, das Symmetrieverhalten des Graphen von f a. und die Werte von a, für welche die Wertemenge von f a. die Zahl 1 enthält. a 2 x 2 vgl.

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1 Abiturprüfung Berufliche Oberschule 00 Mathematik Technik - A II - Lösung Teilaufgabe.0 Gegeben ist die Funktion f a ( ) a a mit a IR \ {0} in der von a unabhängigen Definitionsmenge D f IR \ {0}. Teilaufgabe. (5 BE) Ermitteln Sie die Nullstellen von f a, das Symmetrieverhalten des Graphen von f a und die Werte von a, für welche die Wertemenge von f a die Zahl enthält. Funktionsterm: f( a) a a Zähler abrufen: z( a) numer( f ( a) ) a Nullstellenbedingung: 0( a) z( a) 0 a 0 auflösen a a Nullstellen abrufen: ( a) 0( a) ( a) 0( a) Nullstellen ( a) a ( a) a Symmetrie: f( a) a vgl. a f( a) a a Symmetrie zur Sei f( a) a a auflösen a a a a Gleichung ist lösbar, falls a 0 auflösen a a a ] ; [ \ {0} Abi 0, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite von

2 Teilaufgabe. (6 BE) Bestimmen Sie jeweils in Abhängigkeit von a das Verhalten der Funktionswerte f a ( ) an den Rändern der Definitionsmenge und das Monotonieverhalten des Graphen von f a. a a a a a a 0 a a annehmen a 0 0 a a annehmen a 0 0 a a annehmen a 0 0 a a annehmen a 0. Ableitung: f' ( a) d d f( a) a a a a f' ( a) a f' ( a) 0 f' ( a) 0 a 0 a 0 auflösen annehmen a 0 auflösen annehmen a G f ist streng monoton steigend für ] ; 0 [ und G f ist streng monoton fallend für ] 0 ; [. f' ( a) 0 f' ( a) 0 a 0 a 0 auflösen annehmen a 0 auflösen annehmen a G f ist streng monoton fallend für ] ; 0 [ und G f ist streng monoton steigend für ] 0 ; [. Abi 0, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite von

3 a < 0, speziell a - 0, Achse a > 0, speziell a 0,75 S ( 0.75) y Achse Abi 0, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite von

4 Teilaufgabe. (5 BE) Der Graph von f 0.75 und die Geraden mit den Gleichungen 0.75 und y begrenzen im I. Quadranten ein Flächenstück. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts. Aus. S ( a) a S ( 0.75).5 a Stammfunktion: d d 0.75 Flächenmaßzahl:.5 A ( f ( 0.75) ) d A Teilaufgabe.0 Gegeben ist weiter die Funktion g ( ) arccos f ( ) in der maimalen Definitionsmenge D g IR. Dabei ist f die Funktion f a aus Aufgabe mit a. Teilaufgabe. ( BE) Ermitteln Sie die Definitionsmenge D g. Ergebnis: D g IR \ ] 0.5 ; 0.5 [ f( ) g ( ) arccos auflösen D ] ; g ] [ ; [ Teilaufgabe. (8 BE) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion g', das Verhalten der Funktionswerte g' ( ) an den Rändern von D g' und das Monotonieverhalten des Graphen von g. Geben Sie die Koordinaten und die Art der Etrempunkte des Graphen von g an. d g' ( ) d g ( ) 4 4 Abi 0, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite 4 von

5 Teilweises Radizieren: g' ( ) Definitionsmenge: D ] ; g' [ ] ; [ 0 0 g' ( ) 0 0 auflösen G g ist streng monoton steigend in ] ; [ g Randmaimum g' ( ) 0 0 auflösen G g ist streng monoton fallend in ] ; [ g Randmaimum Abi 0, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite 5 von

6 Teilaufgabe. (8 BE) Zeichnen Sie den Graphen von g im Bereich 4 4 unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse ( LE cm ). Graph von g mit Obersumme Achse Teilaufgabe.4 (5 BE) Der Wert des Integrals g ( ) d soll näherungsweise bestimmt werden. Berechnen Sie dazu den arithmetischen Mittelwert aus Ober- und Untersumme bei Unterteilung des Integrationsintervalls in vier gleich große Teile auf drei Nachkommastellen genau. Veranschaulichen Sie die Rechnung, indem Sie die für die Berechnung der Obersumme verwendeten Rechtecke in die Zeichnung aus. eintragen..5.5 Ober- und Untersumme Obersumme: A O ( g ( ) g(.5) g ( ) g(.5) ) 0.5 A O Untersumme: A U ( g(.5) g ( ) g(.5) g ( )) 0.5 A U Achse Mittelwert: A O A U A A.65 Abi 0, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite 6 von

