Das Sil nikov Problem. kontinuierliche und diskrete. Systeme

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT ILMENAU FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK UND NATURWISSENSCHAFTEN INSTITUT FÜR MATHEMATIK Bachelorarbeit Das Sil nikov Problem für kontinuierliche und diskrete Systeme eingereicht am von Maria Kreibich geboren am in Ilmenau Matrikelnummer.: 4132 betreuender Hochschullehrer: PD Dr. rer. nat. habil. Jürgen Knobloch

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Vorbetrachtungen 1 2 Formulierung des Problems Das Sil nikov Problem für Vektorfelder Das diskrete Sil nikov Problem Eine Bemerkung zu Notationen Existenz und Eindeutigkeit Kontinuierliche Systeme Diskrete Systeme Nemyzki-Operatoren Exponentielle Schranken Kontinuierliche Systeme Diskrete Systeme

3 1 EINLEITUNG UND VORBETRACHTUNGEN 1 1 Einleitung und Vorbetrachtungen Die Größen, die heute als Sil nikov Variablen bezeichnet werden, wurden erstmals von dem russischen Mathematiker L. P. Sil nikov benutzt, [6]. Wir verweisen auch auf [1] und weitere darin enthaltene Referenzen auf die Originalarbeiten von Sil nikov. Ursprünglich wurden diese Variablen benutzt, um den Fluss eines Vektorfeldes (bzw. einer gewöhnlichen autonomen Differentialgleichung) in der Umgebung einer hyperbolischen Gleichgewichtslage zu beschreiben. Solche Betrachtungen finden u.a. Anwendung bei der Untersuchung des dynamischen Verhaltens in der Nähe von homoklinen Orbits und heteroklinen Zykeln, [1]. Sil nikov Variablen sind eng verknüpft mit einem speziellen Randwertproblem, dem sogenannten Sil nikov Problem: Sei p eine hyperbolische Gleichgewichtslage eines glatten Vektorfeldes h einer autonomen Differentialgleichung auf R d und sei W s (p) bzw. W u (p) die zugehörige lokale stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeit. Die entsprechenden (lokalen) stabilen und instabilen Koordinaten seien schließlich mit x und y bezeichnet. Für gegebene Größen (, ξ, η), die Sil nikov Variablen, wird das folgende Randwertproblem, (x, y) = h(x, y) x() = ξ, y() = η (1.1) als Sil nikov Problem bezeichnet. Unter Beibehaltung der Bedeutung der Variablen x und y kann ein Analogon für Diffeomorphismen h auf R d formuliert werden: (x(n + 1), y(n + 1)) = h(x(n), y(n)) (1.2) x() = ξ, y(m) = η. Die Variablen (m, ξ, η) werden wieder als Sil nikov Variablen bezeichnet. Natürlich stellt sich zuerst die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von (1.1) bzw. (1.2). Für die Anwendung sind aber auch Glattheit der Lösungen und ihr asymptotisches Verhalten (für bzw. m ) von großer Bedeutung. Für Vektorfelder sind diese Fragen mit [1, Theorem 2.1 und Theorem 3.1] beantwortet. Das Ziel dieser Arbeit ist es, diese Aussagen auf das diskrete Sil nikov Problem (1.2) zu übertragen. Dabei stützen wir uns hauptsächlich auf den Artikel von Bo Deng [1]. Dort ist das Sil nikov Problem sowohl für kontinuierliche als auch für diskrete Systeme formuliert. In allen weiteren Betrachtungen beschränkt sich Deng allerdings auf Vektorfelder. Insbesondere sind also Aussagen zur Existenz, Glattheit und des asymptotischen Verhaltens von Lösungen des Sil nikov Problems nur für die Gleichung (1.1) formuliert und bewiesen. Ziel dieser Arbeit ist es, Aussagen zur Existenz, Glattheit und des asymptotischen Verhaltens von Lösungen des diskreten Sil nikov Problems zu formulieren und zu beweisen. Die Hauptresultate dieser Arbeit sind Satz 4 im Kapitel 3.2, welcher die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von (1.2) sichert und Aussagen zur Glattheit der Lösung (bez. ξ und η) liefert, und Satz 11 im Kapitel 4.2 mit Aussagen zur Asymptotik für m. Diese Sätze können als das diskrete Analogon zu den Theoremen 2.1 und 3.1 aus [1] gesehen werden. Für den Beweis dieser Sätze folgen wir weitgehend den Ideen aus [1] für den Beweis entsprechender Aussagen zum System (1.1). Diese beruhen im Wesentlichen auf der Anwendung von Fixpunktprinzipien und dem Satz über implizite Funktionen. Im diskreten Fall müssen dabei jedoch jeweils Räume diskreter Funktionen verwendet werden. Die Arbeit gliedert sich wie folgt. Im Kapitel 2 formulieren wir das Sil nikov Problem (sowohl für konti-

4 1 EINLEITUNG UND VORBETRACHTUNGEN 2 nuierliche als auch für diskrete Systeme) in geeigneten Koordinaten. Genauer gesagt benutzen wir, dass die lokalen stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten simultan in die stabilen und instabilen Unterräume des linearisierten Systems transformiert werden können. Im Kapitel 3 wenden wir uns dem Satz über die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung zu. Da, wie erwähnt, der Beweis von Satz 4 in großem Maße den Ideen des Theorems 2.1 aus [1] folgt, befassen wir uns als erstes mit dem Beweis dieses Theorems. Dieser ist in dem Artikel von Deng relativ kurz abgehandelt. Im Abschnitt 3.1 geben wir eine ausführliche Darstellung der einzelnen Beweisschritte. Auf dieser Grundlage liefern wir dann im Abschnitt 3.2 den Beweis von Satz 4. Analog verfahren wir im Kapitel 4 beim Beweis von Satz 11. Im Abschnitt 4.1 geben wir eine ausführliche Darstellung des Beweises von Theorem 3.1 aus [1]. Aufbauend darauf liefern wir im Abschnitt 4.2 den Beweis für den diskreten Fall.

5 2 FORMULIERUNG DES PROBLEMS 3 2 Formulierung des Problems Im Folgenden formulieren wir das Sil nikov Problem sowohl für Vektorfelder als auch für Diffeomorphismen. 2.1 Das Sil nikov Problem für Vektorfelder Der Ausgangspunkt für die Formulierung des Sil nikov Problems für Vektorfelder ist ein gewöhnliches d- dimensionales autonomes Differentialgleichungssystem 1. Ordnung ż = h(z), welches ohne Beschränkung der Allgemeinheit an der Stelle z = eine hyperbolische Gleichgewichtslage besitzen soll. Dabei sei h C k+2 (U, R d ) mit k 1, wobei U R d eine Umgebung des Ursprungs z = ist. Die Linearisierung von h an der Stelle z =, Dh(), besitzt daher nur Eigenwerte, die nicht auf der imaginären Achse liegen, davon sollen d s Stück in der linken und d u Stück in der rechten komplexen Halbebene liegen, d s, d u > und d s +d u = d. Es liegt nahe, eine Trennung der Koordinaten, die im linearisierten System je die stabilen und die instabilen Eigenräume aufspannen, vorzunehmen. Es ist bekannt, dass es eine nichtsinguläre Matrix T gibt, derart, dass die Matrix T 1 Dh()T Jordansche Normalform hat. Nun sollen die Spaltenvektoren von T, bei denen es sich ja um Basisvektoren der verallgemeinerten Eigenräume zu den zugehörigen Eigenwerten handelt, so angeordnet sein, dass in dem oberen Teil der Matrix T 1 Dh()T nur die Eigenwerte mit negativem Realteil und im unteren[ nur die ] mit positivem Realteil auftauchen. Präziser ausgedrückt bedeutet das, T 1 A Dh()T hat die Form B mit A R ds d s, B R du d u und A, B enthalten nur ( Jordankästchen ) zu Eigenwerten mit negativen bzw. x positiven Realteilen. Mithilfe der Transformation := T 1 z betrachten wir nun das transformierte y Vektorfeld ( ) ( ) T h, (T x h) := T 1 x h T. (2.1) y y Dabei haben wir verwendet, dass T eine lineare Abbildung ist. Verwenden wir weiter für h die Darstellung h(z) = Dh()z + h(z), h(z) = o( z ), ergibt sich aus (2.1) die folgende Differentialgleichung für (x, y) U R d ( ) [ ] ( ) ( ) ẋ A x f(x, y) = +. ẏ B y g(x, y) Dabei bezeichnet U eine( offene ) beschränkte Umgebung des Ursprungs (x, y) =. Aus den obigen Betrachtungen ergibt sich := T 1 h T C k+1 (U, R d ) und f, g = o( (x, y) ). f g Das linearisierte System ẋ = Ax, ẏ = By ist entkoppelt und wir finden ohne Weiteres die Lösungen x(t) = e At c 1 und y(t) = e Bt c 2, c 1 R ds, c 2 R du. Aufgrund der Beschaffenheit von A und B erkennt man sofort, dass x(t) für positive Zeiten mit exponentieller Geschwindigkeit zur Gleichgewichtslage konvergiert und y(t) dies entsprechend für negative Zeiten tut. Diese Eigenschaft, die mit A und B verbunden ist, lässt sich auch so formulieren:

