Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5

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1 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 7. Mai 2018 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

2 1.7 Wichtige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen Normalverteilung (Gauß-Verteilung) Dichtefunktion f(x) = e (x µ) π mit µ = 5, = x Parameter: µ R, 2 > 0. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

3 Normalverteilung (Gauß-Verteilung) Zufallsgröße X mit Dichtefunktion f X bzw. Verteilungsfunktion F X f X (x) = 1 2π e (x µ)2 2 2, F X (x) = 1 2π x e (t µ)2 2 2 dt, x R. Dichtefunktion Verteilungsfunktion f X(x) = e (x µ) π mit µ = 5, = X~N(µ, 2 ) mit µ = 5, = 3 F X(x) x Bezeichnung: X N(µ, 2 ). Kenngrößen: EX = µ und VarX = 2. x Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

4 Dichtefunktionen mit verschiedenen Erwartungswerten Dichtefunktionen X~N(µ, 2 ) µ = 10, = 3 µ = 5, = 3 µ = 0, = x Die Dichtefunktion ist symmetrisch bezüglich der Geraden x = µ, deshalb gilt für den Median auch x 0.5 = µ. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

5 Dichtefunktionen mit verschiedenen Varianzen Dichtefunktionen X~N(µ, 2 ) µ = 5, = 5 µ = 5, = 3 µ = 5, = x Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

6 Verschiedene Dichtefunktionen Dichtefunktionen X~N(µ, 2 ) µ = 9, = 2.5 µ = 5, = 2 µ = 1, = x Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

7 Standardnormalverteilung Die Zufallsgröße X ist standardnormalverteilt, falls X normalverteilt ist mit µ = EX = 0 und 2 = VarX = 1, d.h. X N(0, 1). Die Dichte- bzw. Verteilungsfunktion sind dann φ(x) = 1 2π e x2 2 bzw. Φ(x) = 1 2π x e t2 2 dt, x R. Ist die Zufallsgröße X normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz 2, dann ist die standardisierte Zufallsgröße Z := X µ standardnormalverteilt, d.h. normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz 1. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

8 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Geg.: X N(µ, 2 ), a < b. Ges.: P(a X b). Wegen Z = X µ N(0, 1) gilt P(a X b) = ( a µ P X µ b µ ) = ( a µ P Z b µ ) = ( ) ( ) b µ a µ Φ Φ. Dabei ist Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

9 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten II ( ) ( ) b µ a µ P(a X b) = Φ Φ, ( ) a µ P(a X ) = 1 Φ, ( ) b µ P(X b) = Φ. Die Funktionswerte von Φ können aus einer Tabelle (z.b. im Anhang der Formelsammlung zur Lehrveranstaltung) abgelesen werden oder z.b. mit einem Taschenrechner berechnet werden. Für alle reelle Zahlen x gilt: Φ( x) = 1 Φ(x). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

10 Rechenbeispiel 1.11 Geg.: X N(30, 25). Ges.: P(28 X 35). Dichtefunktion X~N(µ, 2 ) mit µ = 30, = x Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

11 Intervall symmetrisch zum Erwartungswert Geg.: X N(µ, 2 ) und c > 0. ( ) ( ) (µ + c) µ (µ c) µ P(µ c X µ + c) = Φ Φ ( c ) ( ) c = Φ Φ ( c ) ( ( c )) = Φ 1 Φ ( c ) = 2Φ 1 Beispiel.: 3-Regel: c = 3. P(µ 3 X µ + 3) = Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

12 k Regeln für Normalverteilung Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert einer Zufallsgröße X N(µ, 2 ) um nicht mehr als 3 vom Erwartungswert ( Sollwert ) µ abweicht? Antwort: P(µ 3 X µ + 3) = ( ) 3 2Φ 1 = 2Φ(3) 1 = = Regel: 2 Regel: 1 Regel: Innerhalb von µ ± 3 liegen 99.7% der Messwerte. Innerhalb von µ ± 2 liegen ca. 95.4% der Messwerte. Innerhalb von µ ± liegen ca. 68.3% der Messwerte. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

13 Beispiel Intervall Geg.: X N(5, 9), d.h. µ = 5 und = = P(µ 2 X µ + 2) = P(5 2 3 X ) = P( 1 X 11) Dichtefunktion f X (x) = e (x µ) π mit µ = 5, = x Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

