AR: Grundlagen der Tensor-Rechung

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1 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :57 AR: Gudlage de Teso-Rechug Matheatisch wede Beechuge de Eegiedichte ud de zugehöige Rauzeitküug it de Wekzeug de Teso-Aalysis ausgefüht. Auf de folgede Seite wid i die Gudlage de Teso-Rechug eigefüht. Diffeetialechug it ehee Vaiable Eisteische Suekovetio Koodiatetasfoatio Tasfoatio vo Ableituge Eigeschafte vo Tesoe Kovaiate ud Kotavaiate Kopoete Tasfoatio kotavaiate Tesoe Tasfoatio kovaiate Tesoe Vegleich de Tasfoatio ko- ud kotavaiate Tesoe Metik-Teso Metik-Teso eies D-Polakoodiatesystes Metik-Teso eie Kugelobefläche Vegleich veschiedee D-Metik- Tesoe Ivese des Metik-Tesos Voaussetzug fü das Vestädis de Diffeetialgeoetie ud Matheatik geküte Räue sid eiige Ketisse de Diffeetialechug it ehee Vaiable. I Wesetliche geüge patielle Ableituge u die Gudgedake geküte Räue zu vestehe. Weitee Ifoatioe Übe Tesoe, Matize ud Pseudovektoe - Mike Geog Behadt Tesoaalysis - eie Eifühug vo C.C. Noack Kovaiate Foulieug des Elektoagetisus ud de Elektodyaik -

2 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :58 Diffeetialechug it ehee Vaiable Da auf de folgede Seite veeht Gebauch vo Diffeetialechug it ehee Vaiable geacht wid, hie eie kuze Eifühug. Ageoe wi habe eie Rau, zu Beispiel it zwei Diesioe. Ma ka katesische Koodiate i diese Rau zeiche wie i folgede Bild liks gezeigt: Die Koodiate köe it x ud x beschiftet wede. Ma ist jedoch icht eigeschäkt auf zwei Diesioe, sode ka so viele Diesioe vewede, wie a beötigt. Die Notatio i x bedeutet i diese Fall icht, dass x it i poteziet wid, sode i ist ei Idex. Ei beliebige Vekto beliebige Diesio folgedeasse beschiebe wede: D i eie solche Koodiatesyste ka () x! ( x ; x ; x 3 ; :::; x D ) Notatio: Eie Vekto scheibt a i fette Schiftat ode auch als. Ageoe wi habe eie Fuktio (x). Dies ka ei Feld sei, das vo de Positio abhägig ist. Wi wolle u utesuche, wie sich dieses Feld ädet, we geädet wid. Die kleie Ädeug ka duch eie ifiitesial kleie Abstad wede: x ~ x x x ei klei weig dx ausgedückt () dx! ( dx ; dx ; :::) Die Ädeug de Fuktio ausgedückt wede: ka duch die patielle Ableituge bezüglich de Koodiate i dx (3) d dx dx + ::: = = Die Ädeug des Feldes d ehält a also, ide a die patielle Ableitug des Feldes

3 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :58 bezüglich de este Koodiate al de ifiitesiale Abstad dx i die Richtug x, plus die patielle Ableitug des Feldes bezüglich de zweite al de ifiitesiale Abstad dx i die Richtug x usw. beechet. Die Foel (3) wid üblicheweise it de Eisteische Suekovetio folgedeasse abgeküzt: (4) d

4 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :58 Eisteische Suekovetio Mit de Eisteische Suekovetio wede die Suezeiche zu Vebesseug de Übesicht eifach weggelasse ud stattdesse wid übe doppelt auftetede Idizes suiet. Die Foel: () d dx dx + ::: = = ka it de Eisteische Suekovetio also folgedeasse geschiebe wede: () d Regel Wa ie ei Idex, wie i diese Beispiel, zwei al i eie Foel vokot, bedeuted das autoatisch, dass übe diese Idex suiet wid. Es spielt keie Rolle wie de Idex heisst. I de Tesoechug uss zude eie de Idizes ute ud de adee obe bei eie Vaiable stehe. Ei obee Idex i Nee wid als ei utee Idex betachtet. Es wid u übe Idex-Paae suiet, die auf de selbe Seite des Gleichheitszeiche stehe. Beispiel Skalapodukt Das Skalapodukt zweie Vektoe ka wiefolgt geschiebe wede: (3) ~ x y~ = x i y i, x~ y~ = XD x i y i = x y + x y + ::: i= Beispiel Vekto it Matix ultipliziee Eie Koodiatetasfoatio ka als Multiplikatio eie Tasfoatios-Matix it eie Vekto geschiebe wede: (4) yi = M ij x j, y i = XD M ij x j = M i x + M i x + ::: j= Das selbe Beispiel it Tesoe, welche Idizes ute (kovaiat) ud obe (kotavaiat) habe:

5 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :58 (5) y i = M i j xj, y i = XD M i x j = M i x + M i x + ::: j= j Beispiel Podukt zweie Tesoe (6) C = A k k B, C = XD A B k = A B + A B + ::: k= k

