Algorithmische Methoden der Netzwerkanalyse

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1 Algorithmische Methoden der Netzwerkanalyse Marco Gaertler 9. Dezember, / 15

2 Abstandszentralitäten 2/ 15

3 Distanzsummen auf Bäumen Lemma Sei T = (V, E) ein ungerichteter Baum und T s = (V S, E s ) der zugehörige Wurzelbaum mit Wurzel s. Ist T s (v) = (V s (v), E s (v)) der Wurzelteilbaum von v V, dann gilt: d T (s, t) = d Ts (s, t) = (1 + d Ts (v, t)). t V t V v N + Ts (s) t V s(v) 3/ 15

4 Closeness auf Bäumen Satz Die Closeness-Zentralität der Knoten eines ungerichteten Baumes können in O (n) Zeit berechnet werden. 4/ 15

5 Betweenness in ungewichteten Graphen Notation: P G (s, v) := {(u, v) E : d G (s, v) = d G (s, u) + 1} Lemma Es gilt: { (u,v) P σ G (s, v) = G (s,v) σ G (s, u), falls s v 1, sonst. 5/ 15

6 Betweenness in ungewichteten Graphen Notation: P G (s, v) := {(u, v) E : d G (s, v) = d G (s, u) + 1} Lemma Es gilt: { (u,v) P σ G (s, v) = G (s,v) σ G (s, u), falls s v 1, sonst. 5/ 15

7 Betweenness in ungewichteten Graphen Definition Gegeben sei ein Multigraph G = (V, E). Die Abhängigkeit des Paares s, t V bzw. des Knoten s V von einem KNoten v V is definiert als: δ G (s, t v) := σ G (s, t v) σ G (s, t) δ G (s v) := t V δ G (s, t v). Es gilt: c B (G) v = s V δ G (s v). 6/ 15

8 Betweennessberechnung Lemma Für s v V gilt: δ G (s v) = (v,w) P G (s,w) w V σ G (s, v) ( ) σ G (s, w) 1 + δ G (s w) Satz Die Betweenness-Zentralitäten der Knoten eines Multigraphen können in O (n (n + m)) Zeit berechnet werden.. 7/ 15

9 Betweennessberechnung Lemma Für s v V gilt: δ G (s v) = (v,w) P G (s,w) w V σ G (s, v) ( ) σ G (s, w) 1 + δ G (s w) Satz Die Betweenness-Zentralitäten der Knoten eines Multigraphen können in O (n (n + m)) Zeit berechnet werden.. 7/ 15

10 Abstandszentralitäten 8/ 15

11 Einflussmatrix Definition Sei G = (V, E) ein Multigraph und A(G) die zugehörige Adjazenzmatrix. Die Einflussmatrix A mit Abschwächungskoeffizient α ist definiert als A := (α A) k. k=1 9/ 15

12 Einfluss Lemma Die Einflussmatrix ist wohldefiniert, falls α = ( min( (G), + (G)) + 1) 1. Definition Die Einluss-Zentralität c I ist definiert durch c I (G) = A 1 für alle G G mit Einflussmatrix ( A und 1. Abschwächungskoeffizient α = min( (G), + (G)) + 1) 10/ 15

13 Einfluss Lemma Die Einflussmatrix ist wohldefiniert, falls α = ( min( (G), + (G)) + 1) 1. Definition Die Einluss-Zentralität c I ist definiert durch c I (G) = A 1 für alle G G mit Einflussmatrix ( A und 1. Abschwächungskoeffizient α = min( (G), + (G)) + 1) 10/ 15

14 Einfluss Vermutung: c I (G) (G) Lemma Es gilt: c I (G) v = α (1 + c I (G) w ) (v,w) E 11/ 15

15 Einfluss Vermutung: c I (G) (G) Lemma Es gilt: c I (G) v = α (1 + c I (G) w ) (v,w) E 11/ 15

16 Eigenvektorzentralität Definition Die Eigenvektor-Zentralität c E ist definiert für alle G = (V, E) S als die eindeutige Lösung von c E (G) = 1 ϱ(g) A(G) c E (G), mit c E (G) v > 0 für v V, ϱ(g) dem Spektralradius der Adjazenzmatrix und v V c E (G) v = 1. 12/ 15

17 Bekannte Varianten der Eigenvektorzentralität PageRank Hubs & Authorities 13/ 15

18 PageRank Definition Für G G und ein 0 < ω < 1 ist der PageRank c P definiert als die eindeutige Lösung von c P (G) = (1 ω)m + (G) T c P (G) + ω n 1, mit M + (G) = (D + (G)) 1 A(G). 14/ 15

19 Hubs & Authorities Definition Für G G ist die Hub-Zentralität c H definiert durch c H (G) = c E (G ), wobei G der Multigraph mit der Adjazenzmatrix A(G) A(G) T ist und die Authority-Zentralität c A durch c A (G) = c E (G ), wobei G der Multigraph mit der Adjazenzmatrix A(G) T A(G) ist. 15/ 15