7 Teilaufgabe.5 (7 BE) Begründen Sie, dass die Funktion h mit h ( ) g ( ) und D h [ 0.5 ; [ umkehrbar ist. Ermitteln Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion h den Graphen von h an der Stelle. und die Gleichung der Tangente an g() ist in [ 0.5 ; [ streng monoton fallend, und damit auch h(), also ist h umkehrbar. arccos 0 arccos Randetremum! Wertemenge von h: W h ] 0 ; ] Definitionsmenge von h : D h - ] 0 ; ] Wertemenge von h : Urbild von : arccos W h - [ 0.5 ; [ auflösen Lösung keine Lösung Ableitung: h' ( ) g' ( ) Steigung der Tangente an h: m h h' Steigung der Tangente an der Umkehrfunktion h u' ( ) u' h' ( ) u: h' m u h' m u Tangente an u: t u ( ) m u t u ( ) Tangente an h: t h ( ) m h t h ( ) 6 Abi 0, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite 7 von

8 Graphische Darstellung in der Prüfung nicht verlangt.5 Graph von h mit Tangente.5 Graph von u mit Tangente Achse -Achse Graph von h Punkt P Tangente an h Graph von u Gespiegelter Punkt P* Tangente an u Teilaufgabe (9 BE) Die Innenkante des Querschnitts eines Glases (siehe Bild rechts) wird durch die Funktion s ( ) 5 ln( ) ( ) (vgl. Graph unten) beschrieben. Durch die Rotation des Graphen um die -Achse entsteht ein Rotationskörper, welcher näherungsweise die Form eines solchen Glases beschreibt. Berechnen Sie die Maßzahl des Volumeninhalts im Bereich 6 auf zwei Nachkommastellen. (Hinweis: Beginnen Sie mit partieller Integration) Abi 0, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite 8 von

9 Querschnitt Achse 6 Ansatz für das Volumen: V ( s ( )) d Bestimmung der Stammfunktion von: ( s ( )) d 5 ln( ) ( ) d Partielle Integration von: ln( ) ( ) d u ( ) ln( ) u' ( ) d d u ( ) v' ( ) ( ) v ( ) v' ( ) d ln( ) ( ) d ln( ) d ln( ) d ( ) Partialbruchzerlegung von ( ) A B A B ( ) B ( A B) B ( ) Koeffizientenvergleich: B A B 0 A Abi 0, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite 9 von

10 d d ln ln ( ) C Betrag kann wegen der gegebenen Integrationsgrenzen weggelassen werden. 5 ln( ) ( ) d 5 ln( ) ln( ) ln( ) Stammfunktion: S ( ) 5 ln( ) ln( ) ln( ) Volumenberechnung: V S6 ( ) S ( ) V. Mathcadlösung: 6 V ( s ( )) d V. Definitionen Rotation um die -Achse Abi 0, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite 0 von

11 Teilaufgabe 4 (8 BE) Bestimmen Sie für IR die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y' ( y) mit der Variation der Konstanten. Allgemeine Differentialgleichung: y' p( ) y q ( ) y' ( y) y' y y' y Konkrete lineare inhomogene DGL: y' y Definition von p(t) und q(t): p ( ) q ( ) Definition der homogenen DGL: y' y 0 Triviale Lösung: y 0 Lösung der homogenen DGL nach Formelsammlung: y H ( K) Ke p ( ) d y H ( K) K Ausführlich: d ln Umformung: ln ln Variation der Konstanten: y H ( ) k ( ) y' H ( ) k' ( ) k ( ) p ( ) Abi 0, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite von

12 Eingesetzt in die DGL y' p( ) y q ( ) y' y liefert: k' ( ) k ( ) k ( ) Vereinfacht: k' ( ) Auflösen: k' ( ) Integration: k ( ) d k ( ) K 0 Allgemeine Lösung: y A ( ) k ( ) K 0 K 0 Definition der Kurvenschar: y A ( K) K Abi 0, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite von

13 Darstellung der Kurvenschar (in der Prüfung nicht verlangt): Programm für die Darstellung der Kurvenschar Kurvenschar mit Auswahl einer Kurve: Definitionen Parameterwert: K 4 Ausgewählte Scharkurve: y A ( K) 4 Kurvenschar Scharkurven allgemein Ausgewählte Scharkurve -Achse Abi 0, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite von