Clevere Algorithmen programmieren
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- Benedikt Giese
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1 ClevAlg 2017 Theoretische Informatik Clevere Algorithmen programmieren Dennis Komm, Jakub Závodný, Tobias Kohn 06. Dezember 2017
2 Die zentralen Fragen sind... Was kann man mit einem Computer nicht machen? Wie gut kann man machen, was gemacht werden kann? Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
3 Probleme in Mathe
4 Probleme in Mathe Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
5 Probleme in Mathe Meine Nase wird jetzt wachsen Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
6 Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Meine Herren, lassen Sie uns rechnen. Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
7 Bertrand Russell ( ) Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
8 Bertrand Russell ( ) Sei S die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, also S = {X X ist eine Menge und X / X} Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
9 Bertrand Russell ( ) Sei S die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, also S = {X X ist eine Menge und X / X} Enthält S sich selber, also ist S S oder S / S? Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
10 Bertrand Russell ( ) Sei S die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, also S = {X X ist eine Menge und X / X} Enthält S sich selber, also ist S S oder S / S? Dies führt zu einem Widerspruch Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
11 Bertrand Russell ( ) Sei S die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, also S = {X X ist eine Menge und X / X} Enthält S sich selber, also ist S S oder S / S? Dies führt zu einem Widerspruch Also kann S nicht existieren Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
12 Bertrand Russell ( ) Angenommen, es gilt S S Widerspruch Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
13 Bertrand Russell ( ) Angenommen, es gilt S S S ist also eine Menge, die sich selbst enthält S kann nicht in S sein, denn S ist genau so definiert, dass es keine Menge enthält, die sich selbst enthält Widerspruch Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
14 Bertrand Russell ( ) Angenommen, es gilt S S S ist also eine Menge, die sich selbst enthält S kann nicht in S sein, denn S ist genau so definiert, dass es keine Menge enthält, die sich selbst enthält Na gut, dann nehmen wir eben an, es gilt S / S Widerspruch Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
15 Bertrand Russell ( ) Angenommen, es gilt S S S ist also eine Menge, die sich selbst enthält S kann nicht in S sein, denn S ist genau so definiert, dass es keine Menge enthält, die sich selbst enthält Na gut, dann nehmen wir eben an, es gilt S / S S ist also eine Menge, die sich nicht selbst enthält S muss in S sein, denn S ist genau so definiert Widerspruch Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
16 Bertrand Russell ( ) Angenommen, es gilt S S S ist also eine Menge, die sich selbst enthält S kann nicht in S sein, denn S ist genau so definiert, dass es keine Menge enthält, die sich selbst enthält Na gut, dann nehmen wir eben an, es gilt S / S S ist also eine Menge, die sich nicht selbst enthält S muss in S sein, denn S ist genau so definiert Widerspruch Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
17 David Hilbert ( ) Hilbert-Programm Erstelle ein System von Axiomen und Regeln, in dem jede wahre Aussage bewiesen werden kann und zwar so, dass dabei nie ein Widerspruch entsteht Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
18 B. Russell, Alfred N. Whitehead ( ) Wikimedia, Creative Commons Unbekannter Urheber Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
19 Kurt Gödel ( ) Gödels Unvollständigkeitssatz Wenn Widerspruchsfreiheit herrscht, existieren wahre Aussagen, die nicht bewiesen werden können Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
20 Fazit Wir wissen heute (dank Gödel)... Die Mathematik ist unvollständig Es gibt Aussagen, die weder beweisbar noch widerlegbar sind Das wird so bleiben Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
21 Fazit Wir wissen heute (dank Gödel)... Die Mathematik ist unvollständig Es gibt Aussagen, die weder beweisbar noch widerlegbar sind Das wird so bleiben Aber was ist mit beweisbaren (widerlegbaren) Aussagen? Wie schwer ist es, diese zu beweisen (widerlegen)? Kann dies automatisiert werden? Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