6 2 FORMULIERUNG DES PROBLEMS 4 Hypothese (H1). Es existieren Konstanten λ < < µ und C 1 1, für die gelten: (i) e At C1 e λt, t, (ii) e Bt C1 e µt, t. Die Konstante λ ist abhängig von dem Realteil des Eigenwertes, der am nächsten links von der Null liegt. Dabei gilt, ist dieser Eigenwert nicht halbeinfach, so muss λ betragsmäßig kleiner als der Realteil gewählt werden, um auftretende polynomielle Anteile der Lösung abzufangen. Ansonsten kann λ gleich dem Realteil gesetzt werden. Analoges gilt für die Wahl von µ. Die Funktionen f und g erfüllen folgende Forderungen Hypothese (H2). (i) f(, y) = (ii) g(x, ) = (, y) U (x, ) U (iii) Df(, ) = und Dg(, ) =. Die Bedingungen (i) und (ii) in (H2) bedeuten, dass der x-raum und der y-raum invariant unter dem Fluss der Differentialgleichung sind. Dies ist jedoch keine einschränkende Forderung, da sich stets eine Transformation finden lässt, welche die flussinvariante stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeit in diese Koordinatenräume abbildet. Da f und g keine linearen Terme in (x, y) mehr enthalten, ergibt sich die Eigenschaft (iii). Das Sil nikov Problem bezeichnet nun folgendes Randwertproblem : Definition 1. Das autonome Differentialgleichungssystem für (x, y) U mit den Bedingungen ẋ = Ax + f(x, y) ẏ = By + g(x, y), x() = ξ y() = η (2.2) (2.3) für gegebene R, ξ R ds und η R du, heißt Sil nikov Problem, wobei A, B, f und g den Bedingungen (H1) und (H2) genügen sollen. Die Größen (, ξ, η) werden Sil nikov Variablen genannt. Eine Lösung (x, y) C(I, U) des Sil nikov Problems wird im allgemeinen über dem abgeschlossenen Zeitintervall I = [, ] gesucht. Demnach handelt es sich hierbei weder um ein Anfangswertproblem, da im Regelfall größer Null ist, noch um ein Randwertproblem im üblichen Sinne und es ist noch keineswegs klar, dass eine Lösung für (2.2) und (2.3) tatsächlich existiert.

7 2 FORMULIERUNG DES PROBLEMS Das diskrete Sil nikov Problem Analog dazu lässt sich auch ein Sil nikov Problem für Funktion (x, y) : {,..., m} U R ds R du über der diskreten Zeit n aus der Menge {,..., m} formulieren. Im Zentrum steht das Differenzengleichungssystem x(n + 1) = Ax(n) + f(x(n), y(n)) y(n + 1) = By(n) + g(x(n), y(n)). Es gilt weiterhin, dass die x-koordinate die stabile und die y-koordinate die instabile Variable bezeichnet. Daher müssen an die dort auftauchenden Matrizen A, B ähnliche Anforderungen gestellt werden, wie im kontinuierlichen System. Und auch die Funktionen f, g müssen ähnlichen Bedingungen genügen. Zuerst einmal seien f, g C k+1 (U, R di ), i = s, u mit k 1. Darüber hinaus sollen die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sein, die mit (H1) und (H2) korrespondieren. Hypothese (H3). A und B sind nichtsingulär und es existieren Konstanten < λ < 1 < µ und C 1 1, für die gelten: (i) A n x C 1 λ n x n N, x R ds, (ii) B n y C 1 µ n y n N, y R du. Hypothese (H4). (i) f(, y) = (ii) g(x, ) = (, y) U (x, ) U (iii) Df(, ) = und Dg(, ) =. Genau genommen werden an die Funktionen f, g dieselben Forderungen gestellt, wie im kontinuierlichen System, das heißt sie enthalten nur Terme höherer Ordnung in (x, y) und der stabile x-raum und der instabile y-raum sind invariant unter dem Fluss. Damit lässt sich nun auch das diskrete Sil nikov Problem definieren. Definition 2. Die Differenzengleichung für (x, y) U mit den Bedingungen x(n + 1) = Ax(n) + f(x(n), y(n)) y(n + 1) = By(n) + g(x(n), y(n)) x() = ξ y(m) = η (2.4) (2.5) für gegebenes m N, ξ R ds und η R du beschreibt das diskrete Sil nikov Problem. Dabei erfüllen A, B, f und g die Bedingungen (H3) und (H4).

8 2 FORMULIERUNG DES PROBLEMS Eine Bemerkung zu Notationen Zum Schluss sei noch kurz etwas zu den verwendeten Notationen gesagt. In dieser Arbeit bezeichnet sowohl den Betrag eines Elementes von R, als auch die Maximumsnorm für Elemente des R n, n N. Wir verwenden diese Notation aber auch für die Norm der maximalen Zeilensumme für Matrizen, die durch die Maximumsnorm für Spaltenvektoren induziert wird. Aus dem Kontext wird klar, welche der jeweiligen Normen gemeint ist. Von jetzt an sei im kontinuierlichen System z = (x, y) C([, ], R ds R du ). Die hierfür verwendete Norm sei für alle z = (x, y) definiert als z := max x(t) + max y(t). t [,] t [,] Die Funktionen x und y sind Elemente der Räume C([, ], R ds ) bzw. C([, ], R du ). Diese betrachten wir mit den Normen x := max x(t) bzw. y := max y(t). t [,] t [,] Mit K d [; r] ist stets eine abgeschlossene Kugel im R d um den Ursprung mit dem Radius r gemeint. Die Menge KC[; r] hingegen sei eine abgeschlossene Kugel im Raum der stetigen Funktionen C([, ], R d ). Aufgrund der verwendeten Normen folgt für eine Funktion (x, y) KC[; r], dass deren Bildbereich in K d [; r] liegt. Im Falle des diskreten Systems bezeichnen wir den Raum der Abbildungen von {, 1,..., m} in den R d mit S m (R d ). Somit sei z = (x, y) S m (R ds R du ). Die abgeschlossene Kugel mit dem Radius r um die Nullabbildung werden wir mit KS[; r] S m (R d ) bezeichnen. Auch hier sei die verwendete Norm gleich die Summe der Maximumnormen von Abbildungen in den R ds bzw. R du über der endlichen Menge {,..., m} z := max x(n) + n {,...,m} max y(n). n {,...,m} In diesem Fall sind die Funktionen x und y Elemente der Räume S m (R ds ) bzw. S m (R du ) mit den Normen x := max x(n) bzw. y := max y(n). n {,...,m} n {,...,m} Auch hier gilt, der Bildbereich einer Abbildung (x, y) KS[; r] liegt in K d [; r]. Im Verlauf der Arbeit benötigen wir weitere verschiedene Normen, die wir in den meisten Fällen definieren, wenn die entsprechenden Räume eingeführt werden. Wenn wir im folgenden von Differenzierbarkeit reden, so ist stets die Differenzierbarkeit im Sinne von Fréchet gemeint.

9 3 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 7 3 Existenz und Eindeutigkeit Die erste Frage, der man sich widmen sollte, ist die Frage nach der Existenz einer Lösung des Sil nikov Problems. In diesem Kapitel werden wir dieser Frage sowohl im kontinuierlichen als auch im diskreten System nachgehen und feststellen, dass es für bestimmte Werte ξ und η tatsächlich eine Lösung (x, y) C([, ], U) gibt und diese sogar eindeutig bestimmt ist. Darüber hinaus interessiert uns noch die stetig differenzierbare Abhängigkeit dieser Lösung von der Zeit und den Sil nikov Variablen im kontinuierlichen, beziehungsweise nur von den Größen ξ und η im diskreten Fall. Während des Beweises stoßen wir auf den Begriff des Nemyzki-Operators (siehe z.b. [5]), zu dem wir uns im Abschnitt 3.3 etwas genauer äußern wollen. 3.1 Kontinuierliche Systeme Satz 3 ([1], Theorem 2.1). Die Gleichung (2.2) erfülle die Bedingungen (H1) und (H2) mit f, g C k+1 (U, R di ), k 1, i = s, u. Dann existiert eine Umgebung V R ds R du, so dass gilt: (a) Für alle (, ξ, η) R + V existiert genau eine Lösung (x, y) : [, ] U, welche die Bedingungen x() = ξ und y() = η erfüllt. (b) Es seien x := x(t;, ξ, η) und y := y(t;, ξ, η), dann ist (x, y) C k+1 (t,, ξ, η). in dem Variablensatz Beweis. Zuerst beweisen wir die Aussage (a). Der Beweis von Teil (a) folgt grundlegend dem Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf [7] über die Existenz und Eindeutigkeit eines Anfangswertproblems. Zuerst werden die Gleichungen (2.2) und (2.3) in eine äquivalente Integralgleichung überführt, für die wir im folgenden die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes [7, Kapitel 1.1] nachprüfen, um diesen anwenden zu können. Zur Gewinnung der Integralgleichungen betrachten wir vorrübergehend f und g als von (x, y) unabhängige Inhomogenität, was uns zu den zwei entkoppelten linearen Differentialgleichungssystemen ẋ = Ax + f(t) ẏ = By + g(t) (3.1) bringt. Die Lösung der homogenen Gleichung ẋ = Ax, ẏ = By lautet x h (t) = e At c 1 y h (t) = e Bt c 2, (3.2) mit c 1 R ds und c 2 R du. Mittels des Verfahrens der Variation der Konstanten bestimmen wir eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Dabei werden c 1 und c 2 als Funktionen in t erachtet und die Gleichung 3.2 einmal nach t abgeleitet und in die Gleichung (3.1) eingesetzt: Ae At c 1 (t) + e At c 1 (t) = Ae At c 1 (t) + f(t) Be Bt c 2 (t) + e Bt c 2 (t) = Be Bt c 2 (t) + g(t).

10 3 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 8 Damit ergibt sich für c 1 und c 2 durch bestimmte Integration nach t c 1 (t) = c 1 () + e As f(s)ds c 2 (t) = c 2 () + e Bs g(s)ds. Die Gesamtlösung von (3.1) lautet demnach unter Einbeziehung der Bedingungen (2.3) x(t) = e At ξ + y(t) = e B(t ) η + e A(t s) f(s)ds e B(t s) g(s)ds. Jetzt werden f(s) und g(s) wieder durch f(x(s), y(s)) und g(x(s), y(s)) ersetzt. Eine Lösung (x, y) C([, ], R d ) der daraus entstandenen Integralgleichung x(t) = e At ξ + y(t) = e B(t ) η + e A(t s) f(x(s), y(s))ds e B(t s) g(x(s), y(s))ds (3.3) erfüllt zum einen die Bedingung (2.3) und ist darüber hinaus einmal stetig differenzierbar nach t, da die rechte Seite der Gleichung (3.3) nach t differenzierbar ist. Mit Hilfe der Leibnizregel lässt sich die Ableitung ( ẋ(t) = A e At t ξ + ( ẏ(t) = B e B(t ) η + ) e A(t s) f(x(s), y(s))ds + f(x(t), y(t)) ) e B(t s) g(x(s), y(s))ds + g(x(t), y(t)) berechnen. Man erkennt sofort, dass die Lösungen der Integralgleichung 3.3 der Differentialgleichung (2.2) genügen, womit nun mit (3.3) eine zu den Gleichungen (2.2) und (2.3) äquivalente Integralgleichung geschaffen wurde. Die Gleichung (3.3) wird nun als Fixpunktgleichnung z = T b (z) mit den Parametern b = (ξ, η) gelesen, z = (x, y), T b : C([, ], U) C([, ], U), e At ξ + T b (z)(t) = e B(t ) η + e A(t s) f(z(s))ds. (3.4) e B(t s) g(z(s))ds Gesucht ist ein Bereich V U, so dass für alle (ξ, η) V eine stetige Funktion z := (x, y) C([, ], U) existiert, welche die Fixpunktgleichung erfüllt. Dazu betrachten wir den Raum ( C([, ], R d ), ) mit z = max x(t) + max y(t). Damit ist ( C([, ], R d ), ) ein Banachraum und wir zeigen, dass T b t [,] t [,] den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes genügt. Als erstes befassen wir uns mit der Kontraktivität des Operators T b. Das heißt, wir zeigen, dass eine abgeschlossene Kugel K d [; r 1 ] U um den Ursprung existiert, so dass für alle z 1, z 2 KC[; r 1 ] gilt: q [, 1) : T b (z 1 ) T b (z 2 ) q z 1 z 2.

11 3 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 9 Da f, g C k+1 (U, R di ), i = s, u, sind, mit k 1, sind beide Funktionen auf kompakten Mengen lipschitzstetig insbesondere auf der abgeschlossenen Kugel K d [; r 1 ]. Die Größen L f := max Df(z) z K d [;r 1] L g := max z K d [;r 1] Dg(z) (3.5) sind geeignete Lipschitzkonstanten. Wir bemerken, dass L f und L g von r 1 abhängen. Wegen Voraussetzung (H2)(iii) gilt lim L f = und lim L g =. (3.6) r 1 r 1 Unter Verwendung der Bedingung (H1) erhalten wir nun für alle z 1, z 2 KC[, r 1 ] die Abschätzung: T b (z 1 ) T b (z 2 ) = max t t [,] e A(t s) [f(z 1 (s)) f(z 2 (s))]ds + max t t [,] e B(t s) [g(z 1 (s)) g(z 2 (s))]ds max t t [,] e A(t s) f(z1 ) f(z 2 ) ds + max t [,] e B(t s) g(z1 ) g(z 2 ) ds (H1) max t t [,] C 1 e λ(t s) L f z 1 z 2 ds + max t [,] C 1 e µ(t s) L g z 1 z 2 ds ( ) L C f 1 λ max 1 e λt + Lg t [,] µ max 1 e µ(t ) z 1 z 2 t [,] ( ) Lf C 1 λ + Lg µ z 1 z 2. Die Bedingung für die Erfüllung der Kontraktivität von T b lautet also ( Lf C 1 λ + L ) g < 1. (3.7) µ Die Konstanten C 1, λ und µ sind durch die Matrizen A und B vorgegeben und somit unveränderlich. Einzig L f und L g sind variabel und abhängig von K d [; r 1 ]. Gemäß (3.6) lassen sich L f und L g genügend klein wählen, wenn man nur r 1 genügend klein wählt. Die folgende Abschätzung zeigt uns, wie klein r 1 gewählt werden muss. Dafür verwenden wir den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für Funktionen F : R n R m, vgl. [3, Kapitel 167]. Damit folgt: L f = max Df(z) z K d [;r 1] max d f z l (z) z K d [;r 1] l=1 = max f z K d [;r 1] l=1 = max z K d [;r 1] l=1 = max z K d [;r 1] l=1 = max z K d [;r] l,k=1 d z l (z) f z j () d 1 d 2 f z l z k (tz)dtz k k=1 d 1 d 2 f z l z k (tz)dt z k k=1 d 2 f z l z k ( z) r 1.

12 3 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 1 Dabei sei r > r 1 so, dass K d [; r] U. Wir definieren M f := max z K d [;r] l,k=1 d 2 f ( z) z l z k. (3.8) Die Konstante M f existiert, da f in U mindestens 2-mal stetig differenzierbar ist und das Maximum über einer abgeschlossenen Teilmenge von U bestimmt wird. Sie ist, wegen r > r 1 unabhängig von r 1. In analoger Weise erhalten wir für L g die Abschätzung L g M g r 1. Es sei Mit (3.7) ergibt sich nun, dass T b auf KC[; r 1 ] kontraktiv ist, falls M fg := max{m f, M g }. (3.9) M fg C 1 (λ µ) r 1 < 1. (3.1) λµ Sei nun also r 1 so klein, dass die Kontraktivitätsbedingung (3.1) erfüllt ist. Wir zeigen nun, dass ein r 2 < r 1 existiert, so dass der Operator T b die Menge KC[; r 2 ] C([, ], U) in sich selbst abbildet, also die Bedingung T b (z) r 2 (3.11) für z KC[; r 2 ] erfüllt. Die Menge KC[; r 2 ] ist als abgeschlossene Teilmenge eines normierten Raumes ein vollständiger metrischer Raum. Existiert also ein solches r 2, dann erfüllt T b auf KC[; r 2 ] die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes und somit ist Teil (a) des Satzes bewiesen. Bleibt für den Beweis von (a) also noch die Existenz eines entsprechenden r 2 zu zeigen. Seien M f := Nun betrachten wir folgende Abschätzung: max f(z) und Mg := max g(z). (3.12) z K d [;r 2] z K d [;r 2] T b (z) = max t t [,] eat ξ + e A(t s) f(z(s))ds + max t [,] eb(t ) η + ( ) max e At ξ + t t [,] e A(t s) f(z(s)) ds + ( e + max B(t ) t η + ) e B(t s) g(z(s)) ds t [,] ( ) max C 1 e λt ξ + t t [,] ( C 1 ξ + M f λ + η + M g µ C 1 e λ(t s) Mf ds ). Damit ist die folgende Bedingung hinreichend für (3.11) ( + max t [,] e B(t s) g(z(s))ds C 1 e µ(t ) η + ) C 1 e µ(t s) Mg ds ( C 1 ξ + M f λ + η + M ) g r 2. (3.13) µ Erneut sind die Konstanten C 1, λ und µ durch die Aufgabenstellung gegeben. Mf und M g hängen selbst

