Übungsblatt Nr. 2. Lösungsvorschlag

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1 Institut für Kryptogrphie und Siherheit Prof. Dr. Jörn Müller-Qude Dirk Ahenh Tois Nilges Vorlesung Theoretishe Grundlgen der Informtik Üungsltt Nr. 2 svorshlg

2 Aufge 1: Doktor Met in Gefhr (K) (4 Punkte) Der eenso genile wie gefährlihe Wissenshftler und Superösewiht Doktor Met unternimmt einen nähtlihen Streifzug durh Krlsruhe. Unerwrtet egegnet er seiner Erzfeindin und ewigen Gegenspielerin, worufhin es unweigerlih zu einem Zweikmpf kommt. Doktor Met knn neen den grundlegenden Bewegungen nh links () und rehts () eine Spezilktion () usführen. Weiterhin knn er Komintionen seiner Fähigkeiten einsetzen, um esonders wirksme Angriffe uszuführen. Diese Komintionen sind Wörter üer dem Alphet Σ = {,, }, die von den unten ngegeenen Automten kzeptiert werden: Aildung 1: NEA, der genu die Sprhe L 1 kzeptiert Aildung 2: NEA, der genu die Sprhe L 2 kzeptiert. 0 1 Aildung 3: NEA, der genu die Sprhe L 3 kzeptiert. Die von den Automten kzeptierten Sprhen seien im Folgenden mit L 1, L 2 und L 3 ezeihnet. i.) Geen Sie einen NEA n, der genu L = L 1 L 2 L 3 kzeptiert. (1P) ii.) Wenden Sie die Potenzmengenkonstruktion us der Vorlesung n, um Ihren NEA zu einem DEA umzuwndeln. (1P) iii.) Verwenden Sie ds Verfhren us der Vorlesung, um Ihren DEA zu minimieren. (1P) iv.) Geen Sie eine reguläre Grmmtik n, die genu L erzeugt. (0,5P) v.) Geen Sie einen regulären Ausdruk für L n. (0,5P) ii

3 svorshlg i.) ii.) Aildung 4: NEA, der genu die Sprhe L 1 L 2 L 3 kzeptiert. { 0, 1, 4, 7 } { 5, 8 } { 2 } { 2 } { 3 } { 5, 8 } { 5, 6, 8 } { 3 } { 2 } { 5, 6, 8 } { 5, 6 } { 5, 6, 8 } { 5, 6 } { 5, 6 } { 5, 6 } Der zugehörige Automt sieht us wie folgt: , iii.) iii

4 { 0147 } { 2 } { 3 } { 568 } { 56 } { 58 } { 0147 } { 2 } { 3 } { 568 } { 56 } { 58 } Der minimle Automt ht die erwrtete Form: , iv.) Wir setzen G = {Σ, V, S, P } mit V = {S, A, B, C, D}, Σ = {,,} und P = {S A C, A B, B A, C D, D D D} v.) (() ) + + ((+) ) Aufge 2: Potenzmengenkonstruktion und Automtenminimierung (K) (4 Punkte) Gegeen sei der folgende Automt. i.) Wndeln Sie den gegeen Automten in einen DEA um. (2P) ii.) Minimieren Sie den Automten, den Sie in Aufgenteil i.) entwikelt hen. (2P) iv

5 1 4, 0, 3, 2 5 svorshlg i.) { 0 } { 1, 3 } { 2 } { 2 } { 2 } { 3 } { 1, 3 } { 1, 3 } { 2, 5 } { 2, 3, 4, 5 } { 3 } { 2, 5 } { 2, 5 } { 2, 5 } { 3 } { 1, 3 } { 2, 3, 4, 5 } { 2, 3, 5 } { 2, 5 } { 1, 3 } { 2, 3, 5 } { 2, 3, 5 } { 2, 5 } { 1, 3 } Der zugehörige Automt sieht us wie folgt: 0 13, , ii.) v

6 { 0 } { 13 } { 2 } { 3 } { 25 } { 235 } { 2345 } { 0 } { 13 } { 2 } { 3 } { 25 } { 235 } { 2345 } , 13 2 Aufge 3: Ds Pumping Lemm für reguläre Sprhen (K) (4 Punkte) Verwenden Sie ds Pumping Lemm für reguläre Sprhen, um zu zeigen, dss die folgenden Sprhen niht regulär sind: i.) L 1 = L P = {w Σ w = w}, lso die Sprhe ller Plindrome üer Σ. (1P) ii.) L 2 = { n n n N}. (1P) 235 iii.) L 3 = { n m n, m N und ggt(n, m) = 1}. (2P) svorshlg In llen drei Teilufgen nehmen wir zum Widerspruh n, die gegeene Sprhe sei regulär. Dnn gilt ds Pumping Lemm: Es existiert eine Zhl p, sodss jedes Wort w L mit w > p derrt in w = xyz zerlegt werden knn, dss xy p, y > 0 und i N 0 : xy i z L. 25, 3 i.) Ist Σ < 2, so ist die Sprhe regulär. Sei lso im Folgenden Σ 2. Gelte weiterhin o. B. d. A., Σ. Betrhte nun w 1 = p p. Offensihtlih ist w 1 > p. Für jede Zerlegung w 1 = xyz mit xy p und y > 0 enthält y nur. y ist lso drstellr ls y = k für ein k N. Also ist xy i z = p k j ki j p für ein j N. Nun ist xy 0 z / L 1, d xy 0 z = xz = p k j p p p k j. Ds ist ein Widerspruh zum Pumping Lemm. vi