6 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :59 Koodiatetasfoatio Physikalische Gesetze sid uabhägig vo Koodiatesystee. Fü atheatische Beechuge uss a jedoch i Koodiatesystee eche. Es gibt beliebig viele ögliche Koodiatesystee fü ei Poble. Ma wählt eifach geeigete aus. Nu ist es abe wichtig, Wete ud Fuktioe vo eie Koodiatesyste i ei adees ueche zu köe. Ageoe wi habe zwei veschiedee Koodiatesystee fü de selbe Rau (siehe Bild echts). Ei bestite Pukt (x ; x ; :::) habe die Koodiate i blaue Koodiatesyste. De selbe Pukt hat i güe Koodiatesyste die (y ; y ; :::) Koodiate. We a die Koodiate eies Puktes i X-Koodiatesyste ket, so gibt es eie defiiete Regel, wie a die estpechede Koodiate i P Y-Koodiatesyste beechet, ud ugekeht. Dies et a eie Koodiatetasfoatio. Das heisst also, we wi eie Mege X-Koodiate x habe, so existiet eie etspechede Mege Y-Koodiate, die auf defiiete Weise vo de X-Koodiate abhäge: y () y = y (x) = y (x ; x ; :::) = y (x ) ode ausgeschiebe: () y = y (x ; x ; :::) y = y (x ; x ; :::) : Mit adee Wote: Jede Y-Koodiate ist i Allgeeie eie Fuktio alle X-Koodiate. We a alle x ket, ka a sage wie alle y sid. We a y wisse will, ka a übe die Fuktio y (x) diese Wet aus alle x beeche usw. Die Zeile () steht fü Foel, fü jede Y-Koodiate eie. Bediguge fü die Koodiatesystee Dait obige Gleichuge defiiet sid, uss jedes Koodiatesyste die folgede Bediguge efülle:

7 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :59 Jede Pukt uss eideutige Koodiate i jede Koodiatesyste habe. Keie zwei Pukte düfe also die selbe Koodiate i selbe Koodiatesyste habe. Jedes Set vo Koodiate uss eideutig eie Pukt zugeodet sei ud jede Pukt uss ugekeht eideutige Koodiate habe: (x ; x ; :::) $ P$( y ; y ; :::) Alles uss kotiuielich ud ehfach diffeezieba sei..

8 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :59 Tasfoatio vo Ableituge Ageoe wi kee die Ableitug eie Fuktio a eie bestite Pukt ach alle X-Koodiate: (x) = : = v Beachte: De blaue stellt eie kovaiate Vekto v i X-Koodiatesyste da. We wi die patielle Ableituge vo ach jede x kee, köe wi die ifiitesiale Ädeug fü die ifiitesiale Ädeug jede Koodiate beeche (siehe auch d Diffeetialechug it ehee Vaiable): x () d dx = v d Beachte: De Te ist das Skalapodukt zweie Vektoe. Soit ist ei Skala. Wi wolle u abe wisse, wie sich bezüglich jede ifiitesiale Ädeug eie Y-Koodiate veädet. Dazu üsse wi u () auf beide Seite duch dividiee ud ehalte: y v dx d d = v (x) M = v Hie gilt wiede die Eisteische Suekovetio, da de Idex dass übe icht suiet wid! De güe =@y stellt eie Tasfoatios-Matix M da. Ausgeschiebe egibt Foel (3): zweial vokot. Beachte, :: = + = Zeile (4) steht fü D Foel, fü jede (5) ::

9 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :

10 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :59 Eigeschafte vo Tesoe Tesoe sid atheatische Objekte it Kopoete, wie Vektoe ud Matize. Diese Kopoete äde, we a vo eie Koodiatesyste zu eie adee wechselt. Abe icht jede Vekto ode jede Matix ist auch ei Teso, de Tesoe efülle bestite Bediguge bei de Koodiatetasfoatio. Die Besodeheit vo Tesogleichuge ist, dass sie tasfoatios-ivaiat sid. We es geligt, eie physikalische Sachvehalt i Tesoscheibweise zu fouliee, so ka a wege de spezielle At, wie Tesoe tasfoiee, siche sei, dass die Gleichuge i jede beliebige Koodiatesyste gelte. Wie Tesoe tasfoiee, wid auf de folgede Seite gezeigt. Auf diese Seite wede ei paa Eigeschafte vo Tesoe beschiebe: Rag ode Stufe eies Tesos Tesoe habe Idizes. Die Azahl de Idizes gibt de Rag ode die Stufe des Tesos a. De eifachste Teso ist ei Teso it Rag. Dabei hadelt es sich eifach u eie Skala (ei eizele Wet). Ei Skala hat eigetlich keie Kopoete, sode u eie Wet ud beötigt soit keie Idex, dahe de Rag. Ei Teso it u eie Idex et a auch Vekto. Ma sagt, de Vekto ist ei Teso it de Rag. De Idex hat so viele Wete, wie die Diesio des Vektos. Bei eie 3-diesioale Vekto hat de Idex also 3 Wete (z.b:,, 3), weil de Vekto 3 Kopoete hat: V~ = ( V ; V ; V 3 ). Ei Teso vo Rag hat Idizes ud stellt eie quadatische Matix da usw. Diesio eies Tesos Ei Vekto ode Teso ist also ei Objekt, welches Kopoete hat. Die Azahl de Kopoete eies Vektos estpicht de Diesio D des Raues. Ei 3-diesioale Vekto besteht also aus 3 Kopoete. Ei 3-diesioale Teso de Stufe besteht aus 3x3 Kopoete usw. Kopoete eies Tesos Ma utescheidet bei Tesoe zwei Ate vo Kopoete: Kotavaiate Kopoete Kovaiate Kopoete Idex obe Idex ute

11 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :59 Bei Tesoe ab Rag köe kotavaiate ud kovaiate Kopoete gleichzeitig vokoe, jedoch po Idex ie u eie Sote. Ei solche Teso hat da Idizes sowohl obe als auch ute: T. Jede Teso ka sowohl i kotavaiate, als auch i kovaiate Kopoete dagestellt wede. Zwische de Dastelluge ka it Hilfe des Metik-Tesos ugeechet wede. Es hadelt sich jeweils u ei ud deselbe Teso it de selbe physikalische Bedeutug. Lediglich die Wete de Kopoete utescheide sich. Das ka a sich so vostelle: Ei bestite Vekto hat eie bestite Läge, egal i welche Koodiatesyste e dagestellt wid. Ma sagt: seie Läge ist ivaiat. Die Kopoete des Vektos habe jedoch i jede Koodiatesyste adee Wete! We das Koodiatesyste zude icht katesisch (echtwiklig) ist, ka a soga po Koodiatesyste zwei veschiedee Ate vo Kopoete defiiee, ebe kotavaiate ud kovaiate: Kovaiate ud Kotavaiate Kopoete Typ eies Tesos We Rag, Diesio ud Kopoete-Ate (Azahl Idizes obe ud ute) vo Tesoe übeeistie, da sagt a, die Tesoe sid vo selbe Typ. Dies uss bei de Teso- Aithetik beachtet wede.