13 3 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 11 noch von dem zu wählenden Radius r 2 ab, vgl. (3.12), und auch der Bereich, aus dem ξ und η stammen dürfen, ist noch frei bestimmbar. Zuerst betrachten wir M f und M g. Dazu führen wir eine Taylorentwicklung 1. Ordnung von f an der Entwicklungsstelle z = durch, [3, Kapitel 168]. Wegen der Voraussetzung (H2) erhalten wir für h = (h 1,..., h d ) K d [; r 2 ] U f(h) = ( f() + Df()h + d 1 ) 2 f z k z l (th) (1 t)dt h k h l k,l=1 d 1 2 f z k z l (th) (1 t) dt h k h l k,l=1 d 1 2 f z k z l (th) dt ( max h i ) 2 k,l=1 i {1,...,d} d max 2 f z k z l ( h) r2 2 h K d [;r] k,l=1 = M f r 2 2. Wir erinnern daran, dass die Konstante M f, die bereits in (3.8) definiert wurde, nicht mehr von r 2 abhängt. Demnach gilt, vgl. (3.12), M f M f r2. 2 Analog dazu kann M g nach oben abgeschätzt werden durch M g r2. 2 Unter Verwendung der Konstanten M fg, vgl. (3.9), ist die Bedingung C 1 ( ξ + η ) + M fgc 1 (λ µ)r 2 r 2 r 2 (3.14) λµ hinreichend für (3.13) und somit auch hinreichend für (3.11). Wir wählen nun r 2 = r1 2. So erhalten wir mit (3.1) M fg C 1 (λ µ)r 2 λµ < 1 2. (3.15) Der Bereich V, aus dem ξ und η stammen, wird nun so gewählt, dass C 1 ( ξ + η ) r2 2 Damit bildet für alle ξ, η V der Operator T b die abgeschlossene Kugel KC[; r 2 ] in sich ab. Da r 2 < r 1 ist, ist T b auf dieser Kugel auch kontraktiv. Insgesamt existiert nach dem Banachschen Fixpunktsatz für alle (ξ, η) V = K d r [; 2 4C 1 ] genau ein Fixpunkt z = (x, y) C([, ], U) der Integralgleichung. Dieser Fixpunkt ist Lösung der Gleichungen (2.2) und (2.3). ist. Im folgenden beweisen wir (b), die Differenzierbarkeit der Lösungen (x, y) des Sil nikov Problems (2.2) und (2.3) nach (t,, ξ, η). Dazu zeigen wir, dass (x, y) je (k+1)-mal stetig partiell differenzierbar bezüglich der einzelnen Variablen ist. Wir beginnen mit der Differenzierbarkeit nach t und zeigen, dass (x, y) sogar (k + 2)-mal stetig differenzierbar in t ist. Wir wissen bereits, vgl. die Ausführungen nach der Gleichung (3.3), dass die Lösung der Integralgleichung (3.3) einmal nach t differenzierbar ist und der Gleichung (2.2) genügt. Betrachten wir mit diesem Wissen die rechte Seite der Differentialgleichung (2.2), so stellen wir fest, dass diese ebenfalls einmal nach t differenzierbar ist. Dasselbe muss demnach auch für die linke Seite erfüllt sein, womit (x, y) nun schon zweimal nach t differenzierbar ist. Mit dieser Argumentation können wir fortfahren, bis wir

14 3 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 12 an die Grenzen der Differenzierbarkeit von f und g stoßen. Damit erhalten wir, dass die rechte Seite der Gleichung (2.2) (k + 1)-mal stetig differenzierbar ist (k 1) und (x, y) entsprechend einmal mehr, also (k + 2)-mal. Betrachten wir nun die Differenzierbarkeit nach (ξ, η). Dazu definieren wir folgende Abbildung P : KC[; r 2 ] V C([, ], U) V C([, ], U) mit P (z, ξ, η) := T b (z) z = T (ξ,η) (z) z. Wir bemerken, dass die Lösungen der Gleichung P (z, ξ, η) = (3.16) eineindeutig zu den Fixpunkten z(ξ, η) = (x, y)(ξ, η) von T b korrespondieren. Zur Lösung der Gleichung (3.16) benutzen wir den Satz über implizite Funktionen, [7, Kapitel 4.7]. Gemäß (a) finden wir für gegebene (ξ, η ) V eine Funktion z C([, ], U), so dass P (z, ξ, η ) = ist. Wir zeigen nun (i) P ist (k + 1)-mal partiell differenzierbar bezüglich (z, ξ, η) KC[; r 2 ] V und (ii) die partielle Ableitung von P nach z, D z P (z, ξ, η ) ist stetig invertierbar. Dann liefert der Satz über implizite Funktionen, die gewünschte Differenzierbarkeit von z bezüglich der Variablen (ξ, η). Zunächst zeigen wir (i). Aus (3.4) ersehen wir, dass P linear affin von (ξ, η) abhängt. Daraus ergibt sich unmittelbar die Glattheit von P bezüglich. ξ und η. Die Differenzierbarkeit nach z, also nach Elementen aus dem Raum der stetigen Funktionen, erfordert jedoch nähere Untersuchung. Fest steht, dass D z P = D z T b id bzw. DzP l = DzT l b mit l = 2,..., k + 1 ist, sofern die Ableitungen DzT l b des Operators T b nach z überhaupt existiert. Abbildungen, der Bauart wie hier, nennt man Nemyzki-Operatoren (vgl. [5]), denen wir uns im Abschnitt 3.3 widmen werden. An dieser Stelle sei nur festgehalten, dass es Nemyzki-Operatoren gibt, zu denen zum Beispiel auch P gehört, und diese unter gewissen Voraussetzungen differenzierbar sind. In unserem Beispiel mit P beziehungsweise T b reicht uns, dass f, g C k+1 (U, R di ), i = s, u, sind, siehe Lemma 7 in Abschnitt 3.3, womit wir die Voraussetzung (i) des Satzes über implizite Funktionen erst einmal als nachgewiesen betrachten können. Das erste Differential von T b, welches wir noch explizit benötigen, um (ii) zu zeigen, sei im folgenden angegeben: (D z T b (z))(h)(t) = e A(t s) Df(z(s))h(s)ds. e B(t s) Dg(z(s))h(s)ds Der lineare Operator D z P (z, b ) = D z T b (z ) id ist invertierbar, sofern die Operatornorm L von D z T b (z ) kleiner Eins ist. In diesem Fall existiert die Neumannsche Reihe (vgl. [3]) A := (D z T b (z )) n und es gilt (id D z T b (z )) 1 = A. Bei der Abschätzung der Norm des Operators stoßen wir auf denselben n=

