient gegen 0. f ( + ) f () ( + ) < 0: = = 0,: 0,9 0, =,7 = 0,00: 0,999 0, =,99700 Für < 0 get der Differenzenquotient gegen. Die Grenzwerte für < 0 und > 0 sind verscieden. Der Differenzenquotient von f besitzt an der Stelle = keinen Grenzwert, also ist die Funktion dort nict differenzierbar. Ableitung berecnen Seite 9 Bei diesen Termen kann man jeweils kürzen und erält dann _ = 0 für 0, _ = _ _ für 0, ( + ) = _ + _ für 0, I Sclüsselkonzept: Ableitung L 5

6 Scülerbucseite (8 + ) = = für 0, _ a + a ( a = _ a ) ( a a ) Seite 0 = a a _ für a a) f () = b) f () = c) f () = a) f (5) = 0 b) f ( 5) = 0 c) f (,5) = 9 d) f (0) = 0 a) f () = 8 b) f () = c) f () = d) f () = e) f ( ) = f) f ( ) = 8 g) f () = ) f () = i) f (7) = 0 a) = b) =,5 c) = 8 d) = 5 a) f ( ) = ; = b) f () = ; = + c) f () = ; = + d) f () = ; = _ e) f () = ; = + _ f) f (0,5) = ; = + Seite 8 a) Die Ableitung von f mit f () = + an den Stellen 0 = und = 9 ist. f _ ( 0 ) f ( 0 ) b) = _ ( 0 + ) 0 _ = = c) Die Ableitung einer linearen Funktion mit = m + c an einer beliebigen Stelle 0 ist m. d) Die Ableitung einer linearen Funktion ist für jede Stelle 0 konstant und ist gleic der Steigung der linearen Funktion. 0 a) f () = b) f () = c) f () = f () = _ a) Für α = 0 erält man s (t) = 0 und für α = 90 s (t) = 5 t. Beträgt der Neigungswinkel α = 0, so stet der Skateboardfarer auf einer waagerecten Ebene. Bei einem Neigungswinkel von α = 90 würde der Skateboardfarer an einer senkrecten Wand (z. B. im obersten Punkt einer Halfpipe) steen. In diesem Fall würde die Bewegung einem freien Fall entsprecen. b) Mit v (,5) = s (,5) = 0 sin (α),5 erält man für α = 0 eine Gescwindigkeit von,5 m_ s bzw. für α = 0 eine Gescwindigkeit von 8,87 _ m s. a) Bei einer Bescleunigung von a = m_ s beträgt die Gescwindigkeit nac Sekunden v = _ m s und nac 5 Sekunden m v = 5 _ s. b) Bei einer Bescleunigung von a = m_ s ätte das Auto nac etwa, Sekunden eine Gescwindigkeit von 50 km_ bzw. nac 9, Sekunden eine Gescwindigkeit von 00 km_. c) Bei einer allgemeinen Bescleunigung a beträgt die Gescwindigkeit nac Sekunden v = a in m_ s und nac 5 Sekunden v = 5 a in m_ s. 9 f () = L I Sclüsselkonzept: Ableitung

7 Scülerbucseite 5 Die Ableitungsfunktion Seite Die Gescwindigkeit kann man mittels der Steigung der Tangente näerungsweise geometrisc bestimmen. Zeit in 0,5,5,5,5 Gescw. in km Gescwindigkeit (in km/) Zeit (in ) 0,5,5,5,5 Seite f _ (0 a) + ) f ( 0 ) (0 = + ) ( 0 ) 0 = _ 0 = + ( 0 + ) = = für 0 b) f () = 0 f () f () Seite (A) () Die Steigung des Grapen von (A) ist immer positiv und wird mit größer werdenden kontinuierlic größer. (B) () Die Steigung des Grapen von (B) ist immer positiv. An der Stelle 0 ist die Steigung 0. (C) () Der Grap in (C) at eine konstante, positive Steigung. (D) () Der Grap von (D) at bis zur Stelle eine negative Steigung. Dann ist bis zur Stelle die Steigung posi tiv. Danac ist sie wieder negativ. 5 a) Wenn die Funktionswerte einer Funktion f für größer werdende Werte von zunemen, dann ist die dazugeörige Ableitungsfunktion in diesem Intervall positiv. b) Je größer die Steigung des Grapen von f ist, desto größer ist die Ableitung von f. c) Wenn eine Funktion f linear ist, dann ist die dazugeörige Ableitungsfunktion konstant. d) Wenn die Funktionswerte einer Funktion f konstant sind, dann ist die dazugeörige Ableitungsfunktion null. a) Wenn der Grap von f nac unten verscoben wird, verändert sic der Grap von f nict. b) Wenn der Grap von f nac oben verscoben wird, verändert sic der Grap von f nict. c) Wenn der Grap von f nac rects verscoben wird, versciebt sic auc der Grap von f nac rects. d) Wenn der Grap von f nac links verscoben wird, versciebt sic auc der Grap von f nac links. I Sclüsselkonzept: Ableitung L 7