12 Auto: Walte Bisli vo 5 walte.bislis.ch/doku/a : Kovaiate ud Kotavaiate Kopoete Tesoe köe kovaiate ud kotavaiate Kopoete habe. I katesische Koodiatesyste i flache Rau sid die Wete diese Kopoete idetisch, icht jedoch i adee Koodiatesystee. Hie zeige ich a eie Beispiel de Uteschied zwische ko- ud kotavaiate Kopoete eies Vektos. Vektokopoete i katesische Koodiatesyste I diese Beispiel gehe wi ie vo ei ud deselbe Vekto aus. Diese hat eie bestite Läge, die i alle Koodiatesystee gleich (ivaiat) bleibt. Ei Vekto hat abe icht u eie Läge, sode auch eie Richtug. U de Vekto vollstädig bescheibe zu köe, füht a passede Koodiatesystee ei. So ka a eie Vekto i Kopoete zelege. I hie gezeigte katesische (echtwiklige) Koodiatesyste (x; ) A ~ l y hat de Vekto die Kopoete b ud c : A b; ) Diese Kopoete ehalte wi, ide wi sekechte Liie (Lot) vo de Vektospitze auf die Koodiateachse zeiche. Die Stecke ud vo Nullpukt zu de Schittpukte diese Liie sid die Kopoete des Vektos i diese Koodiatesyste. Duch diese Kopoete ist de Vekto wiefolgt beechet wede: A ~ b ~ = ( c c (x; y) eideutig bestit. Seie ivaiate Läge ka daaus () l = p b + c We a ei adees, u eie beliebige Wikel gedehtes katesisches Koodiatesyste wählt ud dot auf diese Weise die Kopoete des Vektos beechet, ehält a adee b c Zahlewete fü ud. Die ach () beechete Läge bleibt jedoch gleich! Vektokopoete i eie schiefe Koodiatesyste I de Physik wede oft icht katesische Koodiatesystee vewedet. Isbesodee i de allgeeie Relativitätstheoie wid die Gavitatio als Rauzeit-Küug it etspeched geküte Koodiatesystee dagestellt. I icht-katesische Koodiatesystee gibt es zwei uteschiedliche Möglichkeite, die Kopoete eies Vektos zu defiiee. Dies ka a eie schiefe Koodiatesyste a beste gezeigt wede: (u; v)

13 Auto: Walte Bisli vo 5 walte.bislis.ch/doku/a : Kotavaiate Kopoete Kovaiate Kopoete A~ = A = ( a u ; a v ) A~ = A = ( a u ; a v ) Ma sieht sofot, dass die kotavaiate ud kovaiate Wete uteschiedlich sid. Totzde bescheibe diese Wete de selbe Vekto! Wi köe die kotavaiate ud kovaiate Kopoete it Hilfe de Tigooetie aus de Wete ud aus de katesische Koodiatesyste (x; y) beeche: b c () kotavaiate Kopoete kovaiate Kopoete a u = b a v = c si c ta a u = b a v = = A ~ ~ e v = ( b; c) ( cos ; si ) b cos + c si Beechug de Läge eies Vektos i icht-katesische Koodiate De Vekto A ~ köe wi i Teso-Scheibweise auf zwei Ate dastelle: it kotavaiate Kopoete ud it kovaiate Kopoete: (3) A ~ = A, A ~ = A = ( u; v) We de Metik-Teso bekat ist ka, wie i Idex-Maipulatio pe Metik-Teso gezeigt wid, zwische de kotavaiate ud kovaiate Kopoete ugeechet wede. Die ivaiate Läge des Vektos ach folgede Foel: l A ~ beechet a bei Tesoe fü beliebige Koodiatesystee

14 Auto: Walte Bisli 3 vo 5 walte.bislis.ch/doku/a : (4) l = A A = a a + a a + a 3 a 3 + ::: ode fü use Beispiel: (5) l = A A = a u a u + a v a v We wi die Wete vo () eisetze ehalte wi: l = b b c c + ( b cos + c si ) ta si (6) = = b b c ta + b c cos + si b b c ta + b c ta + c c si si = b + c Wie a sieht ehalte wi übe die Foel (4) wiede die selbe Läge fü de Vekto katesische Koodiatesyste! l A ~ wie i Geoetische Itepetatio vo kotavaiate ud kovaiate Kopoete Die geoetische Bedeutug vo A ud A ist folgede: u v We die kotavaiate Kopoete a ud a it de Eiheitsvektoe ~ e u ud ~ e v des Koodiatesystes A ~ ultipliziet wede, ehält a de Vekto : (7) u a ~ e u + a v ~ e v = A ~ e = A ~ Dies gilt auch fü eie beliebige Vekto viele Diesioe: V ~ it beliebig (8) V ~ = V ~ e = V ~ e + V ~ e + ::: = :::D Die Koeffiziete V D, V bis V et a die kotavaiate Kopoete des Vektos