22 Alan M. Turing ( ) Es gibt beweisbare Aussagen, die wir nicht automatisch beantworten lassen können Die Idee ist der von Gödels Unvollständigkeitssatz sehr ähnlich Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
23 Unendlich mal Unendlich
24 Unendlich mal Unendlich Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
25 Unendlich mal Unendlich To infinity... and beyond! Walt Disney Pictures Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
26 Ein Schäfer hat schwarze und weisse Schafe Hat er mehr weisse oder schwarze? Er kann nur bis drei zählen Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
27 Ein Schäfer hat schwarze und weisse Schafe Hat er mehr weisse oder schwarze? Er kann nur bis drei zählen Führe jeweils ein weisses und ein schwarzes auf andere Weide Juraj Hromkovič, Berechenbarkeit, Vieweg Teubner Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
28 Satz (von Cantor und Bernstein) Zwei Mengen A und B sind gleich gross, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
29 Satz (von Cantor und Bernstein) Zwei Mengen A und B sind gleich gross, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt A B Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
30 Satz (von Cantor und Bernstein) Zwei Mengen A und B sind gleich gross, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt A B Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
31 Das gilt auch für unendliche Mengen N = {0, 1, 2, 3,... } N gerade = {0, 2, 4, 6,... } N ungerade = {1, 3, 5, 7,... } (natürliche Zahlen) (gerade Zahlen) (ungerade Zahlen) Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
32 Das gilt auch für unendliche Mengen N = {0, 1, 2, 3,... } N gerade = {0, 2, 4, 6,... } N ungerade = {1, 3, 5, 7,... } (natürliche Zahlen) (gerade Zahlen) (ungerade Zahlen) N gerade N ungerade Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
33 Es gilt also N gerade = N ungerade Was ist mit N + = {1, 2, 3,... }? (positive natürliche Zahlen) Intuitiv sollte N + < N sein Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
34 Es gilt also N gerade = N ungerade Was ist mit N + = {1, 2, 3,... }? (positive natürliche Zahlen) Intuitiv sollte N + < N sein N N + Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
35 Es gilt also N gerade = N ungerade Was ist mit N + = {1, 2, 3,... }? (positive natürliche Zahlen) Intuitiv sollte N + < N sein; es gilt N + = N N N + Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
36 Es gilt ausserdem N + = N Was ist mit Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }? Intuitiv sollte Z = 2 N sein (ganze Zahlen) Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
37 Es gilt ausserdem N + = N Was ist mit Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }? Intuitiv sollte Z = 2 N sein (ganze Zahlen) N Z Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
38 Es gilt ausserdem N + = N Was ist mit Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }? (ganze Zahlen) Intuitiv sollte Z = 2 N sein; es gilt Z = N N Z Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
39 Definition Eine unendliche Menge A heisst abzählbar, wenn sie genau so gross ist wie N Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
40 Definition Eine unendliche Menge A heisst abzählbar, wenn sie genau so gross ist wie N Jedem Element aus A wird eine natürliche Zahl zugeordnet Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
41 Definition Eine unendliche Menge A heisst abzählbar, wenn sie genau so gross ist wie N Jedem Element aus A wird eine natürliche Zahl zugeordnet Satz Z ist abzählbar Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
42 Definition Eine unendliche Menge A heisst abzählbar, wenn sie genau so gross ist wie N Jedem Element aus A wird eine natürliche Zahl zugeordnet Satz Z ist abzählbar { } Q + = 1 1, 1 2, 1 3,..., 2 1, 2 2, 2 3,... (positive rationale Zahlen) Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
43 Definition Eine unendliche Menge A heisst abzählbar, wenn sie genau so gross ist wie N Jedem Element aus A wird eine natürliche Zahl zugeordnet Satz Z ist abzählbar { } Q + = 1 1, 1 2, 1 3,..., 2 1, 2 2, 2 3,... (positive rationale Zahlen) Satz Q + ist abzählbar Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