15 3 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 13 Ausdruck, den wir auch schon bei der Überprüfung der Kontraktivitätsbedingung (3.7) erhielten: D z T b (z ) L = sup h =1 (DT,ξ,η (z )h) ( sup max t h =1 t [,] e A(t s) Df(z (s)) h(s) ds + max t ) t [,] e B(t s) Dg(z (s)) h(s) ds max t t [,] C 1 e λ(t s) L f ds + max t [,] C 1 e µ(t s) L g ds ( ) Lf C 1 λ + Lg µ < 1. Demnach ist die geforderte Ungleichnung D z T b (z ) L < 1 und damit die Voraussetzung (ii) erfüllt und der Satz über implizite Funktionen liefert die (k + 1)-malige stetige Differenzierbarkeit von z = (x, y) nach (ξ, η). Kommen wir nun zur Differenzierbarkeit nach. Die Differentiation nach stellt insofern ein Problem dar, da der Raum C([, ], U), auf dem unsere Lösung (x, y) lebt, selbst von abhängt. Dieses Problem gilt es zu umgehen. Dabei orientieren wir uns an der Idee, welche in dem Artikel von Bernold Fiedler und André Vanderbauwhede [2] zu finden ist, wo ein ähnliches Problem auftrat. Dazu führen wir eine Zeitskalierung ein. Wir wählen ein ɛ > hinreichend klein, führen die Variable β mit β [1 ɛ, 1 + ɛ] ein und definieren die Zeit T über βt = t. Daraufhin definieren wir die Abbildung (X, Y ) = (X, Y )(T ; β, ξ, η) : [, ] R d mit (X, Y )(T ; β, ξ, η) = (x, y)(βt ; β, ξ, η) = (x, y)(t; β, ξ, η) Dann ist (X, Y ) eine Lösung der Differentialgleichung Ẋ = β(ax + f(x, Y )) Ẏ = β(by + g(x, Y )). (3.17) Wegen (a) wissen wir, dass es zu der Differentialgleichung (3.17) mit den Bedingungen X() = ξ Y () = η (3.18) genau eine Lösung (X, Y ) C([, ], R d ) gibt. Die Variable β verändert zwar die Integralgleichung zu X(T ) = e AβT ξ + Y (T ) = e Bβ(T ) η + T e Aβ(T s) βf(x(s), Y (s))ds T e Bβ(T s) βg(x(s), Y (s))ds (3.19) und somit auch die in (a) betrachteten Abschätzungen, jedoch sind diese Änderungen, da β sich in einer kleinen Umgebung von Eins befindet, minimal. Die Matrizen A, B aus der Voraussetzung (H1) lauten nun βa, βb, weshalb λ und µ eventuell leicht anders gewählt werden müssen, die entscheidenden Eigenschaften (λ < < µ) bleiben jedoch erhalten. Darüber hinaus taucht bei den Abschätzungen (3.7) und (3.14) β noch als zusätzlicher Faktor auf. Die Aussage von (a) geht also für das System (3.17) und

16 3 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 14 (3.18) nicht verloren, was auch nicht verwunderlich ist, wenn man bedenkt, dass sich für β = 1 nichts ändert, sondern T = t [, ] gilt. Demnach existiert eine abgeschlossene Kugel KC[; R 2 ] C([, ], U) mit (X, Y ) KC[; R 2 ]. Da die Rückführung von (X, Y )(T ) auf (x, y)(t) die Gleichung x(t) = e At ξ + y(t) = e B(t β) η + β e A(t s) f(x(s), y(s))ds e B(t s) g(x(s), y(s))ds ergibt, bedeutet eine Differentiation nach in (3.3) also eine Differentiation nach β (in der Umgebung von Eins) in (3.19). Der Nachweis hierfür kann genauso mit dem Satz über implizite Funktionen geführt werden, wie der Nachweis der Differentiation nach (ξ, η). Dafür definieren wir uns den Operator P P : KC[; R 2 ] [1 ɛ, 1 + ɛ] C([, ], U) mit P (Z, β) := T β (Z) Z, wobei T β durch (3.19) definiert wird e AβT ξ + T β (Z) := e Bβ(T ) η + T e Aβ(T s) βf(z(s))ds T. e Bβ(T s) βg(z(s))ds Der Rest veläuft analog zu obigen Betrachtungen für (ξ, η). Damit ist (X, Y )(T, β) nach β differenzierbar. Dass dann auch (x, y)(t, ) nach differenzierbar ist, sieht man wie folgt: Sei ˆ > fest, β = 1 + α und s = αˆ. Dann gilt: (x, y)(, ˆ + s) (x, y)(, ˆ) = (x, y)(, βˆ) (x, y)(, ˆ) = (X, Y )(, β) (X, Y )(, 1) = (X, Y )(, 1 + α) (X, Y )(, 1) = D β (X, Y )(, 1)α + o(α) = 1ˆ D β(x, Y )(, 1)s + o(s). Damit ist gezeigt, dass die Ableitung von (x, y) nach existiert, und es gilt: D (x, y)(, ˆ) = 1ˆ D β(x, Y )(, 1).

17 3 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT Diskrete Systeme Betrachten wir nun das diskrete Sil nikov Problem mit den Bedingungen (H3) und (H4). Analog zum kontinuierlichen Fall erhalten wir den folgenden Satz 4. Die Gleichung (2.4) erfülle die Bedingungen (H3) und (H4) mit f, g C k+1 (U, R di ), k 1, i = s, u. Dann existiert eine Umgebung V R ds R du, so dass gilt: (a) Für alle (m, ξ, η) N V existiert genau eine Lösung (x, y) : {, 1,..., m} U, welche die Bedingungen x() = ξ und y(m) = η erfüllt. (b) Es seien x := x(n, m, ξ, η) und y := y(n, m, ξ, η), dann ist (x, y) C k+1 in dem Variablensatz (ξ, η). Beweis. Der Beweis von (a) erfolgt nach demselben Prinzip wie auch für das kontinuierliche System. Als erstes schreiben wir die Gleichungen (2.4) und (2.5) in eine äquivalente Summengleichung um und wenden auf diese den Banachschen Fixpunktsatz an. Dabei sei noch einmal erwähnt, dass die Funktionen f und g dieselben Gestalt haben, wie die Funktionen im kontinuierlichen System. Demnach können wir alle Abschätzungen, die unmittelbar mit diesen Funktionen im Zusammenhang stehen, hier in derselben Weise wiederverwenden. Zur Erhaltung der Summengleichung bleibt das Vorgehen ebenfalls prinzipiell das Gleiche. Die Funktionen f und g werden wieder als von x und y unabhängige Inhomogenitäten betrachtet und wir erhalten aus der homogenen Gleichung x(n + 1) = Ax(n) y(n + 1) = By(n), die Lösung x h (n) = A n c 1 y h (n) = B n c 2, mit c 1 R ds, c 2 R du. Um die allgemeine Lösung zu erhalten, führen wir auch hier das Verfahren der Variation der Konstanten durch, welches in [4, Kapitel 3.2] ausführlich erklärt ist. Das heißt wir betrachten c 1 und c 2 als von der diskreten Zeit n abhängig. Durch einsetzen in die Differenzengleichung, A n+1 c 1 (n + 1) = x(n + 1) = Ax(n) + f(n) = A n+1 c 1 (n) + f(n) B n+1 c 2 (n + 1) = y(n + 1) = By(n) + g(n) = B n+1 c 2 (n) + g(n), erhalten wir die folgende Bestimmungsgleichung für c 1 und c 2 Damit ergibt sich c 1 (n) = c 1 (n + 1) c 1 (n) = A (n+1) f(n) c 2 (n) = c 2 (n + 1) c 2 (n) = B (n+1) g(n). c 1 (n) c 1 () = n 1 k= A (k+1) f(k) c 2 (m) c 2 (n) = m 1 B (k+1) g(k), und zusammen mit der Lösung der homogenen Gleichung unter Berücksichtigung von (2.5) und der k=n

18 3 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 16 Abhängigkeit der Funktionen f und g von (x, y) x(n) = A n ξ + y(n) = B (n m) η n A (n k) f(x(k 1), y(k 1)) k=1 m k=n+1 B (n k) g(x(k 1), y(k 1)). (3.2) Durch Einsetzen in die Rekursionsgleichung sieht man sofort, dass eine Lösung dieses Gleichnungssystems der Rekursion (2.4) genügt. Wir betrachten die Fixpunktgleichung z = T b (z) mit b = (ξ, η), wobei A n ξ + n T b (z)(n) = k=1 B (n m) η m k=n+1 A (n k) f(z(k 1)) (3.21) B (n k) g(z(k 1)) durch (3.2) auf dem Raum S m (R d ) definiert wird. Ausgestattet mit der Norm z = max x(n) + nm max y(n) ist S m(r d ) ein Banachraum und es gilt wieder die Kontraktivität des Operators T b auf der nm Kugel KS[; r 1 ] nachzuweisen, sowie zu zeigen, dass T b die abgeschlossene Kugel KS[; r 2 ], < r 2 < r 1 in sich selbst abbildet. Dabei ergibt sich, unter Verwendung der Lipschitzstetigkeit der Funktionen f, g auf der kompakten Menge K d [; r] U, r > r 1, für die Kontraktivität durch analoge Abschätzungen T b (z 1 ) T b (z 2 ) max die Bedingung n nm k=1 max nm k=1 C 1 (L f max A n k f(z 1 ) f(z 2 ) + max n C 1 λ n k L f z 1 z 2 + max λn 1 nm λ 1 C 1 ( Lf 1 λ + Lg µ 1 + L g ) z 1 z 2 max m nm k=n+1 m nm k=n+1 1 µn m nm µ 1 e B(t s) g(z 1 ) g(z 2 ) C 1 µ n k L g z 1 z 2 ) z 1 z 2 ( Lf C 1 1 λ + L ) g < 1. (3.22) µ 1 Diese kann in einer Umgebung um den Ursprung mit derselben Begründung wie bei dem kontinuierlichen System erfüllt werden. Wegen (H4) (iii) und der Definition der Lipschitzkonstanten (3.5) gilt lim L f = und lim L g =, r 1 r 1 weshalb wir L f und L g klein genug wählen können, wenn wir nur die Kugel KS[; r 1 ] klein genug wählen. Analog zum kontinuierlichen Fall finden wir die Bedingung mit derselben Konstante M fg wie in (3.9). M fg C 1 (µ λ) (1 λ)(µ 1) r 1 < 1, Um die Umgebung ausfindig zu machen, aus welchem ξ und η gewählt werden müssen, um das Abbilden