15 Auto: Walte Bisli 4 vo 5 walte.bislis.ch/doku/a : V~ = ( V ; V ; :::; V D ). Die kovaiate Kopoete u ud v des Vektos etspeche de Pojektioe des Vektos auf die Koodiateachse. Diese Pojektioe ehält a übe das Skalapodukt des Vektos it de Eiheitsvekto de jeweilige Koodiateachse: a a A ~ (9) a u = A ~ ~ e u a v = A ~ ~ e v Auch dies gilt fü eie beliebige Vekto D Diesio : V ~ it beliebige () V = V ~ ~ e = :::D Die Koeffiziete V, V bis V D et a die kovaiate Kopoete des Vektos V~ = ( V ; V ; :::; V D ). We wi i () de Vekto aus (8) eisetze ehalte wi: () V = V ~ ~ e = V ~ e ~ e = V g Die Vekto-Kopoete V ud V sid also u veschiedee Repäsetatioe ei ud des V ~ g selbe Vektos ud ihe Kopoete köe übe de Metik-Teso i eiade ugeechet wede. De Metik-Teso ist gegebe duch die Skalapodukte de Eiheitsvektoe: () g = ~ e ~ e Beechug it usee Beispiel De Metik-Teso g lässt sich it de obige Beispiel auf diese Seite wiefolgt beeche: (3) guu = ~ e u ~ e u = ( ; ) ( ; ) = (4) guv = ~ e u ~ e v = ( ; ) ( cos ; si ) = cos (5) gvu = ~ e v ~ e u = ( cos ; si ) ( ; ) = cos

16 Auto: Walte Bisli 5 vo 5 walte.bislis.ch/doku/a : (6) gvv = ~ e v ~ e v = ( cos ; si ) ( cos ; si ) = cos + si = (7) g uu g = g vu g uv = g vv cos cos We wi u die kotavaiate Kopoete des Vektos kee (siehe ()): A ~ (8) A = ( a u ; a v ) = b c ta ; c si köe wi seie kovaiate Kopoete übe de Metik-Teso beeche: (9) A = A g = b c c ; ta si cos cos Dies ist ichts weite als eie Multiplikatio des Vektos A it de Matix g : () () a u = a u g uu + a v g vu = b = b c cos + si c cos = b si a v = a u g uv + a v g vv = b = b cos + c c + ta si cos c c cos + ta si ï c cos + c ( cos + si )! = b cos + c si si Zusaegefasst egebe sich die i () eechete kovaiate Kopoete: () A = ( a u ; a v ) = ( b; b cos + c si ) Weitee Ifoatioe Idex-Maipulatio pe Metik-Teso

17 Auto: Walte Bisli vo 4 walte.bislis.ch/doku/a : Tasfoatio kotavaiate Tesoe Ma utescheidet kotavaiate Tesoe (Idizes stehe obe) vo kovaiate Tesoe (idizes stehe ute), abe es gibt auch geischte Tesoe it Idizes obe ud ute. Hie wid hegeleitet, wie kotavaiate Tesoe vo eie Koodiatesyste i ei adees tasfoiet wede. Tasfoatio vo Skalae Tasfoatio vo Vektoe Tasfoatio vo Tesoe it Rag Tasfoatio vo Tesoe it Rag gösse als Tasfoatio vo Skalae Ei Skala ist die eifachste Fo eies Tesos. De Skala ist ei Teso it Rag. De Wet eies Skalas hägt icht vo gewählte Koodiatesyste ab. Ei Beispiel fü eie Skala ist die Tepeatu. A jede Pukt des Raues ka eie adee Tepeatu hesche, abe diese Tepeatu ist uabhägig davo, i welche Koodiatesyste sie geesse wid. Ma sagt: Ei Skala ist ivaiat bezüglich Koodiatetasfoatioe. Matheatisch ka a die Tasfoatio eies Skalas wiefolgt dastelle: () (y) = (x) De Skala x hat i Koodiatesyste Y de selbe Wet wie i Koodiatesyste X, we die y Pukte ud de selbe Pukt bezeiche. Tasfoatio vo Vektoe U zu utesuche, wie ei Vekto tasfoiet wid, defiiee wi de ifiitesial kleie Vekto ds :

18 Auto: Walte Bisli vo 4 walte.bislis.ch/doku/a : Diese Vekto hat i X-Koodiatesyste die Kopoete: () ds(x) = ( dx ; dx ; :::) De selbe physikalische Vekto ka auch i Koodiate des Y-Koodiatesystes beschiebe wede: (3) ds(y) = ( dy ; dy ; :::) Jedes eizele dy ist eie Fuktio vo alle dx ud ugekeht ist jedes eizele dx eie Fuktio vo alle. dy Wi suche u de Zusaehag zwische de X- ud Y-Koodiate. Kozetiee wi us zuächst auf eie eizele Y-Kopoete, sage wi dy. Aalog wie i Diffeetialechug it ehee Vaiable köe wi dafü scheibe, we wi duch esetze: d dy (4) d dx ) dy dx Die adee Koodiate ehält a eifach, ide a duch, 3 usw. esetzt. Dies ka a elegat wiefolgt zusae fasse: (5) dy Beachte, dass übe de Duy-Idex suiet wid (siehe Eisteische Suekovetio). Die Foel (5) sagt us also, wie sich de kleie Vekto tasfoiet: E tasfoiet sich, ide e =@x ultipliziet wid. Diese The stellt eie -al--matix da, eie Matix it D Eleete, we D die Diesio des Raues ist. I 3-diesioale Rau ist das also eie 3x3-Matix it 9 Eleete. Bei de Foel (5) hadelt es sich also u eie Maix-Vekto- Multiplikatio. Diese Foel gilt icht u fü ifiitesiale Vektoe, sode fü beliebige Vektoe: ds (6) V (y) V (x) Tasfoatio kotavaiate V (y) wobei = Vekto-Kopoete bezüglich des Y-Koodiatesystes V (x) = Vekto-Kopoete bezüglich des X-Koodiatesystes