44 Definition Eine unendliche Menge A heisst abzählbar, wenn sie genau so gross ist wie N Jedem Element aus A wird eine natürliche Zahl zugeordnet Satz Z ist abzählbar { } Q + = 1 1, 1 2, 1 3,..., 2 1, 2 2, 2 3,... (positive rationale Zahlen) Satz Q + ist abzählbar Satz Q ist abzählbar Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
45 David Hilbert ( ) Das Hilbert-Hotel Unendlich viele Räume In jedem Raum logiert ein Gast Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
46 David Hilbert ( ) Das Hilbert-Hotel Unendlich viele Räume In jedem Raum logiert ein Gast Ein neuer Gast kommt Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
47 David Hilbert ( ) Das Hilbert-Hotel Unendlich viele Räume In jedem Raum logiert ein Gast Ein neuer Gast kommt Können wir ihm einen Raum zuweisen ohne jemanden rauszuschmeissen? Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
48 Ein neuer Gast kommt... David Hilbert ( ) Gast 1 Gast 2 Gast 3 Gast 4 Gast 5... Raum 1 Raum 2 Raum 3 Raum 4 Raum 5 Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
49 Ein neuer Gast kommt... David Hilbert ( ) Gast 1 Gast 2 Gast 3 Gast 4 Gast 5... Raum 1 Raum 2 Raum 3 Raum 4 Raum 5 Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
50 Ein neuer Gast kommt... David Hilbert ( ) Gast 1 Gast 2 Gast 3 Gast 4... Raum 1 Raum 2 Raum 3 Raum 4 Raum 5 Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
51 Ein neuer Gast kommt... David Hilbert ( ) Neuer Gast Gast 1 Gast 2 Gast 3 Gast 4... Raum 1 Raum 2 Raum 3 Raum 4 Raum 5 Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
52 Ein neuer Gast kommt... David Hilbert ( ) Neuer Gast Gast 1 Gast 2 Gast 3 Gast 4... Raum 1 Raum 2 Raum 3 Raum 4 Raum 5 Unendlich viele neue Gäste kommen... Gast 1 Gast 2 Gast 3 Gast 4 Gast 5... Raum 1 Raum 2 Raum 3 Raum 4 Raum 5 Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
53 Ein neuer Gast kommt... David Hilbert ( ) Neuer Gast Gast 1 Gast 2 Gast 3 Gast 4... Raum 1 Raum 2 Raum 3 Raum 4 Raum 5 Unendlich viele neue Gäste kommen... Gast 1 Gast 2 Gast 3 Gast 4 Gast 5... Raum 1 Raum 2 Raum 3 Raum 4 Raum 5 Raum 6 Raum 8 Raum 10 Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
54 Ein neuer Gast kommt... David Hilbert ( ) Neuer Gast Gast 1 Gast 2 Gast 3 Gast 4... Raum 1 Raum 2 Raum 3 Raum 4 Raum 5 Unendlich viele neue Gäste kommen... Gast 1 Gast 2... Raum 1 Raum 2 Raum 3 Raum 4 Raum 5 Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
55 Ein neuer Gast kommt... David Hilbert ( ) Neuer Gast Gast 1 Gast 2 Gast 3 Gast 4... Raum 1 Raum 2 Raum 3 Raum 4 Raum 5 Unendlich viele neue Gäste kommen... Neuer Gast 1 Neuer Gast 1 Gast 2 Gast 2 Neuer Gast 3... Raum 1 Raum 2 Raum 3 Raum 4 Raum 5 Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
56 Überabzählbarkeit von R Gibt es Mengen, die grösser sind als N? Betrachten wir R (reelle Zahlen) Zur Erinnerung: π, 2 R, aber π, 2 / Q Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
57 Überabzählbarkeit von R Gibt es Mengen, die grösser sind als N? Betrachten wir R (reelle Zahlen) Zur Erinnerung: π, 2 R, aber π, 2 / Q Satz R ist nicht abzählbar (wir sagen überabzählbar) Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
58 Überabzählbarkeit von R Gibt es Mengen, die grösser sind als N? Betrachten wir R (reelle Zahlen) Zur Erinnerung: π, 2 R, aber π, 2 / Q Satz R ist nicht abzählbar (wir sagen überabzählbar) Wir führen wieder einen Widerspruchsbeweis Wie nehmen das Gegenteil an ( R ist abzählbar ) Dann zeigen wir, dass daraus ein Widerspruch folgt Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
59 Überabzählbarkeit von R Angenommen, R ist abzählbar Wir gucken sogar nur die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 an Nehmen wir an, wir könnten diese Zahlen aufzählen Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
60 Überabzählbarkeit von R Angenommen, R ist abzählbar Wir gucken sogar nur die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 an Nehmen wir an, wir könnten diese Zahlen aufzählen Dann erhalten wir eine Tabelle wie diese: Nummer Reelle Zahl Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
61 Nummer Überabzählbarkeit von R Reelle Zahl Betrachte die i-te Nachkommastelle der i-ten Zahl. Widerspruch... Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
62 Nummer Überabzählbarkeit von R Reelle Zahl Betrachte die i-te Nachkommastelle der i-ten Zahl Wir konstruieren eine reelle Zahl x. x ist an der i-ten Stelle unterschiedlich von der i-ten Zahl Hier zum Beispiel x = Widerspruch... Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