14 Quantile der Standardnormalverteilung Die Quantilsfunktion ist die Umkehrfunktion (inverse Funktion) der Verteilungsfunktion. Das p-quantil der Standardnormalverteilung wird mit z p bezeichnet. Sei 0 < p < 1 eine Wahrscheinlichkeit und Z N(0, 1), dann ist: P(Z < z p ) = Φ(z p ) = p = z p = Φ 1 (p). Die Werte von z p können aus einer Tabelle (z.b. im Anhang der Formelsammlung zur Lehrveranstaltung) abgelesen werden oder z.b. mit einem Taschenrechner berechnet werden. Es gilt: z p = z 1 p Beispiel: z 0.05 = z 0.95 = Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

15 Beispielaufgabe 1.13 vorgegebene Wahrscheinlichkeit Frage: In welchem Intervall I = [µ c; µ + c] liegen im Mittel (z.b.) 90% der Messwerte für X N(µ, 2 )? Ges.: c, so dass P( X µ c) = 0.9. Lsg.: ( c ) Φ 0.9 = P( X µ c) = P(µ c X µ + c) = 2Φ = = 0.95 c = z 0.95 = (0.95-Quantil) c = ( c ) 1 D.h., zwischen µ und µ liegen im Mittel 90% der Messwerte. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

16 Beispielaufgabe 1.14 zum Additionssatz Additionssatz: X 1 N(µ 1, 1 2), X 2 N(µ 2, 2 2), unabhängig, a 1, a 2 R a 1 X 1 + a 2 X 2 N(a 1 µ 1 + a 2 µ 2, a a ). Geg.: Ges.: Abfüllmenge in ml Flasche: X N(1000, 100) Flaschenvolumen in ml: Y N(1020, 25) Wahrscheinlichkeit, dass Flasche beim Abfüllen überläuft. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

17 Zentraler Grenzwertsatz I X i i=1 Die Summe S n = n von n unabhängigen N(µ, 2 )-verteilten Zufallsgrößen X 1,..., X n ist normalverteilt mit Erwartungswert nµ und Varianz n 2. Näherungsweise gilt eine ähnliche Aussage auch für Zufallsgrößen mit anderen Verteilungen. Für unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen X 1, X 2,... mit EX i = µ, VarX i = 2 > 0 konvergiert die Verteilung der standardisierten Summe gegen die Standardnormalverteilung, d.h. es gilt für z R P ( Sn ES n VarSn bzw. für große n gilt: ) ( ) Sn nµ < z = P < z Φ(z), n 2 n P (S n < x) Φ ( ) x nµ. n 2 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

18 Zentraler Grenzwertsatz II Häufig ergeben sich Zufallsgrößen (z.b. Messfehler) durch (additive) Überlagerung vieler kleiner stochastischer Einflüsse. Der zentrale Grenzwertsatz bewirkt dann, dass man diese Größen (näherungsweise) als normalverteilt ansehen kann. Spezialfall: Sind X 1,..., X n identisch Bernoulli-verteilt, d.h. X i Bin(1, p), so gilt für die Summe S n Bin(n, p) und nach dem zentralen Grenzwertsatz gilt für z R : ( ) S n np P < z np(1 p) n Φ(z) bzw. für große n (np(1 p) > 9) gilt ( ) x np P (S n < x) Φ (Satz von Moivre-Laplace). np(1 p) Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

19 Beispiel 1.15 Zentraler Grenzwertsatz I Eine Weinkellerei lädt 200 Kunden zur Weinverkostung ein. Erfahrungsgemäß kommt es mit 60% der Kunden zu einem Verkaufsabschluss. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass genau 130 Kunden abschließen und dass mehr als 130 Kunden abschließen? ZG X = Anzahl der Abschlüsse Bin(200, 0.6) E(X ) = Var(X ) = P(X = 130) = ( ) = P(X > 130) = 200 k=131 ( 200 ) k 0.6k k = Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

20 Beispiel 1.15 Zentraler Grenzwertsatz II Approximation mittels Normalverteilung P(X = 130) = P(129.5 < X < 130.5) P(X > 130) = 1 P(X 130) = 1 P(X < 130.5) Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April