19 Auto: Walte Bisli 3 vo 4 walte.bislis.ch/doku/a : Defiitio: Vektoe, die auf diese Weise (6) zwische Koodiatesystee tasfoiet wede, et a Tesoe. We die Idizes obe sid, spicht a vo kotavaiate Vektoe, we die Idizes ute sid vo kovaiate Vektoe. Tasfoatio vo Tesoe it Rag Ei Teso vo Rag ka a sich icht so leicht vostelle. Eie ögliche Vostellug ist, dass es sich u ei Dig hadelt, das ehee Richtuge po Raupukt hat. Ei Teso T vo Rag ka eifach gebildet wede, ide jede Kopoete vo T das Podukt de Kopoete vo Vektoe ud ist: A B (7) T = A B = A B A B : A B A B A B : A B : : : : : : : :: : : : A B A B : A B C A T ist also ei Objekt it Kopoete, i diese Fall also eie DxD-Matix. Ob es sich dabei u eie Teso hadelt, uss u och übepüft wede, ide geschaut wid, wie sich die Kopoete tasfoiee. D Wi wisse aus (6) wie ei Vekto-Teso tasfoiet wid. Wede wi dieses Wisse auf das Podukt de Vektoe ud a: A @y s A (y) B (y) = A (x) B (x) = A (x) @x s Da es sich bei jede Te i (8) u eie eifache Zahl hadelt, düfe wi die Tee beliebig ustelle. Eetze wi u die Vektoe A ud B duch die Matix T s T (y) = s Tasfoatio kotavaiate Tesoe vo Rag Defiitio: Eie Matix, dee Kopoete sich wie i (9) tasfoiee, et a Teso vo Rag. Die eifache Foel (9) stellt fü Diesioe Gleichuge da! Ausgeschiebe sieht die Foel (9) folgedeasse aus: D = 3 D = 9

20 Auto: Walte Bisli 4 vo 4 walte.bislis.ch/doku/a : = T T T T : 33 @x 3 T 3 T 33 T = T 3 T @x 3 T 3 T T 3 T 3 T Tasfoatio vo Tesoe it Rag gösse als Duch Vegleich vo (6) ud (9) köe wi ei Muste ekee, wie Tesoe vo höhee Räge tasfoiet wede. Fü jede Teso-Idex uss eifach ei weitee Te wede. Beispiel eies Tesos it Rag eigefügt @y k s t T (y) = t Die Kopoete vo Tesoe üsse icht u eifache Zahle sei, sode sid i de Regel T = f(x) Fuktioe de Positio, also Felde:.

21 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a : Tasfoatio kovaiate Tesoe Kovaiate ud Kotavaiate Vektoe ud Tesoe utescheide sich dai, wie sie zwische Koodiatesystee tasfoiet wede. Auf diese Seite wid hegeleitet, wie ei kovaiate Vekto tasfoiet wid ud de Uteschied zu Tasfoatio kotavaiate Tesoe gezeigt. Betachte wi die Gleichug () (siehe Tasfoatio vo Ableituge): () d Hie ist dx ei kotavaiate Vekto, weil die Idizes obe stehe: dx = ( dx ; dx ; :::; dx ) = V () Kotavaiate Vekto Eie adee Fo vo Vekto stellt de folgede @x = = (3) Kovaiate Vekto Da hie die Idizes ute de Buchstich stehe, spicht a vo eie kovaiate Teso, obwohl die Idizes de Nee obe stehe! Wi köe us u fage, wie diese Gadiet vo X-Koodiatesyste is Y-Koodiatesyste tasfoiet wid. Dies wude auf de Seite Tasfoatio vo Ableituge beeits @y Diese Foel ka veallgeeiet wede, ide de Gadiet duch de kovaiate Vekto esetzt wid. Regel: We de Idex wie hie i Nee ist, da wid de Idex bei Vekto ute geschiebe. V V (y) (6) V (y) = V (x) Tasfoatio kovaiate

22 uto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a : Eselsbücke: Ist de Idex obe: Kotavaiat ( als Pfeilspitze ach obe itepetiee) Ist de Idex ute: Kovaat (v als Pfeilspitze ach ute itepetiee)

23 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :3 Vegleich de Tasfoatio ko- ud kotavaiate Tesoe Kotavaiate ud kovaiate Tesoe utescheide sich i de At, wie sie tasfoiet wede. Hie wede die Tasfoatioe eiaade zu Vegleich gegeübegestellt. () V (y) V (x) Tasfoatio () V (y) = V (x) Tasfoatio kovaiate Regel : Fü die Eisteische Suekovetio uss ie ei Idex obe ud de adee ute stehe (hie de Idex i ot). Regel : De offee Idex i diese Beispiele ist. Weil bzw. it zu tu hat, uss auf de echte Seite de it de selbe offee Idex stehe ud zwa so, dass de Idex auf beide Seite etwede obe () ode ute () steht. De Sueidex steht bei so, dass ei Sueidex obe ud de adee ute steht (Regel ). We das Objekt V icht auf diese Weise tasfoiet, et a es icht Vekto ode Teso, selbst we es aus Kopoete besteht! Ma köte zu Beispiel ei Objekt it de Kopoete Tepeatu, Duck ud Feuchtigkeit bilde. Dieses Objekt besteht also aus dei Zahle ud a köte das Objekt als 3D-Pfeil dastelle, de duch diese Zahle epäsetiet wid. Ei solches Objekt ist kei Vekto. Es ist kei Teso, weil we a vo eie Koodiatesyste zu eie adee geht, tasfoiee diese Kopoete icht wie die eies Tesos! Tepeatu bleibt Tepeatu, egal i welche Koodiatesyste a sie isst. Die Tepeatu tasfoiet also icht wie eie Kopoete eies Vektos/Tesos. Beachte, dass die beide it V bezeichete Vektoe zwei veschiedee Vektoe dastelle. Ei kotavaiate Vekto wie V wid gebildet, ide e aus de Kopoete V = ( V ; V ; V 3 ) gebildet wid, je achde wieviele Diesioe e hat. Ei Beispiel eies kovaiate Vektos V ist ei Gadiet: V V (3) V = ( V ; V ; V @x = @x 3 Hie ist de Idex ute (kovaiat), weil e auf de echte Seite utehalb des Buchstiches