63 Nummer Überabzählbarkeit von R Reelle Zahl Betrachte die i-te Nachkommastelle der i-ten Zahl Wir konstruieren eine reelle Zahl x. x ist an der i-ten Stelle unterschiedlich von der i-ten Zahl Hier zum Beispiel x = Widerspruch x kann nicht in der Tabelle stehen... Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
64 Nummer Überabzählbarkeit von R Reelle Zahl Betrachte die i-te Nachkommastelle der i-ten Zahl Wir konstruieren eine reelle Zahl x. x ist an der i-ten Stelle unterschiedlich von der i-ten Zahl Hier zum Beispiel x = Widerspruch x kann nicht in der Tabelle stehen... Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
65 Nummer Überabzählbarkeit von R Reelle Zahl Betrachte die i-te Nachkommastelle der i-ten Zahl Wir konstruieren eine reelle Zahl x. x ist an der i-ten Stelle unterschiedlich von der i-ten Zahl Hier zum Beispiel x = Widerspruch x kann nicht in der Tabelle stehen Methode bekannt als Diagonalisierung Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37...
66 Die Turing-Maschine
67 Die Turing-Maschine Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
68 Die Turing-Maschine Diese Turing-Maschine ist für DIAG Dann ist sie nicht für DIAG Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
69 Die Turing-Maschine Wir wollen jetzt zeigen, dass es Probleme gibt, die wir algorithmisch nicht lösen können; die Idee ist... Es gibt überabzählbar viele Probleme Es gibt abzählbar viele Algorithmen Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
70 Die Turing-Maschine Wir wollen jetzt zeigen, dass es Probleme gibt, die wir algorithmisch nicht lösen können; die Idee ist... Es gibt überabzählbar viele Probleme Es gibt abzählbar viele Algorithmen Aber zunächst müssen wir überlegen... Was ist ein Problem? Was ist ein Algorithmus? Wir brauchen eine saubere mathematische Definition Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
71 Was ist ein Problem? Ein Alphabet ist eine endliche Menge von Symbolen Ein Wort ist eine Zeichenkette von diesen Symbolen DEZ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ist das Dezimalalphabet x = ist ein Wort über DEZ Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
72 Was ist ein Problem? Ein Alphabet ist eine endliche Menge von Symbolen Ein Wort ist eine Zeichenkette von diesen Symbolen DEZ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ist das Dezimalalphabet x = ist ein Wort über DEZ Definition Ein Entscheidungsproblem L ist, für ein gegebenes Wort x, zu entscheiden, ob es in der Menge L ist Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
73 Was ist ein Problem? Ein Alphabet ist eine endliche Menge von Symbolen Ein Wort ist eine Zeichenkette von diesen Symbolen DEZ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ist das Dezimalalphabet x = ist ein Wort über DEZ Definition Ein Entscheidungsproblem L ist, für ein gegebenes Wort x, zu entscheiden, ob es in der Menge L ist Die Antwort ist immer JA oder NEIN Diese Modellierung ist tatsächlich sehr allgemein Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
74 Was ist ein Problem? PRIM = {y y ist eine Primzahl} (y ist über DEZ ) Ist x eine Primzahl? Ist x PRIM? Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
75 Was ist ein Problem? PRIM = {y y ist eine Primzahl} (y ist über DEZ ) Ist x eine Primzahl? Ist x PRIM? HK = {y y ist Graph mit einem Hamiltonkreis} Der Graph Der Graph ist in HK ist nicht in HK Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
76 Was ist ein Problem? PRIM = {y y ist eine Primzahl} (y ist über DEZ ) Ist x eine Primzahl? Ist x PRIM? HK = {y y ist Graph mit einem Hamiltonkreis} Der Graph Der Graph ist in HK ist nicht in HK Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
77 Was ist ein Algorithmus? Definition [Wikipedia] Ein Algorithmus ist eine eindeutige Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems oder einer Klasse von Problemen. Algorithmen bestehen aus endlich vielen, wohldefinierten Einzelschritten. Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
![Was ist ein Algorithmus? Definition [Wikipedia] Ein Algorithmus ist eine eindeutige Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems oder einer Klasse von Problemen.](/docs-images/93/112650826/images/78-0.jpg "Algorithmen bestehen aus endlich vielen, wohldefinierten Einzelschritten.")