8 Scülerbucseite 5 7 Ableitungsregeln Seite 5 Funktion f f f f f 5 f Ableitungsfunktion g g 5 g g g g Möglice Begründung: : im Lertet zu Lerneineit 5 berecnet f : konstanter Anstieg der Winkelalbierenden f : gestreckte Funktion, also steilerer Anstieg als bei f f : fallende Gerade, also konstanter negativer Anstieg f : zusammengesetzte Funktion mit positivem Anstieg f5 : zusammengesetzte Funktion mit negativem f Anstieg Seite a) f () = b) f () = 0 9 c) f () = 5 d) f () = + 5 e) f () = 0 0 f) f () = + 5 g) f () = 5 ) f () = + 5 i) f () = a) f () = a + b b) f () = a_ c) f () = (c + ) c d) f (t) = t + e) f () = f) f (t) = a) f () = 5 b) f () = + c) f () = d) f () = + e) f () = 8 f) f () = a) = 0,5 _ b) = _ 7 + _ c) =,75,5 d) = 75,0 + 50, Seite 7 a) = 0,5 b) = 8 c) = +,5 d) = a) P ( 0,5) b) P ( 0,5,5) c) P ( _ _ 7 ) 8 Die Funktionen f und g aben an den Stellen = 0 und = _ die gleice Ableitung. Die Funktionen f und aben an der Stelle = die gleice Ableitung. Die Funktionen g und aben an den Stellen = _ und = _ die gleice Ableitung. 9 Nac Sekunde at der Körper eine Gescwindigkeit von 0 m s. 0 a) W (t) =, t + 8, t W t (in ) b) Die Ableitung von W gibt die momentane Änderungsrate des Wacstums der Hefekultur an, ier die Wacstumsgescwindigkeit in _ mg. Die Wacstumsgescwindigkeit nimmt etwa 8 Stunden lang zu, danac verlangsamt es sic wieder. a) T ( C) t (in min) L 8 I Sclüsselkonzept: Ableitung

9 Scülerbucseite 7 9 b) T (t) = 0,8 t +,5 Für 0 ª t < 0 ist T (t) positiv; weiterin gilt: T (0) = 0. c) Die Ableitungsfunktion T ist eine fallende lineare Funktion, die im Definitionsbereic positive Werte at. Das bedeutet im Kontet, dass die Temperatur mit der Zeit langsamer ansteigt. d) T (5) = 80 bedeutet, dass im Backofen nac 5 Minuten eine Temperatur von 80 C errsct. T (0) 7,7 bedeutet, dass die Temperatur im Backofen 0 Minuten nac Einscalten des Backofens mit einer momentanen Gescwindigkeit von etwa 7,7 C pro Minute ansteigt. Seite 8 5_ 0 + Differenzenquotient für f: + 5_ 0 ; _ 0 + Differenzenquotient für g: _ 0 5 f ( 0 + ) f ( 0 ) 0 + = = 5 _ 0 _ g ( 0 + ) g ( 0 ) = 5. Für den Grenzübergang 0 erält man somit f () = 5 g (). 5 Differenzenquotient für _ ( 0 + ) f: ( 0 ) ; _ Differenzenquotient für g: ( 0 + ) ( 0 ) ; Differenzenquotient für s: s _ ( 0 + ) s ( 0 ) ( _ 0 + ) = + ( 0 + ) ( 0 ) ( 0 ) _ ( 0 + ) = ( 0 ) _ ( 0 + ) + ( 0 ) _ f ( 0 + ) f ( 0 ) _ g ( 0 + ) g ( 0 ) = + Für den Grenzübergang 0 erält man somit s () = f () + g (). 7 Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen Seite 9 a) Temperatur (in C) Urzeit (in Stunden) 8 b) Dargestellt ist der Bereic von 500 bis 000 cm³ Steuer (in Euro) Hubraum (in cm ) c) Gauß-Klammer [] oder im Engliscen floor-function floor (). I Sclüsselkonzept: Ableitung L 9