24 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :3 steht. Die Kopoete eies kotavaiate Vektos sid also kotavaiat, wähed die Kopoete eies Gadiete kovaiat sid. Tesoe höhee Rages Auch Tesoe vo höhee Rag köe kovaiate ud kotavaiate Idizes habe. Die obige Regel köe hie aalog agewadt wede. Es baucht eifach fü jede Teso-Idex eie Te bzw., je achde, ob es sich u eie kotavaiate ode eie kovaiate Idex (4) s T (y) = T (x) s (5) T s T (x) s Es gibt auch Tesoe, die kovaiate ud kotavaiate Idizes geischt habe. I diese Fälle uss geau daauf geachtet wede, welche Idex wie tasfoiet wid. s (y) = T (x) s

25 Auto: Walte Bisli vo 3 walte.bislis.ch/doku/a :3 Metik-Teso De Metik-Teso bescheibt die Geoetie eies Raues ud eies Koodiatesystes. De Metik-Teso efüllt die Tasfoatiosbediguge eies Tesos ud ist syetisch. Auf diese Seite wid de Metik-Teso i icht geküte Rau hegeleitet. Heleitug des Metik-Tesos U die Geoetie eies Raues als Teso-Gleichug zu bescheibe, beötige wi eie ivaiate Gösse. Die physikalische Läge eie ifiitesial kleie Stecke ds ist so eie Gösse, die uabhägig vo Koodiatesyste ist. Diese Läge ka zu Beispiel i katesische Koodiatesyste eies 3-diesioale flache Raues it de Satz vo Pythagoas wiefolgt ausgedückt wede: () ds = dx + dx + dx 3 X = d x dx Dait wi die Eisteische Suekovetio awede köe, bediee wi us eies Ticks. Dazu defiiee wi zuächst die Eiheitsatix Diagoale laute stehe hat ud alle adee Eleete sid:, Koecke-Delta geat, welche i de ( ; () = Koecke-Delta ; we = we = Mit Hilfe vo lässt sich Foel () i Teso-Scheibweise wiefolgt scheibe: (3) ds = dx dx dx dx Die X-Kopoete ud lasse sich auch bezüglich eies adee Koodiatesystes Y wiefolgt ausdücke (siehe Tasfoatio vo Ableituge): (4) = dy ud s s dx dx Esetze wi ud i (3) duch die echte Seite vo (4) ehalte wi die Läge bezüglich des Y-Koodiatessystes: ds

26 Auto: Walte Bisli vo 3 walte.bislis.ch/doku/a :3 = dy dy s = g (y) s s d d s Beachte: We wi u die ote Tee betachte ud zu zusaefasse, wid übe die s s y g (y) Idizes ud suiet (Eisteische Suekovetio), icht jedoch übe ud. Es etsteht dabei eie Matix it kovaiate Idizes Positio i Y-Koodiatesyste sid: s. De so gewoee Teso g s g s ud, dee Kopoete Fuktioe de wid als Metik des Raues ode Metik-Teso bezeichet. Zu jede Koodiatesyste gehöt ei Metik-Teso De Metik-Teso gibt icht u a, ob ud wie ei Rau geküt ist, sode hägt auch vo vewedete Koodiatesyste ab. Jedes Koodiatesyste hat seie eigee Metik-Teso. De Metik-Teso ist zude eist icht kostat, sode eie Fuktio de Positio. Vegleiche wi die Metik-Tesoe fü obige Beispiele (X- ud Y-Koodiatesyste): (6) ds = s dx dx s = g s (x) dx dx s (7) ds = g s dy dy s = g s (y) dy dy s I Falle des katesische Koodiatesystes i icht geküte Rau (6) wid de Metik- Teso zu kostate Eiheitsatix: s. Defiitio: We a i eie beliebige Rau ei Koodiatesyste fide ka, i welche de Metik-Teso de Eiheitsatix etspicht, so ist diese Rau icht geküt (euklidische Rau). g (x) = s I eie geküte Rau ka kei solches Koodiatesyste gefude wede, welches fü jede Stelle des Raues gilt. Lokal ka abe auch ei geküte Rau flach sei. So ist zu Beispiel ei Kegelatel übeall flach, ausse a de Kegelspitze. Tasfoatio des Metik-Tesos U zu zeige, dass de Metik-Teso wiklich ei Teso ist (icht bloss eie Matix), üsse wi utesuche, wie e vo eie Koodiatesyste i ei adees tasfoiet wid. I Gleichug (5) köe wi allgeei duch g (x) esetze, weil auch ei Metik-Teso ist (älich de spezielle Metik-Teso des katesische Koodiatesystes i euklidische Rau):

27 Auto: Walte Bisli 3 vo 3 walte.bislis.ch/doku/a :3 = g (x) dy dy s = g (y) s s d d s Hie köe wi u diekt ablese, wie ei Metik-Teso (9) g s (y) = s Metik-Teso Tasfoatio Kovaiate Teso Rag Wi sehe, dass g wie ei kovaiate Teso tasfoiet wid ud habe dait gezeigt, dass de Metik-Teso wiklich ei Teso ist. Beachte: ud sid die Koodiate des selbe Puktes abe i jeweilige Koodiatesyste ausgedückt. x y Weitee Ifoatioe Idex-Maipulatio pe Metik-Teso Ivese des Metik-Tesos Metik-Teso eies D-Polakoodiatesystes Metik-Teso eie Kugelobefläche Vegleich veschiedee D-Metik-Tesoe