19 3 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 17 des Operators T b von der Menge KS[; r 2 ] in sie selbst zu gewährleisten, erhalten wir durch ähnliche Abschätzungen wie im kontinuierlichen Fall folgende Bedingung: Nun bestimmen wir r 2 wieder so, dass T b (z) C 1 ( ξ + η ) + M fgc 1 (µ λ)r 2 (1 λ)(µ 1) r! 2 r 2. M fg C 1 (µ λ) (1 λ)(µ 1) r (3.23) gilt, und der Bereich V, aus dem ξ und η stammen, lautet dann wieder K d r [, 2 4C 1 ]. Somit liefert uns der Banachsche Fixpunktsatz die Existenz einer eindeutigen Lösung z = (x, y) S m (U) unseres Systems (2.4) und (2.5). Zum Nachweis von (b), der (k + 1)-maligen stetig differenzierbaren Abhängigkeit der Lösung von (ξ, η), verwenden wir erneut den Satz über implizite Funktionen. Dazu definieren wir uns die Abbildung P : KS[; r 2 ] V S m (U) V S m (U), mit P (z, ξ, η) := T b (z) z = T (ξ,η) (z) z. Die Lösungen der Gleichung P (z, ξ, η) = korrespondieren eineindeutig mit den Fixpunkten z(ξ, η) von T b, womit ein Lösungselement z, ξ, η für die Gleichung durch vorgegebene Werte (ξ, η ) V mit Teil (a) gegeben ist. Die Differenzierbarkeit von P nach den Variablen (ξ, η) begründet sich wie im kontinuierlichen System durch die affin lineare Abhängigkeit des Operators T b von den Variablen (ξ, η). Bezüglich der Differenzierbarkeit von P nach z verweisen wir auf Lemma 8 des nachfolgenden Kapitels 3.3. Damit erhalten wir, analog zum kontinuierlichen System, für alle n {,..., m} das erste Differential (D z T b (z))(h)(n) = n k=1 m k=n+1 A n k Df(z(k 1))h(k 1), B n k Dg(z(k 1))h(k 1) Demnach bleibt noch zu zeigen, dass D z P (z, ξ, η ) invertierbar ist. Hierfür benötigen wir wieder die Existenz der Neumannschen Reihe A := (DT b (z )) n, die wir erhalten, wenn wir zeigen können, dass n= die Norm L der linearen Abbildung D z T b (z ) kleiner Eins ist. Aber auch hier finden wir nach der Abschätzung die Kontraktivitätsbedingung (3.22) wieder: D z T b (z ) L = sup h =1 sup h =1 (DT ξ,η (z )h) ( + max nm max nm n A n k Df(z (k 1)) h(k 1) k=1 m ) B n k Dg(z (k 1)) h(k 1) k=n+1

20 3 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 18 ( n ) max C 1 λ n k L f + max nm k=1 ( ) Lf C 1 1 λ + Lg µ 1 < 1. Damit existiert die Neumannsche Reihe und es gilt nm ( m k=n+1 C 1 µ n k L g ) (D z P (z, ξ, η )) 1 = (id D z T b (z )) 1 = A.

21 3 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT Nemyzki-Operatoren Kommen wir nun also zu dem Begriff des Nemyzki-Operators (vgl. [5, Kapitel 2.5]). Definition 5. Seien M und N natürliche Zahlen. Weiter sei E R R N, E, und ϕ : E R M. Durch Φ(x)(t) := ϕ(t, x(t)), t [a, b] wird gewissen Funktionen x : [a, b] R N eine Funktion Φ(x) : [a, b] R M zugeordnet. Die zwischen geeigneten Funktionenräumen definierte Abbildung Φ heißt Nemyzki-Operator. In unserem Fall des kontinuierlichen Sil nikov Problems liegt uns demnach folgendes vor: Die Menge U ist eine nichtleere Teilmenge des R d und wir betrachten die Abbildungen f, g : U R di, i = s, u. Mit ˆf(z)(t) := f(z(t)) ĝ(z)(t) := g(z(t)) definieren wir die Nemyzki-Operatoren ˆf, ĝ, die Funktionen z des Funktionenraumes C([, ], R d ) Funktionen ˆf(z), ĝ(z) C([, ], R di ), i = s, u zuordnen. Betrachten wir hingegen das diskrete System, so bilden die Nemyzki-Operatoren ˆf, ĝ ˆf(z)(n) := f(z(n)) ĝ(z)(n) := g(z(n)) von dem Funktionenraum S m (R d ) in den Raum S m (R di ) ab, i = s, u. Mittels dieser Nemyzki-Operatoren lassen sich der Integraloperator T b (siehe 3.4) und der Summenoperator T b (siehe 3.21) folgendermaßen aufschreiben: und e At ξ + T b (z)(t) = e B(t ) η + A n ξ + n T b (z)(n) = k=1 B (n m) η m k=n+1 A(t s) e ˆf(z)(s)ds e B(t s) ĝ(z)(s)ds A (n k) ˆf(z)(k 1). B (n k) ĝ(z)(k 1) Da wir uns für die Differenzierbarkeit der Nemyzki-Operatoren T b und T b nach z interessieren, müssen wir uns der Differenzierbarkeit der Operatoren ˆf und ĝ zuwenden. Stellvertretend betrachten wir ˆf. Wir wissen, dass f C k+1 (U, R ds ) ist, mit k 1. Damit existiert das l-te Differential d l f(z ; h 1,..., h l ) an der Stelle z U, 1 l k + 1 und es hat die Form d l f(z ; h 1,..., h l ) = d i 1,...,i l =1 l z i1 z il f(z )h 1i1 h lil. Das folgende Lemma beruht auf einem ähnlichen Satz aus [5, Kapitel 2.5] und liefert uns die Differenzierbarkeit von ˆf.

22 3 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 2 Lemma 6. Sei f C k+1 (U, R ds ). Dann existiert die l-te Ableitung D l z ˆf von ˆf nach z C([, ], U), l k + 1, und es gilt für alle t [, ]: (D l z ˆf(z))(h 1,..., h l )(t) = d l f(z(t); h 1 (t),..., h l (t)) Beweis. Wir zeigen für l {1,..., k + 1}, die Differenzierbarkeit von (Dz l 1 für beliebiges z C([, ], U), dass (Dz l 1 ˆf(z + h l ))(h 1,..., h l 1 ) (Dz l 1 gilt, wobei wir D z ˆf(z) := ˆf(z) definieren. ˆf(z)), das heißt wir zeigen ˆf(z))(h 1,..., h l 1 ) (Dz l ˆf(z))(h 1,..., h l ) = o( h l ) Da für jedes l die Multilinearität bezüglich der h i, i = 1... l 1 nicht weiter von Bedeutung ist und wir diese h i als konstant annehmen, führen wir, der Übersicht wegen, folgende Umbenennungen durch: F l ( ) := d l f( ; h 1,..., h l ) : R d R ds ˆF l ( ) := (D l z ˆf( ))(h 1,..., h l ) : C([, ], U) C([, ], R ds ). Man sieht sofort, dass F l (z) = DF l 1 (z)h l gilt. Außerdem verkürzt sich unsere Schreibweise auf den Ausdruck ˆF l 1 (z + h l ) ˆF l 1 (z) (D ˆF l 1 (z))h l = o( hl ) Wir zeigen also im kontinuierlichen Fall: lim h l 1 h l max t [,] ˆF l 1 (z + h l )(t) ˆF l 1 (z)(t) ((D ˆF l 1 (z))h l )(t) = Der Beweis für ˆf : S m (U) S m (R ds ) im diskreten Fall läuft analog, wobei t durch die diskrete Zeit n {,..., m} ersetzt wird. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung für Funktionen G : R n R m, (vgl. [3, Kapitel 167]) gilt: Damit folgt: lim h l = lim h l lim h l lim h l = lim max h l t [,] G(z + h) G(z) = 1 DG(z + ϑh)hdϑ 1 h l max ˆF l 1 (z + h l )(t) ˆF l 1 (z)(t) ((D ˆF l 1 (z))h l )(t) t [,] 1 h l max F l 1 (z(t) + h l (t)) F l 1 (z(t)) DF l 1 (z(t))h l (t) t [,] 1 h l max 1 t [,] DF l 1 (z(t) + ϑh l (t))h l (t)dϑ DF l 1 (z(t))h l (t) 1 h l max 1 t [,] DF l 1 (z(t) + ϑh l (t))dϑ DF l 1 (z(t)) h l 1 DF l 1 (z(t) + ϑh l (t))dϑ DF l 1 (z(t)) Wegen der Stetigkeit der Ableitungen von f, geht obiger Ausdruck für h l gegen Null, was zu zeigen war.

