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1 Ziseszisrechug Lerhilfe i Form eies ebooks apitel Thema Seite 1 Vorwort ud Eiführug 2 2 Theorie der Ziseszisrechug 5 3 Beispiele ud Beispielrechuge 12 4 Testaufgabe mit Lösuge 18 Zis-Ziseszis.de 212 Seite 1/23

2 1. Eiführug - Allgemeie Ifos zu dem Thema Ziseszis Zis ud Ziseszis stamme aus der Welt der Fiazmathematik. Wie der Name scho adeutet, geht es hier um Berechuge ud Eischätzuge, die das apital betreffe. Zisrechug ist ichts aderes als eifache Prozetrechug ud somit auch Ziseszisrechug, die eie Erweiterug dieser darstellt. Jeder, der mal mit eiem ax-oto der Sparkasse o.ä. agefage hat, eriert sich, dass die Erwachsee immer gesagt habe: "Leg dei Geld auf eiem Sparkoto a ud am Ede des Jahres wirst Du mehr habe." Ud was hat das Sparbuch gezeigt? Tatsächlich ist, je ach Eisatz, aus dem Afagsbetrag mehr geworde ud die Bak hat eiem auf de scho vorhadee Betrag etwas draufgezahlt. Wie viel das ist, hägt vo de agebotee Zise ab ud wie lage ma wartet. Die allgemeie Zisrechug teilt mit, wie viel ma ach eier eimalige Laufzeit a apital zu eiem Startkapital hizugewit. Die Ziseszisrechug geht etwas weiter. Hier geht es i der Regel darum, apitalwerte zu Be- Zis-Ziseszis.de 212 Seite 2/23

3 gi oder am Ede mehrerer Jahre zu bereche ud berücksichtigt, dass ach jeder Eiheit ei eu verzister, also höherer Betrag als Startkapital vorliegt. Auf eie geauere Vergleich zwische Zis ud Ziseszis wird a späterer Stelle och eigegage.promiete Frage, die es zu beatworte gilt, sid: "Wie viel habe ich ach eiige Jahre, we ich eie bestimmte Summe alege?" oder "Damit ich eie bestimmte Betrag herausbekomme, wie lage muss ich mei Geld alege bzw. wie viele Prozete pro Jahr sid ötig, damit ich auf de gewüschte Betrag komme?" Diese Frage, die im Prizip jede Bakkude irgedwa im Laufe seies udedaseis iteressiere, werde mit der Ziseszisrechug beatwortet. Warum heißt es icht eifach Zis, soder Ziseszis? Das kommt daher, dass ach Ablauf des erste Verrechugszeitraumes ierhalb eier Laufzeit (wie lag ma etwas alegt) die auf de Afagsbetrag bezogee Zise i Euro agerechet werde. Neuer Ausgagsbetrag ist da icht mehr der Erstwert, soder der Erstwert + die erste Zise. Am Ede der zweite Laufzeit komme da zum erst- Zis-Ziseszis.de 212 Seite 3/23

4 verziste Betrag eue Zise hizu usw., d.h. Zis auf Zis, wie Bausteie. So etsteht der Begriff Ziseszis. Zis-Ziseszis.de 212 Seite 4/23

5 2. Theorie - Formel, die für die Ziseszisrechug erforderlich sid Für die Ziseszisrechug wird im Prizip ur eie eizige Gleichug beötigt. Ist das icht toll? Nur eie Gleichug, die ma sich merke muss. Hake a der Sache ist, dass es i der Formel selbst mehrere Variable gibt, ach dee ma etspreched umstelle ka. Ma sollte sich also icht ur im lare über die Schreibweise der Grudformel sei, soder auch um ihre ach de jeweilige Variable umgestellte Schreibweise. Wer icht aus dem Stegreif ach Variable umforme ka, der sollte sie alle eifach auswedig lere. Übrig bleibt da ur och das Eisetze, was auch icht das Schlechteste ist. Trost: Es gibt isgesamt vier Variable i der Formel, d.h., es sid auch ur vier verschiedee Versioe derselbe Formel zu lere. Zis-Ziseszis.de 212 Seite 5/23

6 Am Wichtigste ist folgede Ausgagsformel (2.1) = p mit als verzistes Edkapital, d.h., was ma am Ede herausbekommt, als Ausgagskapital zum Zeitpukt Null, p als de Zissatz für die Laufzeit ud als die Laufzeit selbst, wie lage das apital also agelegt wird. Ma spricht zwar beim Zissatz p immer vo Prozet, setzt i die Gleichuge jedoch ur die reie Zahl ei. Erst i der Atwort bekommt p da die Eiheit %. Im Gegesatz dazu werde Eurobeträge immer mit der Eiheit EUR i der Gleichug gekezeichet. Wie scho gesagt, gibt es vier Variable, ach dee ma frage ka. Die Grudformel fägt mit a, fragt also ach dem Edbetrag, das, was ma eiem festgelegte Zeitraum herausbekommt. Somit bleibe och drei weitere Variable ud ihre jeweilige Gleichug übrig. Gleichug Nummer zwei würde also, we wir ach Zis-Ziseszis.de 212 Seite 6/23