28 Auto: Walte Bisli vo 5 walte.bislis.ch/doku/a :4 Metik-Teso eies D-Polakoodiatesystes Das Polakoodiatesyste ist ei Beispiel eies geküte Koodiatesystes i eie flache (euklidische) Rau. Hie wid de Metik-Teso eies solche Koodiatesystes i zweidiesioale flache Rau hegeleitet. Obwohl es i diese Beispiel u u zwei Diesioe geht, gilt das hie Gezeigte aalog fü beliebig viele Diesioe. I Bild echts ist das X-Y-Koodiatesyste dagestellt it eie Pukt dai. Die Positio des Puktes ka als Koodiatepaa (x; y) (; ) Polakoodiate. dagestellt wede, ode i Zuächst beötige wi die Beziehug zwische ud ud ud. Diese Beziehug ka eifach it etwas Tigooetie abgeleitet wede: x y () x = cos() y = si() Die Metik ist i X-Y-Koodiatesyste defiiet als: () ds = dx + dy Achtug: I diese Beispiel stehe ud icht fü veschiedee Koodiatesystee, sode fü das selbe Koodiatesyste. Wi köte wie auf de Seite Metik-Teso auch scheibe: y = x ud. U u die Metik () i ud zu fouliee, üsse wi u ud als Fuktioe vo ud ausdücke. Dazu diffeeziee wi (): x y x = x (3) dx = d + d d y = d Ud we wi die patielle Ableituge vo () auseche ud i (3) eisetze ehalte wi dy als Fuktioe vo ud : dx ud (4) dx = cos() d si() d dy = si () d + cos() d Dait köe wi die Metik als Fuktio vo ud beeche:

29 Auto: Walte Bisli vo 5 walte.bislis.ch/doku/a :4 ds = dx + dy = [ cos() d si () d ] + [ si () d + cos () d ] (5) = cos () d + si () d si() cos() d d + si () d + cos () d + si() cos() d d h i h i = si () + cos () d + si () + cos () d Weil si () + cos () = ist, bleibt schliesslich u och: ds = d + d (6) Metik i Polakoodiate Dies ist also die Metik des -diesioale flache Raues i Polakoodiate. Daaus lässt sich de etspechede Metik-Teso g ablese: (7) g = d dv = d ) Zusae it dv lässt sich diese Metik i Tesofo scheibe: (8) ds = g dv dv Nach de Eisteische Suekovetio uss übe gleiche Idizes suiet wede, sodass die Foel (8) ausgeschiebe das Egebis (6) egibt: ds = g dv dv (9) = g dv dv + g dv dv + g dv dv + g dv dv = d d + d d + d d + d d = d + d Vegleich de Metik-Tesoe

30 Auto: Walte Bisli 3 vo 5 walte.bislis.ch/doku/a :4 Pola-Koodiate Katesische Koodiate () g = g = = We wi de Metik-Teso liks betachte, fällt auf, dass die Kopoete sode sich it ädet! icht kostat ist, Köe wi bei Betachte dieses Metik-Tesos och sage, ob es sich bei diese Metik u eie flache Rau hadelt ode icht? Köe wi eie Koodiatetasfoatio fide, welche diese Metik-Teso so tasfoiet, dass daaus esultiet? I diese Fall wisse wi: JA. Wi habe schliesslich diese Metik-Teso i flache Rau kostuiet. Wi wisse also, dass es eie Tasfoatio gibt, die diese Metik-Teso i de Teso übefüht, welche fü de flache Rau steht. Geeell sieht a eie Metik-Teso it icht kostate Kopoete jedoch icht a, ob die Metik flach ode geküt ist. Siehe auch Vegleich veschiedee D-Metik-Tesoe g Diskussio des Metik-Tesos I diese Beispiel fällt auf, dass beide Metik-Tesoe u i de Haupt-Diagoale Wete ugleich Null habe. Was sagt us das? Betachte wi dazu die Liie, bei welche etwede ode kostat sid. Die Liie it kostate sid kozetische Keise u de Uspug. Die Liie it kostate sid Geade duch de Uspug. Die Tatsache, dass i Metik-Teso die Kopoete fü die g g ) Coss-Tee ( ud gleich Null sid ist ei Idikato dafü, dass Liie it kostate Koodiate sekecht aufeiade stehe. Dies gilt hie auch fü die Metik vo ud. x y Beechug des Metik-Tesos aus de Koodiatetasfoatio Obe wude de Metik-Teso diekt aus de Metik des Polakoodiatesystes abgeleitet. Da wi die Tasfoatio vo Polakoodiate i katesische Koodiate kee, köe wi diese Metik-Teso auch duch Tasfoatio des katesische Metik-Tesos beeche. Die Tasfoatio vo polae i katesische Koodiate lautete: () dx = cos() d si() d dy = si () d + cos() d

31 Auto: Walte Bisli 4 vo 5 walte.bislis.ch/doku/a :4 Die selbe Foel als Matix-Multiplikatio: () dx = dy cos si si cos d d Fü die folgede Beechuge sei das katesische Koodiatesyste das X-Syste ud das Polakoodiatesyste das Y-Syste. Dait köe wi obige Tasfoatio i Teso- Scheibweise fouliee: (3) dv (x) dv dv (x) (dx; dy) wobei = ; katesische Koodiate dv (y) (d; d) = ; polae Koodiate De blaue Tasfoatios-Te stellt also die Tasfoatios-Matix da, it welche vo Polai katesische Koodiate tasfoiet wede ka: = T = ï T T T T! = cos si si cos Mit Hilfe diese Tasfoatio köe wi de Metik-Teso des Y-Systes (Polakoodiate) beeche. Dazu tasfoiee wi de katesische Metik-Teso, de ja eifach de Koecke-Delta s etspicht: g (y) (5) g s s = T T s s Beachte: Mit de Tasfoatio ka ei kotavaiate Teso vo Y-Syste is X-Syste ode ei kovaiate Teso vo X-Syste is Y-Syste tasfoiet wede! Es folgt die ausfühliche Beechug vo (5). Dabei falle die Hälfte de Tee weg, weil = = ist: T (6) g (y) = T T + T T = cos + si =

32 Auto: Walte Bisli 5 vo 5 walte.bislis.ch/doku/a :4 (7) g (y) = T T + T T = cos ( si ) + si cos = (8) g (y) = T T + T T = si cos + cos si = g (y) = T T + T T (9) = ( si ) + ( cos ) = si + cos = ( si + cos ) = Zusaegefasst ehalte wi de selbe Metik-Teso wie ute (7): () g (y) =