10 Scülerbucseite 0 Seite 0 Fig. : Die zugeörige Funktion f ist stetig auf dem ganzen sictbaren Intervall; überall differenzierbar, außer an den Stellen = und =. Fig. : Die zugeörige Funktion f lautet f () = _. Sie ist stetig und differenzierbar auf irem gesamten Definitionsbereic D f = R \{0}. a) Falsc, da z. B. der Grenzwert lim 0 f () nict mit dem Funktionswert f ( 0 ) übereinstimmen muss. b) War, da aus lim 0 f () = f ( 0 ) die Differenzierbarkeit folgen kann, aber nict muss. c) Falsc, Stetigkeit und Differenzierbarkeit kann nur dann an der Stelle 0 untersuct werden, wenn die Funktion für 0 definiert ist. d) War, da aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit folgt. Sei T () die Funktion, die jedem Punkt auf dem Äquator die aktuelle Temperatur zuordnet (T () in C, * [0, π] im Bogenmaß). Nac Voraussetzung ist T stetig und es gilt T (0) = T ( π). Beauptung: Die Funktion f mit f () = T () T ( + π) at mindestens eine Nullstelle, denn dann ist die Temperatur in gleic wie im gegenüberliegenden Punkt + π. Beweis: Ist f (0) = 0, so sind die beiden gesucten Stellen 0 und π. Ist f () 0, so gilt für die gegenüberliegenden Stellen 0 und π: f (0) = T (0) T (π) = T ( π) T (π) und f (π) = T (π) T ( π), also gilt f (0) = f (π). Die beiden Funktionswerte aben untersciedlice Vorzeicen. Aufgrund der Stetigkeit von f muss es mindestens eine Stelle 0 geben, für die f ( 0 ) = 0 ist. Begründung anand von Grapen: A und E sowie A und E müssen auf derselben Höe über NN liegen. Die Aufstiegsbzw. Abstiegsgrapen geören zu stetigen, monotonen Funktionen. Legt man die Grapen von Aufstieg und Abstieg übereinander, so ist offensictlic, dass es eine Stelle gibt, die am Vortag zur selben Zeit passiert wurde. Die Grapen können z. B. so ausseen: Aufstieg: A 8 7 Abstieg: A Höe über NN (in m) Höe über NN (in m) 8 7 E E t (in ) t (in ) Wiederolen Vertiefen Vernetzen Seite a) Sind a und b die Seitenlängen des Rectecks (jeweils in cm) und F der Fläceninalt des Rectecks (in cm ), so erält man für f: b = f (a) = 5 a und für g: F = g (a) = 5 a a. b) f (5) = 0, g (5) = 00. D f = D g = (0; 5). L 0 I Sclüsselkonzept: Ableitung

11 Scülerbucseite a) f () = b) f () = c) f () = 5 d) f () = e) f (t) = f) f () = + a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = + e) f () = _ f) f () = g) f () = a c c ) f () = ( + c) + c i) f () = + c a) t () =,7 5, b) t () = 0,5 + c) t () = 5 5 Der Anstieg von f muss sein. a) f () = ; Der Grap von f at an keiner Stelle eine Parallele zum Grapen von g. b) f () = ; Der Grap von f ist an keiner Stelle parallel zum Grapen von g. c) f () = 0,0 = ; P (0 0); P ( 0 0) d) f () = = ; P 0 (,5 9_ + a ) e) f () = b = ; P 0 ( b 9! b ) f) f () = b = ; P0 ( _ b b + c ) c) War. Es ist f (,5) = f (,5) = f (,5) = 0, die Steigung des Grapen ist an diesen Stellen also gleic null. Seite 9 a) Im Monat Juni sowie in den Monaten September und ktober nam die Einwonerzal in Deutscland zu. b) Die Einwonerzal von Deutscland lag zum.. 0 bei etwa a) Die elektrisce Stromstärke betrug nac Sekunden etwa Ampere. Nac Sekunden war die Stromstärke etwa null. b) Die elektrisce Stromstärke ist nac ca.,5 Sekunden mit ca. Ampere am größten. a) H (0,5) = 0; H (,5) = 5; H (,5) = 0 b) Die Funktion H ist lediglic an der Stelle t = differenzierbar. An der Stelle t =,8 lässt sic kein eindeutiger Grenzwert für den Differenzenquotienten von H bestimmen. a) = ; = 0; = _7 b) = _7 0,59; 5 = ,5 7 a) ( ) und ( ) t () = 8 und t () = + 8 b) (0,5 ), t () = 8 c) (0 ) und ( ), t () = und t () = d) ( ) und ( ), t () = und t () = + e) ( 0,5), t () = 9_ + _ f) ( 0,9,0) und ( 0,9,0) t () +, und t () +,5 8 a) War. Da f () > 0 für * [ ; ] ist die Steigung des Grapen positiv. b) Falsc. Es ist f () > 0 für * [;,5], also ist die Steigung des Grapen positiv. I Sclüsselkonzept: Ableitung L