7 der obige Reihefolge gehe, ach frage, "Wie viel hatte ich zu Begi, was war mei Eisatz?" Umforme ach würde folgede Gleichug ergebe: (2.2) = p 1+ 1 Wir lese: Das agelegte Startkapital ergibt sich aus dem Quotiete des Edkapitals ud der jährliche Verzisug über eie defiierte Laufzeit vo Jahre. Gleichug Nummer drei fragt ach - richtig - p. Wie scho i der Eileitug agedeutet, ket ma p aus der Zisrechug. We i der Fragestellug also irgedwo ei Prozetbzw. Zissatz ( p %) agegebe ist, da immt ma eifach diese Zahl ohe Eiheit ud setzt sie für p ei. Bei eiem Zissatz vo 4% wäre dies somit die 4. Zis-Ziseszis.de 212 Seite 7/23

8 Umforme ach p ergibt Folgedes: (2.3) p = 1 1 Wir lese: Der Zissatz ist gleich der -te Wurzel aus dem Quotiete vo Ed- ud Ausgagskapital mius 1. I der Ausgagsgleichug (2.1) steht das och im Neer des Bruchs ud fugiert als Expoet. Durch die zwagsläufige Umformug der Gleichug wird bei der Berechug vo p der ehrwert gebraucht. Das Gegeteil vo expoetieller Rechug ist das Wurzelziehe. Daher fide wir hier als Wurzel wieder. Zu guter Letzt bleibt och die Frage ach de Jahre. "Wie lage wurde das Geld agelegt uter de gegebee Umstäde?" Formt ma ach um, so erhält ma die Gleichug Zis-Ziseszis.de 212 Seite 8/23

9 (2.4) lg = p lg1+ 1 Wir lese: Die Laufzeit ergibt sich aus dem Logarithmus (LOG oder lg) des Quotiete aus Edkapital ud Startkapital, geteilt durch de Logarithmus der jährliche Verzisug. Wo kommt der Logarithmus her? Zieht ma eie Expoete () vo eier Seite der Gleichug auf die adere (hier vo rechts ach liks), muss zum Ausgleich auf der ursprügliche Seite der Logarithmus vo alle übrige Terme berechet werde. Die Gleichuge (2.1) ud (2.2) ka ma evetuell och schriftlich oder im opf bereche. Für (2.3) ud (2.4) brauchst Du jedoch defiitiv eie Tascherecher. We icht: Respekt! Je ach Hersteller gibt es verschiedee Tastekombiatioe auf eiem Tascherecher, um Logarithme zu bereche, Poteze zu ehme, Wurzel zu ziehe ud Gleichuge partiell i lammer auszureche ud abzuspeicher. Setze Dich damit auseiader. All diese Umformuge gehe davo aus, dass im- Zis-Ziseszis.de 212 Seite 9/23

10 mer alle Variable bis auf eie eizige, ach der logischerweise umgeformt werde muss, gegebe sid. Asoste wäre eie alkulierug icht möglich. Exkurs: Vergleich mit Zisrechug Der Uterschied zwische Zis ud Ziseszis ist, dass bei Ersterem das apital liear wächst, bei Letzterem ei expoetielles, somit viel stärkeres Wachstum der Fall ist. Dies liegt a der Potezierug vo (1+p/1) durch, hägt also mit der Laufzeit zusamme. Die allgemeie Formel zur Berechug der Höhe der Zise i Euro sieht wie folgt aus: t p Z = 1 p durch 1 kee wir aus Ausgagsgleichug (2.1). ist ichts aderes als user ud t stellt die Laufzeit dar, ist jedoch icht auf Jahre beschräkt, soder ka sich auch auf kleiere Zeiträume beziehe. Was hier als Z berechet wird, ist der reie Zugewi zum Ausgagskapital. Immer wieder eu verzistes Guthabe wird wie bei der Ziseszisrechug, bei der ei Uterschied zwische Start- ud Edkapital gemacht wird, i dieser Gleichug icht Zis-Ziseszis.de 212 Seite 1/23

11 berücksichtigt. De größte Effekt hat der Ziseszis daher bei Tagesgeldkote, wo eie tägliche Potezierug des Vermöges stattfidet ud icht jährlich, wie bei ormale Sparkote. Wir zähle hier i Jahre, da es um lägerfristige apitalalage geht. Zis-Ziseszis.de 212 Seite 11/23