33 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :5 Metik-Teso eie Kugelobefläche Auf diese Seite wid de Metik-Teso eie kugelföig geküte D-Fläche hegeleitet. Zu Veeifachug de Beechuge ehe wi eie Kugel it = P ' (x; y; z) beschiebe wede: Radius, also eie Eiheitskugel. Jede Pukt auf de Kugelobefläche ka duch die beide Wikel ud i blaue Koodiatesyste () x = si ' cos y = si ' si z = cos ' Die Metik i diese Koodiatesyste ist defiiet duch: () ds = dx + dy + dz Es geht u dau, diese Metik duch die beide Wikel ud auszudücke. Ei geübte Blick ka dies diekt aus de Gafik ablese: ' (3) ds = d' + si ' d Ich öchte hie abe zeige, dass duch Awede de selbe Methode wie i Metik-Teso eies D-Polakoodiatesystes das selbe Resultat heaus kot. Wi beeche dahe zuächst die Diffeetiale vo (): (4) dx ' d d = cos ' cos d si ' si (5) dy ' d d = cos ' si d + si ' cos (6) dz ' d d = si ' Jetzt quadiee wi die Gleichuge (4) bis (6) ud scheibe sie uteeiade, dait wi sie da gleich zu Metik addiee köe: ds

34 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :5 (7) dx = cos ' cos d' + si ' si d cos ' si ' cos si d' d (8) dy = cos ' si d' + si ' cos d + cos ' si ' cos si d' d Addiee wi scho al die Gleichuge (7) ud (8), so falle beeits divese Tee weg cos + si = ( ): (9) h i h i dx + dy = cos ' ( cos + si ) d' + si ' ( si + cos ) d () dx + dy = cos ' d' + si ' d Addiee wi u och dz = si ' d' aus (6) ehalte wi die Metik: () ds = dx + dy + dz = ( cos ' + si ') d' + si ' d So ehalte wi schliesslich das selbe Resultat wie bei (3): ds = d' + si ' d () Metik de Kugelobefläche De etspechede Metik-Teso de Kugelobefläche ka diekt abgelese wede: (3) g = si ' d = d' d ) (4) ds = g d d Weitee Ifoatioe Vegleich veschiedee D-Metik-Tesoe Metik-Teso eies D-Polakoodiatesystes

35 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :5 Vegleich veschiedee D-Metik-Tesoe Ich vegleiche hie die bishe hegeleitete D Metik-Tesoe iteiade ud diskutiee dee Eigeschafte. Katesische Koodiate (flache D-Rau) Pola-Koodiate (flache D-Rau) Kugelobefläche (geküte D-Rau) () g = = g = g = si ' Alle dei Tesoe ist geei, dass die Eleete ebe de Hauptdiagoale Null sid. Das bedeutet, dass bei alle diese Koodiatesystee die Koodiateachse jeweils eie echte Wikel bilde. Was zude auffällt ist, dass a de beide letzte Metik-Tesoe icht asieht, ob die Metik ei flache ode geküte Rau ist! Matheatisch scheit es also keie pizipielle Uteschied zwische eie geküte Koodiatesyste i falche Rau ud eie Koodiatesyste i eie geküte Rau zu gebe! Hiweis: I eie geküte Rau ka a ie vo eie flache (euklidische) Koodiatesyste speche, da kei solches Syste fü geküte Räue gefude wede ka.

36 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :5 Ivese des Metik-Tesos De Metik-Teso ka als Matix geschiebe wede ud hat eie etspechede Ivese. Diese ist wiedeu ei Teso it bestite Eigeschafte. Tesoe it zwei Idizes wie de Metik-Teso köe als Matize dagestellt wede: () g $ g g g 3 g g g 3 g 3 g 3 g 33 C A De Metik-Teso ist syetisch, d.h. G G g ij = g ji, ud e hat eie Ivese. We es zu eie Matix eie Ivese gibt, ka a die beide Matize iteiade ultipliziee ud a ehält die Eiheitsatix : I () G G = I I de Teso-Scheibweise wid die Eiheitsatix it de Koecke-Delta ebefalls ei Teso ist: dagestellt, welches (3) $ C A Ma ka de Metik-Teso ud seie Ivese wiefolgt als Matix-Multiplikatio i Teso- Scheibweise hischeibe: g g (4) g g = Defiitio: Die Ives-Matix Matix g defiiet eie Teso it kotavaiate Kopoete, we die aus kovaiate Kopoete besteht ud ugekeht! Diese At de Idex-Kotaktio stellt also eie Matix-Multiplikatio da. Das Resultat ist wiedeu eie Matix, ei Teso it zwei Idizes. Die Ivese des Metik-Tesos ist also defiiet als jees Matix-Objekt it kotavaiate Kopoete, welches ultipliziet it de Metik-Teso it kovaiate Kopoete auf die i (4) gezeigte At als Resultat das Koecke-Delta egibt. Da de Metik-Teso g it kotavaiate Idizes ie die Ivese des Metik-Tesos g (g )

37 Auto: Walte Bisli vo walte.bislis.ch/doku/a :5 it kovaiate Idizes ist (ud ugekeht), scheibt a fü de ivese Metik-Teso icht, sode eifach g it de etspechede kovaiate ode kotavaiate Idizes: g (5) g g = Die beide Metik-Tesoe g ud g sid zu eiade Ivese! Ist de eie bekat, ka de adee beechet wede. Sie epäsetiee die selbe Ifoatio übe die Metik! Ivese des Metik-Tesos vo Polakoodiate A Beispiel vo Polakoodiate wolle wi die Ivese des Metik-Tesos beeche. Siehe Metik-Teso eies D-Polakoodiatesystes fü die Heleitug de Metik ud des Metik- Tesos. Die Metik i D-Polakoodiate ist defiiet als: (6) ds = d + d De zugehöige Metik-Teso ist: (7) g = Die Ivese diese Matix ka paktisch abgelese wede: (8) g = = Multipliziet a diese beide Matize, so ehält a die Eiheitsatix bzw. das Koecke-Delta: (9) g g = = = =