78 Was ist ein Algorithmus? Definition [Wikipedia] Ein Algorithmus ist eine eindeutige Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems oder einer Klasse von Problemen. Algorithmen bestehen aus endlich vielen, wohldefinierten Einzelschritten. Wikimedia, Creative Commons Programm, das testet, ob eine Zahl eine Primzahl ist Rezept, Wegbeschreibung, Gebrauchsanweisung etc. Kein mathematisches Objekt Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
79 Was ist ein Algorithmus? Wikimedia, Creative Commons Oxford University Press Oxford University Press Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
80 Was ist ein Algorithmus? Ein Mathematiker hat Folgendes zur Verfügung einen Stift beliebig viel kariertes Papier eine endliche Anzahl von Regeln (Arithmetik, Logik,... ) Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
81 Was ist ein Algorithmus? Ein Mathematiker hat Folgendes zur Verfügung einen Stift beliebig viel kariertes Papier eine endliche Anzahl von Regeln (Arithmetik, Logik,... ) Eingabe: Zeichenkette (Wort) auf dem Blatt Vorgehen: Der Mathematiker... betrachtet Zeichen, auf dem der Stift positioniert ist bewegt davon abhängig den Stift und schreibt beendet schliesslich seine Arbeit (er hält ) Ausgabe: Zeichenkette (Wort) auf dem Blatt Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
82 Turing-Maschine Endliche Kontrolle (Zustände) a b Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
83 Alonzo Church ( ) Church-Turing-These Turing-Maschinen (TM) können genau das berechnen, was Algorithmen berechnen können Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
84 Alonzo Church ( ) Church-Turing-These Turing-Maschinen (TM) können genau das berechnen, was Algorithmen berechnen können Andersrum: Was eine TM nicht berechnen kann, kann auch kein Algorithmus berechnen (egal, ob Python, CPP oder Ruby on Rails) Wikimedia, Creative Commons Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
85 Unentscheidbarkeit TM lösen Entscheidungsprobleme Ist x PRIM? PRIM = {y y ist eine Primzahl} Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
86 Unentscheidbarkeit TM lösen Entscheidungsprobleme Ist x PRIM? PRIM = {y y ist eine Primzahl} Sei M PRIM eine TM für PRIM Ist x PRIM antwortet M PRIM mit JA Ist x / PRIM antwortet M PRIM mit NEIN Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
87 Unentscheidbarkeit TM lösen Entscheidungsprobleme Ist x PRIM? PRIM = {y y ist eine Primzahl} Sei M PRIM eine TM für PRIM Ist x PRIM antwortet M PRIM mit JA Ist x / PRIM antwortet M PRIM mit NEIN PRIM = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... } Entscheidungsprobleme sind (meistens unendliche) Mengen von Wörtern Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
88 Unentscheidbarkeit Satz [Turing] Es gibt Entscheidungsprobleme, die nicht von TM (Algorithmen) gelöst werden können (sie heissen unentscheidbar) Zähle alle TM auf: M 1, M 2, M 3,... Zähle alle Wörter (mit festem Alphabet) auf: w 1, w 2, w 3,... Jede TM M i löst ein Entscheidungsproblem Für jedes Wort w j antwortet M i also mit JA oder NEIN Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
89 Unentscheidbarkeit Erzeuge wieder eine Tabelle Zeilen stehen für TM, Spalten für Wörter w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9... M 1 M 2 M 3 M 4. Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
90 Unentscheidbarkeit Erzeuge wieder eine Tabelle Zeilen stehen für TM, Spalten für Wörter w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9... M M M M in Zelle (i, j) wenn M i für w j JA antwortet 0 in Zelle (i, j) wenn M i für w j NEIN antwortet Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
91 Unentscheidbarkeit w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9... M M M M Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
92 Unentscheidbarkeit w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9... M M M M M 1 antwortet JA für w 1 Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
93 Unentscheidbarkeit w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9... M M M M M 1 antwortet JA für w 1 M 2 antwortet NEIN für w 2 Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
94 Unentscheidbarkeit w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9... M M M M M 1 antwortet JA für w 1 M 2 antwortet NEIN für w 2 M 3 antwortet NEIN für w 3 Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
95 Unentscheidbarkeit w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9... M M M M M 1 antwortet JA für w 1 M 2 antwortet NEIN für w 2 M 3 antwortet NEIN für w 3 M 4 antwortet JA für w 4 Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
96 Unentscheidbarkeit w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9... M M M M M 1 antwortet JA für w 1 M 2 antwortet NEIN für w 2 M 3 antwortet NEIN für w 3 M 4 antwortet JA für w 4 Definiere Entscheidungsproblem DIAG (Diagonalisierung) w i ist in DIAG, wenn M i NEIN für w i antwortet Hier DIAG = {w 2, w 3,... } Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
97 Unentscheidbarkeit w i ist in DIAG, wenn M i NEIN für w i antwortet Nehmen wir an, es gibt eine TM M für DIAG M muss in der Aufzählung aller TM vorkommen Sei M die k-te TM, also M k Widerspruch Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
98 Unentscheidbarkeit w i ist in DIAG, wenn M i NEIN für w i antwortet Nehmen wir an, es gibt eine TM M für DIAG M muss in der Aufzählung aller TM vorkommen Sei M die k-te TM, also M k ; betrachte Zelle (k, k)... w k.... M k Widerspruch Steht dort eine 1 oder eine 0? Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37..
99 Unentscheidbarkeit w i ist in DIAG, wenn M i NEIN für w i antwortet Angenommen, in Zelle (k, k) steht eine 1 Dies bedeutet, dass M k für w k mit JA antwortet Widerspruch Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
100 Unentscheidbarkeit w i ist in DIAG, wenn M i NEIN für w i antwortet Angenommen, in Zelle (k, k) steht eine 1 Dies bedeutet, dass M k für w k mit JA antwortet w k ist nach Konstruktion nicht in DIAG Widerspruch Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
101 Unentscheidbarkeit w i ist in DIAG, wenn M i NEIN für w i antwortet Angenommen, in Zelle (k, k) steht eine 1 Dies bedeutet, dass M k für w k mit JA antwortet w k ist nach Konstruktion nicht in DIAG Aber M k ist eine TM für DIAG Widerspruch Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
102 Unentscheidbarkeit w i ist in DIAG, wenn M i NEIN für w i antwortet Angenommen, in Zelle (k, k) steht eine 1 Dies bedeutet, dass M k für w k mit JA antwortet w k ist nach Konstruktion nicht in DIAG Aber M k ist eine TM für DIAG Also antwortet M k für w k mit NEIN Widerspruch Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
103 Unentscheidbarkeit w i ist in DIAG, wenn M i NEIN für w i antwortet Angenommen, in Zelle (k, k) steht eine 1 Dies bedeutet, dass M k für w k mit JA antwortet w k ist nach Konstruktion nicht in DIAG Aber M k ist eine TM für DIAG Also antwortet M k für w k mit NEIN Widerspruch Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
104 Unentscheidbarkeit w i ist in DIAG, wenn M i NEIN für w i antwortet Angenommen, in Zelle (k, k) steht eine 1 Dies bedeutet, dass M k für w k mit JA antwortet w k ist nach Konstruktion nicht in DIAG Aber M k ist eine TM für DIAG Also antwortet M k für w k mit NEIN Also gut, dann steht in Zelle (k, k) eine 0 Dies bedeutet, dass M k für w k mit NEIN antwortet Widerspruch Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