12 3. Beispiele für Ziseszisrechuge Die folgede Aufgabe gebe je ei Beispiel für je eie Variable ud die etsprechede Fragestellug. (3.1) Frage: We ich 15EUR bei eiem Zissatz vo 3,5% für die ächste 6 Jahre festlege, wie hoch ist da der Gewi, sprich, wie viel kommt zu meiem jetzige Ausgagskapital hizu? (3.2) Frage: We ich ach 5 Jahre 28EUR herausbekomme ud eie jährliche Zissatz vo 2% hatte, wie viel habe ich zu Begi der Laufzeit agelegt? (3.3) Frage: We ich 36EUR zur Bak gebracht habe, das Geld 3 Jahre lag habe ruhe lasse ud am Ede 58EUR herausbekomme, wie hoch war der Zissatz? (3.4) Frage: Ich habe 23EUR Startkapital bei eiem Zissatz vo 1,9% agelegt ud will bei Erreiche der 46EUR-Marke mir de Betrag auszahle lasse. Wie lage muss ich warte? Zis-Ziseszis.de 212 Seite 12/23

13 Heragehesweise: Zu (3.1): Hier wird eideutig ach dem Edbetrag gefragt, also. Die etsprechede Gleichug, die diese Frage beatwortet, ist die erste, folglich = p Setze wir alle gegebee Zahle ei, mit = 15 EUR, p = 3,5 ud = 6, da erhalte wir Folgedes: 6 3,5 = 15EUR 1+ 1 Wir lese: Das Edkapital setzt sich zusamme aus dem Startkapital vo 15EUR multipliziert mit dem jährliche Zissatz vo 3,5% über die ächste sechs Jahre. Das Ergebis ist = 1843,88EUR. Atwort: Bei eier Alegug vo 15EUR zu eiem Zissatz vo 3,5% ud eier Laufzeit vo 6 Jahre, bekommt ma 1843,88EUR heraus, hat also eie Gewi vo 343,88EUR. Zis-Ziseszis.de 212 Seite 13/23

14 Zu (3.2): Die Frage zielt auf das agelegte Startkapital ab, d.h.. Die Gleichug wird wie folgt ach umgestellt: = p 1+ 1 ud Eisetze der Werte mit = 28, p = 2 ud = 5 ergibt Folgedes: 28EUR = Wir lese: Das Startkapital ergibt sich aus dem Quotiete des Edkapitals vo 28EUR ud der jährliche Verzisug vo 2% über füf Jahre. Das richtige Ergebis müsste = 253,6EUR laute. Atwort: Um ach füf Jahre Laufzeit ud 2% Zise eie Betrag vo 28EUR zu erhalte, muss ma 253,6EUR alege. Zis-Ziseszis.de 212 Seite 14/23

15 Zu (3.3): Hier wird ach dem erforderliche Prozetsatz gefragt, der ötig ist um ach drei Jahre 58EUR zu erhalte. Es wird wie folgt ach p umgeformt, uter der Aahme, dass = 36EUR, = 58EUR ud = 3 ist: p = Eisetze ergibt 3 58EUR p = EUR Wir lese: Der Zissatz ist gleich der -te Wurzel, i diesem Fall der dritte Wurzel aus dem Quotiete vo Ed- ud Ausgagskapital mius 1. Das Ergebis lautet 17,2 = p. Atwort: Um ach drei Jahre Laufzeit ud eiem Startkapital vo 36EUR, 58EUR zu erhalte, muss der Betrag zu eiem Zissatz vo 17,2% agelegt werde. Zis-Ziseszis.de 212 Seite 15/23

16 Zu (3.4): Zu guter Letzt wird ach der Läge der Laufzeit gefragt, um uter der Bedigug eies bestimmte Afagskapitals ud Zissatz, eie bestimmte Edbetrag zu erreiche. Wir gehe hier immer vo Jahre aus. Nach umgeformt, mit = 23EUR, = 46 EUR ud p =1,9, ergibt sich folgede Gleichug log = p log1+ 1 Durch Eisetze erhält ma = 46EUR log 23EUR 1,9 log1+ 1 Wir lese: Die Laufzeit ergibt sich aus dem Logarithmus des Quotiete aus 46EUR als Edkapital ud 23EUR als Startkapital, geteilt durch de Logarithmus der jährliche Verzisug vo 1,9%. Zis-Ziseszis.de 212 Seite 16/23