23 3 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 21 Mit dem Lemma 6 folgt nun auch durch die Kettenregel die (k+1)-malige Differenzierbarkeit der Nemyzki- Operatoren T b und T b. Lemma 7. Seien f, g C k+1 (U, R di ), i = s, u und T b auf C([, ], U) so definiert wie durch (3.4). Dann ist T b nach z C([, ], U) (k + 1)-mal stetig differenzierbar und es gilt für alle t [, ]: (DzT l b (z))(h 1,..., h l )(t) = e A(t s) d l f(z(s); h 1 (s),..., h l (s))ds. e B(t s) d l g(z(s); h 1 (s),..., h l (s))ds Lemma 8. Seien f, g C k+1 (U, R di ), i = s, u und T b auf S m (U) so definiert wie durch (3.21). Dann ist T b nach z S m (U) (k + 1)-mal stetig differenzierbar und es gilt für alle n {,..., m}: (DzT l b (z))(h 1,..., h l )(n) = n A t s d l f(z(k 1); h 1 (k 1),..., h l (k 1)) m. B t s d l g(z(k 1); h 1 (k l),..., h l (k l)) k= k=n+1

24 4 EXPONENTIELLE SCHRANKEN 22 4 Exponentielle Schranken Nachdem wir von der eindeutigen Existenz einer Lösung des Sil nikov Problems wissen, interessieren wir uns im folgenden für asymptotisches Verhalten dieser Lösung, sowie ihrer Ableitungen nach den Komponenten (ξ, η). 4.1 Kontinuierliche Systeme Satz 9 ([1], Theorem 3.1). Seien U und V so gewählt, wie in Satz 3 und f, g C k+1 (U, R di ), k 1, i = s, u. Die Funktion (x, y)(t) = (x(t;, ξ, η), y(t;, ξ, η)) mit >, (ξ, η) V und t [, ] erfüllen den Satz 3 und das Gleichungssystem (2.2) und (2.3) erfülle die Bedingungen (H1) und (H2). Dann existieren die von t,, ξ und η unabhängigen Konstanten C 2 > und γ > mit K d [; γ ] U und K d γ [; 4C 1 ] V, so dass für alle < γ < γ und (ξ, η) K d γ [; 4C 1 ] die folgenden Bedingungen für alle t [, ] erfüllt sind: (a) x(t) γe λt und y(t) γe µ(t ) (b) D α x(t) C 2 e λt und D α y(t) C 2 e µ(t ) (c) x (t) γc2 e λt+µ(t ) und y (t) γc2 e µ(t ) (d) D β x (t) C 2 e λt+µ(t ) und D β y (t) C2 e µ(t ). Dabei seien D α und D β die üblichen Multiindex-Differentialoperatoren in Bezug auf die Komponenten von (ξ, η) bis zur Ordnung α k beziehungsweise β k 1. Um diesen Satz zu beweisen, bedienen wir uns im Großen und Ganzen wieder des Banachschen Fixpunktsatzes, betrachten die Fixpunktgleichung aber in Banachräumen mit gewichteten Normen, die wir im folgenden einführen. Danach betrachten wir ein Lemma, welches letztlich einen Fixpunktsatz für unser speziell gestelltes Problem darstellt. Für die nachfolgenden Betrachtungen führen wir folgende Notationen ein: Es sei Z ein Banachraum mit der Norm. Für den gesamten nächsten Abschnitt statten wir den Raum C([, ], Z) mit der gewichteten Norm α,β aus, wobei α, β ist. Dabei sei α,β für z C([, ], Z) definiert durch z α,β := max z(t)e αt β(t ). t [,] Für den Raum (C([, ], Z), α,β ) schreiben wir kurz C α,β ([, ], Z). Für festes sind die Maximumsnorm und die gewichtete Norm α,β äquivalent. Also ist C α,β ([, ], Z) ein Banachraum. Des Weiteren bezeichne KC α,β (δ, Z) eine abgeschlossene δ-kugel um z im Raum C α,β ([, ], Z). In dem Beweis des Satzes 9 werden wir Räume von multilinearen Abbildungen zu betrachten haben. Diese multilinearen Abbildungen stehen für entsprechende Differentiale höherer partieller Ableitungen der Größen x und y nach den Komponenten von ξ und η sowie nach, [7, Kapitel 4.2]. Dazu führen wir die folgende Schreibweise ein. Mit M i l, l 1, i = s, u, bezeichnen wir die Menge der l-linearen, stetigen Abbildungen von R nach R di : M i l := {M l : R... R R di, M l ist l-linear, stetig}. (4.1)

25 4 EXPONENTIELLE SCHRANKEN 23 Um eine verkürzende Schreibweise zu ermöglichen, definieren wir darüber hinaus M i := R di. Weiter betrachten wir für λ, µ wie in (H1) und κ {, µ} den Produktraum P λ,κ,µ := C λ,κ ([, ], M s l ) C,µ ([, ], M u l ) ausgestattet mit der Norm (a, b) λ,κ,µ := a λ,κ + b,µ. In P λ,κ,µ betrachten wir die abgeschlossene Teilmenge Γ, Γ := KC λ,κ (δ, M s l ) KC,µ (δ, M u l ). Wir möchten bemerken, dass die Größen λ, µ und δ, sowie die Bildräumen M s l und M u l nicht in der Bezeichnung von Γ berücksichtigt sind. Aus der Definition folgt sofort für alle Elemente (a, b) aus Γ wegen a λ,κ δ und b,µ δ t [, ] : a(t) δe λt+κ(t ) und b(t) δe µ(t ). (4.2) In Vorbereitung auf oben erwähntes Lemma definieren wir nun für eine positive Zahl M und zwei reelle Zahlen u und v die beiden nachfolgenden Terme k(t,, u, v) := M[(2e λt + e µ(t ) )u + e λt v] l(t,, u, v) := M[e µ(t ) u + (2e µ(t ) + e λt )v]. (4.3) Eine entscheidende Eigenschaft von k und l ist, dass v in k den Vorfaktor e λt und u in l den Faktor e µ(t ) besitzt. Diese Eigenschaft ist, wie wir später sehen werden, eng mit unseren normalisierten Koordinaten x und y verbunden, insbesondere mit der Eigenschaft (H2), aus welcher hervorgeht, dass f(x, y) = O( x + y ) x und g(x, y) = O( x + y ) y ist, für x + y. Darüber hinaus sei kurz vermerkt, dass k und l monoton wachsend in sowohl u als auch v sind. Die Integralgleichnungen, die wir nachfolgend betrachten, besitzen stets die Form a(t) = p(t, ) + b(t) = q(t, ) + e A(t s) F (s, a(s), b(s))ds e B(t s) G(s, a(s), b(s))ds, wobei (a, b) und (p(, ), q(, )) Elemente aus Γ sind und F, G aus dem Raum [, ] M s l Mu l M s l beziehungsweise nach M u l abbilden. Damit haben wir alle Vorbereitungen getroffen und kommen nun zu dem (4.4) nach Lemma 1 ([1],Lemma 7.1). Die Integralgleichung (4.4) erfülle folgende Bedingungen für alle t [, ] und (a, b), (a i, b i ) Γ, i = 1, 2: (i) F (t, a(t), b(t)) k(t,, a(t), b(t) ) und G(t, a(t), b(t)) l(t,, a(t), b(t) ) (ii) F (t, a 1 (t), b 1 (t)) F (t, a 2 (t), b 2 (t)) k(t,, a 1 (t) a 2 (t), b 1 (t) b 2 (t) ) und G(t, a 1 (t), b 1 (t)) G(t, a 2 (t), b 2 (t)) l(t,, a 1 (t) a 2 (t), b 1 (t) b 2 (t) )