105 Unentscheidbarkeit w i ist in DIAG, wenn M i NEIN für w i antwortet Angenommen, in Zelle (k, k) steht eine 1 Dies bedeutet, dass M k für w k mit JA antwortet w k ist nach Konstruktion nicht in DIAG Aber M k ist eine TM für DIAG Also antwortet M k für w k mit NEIN Also gut, dann steht in Zelle (k, k) eine 0 Dies bedeutet, dass M k für w k mit NEIN antwortet w k ist nach Konstruktion in DIAG Widerspruch Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
106 Unentscheidbarkeit w i ist in DIAG, wenn M i NEIN für w i antwortet Angenommen, in Zelle (k, k) steht eine 1 Dies bedeutet, dass M k für w k mit JA antwortet w k ist nach Konstruktion nicht in DIAG Aber M k ist eine TM für DIAG Also antwortet M k für w k mit NEIN Also gut, dann steht in Zelle (k, k) eine 0 Dies bedeutet, dass M k für w k mit NEIN antwortet w k ist nach Konstruktion in DIAG Widerspruch Aber M k ist eine TM für DIAG Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
107 Unentscheidbarkeit w i ist in DIAG, wenn M i NEIN für w i antwortet Angenommen, in Zelle (k, k) steht eine 1 Dies bedeutet, dass M k für w k mit JA antwortet w k ist nach Konstruktion nicht in DIAG Aber M k ist eine TM für DIAG Also antwortet M k für w k mit NEIN Also gut, dann steht in Zelle (k, k) eine 0 Dies bedeutet, dass M k für w k mit NEIN antwortet w k ist nach Konstruktion in DIAG Widerspruch Aber M k ist eine TM für DIAG Also antwortet M k für w k mit JA Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
108 Unentscheidbarkeit w i ist in DIAG, wenn M i NEIN für w i antwortet Angenommen, in Zelle (k, k) steht eine 1 Dies bedeutet, dass M k für w k mit JA antwortet w k ist nach Konstruktion nicht in DIAG Aber M k ist eine TM für DIAG Also antwortet M k für w k mit NEIN Also gut, dann steht in Zelle (k, k) eine 0 Dies bedeutet, dass M k für w k mit NEIN antwortet w k ist nach Konstruktion in DIAG Widerspruch Aber M k ist eine TM für DIAG Also antwortet M k für w k mit JA Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
109 Unentscheidbarkeit w i ist in DIAG, wenn M i NEIN für w i antwortet Angenommen, in Zelle (k, k) steht eine 1 Dies bedeutet, dass M k für w k mit JA antwortet w k ist nach Konstruktion nicht in DIAG Aber M k ist eine TM für DIAG Also antwortet M k für w k mit NEIN Also gut, dann steht in Zelle (k, k) eine 0 Dies bedeutet, dass M k für w k mit NEIN antwortet w k ist nach Konstruktion in DIAG Widerspruch Aber M k ist eine TM für DIAG Also antwortet M k für w k mit JA Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
110 Das Halteproblem print "Hello, world." exit() Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
111 Das Halteproblem print "Hello, world." exit() while 2 > 1: i=1 print "Hello, world." exit() Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
112 print "Hello, world." exit() n = 4 p = 1 Das Halteproblem while True: p = p + 1 if isprime(p): q = n - p if isprime(q): print "%d = %d + %d" % (n,p,q) n = n + 2 p = 1 if p > n/2: exit() while 2 > 1: i=1 print "Hello, world." exit() Goldbach-Vermutung Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
113 print "Hello, world." exit() n = 4 p = 1 Das Halteproblem while 2 > 1: i=1 print "Hello, world." exit() while True: p = p + 1 if isprime(p): q = n - p if isprime(q): print "%d = %d + %d" % (n,p,q) n = n + 2 p = 1 if p > n/2: # n ist nicht die Summe von zwei Primzahlen exit() Goldbach-Vermutung Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
114 print "Hello, world." exit() n = 4 p = 1 Das Halteproblem while 2 > 1: i=1 print "Hello, world." exit() while True: p = p + 1 if isprime(p): q = n - p if isprime(q): print "%d = %d + %d" % (n,p,q) n = n + 2 p = 1 if p > n/2: # n ist nicht die Summe von zwei Primzahlen exit() Goldbach-Vermutung Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 06. Dezember / 37
115 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit
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