17 Das Ergebis ist =36,8. Atwort: Legt ma 23EUR a, mit 1,9% Zise ud eiem Edkapital vo 46EUR, so hat ma diesem Betrag eie Laufzeit vo midestes 36,8 Jahre gegebe. Schlusswort Wichtig ist Folgedes: Du musst für die Ziseszisrechug icht ubedigt wisse, wie sich die Gleichuge herleite lasse, auch icht wie ma, ausgehed vo Gleichug (2.1), ach de adere Variable umformt. Wichtig ist, dass Du die Aufgabestellug aufmerksam durchliest, Dir klarmachst, woach gefragt wird (,, p oder ) ud etspreched Deiem Urteil eie der vier Variate auswählst. Der Rest besteht aus Eisetze, Tascherecher zur Hilfe ehme ud dara zu deke, dass alles, was i lammer steht, zuerst berechet wird ud Puktvor Strichrechug geht, auch i de lammer. We Du all das beachtest, da sollte der Ziseszisrechug ichts im Wege stehe. Zis-Ziseszis.de 212 Seite 17/23

18 4. Teste Dich selbst - Beispielaufgabe ud Lösuge zur Ziseszisrechug So, jetzt wurde geug geredet. Du bist dra. We Du die obige Iformatioe geauestes gelese hast ud achvollziehe kotest, da sollte die folgede füf Aufgabe kei Problem mehr sei. Ud geschummelt wird icht, klar? Erst hiterher. Viel Erfolg! (4.1) Ei ude legt eie Betrag vo 55EUR a. Er bekommt ei lukratives Agebot vo 2,3% Zise ud eier Laufzeit vo vier Jahre. Was bekommt er ach de vier Jahre ausbezahlt? (4.2) Ei Schulkid plüdert sei Sparschwei, das 32,8EUR ethält. Es möchte ach 6 Jahre 1EUR erreicht habe. Wie viel Zise müsse gebote werde, damit dieser Wusch i Erfüllug geht? (4.3) Die Oma ist gestorbe ud hiterlässt ei Sparbuch mit 89EUR. Ursprüglich hatte sie mal 98EUR agelegt zu eiem Zissatz vo 1,2%. Vor wie viele Jahre hat sie dieses Sparbuch agelegt? Zis-Ziseszis.de 212 Seite 18/23

19 (4.4) Edlich ka sich Rolli de Traum vom eigee Auto erfülle. Er hat de ötige Betrag vo 23EUR beisamme. Dafür hatte seie Elter bei seier Geburt vor 18 Jahre eie bestimmte Betrag zu eiem Zissatz vo 3% agelegt. Wie viel Euro ware das? Zis-Ziseszis.de 212 Seite 19/23

20 Lösuge Zu (4.1) Gefragt wird ach Vorgegebe sid = 55, p = 2,3 ud = 4.. Du müsstest folgede Gleichug erhalte habe: = 55EUR 1+ 2,3 1 4 Das Ergebis ist = 553,88 EUR. Atwort: Nach eier Laufzeit vo vier Jahre, mit 2,3% Zise ud eiem Startkapital vo 55EUR, bekommt der ude 553,88EUR ausgezahlt. Zu (4.2) Hier iteressiere die gebotee Prozete, also p. Mit = 32,8EUR, = 1EUR ud = 6, Zis-Ziseszis.de 212 Seite 2/23

21 müsste folgede Gleichug herauskomme: 1EUR p = ,8 EUR Das Ergebis lautet p = 2,4. Atwort: Das Schulkid braucht ei Agebot mit 2,4% Zise, damit es auf ei Edkapital vo 1 EUR kommt. Ziemlich utopisch. Zis-Ziseszis.de 212 Seite 21/23

22 Zu (4.3) Gaz schöes Sümmche, das die Oma da hiterlasse hat. Darauf musste auch lage gewartet werde. Es wurde also ach gefragt. Mit = 98EUR, = 89 EUR ud p =1,2 sollte sich Folgedes ergebe: = 89 EUR log( 98EUR ) log (1+( 1,2 1 )) Das Ergebis lautet = 184,96. Atwort: Die Oma hat de Betrag vo 98EUR, bei eiem Zissatz vo 1,2% ud eiem daraus resultierede Betrag vo 89EUR, vor 185 Jahre agelegt. Die Laufzeit betrug folglich kapp 185 Jahre. Da muss die Oma aber das Geheimis ewige Lebes etschlüsselt habe, zumidest eie Teil davo. Dass dies keie realistische Zahl ist, ist scho klar. Regel: Bei solche Textaufgabe iemals beirre lasse vom Ergebis, soder auf die eigee Fähigkeit ud das erworbee Wisse vertraue. Zis-Ziseszis.de 212 Seite 22/23

23 Zu (4.4) Hier iteressiert das Ausgagskapital, das eimal agelegt wurde. Bei eier Laufzeit =18 Jahre, = 23 EUR ud p = 3, müsstest Du folgede Gleichug erstellt habe: 23EUR = Das richtige Ergebis müsste = 1351,1EUR laute. Atwort: Rollis Elter habe vor 18 Jahre eie Betrag vo 1351,1EUR agelegt. Zis-Ziseszis.de 212 Seite 23/23

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