7 ii.) Betrhte w 2 = p p. Offensihtlih ist w 2 > p. Für jede Zerlegung w 2 = xyz mit xy p und y > 0 enthält y nur. y ist lso drstellr ls y = k für ein k N. Also ist xy i z = p k j ki j p für ein j N. Nun ist xy 0 z / L 2, d xy 0 z = xz = p k j p / L 2. Ds ist ein Widerspruh zum Pumping Lemm. iii.) Betrhte w 3 = p. Wir wählen dei ls elieige Primzhl > p. Wir etrhten lle Zerlegungen w 3 = xyz mit xy p und y > 0. Mit derselen Argumenttion wie in der vorigen Aufge ist y = k für ein k N und dmit w 3 = p k l k l. Nh dem Pumping Lemm ist für lle i N 0 uh xy i z L. Die Anzhl der in xy i z ist xy i z = p + k(i 1), die Anzhl der ist xy i z =. Finden wir nun i derrt, dss ein Vielfhes von p + k(i 1) ist, ist der Widerspruh hereigeführt. Eine Zhl x ist genu dnn ein Vielfhes von, wenn x 0 mod. Wir wählen i = (k p) (k 1 ) mod. (D prim ist, ist (Z, +, ) ein endliher Körper und für jedes Element von Z existiert eines multipliktives Inverses. Mit k 1 ezeihnen wir ds Inverse von k modulo.) Wir rehnen im Folgenden direkt modulo. Einsetzen ergit, dss p+k(i 1) mod p+k((k p)k 1 1) mod p+k(1 pk 1 1) mod p p 0 mod. Die Anzhl der in xy i z ist lso 0 modulo, ds heißt: Ein Vielfhes von. Dmit ist xy i z / L. Korrekturhinweis: Die Ange von i ls Bruh ist niht rihtig, d niht klr ist, o i dnn üerhupt gnzzhlig ist. Eine solhe git er Trostpunkte. vii

8 Aufge 4: Reguläre Sprhen (K) (4 Punkte) i.) Betrhten Sie die folgende Verknüpfung für zwei Sprhen üer Σ: L 1 L 2 = {v 1 w 1 v 2 w 2... v n w n v i, w i Σ (i {1,..., n}), v 1 v 2... v n L 1 und w 1 w 2... w n L 2 } In Worten us L 1 L 2 können sih lso Teile us L 1 und L 2 elieig wehseln. Zeigen Sie: L 1 L 2 ist regulär, wenn L 1 und L 2 regulär sind. (2P) ii.) Sei f : Σ Γ eine Aildung. Weiter sei ˆf : Σ Γ definiert durh ˆf( 1... n ) = f( 1 )... f( n ). Für Mengen L Σ verwenden wir die Kurzshreiweise ˆf(L) = { ˆf(w) w L}. Zeigen Sie: ˆf(L) ist eine reguläre Sprhe (üer Γ), wenn L eine reguläre Sprhe (üer Σ) ist. (2P) svorshlg i.) Wenn L 1 und L 2 regulär sind, existiert je ein endliher Automt A 1 = (Q 1, Σ, δ 1, 01, F 1 ) und A 2 = (Q 2, Σ, δ 2, 02, F 2 ). O. B. d. A. seien A 1 und A 2 deterministish. Wir konstruieren einen neuen endlihen Automten A 1 2, der L 1 L 2 kzeptiert. Dmit ist gezeigt, dss L 1 L 2 regulär ist. Wir möhten, dss unser neuer Automt wehselnd ein Wort L 1 oder L 2 einlesen knn. Üergänge zwishen L 1 und L 2 mhen wir nihtdeterministish, wir müssen uns er merken, in welhem Zustnd der jeweils ndere Automt stehengelieen wr. Wir konstruieren A 1 2 wie folgt: A 1 2 = (Q 1 Q 2, Σ, δ 1 2, ( 01, 02 ), F 1 F 2 ). Die Zustände des neuen Automten sind lso Tupel us Zuständen der lten Automten. Die Üergngsfunktion δ 1 2 definieren wir nun so, dss in jedem Shritt einer der Zustände im Zustndstupel weitergeshltet wird: δ 1 2 : (( 1, 2 ), ) {(δ 1 ( 1, ), 2 ), ( 1, δ 2 ( 2, ))}. ii.) Ist L regulär, so existiert ein DEA A, der genu L kzeptiert. Um zu zeigen, dss ˆf(L) regulär ist, konstruieren wir us A einen Automten Â, der genu ˆf(L) kzeptiert. ˆf ildet je ein Wort üer Σ uf ein Wort üer Γ. Es genügt, die Üergngsfunktion von  = ( ˆQ, Γ, ˆδ, 0, ˆF ) ls Trnsformtion von A zu eshreien, so dss für jedes Wort w L sein Pendnt ŵ ˆf(L) genu dnn kzeptiert wird, wenn w kzeptiert wird. Wir eshreien die Trnsformtion von δ; ˆQ entsteht us Q durh Erweiterung. Betrhten wir ein Wort w L und sein Bild unter ˆf: w = n f( 1 ) f( 2 )... f( n ), f( i ) Σ Beim Einlesen von w in A wird eine (kzeptierende) Zustndsfolge durhlufen. Ds heißt konkret für ein Zeihen i im Zustnd : δ(, i ) =, oder ls Grfik: viii

9 i Sei nun f( i ) = 1... m. Wir fügen m 1 Zwishenzustände ein und verändern ˆδ entsprehend: In Zeihen edeutet ds: ˆδ(ˆδ(ˆδ(, 1 ),...), m ) =. (Für f( i ) = trnsformieren wir den Üergng in einen -Üergng.) Dmit ist die Trnsformtion erklärt. 1 m... ix