26 4 EXPONENTIELLE SCHRANKEN 24 (iii) p(, ) λ,κ δ 2 und q(, ),µ δ 2 (iv) 4C1M(λ µ) λµ < 1. Dann existiert genau eine Lösung von (4.4) in Γ. Beweis. Sei Θ : Γ Γ der Operator, der durch die rechte Seite der Integralgleichung (4.4) definiert wird, p(t, ) + Θ(a, b)(t) = q(t, ) + e A(t s) F (s, a(s), b(s))ds. e B(t s) G(s, a(s), b(s))ds Der Beweis des Lemmas läuft wieder darauf hinaus, die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes für Θ mittels der gegebenen Bedingungen (i)-(iv) nachzuprüfen, wobei noch einmal erwähnt sei, dass Γ eine abgeschlossene Teilmenge eines normierten Raumes ist. Dafür benötigen wir die folgenden elementaren jedoch wichtigen Abschätzungen: e λ(t s) k(s,, e λs+κ(s ), e µ(s ) )ds 2M(λ µ) λµ e λt+κ(t ) e µ(t s) l(s,, e λs+κ(s ), e µ(s ) )ds 2M(λ µ) λµ e µ(t ). (4.5) Zuerst zeigen wir, dass tatsächlich Θ : Γ Γ gilt. Sei dazu (ā, b) := Θ(a, b) für (a, b) Γ. Mit Hilfe der Voraussetzungen (i)-(iv), (H1), den obigen Abschätzungen (4.5) und der speziellen Struktur von k, siehe (4.3), erhalten wir nun für ā: t ā(t) = p(t, ) + e A(t s) F (s, a(s), b(s))ds p(t, ) + t e A(t s) F (s, a(s), b(s)) ds (iii),(h1),(i) e λt+κ(t ) δ t 2 + C 1 e λ(t s) k(s,, a(s), b(s) )ds (4.2),(4.3) e λt+κ(t ) δ 2 + C 1 e λ(t s) k(s,, δe λs+κ(s ), δe µ(s ) )ds (4.3),(4.5) e λt+κ(t ) δ 2 + δc 1 2M(λ µ) λµ e λt+κ(t ) ( δ 2 + δ 2 (iv) δe λt+κ(t ). ) 4MC 1(λ µ) λµ e λt+κ(t ) In analoger Weise erhalten wir für b: b(t) δe µ(t ). Damit liegen für alle (a, b) Γ auch (ā, b) = Θ(a, b) in Γ, womit die Abbildung Θ die Menge Γ in sich selbst abbildet. Es bleibt zu zeigen, dass Θ ein kontraktiver Operator ist. Genauer zeigen wir, dass die Kontraktionskonstante den Wert 4MC1(λ µ) λµ annehmen wird, die nach (iv) kleiner als Eins ist.

27 4 EXPONENTIELLE SCHRANKEN 25 Seien also (ā i, b i ) := Θ(a i, b i ) mit (a i, b i ) Γ, i = 1, 2. Dann gilt ā 1 (t) ā 2 (t) = e A(t s) [F (s, a 1 (s), b 1 (s)) F (s, a 2 (s), b 2 (s))] ds t C 1 e λ(t s) k(s,, a 1 (s) a 2 (s), b 1 (s) b 2 (s) )ds t C 1 e λ(t s) k(s,, a 1 a 2 λ,κ e λs+κ(s ), b 1 b 2,µ e µ(s ) )ds t C 1 e λ(t s) k(s,, A, B)ds mit A := ( a 1 a 2 λ,κ + b 1 b 2,µ )e λs+κ(s ) und B := ( a 1 a 2 λ,κ + b 1 b 2,µ )e µ(s ). Dabei haben wir, wie in der letzten Abschätzung, die Struktur von k ausgenutzt. Da A und B den gemeinsamen Faktor a 1 a 2 λ,κ + b 1 b 2,µ = (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) λ,κ,µ besitzen, ergibt sich weiter unter wiederholter Ausnutzung der Struktur von k t ā 1 (t) ā 2 (t) C 1 2MC 1(λ µ) λµ Vollkommen analog dazu erhalten wir die Abschätzung e λ(t s) k(s,, e λs+κ(s ), e µ(s ) )ds (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) λ,κ,µ (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) λ,κ,µ e λt+κ(t ). b1 (t) b 2 (t) 2MC 1(λ µ) (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) λµ λ,κ,µ e µ(t ), die uns zusammen mit der anderen den folgenden Ausdruck liefert: (ā1, b 1 ) (ā 2, b 2 ) λ,κ,µ 4MC 1(λ µ) (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) λµ λ,κ,µ. Damit sind die Vorbereitungen für den Beweis von Satz 9 abgeschlossen, und wir können uns nun dem eigentlichen Beweis zuwenden. Beweis. (von Satz 9) Wir beginnen mit dem Nachweis von (a). Als erstes stellen wir fest, dass jede Lösung (a, b) Γ = KC λ, (γ, R ds ) KC,µ (γ, R du ) KC[; r] der Integralgleichung a(t) = e At ξ + b(t) = e B(t ) η + e A(t s) f(a(s), b(s))ds e B(t s) g(a(s), b(s))ds auch eine Lösung von (2.2) und (2.3) in K d [; r] U ist. Dabei sei r > r 1 wie im Abschnitt 3.1. Aufgrund der Eindeutigkeit einer Lösung von (2.2) und (2.3) muss somit (a, b)(t) = (x, y)(t) für alle t [, ] gelten. Demnach ist die Aussage (a) wegen (4.2) erfüllt, sofern die Gleichung (4.6) für gewisse γ eine Lösung in Γ besitzt. Um dies zu verifizieren, prüfen wir einfach die Bedingungen (i)-(iv) des Lemmas 1 nach. Seien C 1, λ und µ Konstanten gemäß Voraussetzung (H1). Dazu definieren wir sukzessive folgende Kon- (4.6)

28 4 EXPONENTIELLE SCHRANKEN 26 stanten C := γ := M := Cγ. sup k+1 (x,y) K d [,r] i= α =i λµ 4C 1C(λ µ) ( D α f(x, y) + D α g(x, y) ) (4.7) In der Definition von M ist γ (, γ ) beliebig gewählt. Die Konstante C existiert, da die Funktionen f, g auf der offenen beschränkten Menge U R d stetig differenzierbar bis einschließlich der Ordnung k + 1 sind. Zunächst sei festgehalten, dass wir mit der Definition von γ auch tatsächlich die Bedingung K d γ [; 4C 1 ] V := K d r [; 2 4C 1 ] erfüllen. Aus der Definition von M fg in (3.9) und (3.8) geht hervor, dass M fg 2C ist. Wählen wir r 2 aus dem Beweis von Satz 3 so, dass in (3.15) die Gleichheit erfüllt ist, also r 2 = λµ 2C 1 M fg (λ µ) gilt, so erkennen wir, dass γ r 2 gilt. Damit ist neben K d [; γ ] V auch K d [; γ ] K d [; r] U erfüllt. Mit κ = und < γ < γ sind (iii) und (iv) des Lemmas 1 schnell nachgeprüft, denn es gilt p(, ) λ, = e A( ) ξ λ, = max e At ξe λt max (C 1e λt ξ e λt ) C 1 t [,] t [,] q(, ),µ = max e B(t ) ηe µ(t ) max (C 1e µ(t ) η e µ(t ) ) C 1 t [,] t [,] γ 4C 1 γ 2 γ 4C 1 γ 2 und M = Cγ < Cγ = λµ 4C 1 (λ µ) 4C 1M(λ µ) < 1. (4.8) λµ Die Bedingungen (i) und (ii) des Lemmas 1 sind wegen f, g C k+1 (U, R di ), k 1, i = s, u und der Eigenschaft (H2) erfüllt, welche, wie bereits zu einem früheren Zeitpunkt erwähnt, impliziert, dass f und g von der Ordnung O( x + y ) x beziehungsweise O( x + y ) y für x + y sind. Wir werden diese Eigenschaft jedoch noch einmal im Detail für f anschauen und die Voraussetzungen (i) und (ii) direkt nachrechnen. Dazu führen wir eine Taylorentwicklung von f an der Entwicklungsstelle z = durch. Es sei (a, b) = h = (h 1,..., h d s, h d s +1,..., h d ) K d [; r] das Inkrement, dann erhalten wir wegen f(, ) = und Df(, ) = (siehe (H2)) unter Verwendung des integralen Restgliedes aus [3, Kapitel 168], f(a, b) = = d k,l=1 d s k,l=1 + ( 1 ) 2 f z k z l (th) (1 t)dt h k h l ( 1 ) 2 f z k z l (th) (1 t)dt h k h l + 2 ds k=1 ( d 1 ) 2 f z k z l (th) (1 t)dt h k h l. k,l=d s +1 d l=d s +1 ( 1 ) 2 f z k z l (th) (1 t)dt h k h l Aufgrund der Eigenschaft (H2)(i), f(, y) = für alle (, y) U, muss der letzte Summand in der obigen